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第1章 二次函数
题型1.根据二次函数的定义求字母的值 1
题型2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质综合问题 2
题型3.二次函数的图象与各项系数之间的关系 3
题型4.二次函数与其他函数相结合的双图象问题 6
题型5.在规定范围内与二次函数的最值有关的问题 8
题型6.二次函数图象和坐标轴的交点问题 10
题型7.二次函数与一元二次方程的根的关系的应用 12
题型8.二次函数与直线的交点问题 13
题型9.二次函数与一次函数的综合应用 15
题型10.二次函数与几何图形问题的综合探究 19
题型11.利用二次函数解决最大利润问题 23
题型11.利用二次函数解决抛物线形的实际问题 26
题型13.利用二次函数解决最大面积问题 30
专项训练 33
题型1.根据二次函数的定义求字母的值
1.（23-24九年级上·广西柳州·期中）当 时，函数是关于x的二次函数．
2.（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ．
题型2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质综合问题
1．（2024·四川成都·二模）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为x＝2 C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
2. （2024·重庆市黔江区九年级期末）二次函数的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下 B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
3．（2024·广西南宁·二模）表中列出的是一个二次函数自变量x与函数y的几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象与x轴有一个交点 B．抛物线开口方向向上
C．函数有最小值是－2 D．当时，y随x增大而减小
题型3.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.（23-24九年级上·山东济宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
3.（2024·四川达州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
题型4.二次函数与其他函数相结合的双图象问题
1.（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B． C． D．
2.（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型5.在规定范围内与二次函数的最值有关的问题
1.（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
2.（2024·四川达州·一模）二次函数在上有最小值，则的值为 ．
3.（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型6.二次函数图象和坐标轴的交点问题
1.（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ．
2.（2024·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 .
3.（2024·四川泸州·一模）抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
题型7.二次函数与一元二次方程的根的关系的应用
1.（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是 .
2.（23-24九年级上·北京朝阳·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则二次函数当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3.（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 ．
题型8.二次函数与直线的交点问题
1.（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ．
2.（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B． C． D．
3.（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
题型9.二次函数与一次函数的综合应用
1.（2024·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；②当轴时，求 的最小值．
2.（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于A，B两点，抛物线经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数解析式．(2)当时，求点P的坐标．
3.（23-24九年级下·湖南娄底·期中）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
(1)①点的“坐标差”为 ；②抛物线的“特征值”为 ；
(2)某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式；
(3)二次函数的图像的顶点在“坐标差”为的一次函数的图像上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图像与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
题型10.二次函数与几何图形问题的综合探究
1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2024·辽宁大连·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，则点的坐标是 ．
3.（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E．(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．(2)当时，求点D的坐标．
题型11.利用二次函数解决最大利润问题
1.（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤；
②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
(1)当时，写出与的关系式；(2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值．
2.（23-24九年级上·山东青岛·期末）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为．
（总利润=总销售额﹣总进价） (1)直接写出t、p、q的值；(2)分别求出与x的关系式；
(3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
3.（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
题型11.利用二次函数解决抛物线形的实际问题
1.（2024·贵州黔南·一模）如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米．
(1)在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式．
(2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
①在建立的坐标系中，求落水点的坐标；②求出喷水装置的高度．
2.（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ．
3.（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．②当米，求的长度．(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
题型13.利用二次函数解决最大面积问题
1.（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，学校准备在长为米，宽为米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形和正方形面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设为米，为米．(1)求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）(2)设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值．
2.（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析:（1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ．（2）当时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．
3.（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围．（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料．①求总占地面积最大为多少米2？②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？
一．选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级·重庆江北·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．（23-24九年级·重庆江北·期末）将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级·全国·专题练习）下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ）
x … …
y … …
A． B． C． D．
5．（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24九年级·四川广安·期末）二次函数的图像如图所示，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．（23-24九年级·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（23-24九年级·广东湛江·期末）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤
10．（23-24九年级·内蒙古乌海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点C在一次函数的图象上，且为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题）
