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第2章 简单事件的概率
题型1.事件的分类 1
题型2.可能性的大小 3
题型3.简单概率的计算 3
题型4.几何概率 4
题型5.游戏的公平性 6
题型6.概率在比赛中的运用 9
题型7.概率在抽奖中的运用 11
题型8.概率的其它实际应用 14
题型9.用频率估计概率 17
题型10.概率与统计的综合 19
专项训练 23
题型1.事件的分类
1.（23-24九年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
2.（23-24九年级·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件
B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件
C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件
D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件
3.（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
题型2.可能性的大小
1.（23-24九年级·江苏南京·期中）九年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
2.（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（23-24九年级·四川达州·期末）不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最小．
题型3.简单概率的计算
1.（23-24九年级·四川绵阳·期末）在，，，四个数中任取其中两个数相乘，乘积为有理数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是 ．
3.（23-24九年级·四川南充·期末）如图，有4张除图案不同外其余完全相同的卡片，现将这些卡片有图案的一面朝下洗匀，随机抽取1张，抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率为 ．
题型4.几何概率
1.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·山东临沂·一模）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级·山西大同·期末）如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型5.游戏的公平性
1.（23-24九年级·新疆吐鲁番·期末）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率．
(2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
2.（23-24九年级·海南儋州·期末）某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人．(1)若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 ；(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
3.（23-24九年级·广东韶关·期末）一个不透明的袋中装有3个小球，分别标有数字、、，这些小球除所有标数字不同外，其余完全相同，小明从中任意摸出一球，所标数字记为，另有4张背面完全相同，正面分别标有数字3、、、5的卡片，小亮将其混合后，背面朝上放置于桌面，并从中随机抽取一张，卡片上的数字记为．(1)若以为横坐标，为纵坐标，求点落在第二象限的概率（要求用列表法或树状图求解）；(2)小明和小亮做游戏，规则是若点落在第二象限，则小明赢；若落在第三象限，则小亮赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
题型6.概率在比赛中的运用
1.（23-24九年级·浙江·期中）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．
(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大
2.（23-24九年级·四川眉山·期末）学校“艺术节”期间，初三一班的小明、小亮都想去参加歌唱比赛，但每个班只有一个名额．他们决定采用摸球的办法确定谁去．规则如下：将四个完全相同的乒乓分别标注数字1、2、3、4放在一个不透明的盒子里，随机摸出一个球不放回；再随机摸出一个．如果摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．(1)请用列表或画树状图的方法求出摸出的两个球上的数字之和为奇数的概率；(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由．
3.（23-24九年级·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入．
(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；
(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．
(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，九年级80人，九年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．
题型7.概率在抽奖中的运用
1.（23-24九年级·山西长治·阶段练习）综合与实践
【问题再现】(1)有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
2.（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．
(1)在图1转盘中转出数字6的概率为________．
(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
3.（23-24九年级·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校九年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
题型8.概率的其它实际应用
1.（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
2.（23-24九年级·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
3.（23-24九年级·江西吉安·期末）某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取．
(1)求小敏与小明均取到奖品A的概率；(2)求小川得到两件奖品的概率．
题型9.用频率估计概率
1.（23-24九年级·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
2.（23-24九年级·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）
A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是
B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一
3.（23-24九年级·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：
移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000
成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915
成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861
在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵.
题型10.概率与统计的综合
1.（23-24九年级·江苏苏州·期末）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
2.（2024·四川成都·一模）成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
类别 时长（单位：小时） 人数
A 4
B 20
C
D 8
根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为 ，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是 °．
(2)该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数；(3)本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
3.（2024·宁夏银川·三模）某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩x
A
B
C
D
E
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，补全学生成绩频数分布直方图；
(2)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
(3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出全是女学生的概率．
选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
2．（23-24九年级·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（ ）
A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数
C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数
3．（23-24九年级·山东滨州·期末）“从一个布袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为”的意思是（ ）
A．布袋中有1个红球和5个其它颜色的球
B．摸球6次就一定有1次摸中红球
C．如果摸球次数很多，那么平均每摸球6次就有1次摸中红球
D．布袋中共有6个红球，从中摸到了一个红球
4．（23-24九年级·山东·期末）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（ ）
A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃
B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上
C．从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字
D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
5．（23-24九年级·山东东营·期末）小鸡孵化场孵化出只小鸡，在只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出只，其中左右记号的大约是（ ）
A．只 B．只 C． 只 D．只
6．（23-24九年级·全国·单元测试）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（ ）.