11．（23-24九年级·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ．
12．（23-24九年级·浙江宁波·期末）无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ．
13．（23-24·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
14．（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，若抛物线上存在点，使得的面积为1，则点的坐标是 ．
15．（23-24·湖北襄阳·一模）已知抛物线在区间上的最小值是，则m的值为 ．
16．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24九年级·北京大兴·期末）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．
18．（23-24九年级·河南南阳·期末）已知二次函数．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________．
19．（23-24九年级·浙江·专题练习）某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价元
每天销售数量件
(1)求与之间的函数关系式；(2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
20．（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．(1)求的面积；(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．
21．（23-24九年级·河北承德·期末）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线 (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；(2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值．
22．（23-24九年级·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点．(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积．
23．（23-24九年级·吉林·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．(1)求抛物线的解析式；(2)当二次函数的值大于时，结合图象，直接写出自变量的取值范围；(3)点为轴负半轴上一点，点的纵坐标为．过点作轴的平行线交抛物线于点，（点在点的左边），判断与的数量关系，并说明理由；(4)在（）的条件下，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，若，请直接写出的值．
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第1章 二次函数
题型1.根据二次函数的定义求字母的值 1
题型2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质综合问题 2
题型3.二次函数的图象与各项系数之间的关系 3
题型4.二次函数与其他函数相结合的双图象问题 6
题型5.在规定范围内与二次函数的最值有关的问题 8
题型6.二次函数图象和坐标轴的交点问题 10
题型7.二次函数与一元二次方程的根的关系的应用 12
题型8.二次函数与直线的交点问题 13
题型9.二次函数与一次函数的综合应用 15
题型10.二次函数与几何图形问题的综合探究 19
题型11.利用二次函数解决最大利润问题 23
题型11.利用二次函数解决抛物线形的实际问题 26
题型13.利用二次函数解决最大面积问题 30
专项训练 33
题型1.根据二次函数的定义求字母的值
1.（23-24九年级上·广西柳州·期中）当 时，函数是关于x的二次函数．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解方程即可得到答案；一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴且，解得，故答案为：3．
2.（2024·广东广州·一模）二次函数的图象开口向 ．
【答案】下
【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可．
【详解】∵为二次函数，∴，∴，∴二次函数解析式为，
∵，∴该二次函数的图象开口向下．故答案为：下．
题型2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质综合问题
1．（2024·四川成都·二模）关于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为x＝2 C．图象与y轴交于点（0，1）
D．图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质判断A，B选项；根据当x＝0时，y＝5判断C选项；根据图象的平移规律判断D选项．
【详解】解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；D选项，图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．
2. （2024·重庆市黔江区九年级期末）二次函数的图象和性质描述正确的是( )
A．函数图象开口朝下 B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
【答案】C
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
【详解】解：二次函数y=x2+2x+3=（x+2）2+1，对称轴为直线x=-2．
A、a=＞0，开口向上，本选项不符合题意；B、当时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；C、该函数的最小值为1，大于零，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴的正半轴，本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性．
3．（2024·广西南宁·二模）表中列出的是一个二次函数自变量x与函数y的几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则关于该二次函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象与x轴有一个交点 B．抛物线开口方向向上
C．函数有最小值是－2 D．当时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=-x2-4x-6，通过解方程-x2-4x-6=0可判断抛物线与x轴没有交点，则可对A选项进行判断；根据二次函数的性质对B选项进行判断；利用配方法得到y=-（x+2）2-2，然后根据二次函数的性质可对C、D选项进行判断．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把（-3，-3），（-2，-2），（0，-6）代入得
，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-6，
当y=0时，-x2-4x-6=0，此方程没有实数解，∴抛物线与x轴没有交点，所以A选项不符合题意；
∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，所以B选项不符合题意；
∵y=-x2-4x-6=-（x+2）2-2，∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
当x=-2时，y有最大值为-2，所以C选项不符合题意．
∴当x＞-2时，y随x增大而减下，所以D选项符合题意；故选：D．
题型3.二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.（23-24九年级上·山东济宁·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，∴开口向下，
∵图象过点，对称轴为直线，∴∴
∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．∴∴故①错误；
∵∴故③正确；∵如图：
则图象过点，抛物线开口向下把代入
∴∴故②错误；
∵则图象过点，对称轴为直线∴抛物线与轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下∴当时，故④正确的；
把代入，得
∵∴∴
∵∴故⑤正确的故选：B．
2.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④关于x的方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】解：抛物线轴交于点，对称轴为直线，与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，，，，
当时，，，所以①正确；
抛物线与轴的交点在和之间，，，，
，
，，所以②正确；
由题意可得，方程的两个根为，，，即，
，， ，故③正确，
当，时，
方程没有实数根或有两个相等的实数根，所以④不正确，
综上所述，正确的结论有3个：①②③，故答案为：①②③．
3.（2024·四川达州·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可．
【详解】解：①由抛物线开口向上，则，
∵点B在和之间，∴，∴，①错误；
②∵，∴，∴，故②正确；
③∵抛物线过，∴，
∵，∴，∴，∴，故③错误；
④∵，∴，∵，∴，
∵，∴，故④正确；
⑤∵图象与y轴的交点B在和之间，∴，
∵，∴，∴，故⑤正确．故选：C．
题型4.二次函数与其他函数相结合的双图象问题
1.（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，由一次函数与二次函数图象相交于两点，得出函数与轴有两个交点，两个交点为，利用对称轴即可进行判断的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由一次函数与二次函数图象相交于两点的横坐标可得：函数与轴有两个交点，两个交点为，
，即，，，，
故二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，只有A选项的图象符合条件，
故选：A．
2.（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论．
根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断．
【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限，
当时，即，，当时，即，
则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为
A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．故选：B．
3.（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出，，再判断二次函数的图象即可.
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，即，
∵一次函数与y轴的交点为，一次函数的图象与y轴交于点，
∴由图象可知，，即，
对于二次函数，其开口向上，
顶点的横坐标为，，顶点的纵坐标为，
∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴，观察图象可知选D.故选：D
题型5.在规定范围内与二次函数的最值有关的问题
1.（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（ ）
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由得二次函数与轴的交点为，由当时得，由得在第一象限，越大越小即可判断．
【详解】解： 令，则或 即二次函数与轴的交点为
当时，，且在第一象限，越大越小其图象大致如下：
该函数有最大值，无最小值．故选：B．
2.（2024·四川达州·一模）二次函数在上有最小值，则的值为 ．
【答案】5或
【分析】本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在的左边，对称轴在到2的之间，对称轴在的右边，当对称轴在的左边和对称轴在的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时的值，然后把此时的的值与代入二次函数解析式即可求出的值；当对称轴在到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到满足题意的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．
【详解】解：分三种情况：当，即时，二次函数在上为增函数，
所以当时，有最小值为，把代入中解得：；
当，即时，二次函数在上为减函数，
所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去；
当，即时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去．
综上，的值为5或．故答案为：5或
3.（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图形即可得到答案．
【详解】解：当时，，整理得，根据题意得，
∵二次函数经过点，∴，整理得，解方程组得，
∴函数的解析式为：，整理得：，
函数的图像如下：
∵时，时，解得或，当时，，∴，故选：B．
题型6.二次函数图象和坐标轴的交点问题
1.（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为 ．
【答案】-2或-1或0或1
【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可．
【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1，此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：
当抛物线经过原点时，y==0，即m=0，此时=x(x-2)，
则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；
当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0，解得：m=-2或1．
综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-2或-1或0或1．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
2.（2024·湖北荆州·一模）已知函数与x轴的交点横坐标为正整数，则整数k的值为 .
【答案】0或1或2
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当时，原函数为一次函数，可求得与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当时，原函数为二次函数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为或，由此可得是正整数，则或．
【详解】解：当时，则，在中，当时，，即函数与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；
当时，则当时，有，解得或，
∵函数与x轴的交点横坐标为正整数，
∴是正整数，∴是正整数，∴或；
综上所述，整数k的值为0或1或2，故答案为：0或1或2．
3.（2024·四川泸州·一模）抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线与轴有交点，可得，可求或，对称轴为直线，当时，抛物线的对称轴在直线左侧，抛物线图象如图1，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，抛物线的对称轴在直线右侧，抛物线图象，如图2，当时，，计算求出满足要求的解，然后作答即可．
【详解】解：∵抛物线与轴有交点，
∴， 解得，或，∴对称轴为直线，
当时，抛物线的对称轴在直线左侧，
∴在对称轴的右侧，抛物线图象如图1，
∴当时，，解得，；
当时，抛物线的对称轴在直线右侧，抛物线图象，如图2，
∴当时，，解得，；∴；
综上所述，或，故选：B．
题型7.二次函数与一元二次方程的根的关系的应用
1.（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根
∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得：a＞ 设y=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，∴-1＜ ＜0，∴a＜ ，且有y（-1）＜0，y（0）＜0，
即y（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，y（0）=-1＜0，解得：a＜-2，
∴ ＜a＜-2，故答案为 ＜a＜-2．
2.（23-24九年级上·北京朝阳·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则二次函数当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得二次函数开口向上，与x轴的两个交点坐标为，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，∴二次函数开口向上，
∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴二次函数与x轴的两个交点坐标为，
∴当时，的取值范围是或，故选D．
3.（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程的两根，满足，则二次函数的顶点纵坐标的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，运用根的判别式和根与系数的关系得到，根据二次函数，得到 时，y随x的增大而减小，根据在对称轴的左侧，，得到当时，顶点纵坐标的最大值是．
【详解】∵关于x的方程的两根，满足，
∴，∴，或，
∵，∴，∴，
∵二次函数，
∴对称轴为直线，顶点为，图象开口向上，∴当时y随x的增大而减小，
∵在对称轴的左侧，，
∴当时，点距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
∴,∴，∴顶点纵坐标的最大值是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程．熟练掌握二次函数的对称性，增减性，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，函数与方程的关系，是解决问题的关键．
题型8.二次函数与直线的交点问题
1.（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知：抛物线与直线有两个不同的交点，若两个交点的横坐标是分别为、，若，则的取值范围是 ．
【答案】//
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式、二次函数的性质．根据抛物线与直线有两个不同的交点，则方程中的，解出可得的取值；由根与系数的关系得：，，把变形后，得，即可得出答案，运用了恒等变换的思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：令，∴，
∵抛物线与直线有两个不同的交点，∴，∴，
∵两个交点的横坐标是分别为、，∴，，∴，
∴
，
∴，∴，∴，∴．故答案为：．
2.（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出点A和点B的坐标，然后再求出的解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】抛物线与x轴交于点A、B，
∴=0，∴x1=5，x2=9，，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，，，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，，
相切，，，如图，
若直线与、共有3个不同的交点，--，故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点、二次函数图象的平移等知识，正确地画出图形，利用数形结合思想是解答本题的关键.