A． B． C． D．
7．（23-24九年级·山东青岛·期末）“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24·河南·二模）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24九年级·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（23-24九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
二．填空题（共6小题）
11．（23-24九年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ．
12．（23-24九年级·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润）
沃柑总质量 … 100 200 300 400 500
损坏沃柑质量 …
沃柑损坏的频率（精确到0.001） …
13．（23-24九年级·辽宁铁岭·期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ．
14．（23-24·河南新乡·三模）小月、小梅两位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随意落座，则小月坐在小梅正对面的概率是 ．
15．（23-24九年级·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
16．（23-24·上海·二模）定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是 ．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24九年级·广东揭阳·期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．从口袋中任意取出一个球，是一个白球；从口袋中一次任取个球，全是蓝球；
从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．
18．（23-24九年级·江苏淮安·期末）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷． 为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有三个出入闸口， 分别记为A，B，C．
(1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是 ；
(2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率．
19．（23-24九年级·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．
(1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______．
(2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？
20．（23-24九年级·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
21．（23-24九年级·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校九年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
22．（23-24九年级·江苏常州·期末）常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点．(1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ；
(2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）
23．（23-24九年级·山东济南·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．
(1)通过观察图形得到 ；(2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明．
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第2章 简单事件的概率
题型1.事件的分类 1
题型2.可能性的大小 3
题型3.简单概率的计算 3
题型4.几何概率 4
题型5.游戏的公平性 6
题型6.概率在比赛中的运用 9
题型7.概率在抽奖中的运用 11
题型8.概率的其它实际应用 14
题型9.用频率估计概率 17
题型10.概率与统计的综合 19
专项训练 23
题型1.事件的分类
1.（23-24九年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】事件：人中至少有人性别相同是必然事件，
事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数是随机事件，
∴事件是必然事件，事件是随机事件，故选：．
2.（23-24九年级·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件
B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件
C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件
D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件
【答案】D
【分析】利用随机事件以及必然事件的定义对各选项进行判断得出答案．
【详解】解：A、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故此选项正确，不符合题意；
B、“三角形的一条中线平分三角形的面积”正确，故此选项正确，不符合题意；
C、“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件，比如三条长度为3，4，5的可以构成三角形，三条长度为1，2，3不可以构成三角形，故此选项正确，不符合题意；
D、“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是随机事件，如果两边夹角，即，那么两个三角形全等，如果两边不夹角，那么两个三角形不全等，故此选项错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了必然事件和随机事件的定义，正确把握相关事件的定义是解题的关键．
3.（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【分析】本题考查事件分类的判断，根据题意及事件的分类进行判定即可．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；故选：B．
题型2.可能性的大小
1.（23-24九年级·江苏南京·期中）九年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
【答案】③
【分析】分别求出三个事件的可能性，再比较大小即可得到答案．
【详解】解：①抽到的学号是奇数的可能性为；②抽到的学号是个位数的可能性为；
③抽到的学号不小于35的可能性为，
，发生可能性最小的事件为为③，故答案为：③．
2.（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论．
【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数
由各选项可知，只有D选项符合 故选D．
【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键．