3.（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【答案】3≤a＜4或a≤-5
【分析】先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．
【详解】∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，
∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，
∴直线AB与y轴的交点为（0，1），设直线AB的解析式为y=kx+1，
∴-k+1=0，解得k=1，∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，∴x+1=有两个不相等实数根，
∴有两个不相等实数根，∴，解得a＜4；
当a＞0时，，∴a≥3，∴3≤a＜4，
当a＜0时，，∴a≤-5，∴3≤a＜4或a≤-5，故答案为：3≤a＜4或a≤-5．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．
题型9.二次函数与一次函数的综合应用
1.（2024·江西九江·二模）已知一次函数与二次函数（m为常数）的图象在同一平面直角坐标系中．(1)当 时，求两个函数图象的交点坐标．(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．(3)如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；②当轴时，求 的最小值．
【答案】(1)或(2)(3)①；②
【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解．（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；（3）当 时，一次函数为y= 二次函数为
①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解；
②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为
联立方程组 解得 或 ∴交点坐标为或；
（2）由 得
∵两个函数图象没有交点，∴ 得
（3）当 时，一次函数为二次函数为
①∵轴设 ，
∴当 时，
②设
∵轴，
∴当 时，
2.（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于A，B两点，抛物线经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数解析式．(2)当时，求点P的坐标．
【答案】(1)；(2)
【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；（2）设点A关于y轴的对称点为，求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．
【详解】（1）解：令，得，则，
令，解得，则，把，代入中，
得，解得，∴抛物线的解析式为：；
（2）设点A关于y轴的对称点为，则．∴．
直线交抛物线于P．∴．
∵，∴，设直线的解析式为．
∵，∴，解得，∴直线的解析式为．
再令，得．
解得（舍去）或．∴点P的坐标是．
3.（23-24九年级下·湖南娄底·期中）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
(1)①点的“坐标差”为 ；②抛物线的“特征值”为 ；
(2)某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式；
(3)二次函数的图像的顶点在“坐标差”为的一次函数的图像上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图像与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
【答案】(1)①；②；(2)(3)二次函数的解析式为或，“特征值”均为
【分析】本题考查了二次函数的综合，“坐标差”，“特征值”的定义，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，理解题意．（1）根据题中“坐标差”，“特征值”的定义求解即可；（2）由得，进而得到，结合特征值的定义求出值，进而求出值，即可求解；（3）先求出“坐标差”为的一次函数为，由二次函数的图像的顶点在直线上，可设二次函数的解析式为，分两种情况讨论：抛物线顶点在直线与的交点上时；抛物线右侧部分经过点时；分别把、代入，解得的值，即可求解．
【详解】（1）解：①点的“坐标差”为：；
② ，抛物线的“特征值”为；故答案为：①；②；
（2） ， ，，
二次函数的“特征值”为，
，
，，，二次函数的解析式为；
（3）“坐标差”为的一次函数为，
二次函数的图像的顶点在直线上，
设二次函数为，二次函数的图像与矩形有三个交点，如图、，
抛物线顶点在直线与的交点上时如图，
在中，令，则，得交点为，
把代入，得，
解得：，舍去，二次函数的解新式为，
，特征值是；
抛物线右侧部分经过点时如图，
把代入，得，解得，舍去，
二次函数的解析或为，
，特征值是．
综上，二次函数的解析式为或，“特征值”均为．
题型10.二次函数与几何图形问题的综合探究
1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．
（1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧，
∴点的坐标为，将，代入．
，解得：，∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形．
理由如下：由得抛物线的对称轴为直线，∴，
∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，∴当时，，
∴点的坐标为，则，∴
当时，则，过点作于点，如图．
则是等腰直角三角形，∴，
设点的坐标为，∴，解得：，（舍），
当时，，点的坐标为；
设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为．
将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，
则，可设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，∴直线的函数表达式为．
∴，解得：或．∴点的坐标为或．
综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．
2.（2024·辽宁大连·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点在轴负半轴上，点绕点顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形全等的性质和判定等知识，合理运用二次函数的性质是解决本题的关键．过点作的延长线于点，过点作于点，则，设与轴交于点，根据全等三角形的性质得到，，求得的解析式为：，联立即可得到．
【详解】如图，过点作的延长线于点，过点作于点，
∴，∴，∴．