3.（23-24九年级·四川达州·期末）不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最小．
【答案】黄
【分析】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目．分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性最小．
【详解】解：因为袋子中有4个红球、3个黄球和5个蓝球，从中任意摸出一个球，
①为红球的概率是；②为黄球的概率是；③为蓝球的概率是．
，∴可见摸出黄球的概率最小．故答案为：黄．
题型3.简单概率的计算
1.（23-24九年级·四川绵阳·期末）在，，，四个数中任取其中两个数相乘，乘积为有理数的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的乘法运算和概率的计算，关键在于计算要准确，并明确概率＝所求情况数与总情况数之比．分别取出两数，求出两数的乘积，根据概率的求法，即可得答案．
【详解】解：在，，，四个数中任取其中两个数相乘，
则分别为，乘积为无理数；，乘积为无理数；
，乘积为有理数；，乘积为有理数；
，乘积为无理数；，乘积为无理数；
所以乘积为正有理数的概率等于 ．故选：B．
2.（23-24九年级·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率，根据题意和概率公式即可得，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：∵每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒，
∴当小明到达该路口时，遇到红灯的概率：，故答案为：．
3.（23-24九年级·四川南充·期末）如图，有4张除图案不同外其余完全相同的卡片，现将这些卡片有图案的一面朝下洗匀，随机抽取1张，抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了概率公式和正方体展开图，能围成正方体的有种，再根据概率公式进行计算,即可得出答案，解题的关键是掌握概率的计算公式．
【详解】如图可得到，除了第三个图外，剩下的个图都能围成正方体，
故随机抽出一张，上面的图案能够围成一个正方体的概率是，故答案为：．
题型4.几何概率
1.（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，连接正六边形的对角线，，交对角线于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查几何概率的知识，根据阴影部分面积占正六边形面积的比例得出概率是解题的关键，将对角线和的中点连接，设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为，利用几何概率即可求得答案．
【详解】解：作如图所示连接，
设的面积为a，则正六边形的面积为，阴影的面积为，
那么，一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是．故选∶D．
2.（2024·山东临沂·一模）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出黑色区域的面积与整个图形面积的比，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：根据题意得：，黑色区域的面积，
飞镖落在黑色区域的概率为；故选：．
【点睛】此题考查了几何概率，首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
3.（23-24九年级·山西大同·期末）如图，的面积为平分，垂足为，连接，若三角形内有一点，则点落在内（包括边界）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形，三角形的面积，概率．熟练掌握全等三角形的性质和判定，三角形的面积公式，概率公式，是解决问题的关键．
由角平分线和垂线证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，根据面积概率可得的答案．
【详解】延长交于E，∵平分，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，，∴，
∴点M落在内（包括边界）的概率为，．故选：A．
题型5.游戏的公平性
1.（23-24九年级·新疆吐鲁番·期末）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率．
(2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
【答案】(1)；(2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析．
【分析】（）列出表格，根据表格即可求解；（）分别求出和为奇数和偶数的概率即可判断求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：列表如下：
由表可知，共有种等结果，其中和为的结果有种，∴这两数和为的概率为；
（2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：由表可得，，，
∵，∴这个游戏规则对双方不公平．
2.（23-24九年级·海南儋州·期末）某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人．(1)若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 ；(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【答案】(1)(2)游戏不公平，见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能的结果数和牌面数字之和为偶数的结果数，进而利用概率公式求出即可．
【详解】（1）解：共20名志愿者，女生5人，选到女生的概率是：；
（2）解：不公平，根据题意画树状图如图：
由图可知，所有可能的结果共有9种情况，和为偶数的情况有5种，
牌面数字之和为偶数的概率是，甲参加的概率是，乙参加的概率是，
∵，这个游戏不公平．
3.（23-24九年级·广东韶关·期末）一个不透明的袋中装有3个小球，分别标有数字、、，这些小球除所有标数字不同外，其余完全相同，小明从中任意摸出一球，所标数字记为，另有4张背面完全相同，正面分别标有数字3、、、5的卡片，小亮将其混合后，背面朝上放置于桌面，并从中随机抽取一张，卡片上的数字记为．(1)若以为横坐标，为纵坐标，求点落在第二象限的概率（要求用列表法或树状图求解）；(2)小明和小亮做游戏，规则是若点落在第二象限，则小明赢；若落在第三象限，则小亮赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)公平，理由见解析
【分析】本题主要考查了列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．
（1）根据题意作出树状图，根据树状图求解即可；
（2）结合柱状图求出落在第三象限的概率，然后即可获得答案．
【详解】（1）（1）列树状图如下，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，符合条件的情况有4种，
所以；
（2）公平，理由如下：由（1）树状图可得，，
，所以游戏公平．
题型6.概率在比赛中的运用
1.（23-24九年级·浙江·期中）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．
(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大
【答案】(1)(2)小玲胜小军的概率是(3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大
【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可；