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴．设与轴交于点．
∵，，∴，∴．
∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
∴点的坐标为，点的坐标为，∴，∴点的坐标为，
设直线的解析式为，代入和得，
解得：，∴直线的解析式为．
联立，解得（舍去）或，
∴点的坐标为．故答案为：
3.（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E．(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式．(2)当时，求点D的坐标．
【答案】(1)，，，(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．（1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得；（2）过点作于点，先求出的长，从而可得点的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，解得或，∴，，
当时，，∴，设直线的函数表达式为，
将点，代入得：，解得，则直线的函数表达式为．
（2）解：∵，∴，如图，过点作于点，
则四边形是矩形，∴，，∴，
∵，∴，
∴，即，∴，又∵，∴，
∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点，
∴，，∴，∴，
∴，∴，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为．
题型11.利用二次函数解决最大利润问题
1.（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤；
②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
(1)当时，写出与的关系式；(2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值．
【答案】(1)(2)当为第天时日销售额最大，最大为元(3)元
【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系；（2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论；（3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解．
【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
∴当时，，
∴当时，写出与的关系式为：；
（2）由题意得，销售量为：，
当时，，
∵，∴当时，取最大值为：，
当时，，
∵，∴当时，取最大值为，
综上所述，当时，取最大值为，
答：当为第天时日销售额最大，最大为元；
（3）当时，，
当时，取最大值为：，
∵，∴时不可能获得较大利润．
当时，，
当时，取最大值为，得：，
当时，解得：或，
∴当时，，∴获得较大利润天数为天，
∴，解得：，∵为整数，∴的最小值为元．
【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
2.（23-24九年级上·山东青岛·期末）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为．
（总利润=总销售额﹣总进价）
(1)直接写出t、p、q的值；(2)分别求出与x的关系式；
(3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)与x的关系式为；与x的关系式为
(3)当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是
【分析】（1）由图象可知当售价为元时，销售量为，则，此时进价为，当总进价为元时，，即利润为0，此时进价=售价，进而可求值；
（2）待定系数法求一次函数、二次函数解析式即可；
（3）设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，依题意得，，根据二次函数的图象与性质，求解作答即可．
【详解】（1）解：∵当售价为元时，销售量为，
∴，∴此时进价为（元），∴；
当总进价为元时，，即利润为0，此时进价=售价，∴；
（2）解：设，把，代入得，，
解得，，∴；
设，把，代入得，，
解得，，∴；
∴与x的关系式为；与x的关系式为；
（3）解：设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元，
依题意得，，
∵，∴当时，w有最大值，
∴当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握函数图象，二次函数的应用是解题的关键．
3.（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元
(2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元(3)
【分析】（1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可；
（2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可；
（3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，，则抛物线的对称轴为直线，由，可知当时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，可得，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：设，由题意知，图象过，两点，
∴，解得，∴，
当时，，解得，利润为：（元），
∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元；
（2）解：由题意得，，解得，设每天的销售利润为W（元），
依题意得， ，
∵，∴当时，W取最大值，最大值为，
∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元；
（3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元），
依题意得，，
∵抛物线的对称轴为直线，，∴当时，Q随x的增大而增大．
∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元，
∴，解得，又∵，∴．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，有理数混合运算的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
题型11.利用二次函数解决抛物线形的实际问题
1.（2024·贵州黔南·一模）如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米．
(1)在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式．