（2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率；
（3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：
共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个，
所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是；
（2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为；
（3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜，∴小玲胜小军的概率是；
②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜，∴小玲胜小军的概率是；
③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜，小玲胜小军的概率是；
④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜，∴小玲胜小军的概率是；
∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．
【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键．
2.（23-24九年级·四川眉山·期末）学校“艺术节”期间，初三一班的小明、小亮都想去参加歌唱比赛，但每个班只有一个名额．他们决定采用摸球的办法确定谁去．规则如下：将四个完全相同的乒乓分别标注数字1、2、3、4放在一个不透明的盒子里，随机摸出一个球不放回；再随机摸出一个．如果摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．(1)请用列表或画树状图的方法求出摸出的两个球上的数字之和为奇数的概率；(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)不公平，理由见解析
【分析】对于（1），列表表示出所有可能出现的结果，再根据概率公式得出答案；
对于（2），求出两个球上的数字之和是偶数的概率，比较得出答案．
【详解】（1）列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，两个数之和是奇数的有8种，所以两个数之和是奇数的概率是．
（2）游戏不公平，理由如下：小明获胜的概率是，小亮获胜的概率是，
由，所以游戏不公平．
【点睛】本题主要考查了列表（树状图）求概率，掌握概率公式是解题的关键．
3.（23-24九年级·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入．
(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；
(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．
(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，九年级80人，九年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)九年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可．
【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，
∴甲从A口进入，C口离开的概率为；
（2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，
∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为．
（3）九年级走E出口，八九年级走C、D出口．
理由：因为九年级80人，九年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按九年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开．
题型7.概率在抽奖中的运用
1.（23-24九年级·山西长治·阶段练习）综合与实践
【问题再现】(1)有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
【答案】(1)P（蓝色区域），P（橙色区域）(2)见解析(3)29元
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）将转盘均分成份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解；（3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解．
【详解】（1）解：根据几何概率的意义可知，P（蓝色区域），P（橙色区域）．
（2）解：根据题意，将转盘均分成份，
则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份；
如图所示：（答案不唯一）；
（3）解：由题意，得：转动1次的平均数为（元）；
答：转动1次所获购物券的平均数是29元．
【点睛】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键．
2.（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．
(1)在图1转盘中转出数字6的概率为________．
(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
【答案】(1)(2)小颖的观点是对的，理由见解析
【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键．
（1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可；
（2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论．
【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种，
∴P（转出数字6） 故答案为：；
（2）小颖说法正确，理由：小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是，
小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是，
P（转出红色），P（转出数字小于7）（转出红色），小颖的观点是对的．
3.（23-24九年级·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校九年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算即可；（2）把其中3个扇形标A即可．
【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同，∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是；
（2）∵每个展馆都有被选中的机会，∴先将每个展馆都填在一个区域内，
又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，∴剩下的两个区域都填上即可，如图所示：
指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
题型8.概率的其它实际应用
1.（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.
【详解】画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 .
【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
2.（23-24九年级·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【答案】(1)(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
3.（23-24九年级·江西吉安·期末）某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取．
(1)求小敏与小明均取到奖品A的概率；(2)求小川得到两件奖品的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据题意画出树状图，确定所有可能数和满足题意得可能数，然后根据概率公式计算即可；
（2）由题意可知：当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品，然后再根据（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种，然后运用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中小敏与小明均抽到奖品A的情况有2种，故所求概率为：．
（2）解：由题意可知当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品，
由（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种．
故小川得到两件奖品的概率为：．
【点睛】本题主要考查了列树状图求概率、互斥事件等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
题型9.用频率估计概率
1.（23-24九年级·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
【答案】C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意．
【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
2.（23-24九年级·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）
A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是
B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一
【答案】D
【分析】试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一．
【详解】小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误；
小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B错误；
小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误；
小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事发生的概率是．
3.（23-24九年级·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：
移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000
成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915
成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861
在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵.
【答案】 0.86 5
【分析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
（2）利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案．
【详解】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86．
（2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定．
当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86，
则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
题型10.概率与统计的综合
1.（23-24九年级·江苏苏州·期末）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
【答案】(1)补图见解析；(2)36°；(3).
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图；
（2）可求出D所占百分比，进而求得扇形统计图中，D类所占圆心角；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是男一女的情况再利用概率公式即可求得答.
【详解】解：(1)补全条形统计图:
(2)36°;
(3)树状图如下：
所选的两位同学恰好是一男一女的概率为.
【点睛】本题考点是条形统计图、扇形统计图以及用列表法与树状图法求概率，熟练掌握知识点，并会灵活运用是解题的关键.
2.（2024·四川成都·一模）成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
类别 时长（单位：小时） 人数
A 4
B 20
C
D 8
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为 ，扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是 °．
(2)该校共有1200名学生，请你估计类别为C的学生人数；
(3)本次调查中，类别为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行阅读交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
【答案】(1)50人；144．(2)432人．(3)
【分析】本题主要考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用D类的人数除以其对应的百分比即可解答；用B类所占的比例乘以即可求得B类扇形所占的圆心角；（2）先求出C类的人数，然后用学生数乘以C类所占的比例即可解答；
（3）先列表求得所有等可能结果数和两名都是女生的结果数，然后运用概率公式求解即可；
【详解】（1）解：本次调查的学生总人数为（人）．
扇形统计图中B类扇形所占的圆心角是．故答案为：50人；144．
（2）解：调查的C类学生数有：
（人）．∴估计类别为C的学生人数约432人．
（3）解：根据题意列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有2种，
∴恰好抽到两名女生的概率为．
3.（2024·宁夏银川·三模）某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
等级 成绩x
A
B
C
D
E
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，补全学生成绩频数分布直方图；
(2)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？
(3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出全是女学生的概率．
【答案】(1)200，图见解析(2)940人(3)
【分析】（1）先根据等级B的的人数和所占百分比求出本次调查的人数，进而求出A和C的人数，然后补全频数分布直方图即可；（2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案．
（3）根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可．
【详解】（1）根据题意，得等级B的学生人数为：40人，等级B的学生人数占比为： ，
∴本次调查随机抽取的学生总数为：（人），
∵等级A的学生人数占比为：，∴等级B的学生人数为：（人)，即 ，
∴等级C的学生人数为：(人)，频数分布直方图如下：
故答案为：；
（2）成绩在80分及以上的学生人数占比为： ，
∴全校学生成绩优秀的学生人．
（3）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能得结果，其中全是女学生的结果有2种，
所以全是女学生的概率．
【点睛】本题考查了调查统计的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解．
选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】事件：人中至少有人性别相同是必然事件，
事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数是随机事件，
∴事件是必然事件，事件是随机事件，故选：．
2．（23-24九年级·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（ ）
A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数
C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数
【答案】C
【分析】根据可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的求解即可．