(2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
①在建立的坐标系中，求落水点的坐标；②求出喷水装置的高度．
【答案】(1)；(2)①点的坐标为：，②．
【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用， 理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．（1）依据题意，右侧抛物线的顶点的坐标为，点，再利用待定系数法即可求解；（2）①依据题意， 当当时，即，得到 进而求解；②依据题意，水柱的最高点与点的高度差为， 即该抛物线的最高点 ，求出值，进而求解．
【详解】（1）解：建立如图所示坐标系，
由题意得，右侧抛物线的顶点的坐标为，点，
设抛物线的表达式为：则将点的坐标代入上式得：
解得：则右侧抛物线的表达式为：．
（2）解：①建立如图所示坐标系，设轴交于点，
由（1）知，右侧抛物线的表达式为：，
当时，即，解得：
(不合题意，舍去)， ，
又 ，，∴的坐标为：
②由（1）知，右侧抛物线的表达式为：
则中间抛物线的表达式为：
∵水柱的最高点与点的高度差为，即：该抛物线的最高点
解得：
∴抛物线的表达式为：由①知，点 ，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：即．
2.（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ．
【答案】(1)；(2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析；(3)．
【分析】（）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；（）求出时的值，与作比较即可判断；（）求出点坐标，即可得到答案；本题了考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，，设大孔抛物线的解析式为，
把点代入解析式得，，解得, ∴大孔抛物线的解析式为；
（2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下：
把代入得，，∴该巡逻船能安全通过大孔；
（3）解：∵，∴点的纵坐标为，∴当时，，解得，，
∴由抛物线对称性可得，，∴，
答：大孔的水面宽度为．
3.（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．②当米，求的长度．(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米(2)米
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，设改造前的抛物线解析式为，
∴，解得：，∴改造前的抛物线的函数表达式为；
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，∴对称轴为直线，则有，
当时，，∴，∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，改造前：，改造后：，
∴（米），∴的长度为米；
（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，当时，，
∴，，∴，
由题意可列不等式：，解得：，
∵，要使最大，需最小，∴当时，的值最大，最大值为米．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．
题型13.利用二次函数解决最大面积问题
1.（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，学校准备在长为米，宽为米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形和正方形面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设为米，为米．(1)求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）(2)设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值．
【答案】(1)(2)关于的函数表达式为；最大值为56
【分析】（1）由于正方形和正方形面积相等，可得出两个正方形的边长相等，根据题意可得，，代入即可得到关于的函数表达式．（2）由（1）可知的面积，又因为，即可得到，再据二次函数的性质，为开口向上的抛物线，在离对称轴远的点的位置取最大值，可判断出在当时，取最大值，从而可计算出最大面积．
【详解】（1）解：由题可知， ，，
∴，即，∴．
（2）解：∵正方形和正方形的面积相等，
∴，∴，∴，
又，∴
整理得关于的函数表达式为；
由，
∵，故：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又，∴当时，取最大值，，即最大值为56．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用—图形的面积问题，熟练掌握二次函数的性质，开口向上在顶点处取最大值 ，开口向下在离对称轴远的点的位置取最大值是解题的关键．
2.（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析:（1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ．（2）当时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．
【答案】（1）288，324；（2）当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是；（3）当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为
【分析】（1）根据a=12,分类讨论即可,见详解,（2）表示出,根据二次函数的性质即可解题,（3）根据养鸡场的一边靠墙或包含墙分类讨论,再利用二次函数的性质求出最值即可解题.
【详解】解：（1）如图①,设矩形的长为x米,则矩形的宽为（30-）米,面积为S,依题意得：
S=x·（30-）=-=-,(x12)∴当x=12时,矩形有最大值为288
如图②, 设矩形的长为x米, 则矩形的宽为（36-x）米,依题意得：S=x·（36-x）=-,
∴当x=18时,矩形有最大值为324综上,矩形的面积为288，324．
（2）如图①，设，则．所以．
根据题意，得．因为，所以当时，随的增大而减小．
即当时，有最大值，最大值是400（m2）.
如图②，设，则．所以．
根据题意，得．因为，所以当时，有最大值，最大值是.
综上，当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是．
（3）当时，围成边长为的正方形面积最大，最大面积是．
当时，围成两邻边长分别为，的养鸡场面积最大，最大面积为．
当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,难度较大,表示出二次函数并化为顶点式,分类讨论是解题关键.