【详解】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8张；
B、卡片上的数字是2的倍数有：，，，，，，，，，，共10张；C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张；
D、卡片上的数字是3的倍数有：，，，，，，共6张．
∵，∴卡片上的数字是合数可能性最大．故选：C．
【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
3．（23-24九年级·山东滨州·期末）“从一个布袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为”的意思是（ ）
A．布袋中有1个红球和5个其它颜色的球
B．摸球6次就一定有1次摸中红球
C．如果摸球次数很多，那么平均每摸球6次就有1次摸中红球
D．布袋中共有6个红球，从中摸到了一个红球
【答案】A
【分析】根据概率的意义、概率公式逐项判断即可得．
【详解】解：A、布袋中有1个红球和5个其它颜色的球，摸出1个球恰好是红球的概率为，则此项正确，符合题意；B、由于红球的个数不确定，摸球6次不一定有1次摸中红球，则此项错误，不符合题意；
C、由于红球的个数和球的总个数不确定，如果摸球次数很多，那么平均每摸球6次不一定有1次摸中红球，则此项错误，不符合题意；
D、由于布袋中共有6个红球，是否有其他球不确定，或是只有红球，所以概率为不确定或1，则此项错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式即可得．
4．（23-24九年级·山东·期末）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（ ）
A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃
B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上
C．从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字
D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数
【答案】C
【分析】本题考查了频率估计概率，根据大量的实验后，事件发生的频率逐步稳定在一个固定值的附近，这个固定值大致约等于这个事件发生的概率，观察图象，找出四个选项中的概率为左右的符合条件，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、一副扑克牌去掉大小王后， 从中任抽一张牌是红桃的概率是，不符合题意；
、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是，不符合题意；
、从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字的概率是，符合题意；
、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，不符合题意；故选：．
5．（23-24九年级·山东东营·期末）小鸡孵化场孵化出只小鸡，在只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出只，其中左右记号的大约是（ ）
A．只 B．只 C． 只 D．只
【答案】A
【分析】先计算出做记号的小鸡概率为=，再任意抓出50只，则其中做有记号的大约是×50=3只．
【详解】解：小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，则做记号的小鸡概率为=，再任意抓出50只，其中做有记号的大约是×50=3只．故选A．
6．（23-24九年级·全国·单元测试）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可．
【详解】解：如图所示，点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能，
故恰好使△ABC的面积为1的概率为：.故本题正确答案为C.
7．（23-24九年级·山东青岛·期末）“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形，设大正方形的边长为，
∴大正方形的对角线长为，面积为，∴阴影部分的边长为，
∴，∴(该点取到阴影部分)，故选：A．
8．（23-24·河南·二模）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图得到所有的组合情况，只有C卡片正面是轴对称图形，找出没有轴对称图形的情况，用概率公式计算即可求解．
【详解】把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，如图：
共有12种情况，都是等可能性，这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的情况有6种（只有C卡片正面是轴对称图形），则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是．故选：A．
9．（23-24九年级·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．
【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．
由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7；
由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6；
由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5；
由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3，
因为甲手中的数字可能是4和8，5和7；所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B．
【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．
10．（23-24九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
【答案】D
【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断．
【详解】解：①若两次求助都用在第1题，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1，
因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
②若在第1第2题各用一次求助，
假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况：
第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是，
第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是，
第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是，
因此第一题答对的概率为：，
第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为，
故此时该选手通关的概率为：；
③两次求助都用在第2题，
画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，
共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：.
∵ ，∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大，故选：D．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24九年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键．由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根．
【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜，
∴小明先取，第一次取走2根，故答案为：2．
12．（23-24九年级·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润）
沃柑总质量 … 100 200 300 400 500
损坏沃柑质量 …
沃柑损坏的频率（精确到0.001） …
【答案】
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键．
从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案．
【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为，设每千克沃柑的实际售价定为元，
则有，解得，
所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润．故答案为：．
13．（23-24九年级·辽宁铁岭·期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ．
【答案】0.5/
【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率．
【详解】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，
设鲫鱼的条数为x，可得： ；解得：x=500，
经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义
∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为:，故答案为：0.5.