3.（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围．（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料．①求总占地面积最大为多少米2？②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？
【答案】（1），；（2）①当米时，有最大值，最大值为米2，②饲养室的门口与小路的间隔为米．
【分析】（1）根据题意得出函数解析式，求出自变量取值范围即可；（2）①画二次函数解析式为顶点式，即可求解；②由题意可知，解得，再根据①的结论求解即可；
【详解】（1）由题意可知．
，自变量的取值范围为．
（2）①由题意可知
当米时，有最大值，最大值为．
②由题意可知，解得，由①可知米时，饲养室面积最大，且满足，
当时，，饲养室的门口与小路的间隔为米．
一．选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
可设其解析式为
抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同
抛物线的解析式为．故选：D．
2．（23-24九年级·重庆江北·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解∶抛物线与x轴的一个交点为，
，故选C．
3．（23-24九年级·重庆江北·期末）将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，顶点坐标．熟练掌握二次函数图象的平移，顶点坐标是解题的关键．
由题意知，新抛物线的解析式为，进而可得新抛物线顶点坐标为．
【详解】解：由题意知，抛物线向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，
∴新抛物线顶点坐标为，故选：A．
4．（23-24九年级·全国·专题练习）下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ）
x … …
y … …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据“时，时”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【详解】解：由表可得时，时，
二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标在和之间，
的一个近似解的范围为，故选：C．
5．（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解；
【详解】解：第三季度总值为；故选：C
【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．
6．（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可．
【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B．
7．（23-24九年级·四川广安·期末）二次函数的图像如图所示，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口向上知，由二次函数与轴交于负半轴可以推出，又抛物线与轴有两个交点，然后利用前面的结论即可确定的取值范围．
【详解】解：抛物线的开口向上，，①
二次函数与轴交于负半轴，，②
抛物线与轴有两个交点，则，，③，
联立①②③解之得：．的取值范围是．故选：D．
8．（23-24九年级·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，故A选项错误；
如图所示，若，则或，故C选项错误；
如图所示，若，则，故B选项正确，D选项错误；故选：B
9．（23-24九年级·广东湛江·期末）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列方程与不等式．①由抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴可得结论；③结合②得到的结论即可判断；④根据在对称轴处取得最值判断即可；⑤根据图像与x轴的交点得到结论即可．
【详解】解：①对称轴在y轴右侧，异号，，故正确；
②对称轴，，，故正确；
③，，故错误；④根据图象知，当时；有最大值，
当为实数时，有，（m为实数），故正确；
⑤如图，抛物线与x轴的交点A在点和之间，
故无法确定时，x的取值范围，故错误；故选：A．
10．（23-24九年级·内蒙古乌海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点C在一次函数的图象上，且为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
设．构建方程即可解决问题．
【详解】解：设．
①当时，点在线段的垂直平分线上，此时．
②当时，，解得：，
或，
③当时，，解得，
或；综上所述，满足条件的点有5个，故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24九年级·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
由，，可知当时，二次函数的值最小，为4，则，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴当时，二次函数的值最小，为4，∴，解得，，故答案为：6．
12．（23-24九年级·浙江宁波·期末）无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为，利用m有无数个解得到，然后解出x和y，即可得到定点坐标．
【详解】解：，
∵无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点
∴当，即时，m可以任意实数，此时，
即无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点．故答案为：
13．（23-24·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线，∴点关于对称轴的对称点为，
当时，，∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∵，当点在对称轴的左侧时，；
当点在对称轴的右侧时，，且，解得：；
综上所述，k的取值范围为或．故答案为：或．
14．（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，若抛物线上存在点，使得的面积为1，则点的坐标是 ．
【答案】，
【分析】本题考查二次函数图像及性质，三角形面积等．根据题意先在二次函数中随机画出点，过点作轴，再求出二次函数和轴交点即可得知的长，设点的坐标为，在根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：过点作轴，设点的坐标为，∴，
，
∵抛物线与轴交于两点，∴令，，
∴，∴，∴，
∵的面积为1，∴，解得：，
∴点的坐标为：，，故答案为：，．
15．（23-24·湖北襄阳·一模）已知抛物线在区间上的最小值是，则m的值为 ．
【答案】或
【分析】先求出抛物线对称轴为直线，然后分当，即时，当，即时，当，即时，三种情况利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
当，即时，
∵抛物线在区间上的最小值是，
∴当时，，∴，解得；
当，即时，
∵抛物线在区间上的最小值是，
∴当时，，∴，∴，
解得（不符合题意的值舍去）；
当，即时，∵抛物线在区间上的最小值是，
∴当时，，∴，解得（舍去）；
综上所述，或，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
【答案】或5/5或
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可．
【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过，
∴，，∵，∴，
∴，∴，，
∵一次函数经过，一次函数经过．∴，
当时，，，
∴，，
∵，，为整数，∴ ，此时；
当时，，，，，
∴，，
∵，，为整数，∴ ，此时；
故答案为：或5
三．解答题（共7小题）
17．（23-24九年级·北京大兴·期末）已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)(2)顶点坐标为
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式；（1）利用待定系数法把，代入二次函数中，即可算出、的值，进而得到函数解析式；（2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【详解】（1）抛物线 经过点，，
，解得，；
（2）顶点坐标为．
18．（23-24九年级·河南南阳·期末）已知二次函数．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________．
【答案】(1)，顶点坐标为(2)见解析(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用二次函数的图象求解．
【详解】（1）解：，∴抛物线顶点坐标为；
（2）解：列表：
x 0 1 2 3 5
y 5 2 1 2 5
根据描点法画二次函数图象如下：
；
（3）解：由图象可知：当时，．故答案是：．
19．（23-24九年级·浙江·专题练习）某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价元
每天销售数量件
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；(2)销售单价应为元或元；
(3)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式．
（1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可；（3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
【详解】（1）设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，解得：，故与的函数关系式为；
（2）根据题意得：，解得：，，
答：销售单价应为元或元；
（3）由题意可知： ，
，抛物线开口向下，
对称轴为直线，当时，有最大值，．
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
20．（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．(1)求的面积；(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)6(2)存在，
【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质，
根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则，，利用三角形面积公式求解即可；联立方程求得点，利用勾股定理即可求得．连接、，结合对称性可知，则、、三点共线时，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为：，利用对称轴即可求得点P．
【详解】（1）解：令，即，解得或
∴，，则，当时，，
∴，，∴．
（2）存在这样的点，理由如下，联立，解得或，∴，
∵，∴．连接、，如图，则
∵∴．∴当、、三点共线时，有最小值，
设直线的解析式为：，则，解得，
则直线的解析式为：，∵时，，∴．
21．（23-24九年级·河北承德·期末）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线 (1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；(2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值．
【答案】(1)，，(2)或0或1或2
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）根据解析式可求出的最高点坐标为，再由待定系数法求出函数表达式，求出a和c即可；（2）将点A、D的坐标分别代入的函数表达式，求出n即可．
【详解】（1）解：∵，∴的最高点坐标为；
由题意得：点A、D的坐标分别为：，
将点D的坐标代入函数的表达式得：．解得：，
∴的表达式为：，当时，；
（2）解：由（1）得：，∴的函数表达式为：，
∵点A、D的坐标分别为：，将点A、D的坐标分别代入的函数表达式得：
，解得：，，解得：，
∴当时，羽毛球沿路线飞行落在之间，
∴符合条件的n的整数值为或0或1或2．
22．（23-24九年级·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点．(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积．
【答案】(1)(2)点、点均在该抛物线上(3)；9
【分析】（1）将点和点代入抛物线，求出、的值即可得到抛物线对应的函数解析式；（2）由坐标两点距离公式可得，再根据菱形的性质，得到，进而得出点、点的坐标，即可求解；（3）利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，设过点且平行于的直线的解析式为，联立直线与抛物线，得到关于的一元二次方程，在利用一元二次方程根的判别式，得出当时，过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大，进而得出点的坐标，然后根据的最大面积，即可求解．
【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得：
，解得：，抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：点、点均在该抛物线上，理由如下：，，．
∵四边形是菱形，，，，．
当时，；
当时，．∴点、点均在该抛物线上．
（3）解：设直线的解析式为．∵直线经过点和点，
，解得，∴直线的解析式为．
是定值，∴要使的面积最大，则当点到距离最大时，面积最大，
如图，过点作轴，垂足为点，设过点且平行于的直线的解析式为，
联立方程组，得，消去，整理得．
当直线与抛物线在点处相切时，，解得，
此时方程有两个相等的实数根，
此时过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大，
∴当时，，∴点的坐标为，
的最大面积
．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
23．（23-24九年级·吉林·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．(1)求抛物线的解析式；(2)当二次函数的值大于时，结合图象，直接写出自变量的取值范围；(3)点为轴负半轴上一点，点的纵坐标为．过点作轴的平行线交抛物线于点，（点在点的左边），判断与的数量关系，并说明理由；(4)在（）的条件下，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，若，请直接写出的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)或；(3)，理由见解析；(4)的值为或．
【分析】（）把，代入即可求解；（）当时，，解出方程，再根据图象即可求解；（）由题意得：点，点的纵坐标为，当时，，即，则有，，然后用两点间的距离即可求解；
（）分当在对称轴左侧，即，此时时， 关于直线的对称点为，当，时，当，即时三种情况，再根据图象及性质即可求解；
本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想和方程思想的应用．
【详解】（1）把，代入得，
解得，∴抛物线的解析式为；
（2）由（）得抛物线的解析式为，
当时，，解得：，，
∴二次函数的值大于时，根据图象可知自变量的取值范围为或；
（3），理由：如图，
由题意得：点，点的纵坐标为，∴当时，，即，
解得：，，∴，，∴，，∴；
（4）∵，∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，由（）可得，∵在此抛物线上，其横坐标分别为，，
∴，，
当在对称轴左侧，即，此时时，
则，，
∴，解得(舍去)或；
关于直线的对称点为，当，时，
则，，
∴，解得（舍去）或 （舍去）；
当，即时，
则，，
∴，解得或 （舍去）；
综上所述，的值为或。
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