【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由鱼的数量和鲫鱼出现的频率可以计算出草鱼的数量,进而估算出捕捞到草鱼的概率．
14．（23-24·河南新乡·三模）小月、小梅两位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随意落座，则小月坐在小梅正对面的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列举求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．根据题意画出树状图，找到所有可能结果和符合条件的结果，利用概率公式求解即可．
【详解】解：设四个座位，正对面的分别为①和②，③和④，根据题意画出树状图如下，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小月和小梅坐正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种，∴小月坐在小梅正对面的概率为．故答案为：．
15．（23-24九年级·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
16．（23-24·上海·二模）定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是 ．
【答案】
【分析】按照定义将数据依次代入进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率.
【详解】当n=0时，，不是连加进位数，
当n=1时，，不是连加进位数，
当n=2时，，不是连加进位数，
当n=3时，，是连加进位数，
故0到9中，0、1、2不是连加进位数；
当n=10时，，不是连加进位数，
当n=11时，，不是连加进位数，
当n=12时，，不是连加进位数，
当n=13时，，是连加进位数，
故10到19中，10、11、12不是连加进位数；
以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个，故取到“连加进位数”的概率是.
【点睛】本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键.
三．解答题（共7小题）
17．（23-24九年级·广东揭阳·期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．从口袋中任意取出一个球，是一个白球；从口袋中一次任取个球，全是蓝球；
从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．
【答案】不确定事件；不可能事件；必然事件
【分析】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、篮球或白球，即可判断；
（2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，即可判断；
（3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，即可做出判断．
【详解】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、蓝球或白球，所以这个事件是不确定事件；
（2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，所以这个事件是不可能事件；
（3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，因此这个事件是必然事件．
18．（23-24九年级·江苏淮安·期末）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷． 为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有三个出入闸口， 分别记为A，B，C．
(1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是 ；
(2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵有A，B，C三个闸口，
∴一名乘客通过此地铁闸口时，选择B闸口通过的概率为，故答案为：；
（2）解：根据题意画图如下：
共有9种等可能情况，其中两名乘客选择不同闸口通过的有6种，
．
19．（23-24九年级·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．
(1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______．
(2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，频率与概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（1）利用频率估计概率，再计算面积即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，故答案为：
（2）画树状图如图：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的有3种结果，
所以恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为
20．（23-24九年级·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【答案】(1)(2)甲
【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论．
【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：
共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种，
所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为．
（2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：
共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种，
根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人．
【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
21．（23-24九年级·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校九年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算即可；（2）把其中3个扇形标A即可．
【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同，∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是；
（2）∵每个展馆都有被选中的机会，∴先将每个展馆都填在一个区域内，
又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，∴剩下的两个区域都填上即可，如图所示：
指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
22．（23-24九年级·江苏常州·期末）常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点．(1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ；
(2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）
【答案】(1)；(2)．
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用画树状图或列表法求概率．
（1）根据题意可知共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况，然后根据概率公式计算概率即可．（2）列出表格，得出总的情况数，再得出小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果数，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】（1）解：∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况∴在这三站中，小张随机选取的站是森林公园站的概率是；
（2）列表如下：
A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
∴共有9种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果有4种，∴小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率为．
23．（23-24九年级·山东济南·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．
(1)通过观察图形得到 ；(2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明．
【答案】(1)(2)可能性不同，见解析
【分析】本题通过七巧板考查正方形的性质，勾股定理，几何概率，理解题意，发现与图1中的正方形对角线间的关系，以及掌握几何概率公式是解题的关键．
（1）观察可以发现正好等于正方形的对角线长，利用勾股定理求出对角线长即可；
（2）根据几何概率公式分别求出它停在“台灯”上与空白区域的概率，即可作出判断．
【详解】（1）解：对比图2与图1，可以发现正好等于正方形的对角线长，
∵正方形的边长为，∴对角线长为，故答案为：，
（2）解：不相同．说明：∵，∴，
∴(它停在“台灯”上），它停在空白区域，
，∴它停在“台灯”上与空白区域的可能性不相同
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