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第3章 圆的基本性质
题型1.垂径定理的应用 1
题型2.弧、弦、圆心角的关系 3
题型3.圆周角定理及其推论的应用 6
题型5.正多边形和圆的有关计算 11
题型6.正多边形中的规律探究性问题 13
题型7.圆锥侧面展开图的有关计算 16
题型8.不规则图形面积的计算 19
题型9.利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题 23
专项训练 26
题型1.垂径定理的应用
1.（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？
【答案】这根圆形木材的直径为26寸
【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
【详解】解：由题可知，∵为半径，∴尺寸，
设，∵，∴，
在中，由勾股定理得，解得，
∴这根圆形木材的直径为26寸．
2.（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
【答案】该圆材的直径为20寸
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点作 于点，交于点，连接，设半径为，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而求得圆的直径．
【详解】解：设该圆材的半径为寸．
如图所示，过点作 于点，交于点，连接，
则寸，设寸，尺寸，所以 寸．
在中， 即 解得，
则，即该圆材的直径为寸．
3.（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为桌面截线，水面截线，直径一端点B刚好与点N重合，．
(1)计算的长度，并比较直径与长度的大小；(2)请在图中画出线段，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．
【答案】(1)的长度为；直径小于长度(2)水的最大深度为
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，含30度角的直角三角形，弧长公式．
（1）连接，由，，求出，根据弧长公式即可求解；
（3）过点O作交于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，由，求出，再根据即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接．
，，，
，，直径小于长度；
（2）解：如图，过点O作交于点C，
在中，，，
，，
，水的最大深度为．
题型2.弧、弦、圆心角的关系
1.（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；(2)连接 作直线求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得；（2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵，∴∴，即．∴．
（2）证明：连接
∵∴ ∴ ∴
∵∴E、O都在的垂直平分线上． ∴
2.（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得．
【详解】证明：连接．
在中， ，，
，、分别是半径和的中点，，
，，．
3.（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．
(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析；(3)．
【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证；
（）．由（）得，，再利用即可求证；
（）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，∴，即，
∴，即，∴；
解：．
证明：由（）得，，
在和中，，∴；
（3）解：如图，连接，
∵，∴，同理（）可得，
∴为等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
设，，在中，由勾股定理得，
∴，又∵的面积为，∴，
∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键．
题型3.圆周角定理及其推论的应用
1.（2024·贵州遵义·三模）如图，是的外接圆，D是弧的中点，连接，，．平分交于点E．(1)写出图中一个与相等的角______；
(2)试判断的形状，并说明理由；(3)若的半径为，，求的长．
【答案】(1)（或或）；(2)是等腰三角形，理由见解析(3)
【分析】（1）根据题意得,则，
（2）根据题意得,则，由角平分线的，结合和，则，故；
（3）连接OD，交AC于点F，连接OA．由题意得，，则，在中，结合即可。
【详解】（1）解：∵D是弧的中点，∴,∴，
故答案为：（或或）；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵点D是的中点，∴，∴，又∵CE平分，∴，
在中，，∵，∴，
∴，即是等腰三角形．
（3）解：连接OD，交AC于点F，连接OA．如图，
∵，D是弧AC的中点，∴，，
∵，∴，在中，，
∴，又，∴。
2.（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．（1）若，则的度数为 ；（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】 6
【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可；
（2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到．
【详解】解：（1）如图，连接，
是弦的弦心距，，
和都是等腰直角三角形，
∵，，故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线， ，在中，，
由勾股定理得，，
∵是的直径，∴，，
∵∴，，故答案为：6．
3.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，弦分别交于点F，G，且，连接．(1)设，用含的式子表示的度数；(2)求证：；
(3)若的半径为1，记的面积分别为，，S，设，，且满足，求a，b的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)，．
【分析】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程；
（1）连接，由是的直径可得，则，即可得到，根据计算即可；（2）把顺时针旋转，则与重合，即可得到，得到，，则，再证明得到，即可得到；
（3）连接，则，即可表示出，，S，再结合（2）中结论代入计算即可．
【详解】（1）连接，，
∵是的直径，点C是的中点，∴，，∴，
∵，∴，
∴；
（2）把顺时针旋转，点对应点，连接，则，
∵，∴与重合，∴，
∴，，，
∴，∴，
∵，，∴，
∵，，∴，∴，∴；
（3）∵的半径为1，∴，∵点C是的中点，∴，
∵，，∴，
∴，，，
由（2）可得，，，
∴，，
∵,∴，∴，
∵，∴，
整理得，即，∴∴，即
∵，∴，∴
整理可得，解得，∵，∴，∴．
题型4.巧用圆内接四边形的性质求解
1.（2024·福建泉州·模拟预测）已知，为的位于圆心两侧的两条弦，且．
(1)如图1，连接，．求证：．
(2)如图2，过点作的垂线交于点．若在上取一点，使得．求证：，，三点共线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）连接、，由可得，根据圆内接四边形的性质得，可得，即可得；
（2）连接，由可得，则，根据圆内接四边形的性质得，可得，可得，则，，即可得经过圆心．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等，合理添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明： ，，
，，；
（2）如图2，连接，，，， ， ，，
，，，
，，，经过圆心．∴，，三点共线
2.（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆与内接四边形的综合，掌握内接四边形的性质，直径所对圆周角是直角的知识是解题的关键．
根据均是上的点，可得四边形是内接四边形，则，由此可求出的度数，根据是的直径，可得，由此即可求解．
【详解】解：均是上的点，
∴四边形是内接四边形，∴，
∵，∴，∴，
∵是的直径，∴，
∴，故选：B．
3.（2024·吉林白城·模拟预测）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，若，则 °．
【答案】110
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质定理，轴对称的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质定理及轴对称的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质定理可得，再根据轴对称的性质即得答案．
【详解】四边形是圆内接四边形，，
，
点D关于的对称点E在边上，，．故答案为：110．
题型5.正多边形和圆的有关计算
1.（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分．(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）；②求证：是①所作圆的切线．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论；
【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴．∴．∴是等边三角形，
∴．∴点H，G三等分．
（2）①解：如图，即为所求作．
②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则．
由（1）知，，∴．
∵，，∴．∴是①所作圆的切线．
2.（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键．
先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出．
【详解】解：正五边形内接于，，
四边形是内接四边形，，
，故选：D．
3.（23-24九年级·浙江金华·期中）如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点．若的半径为1，(1)求的长；(2)求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）连接，，与交于点，先根据正八边形和圆的性质求出的值，再根据特殊角三角函数值求出的长即可；（2）再根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图，连接，，与交于点，
由题意可知，，，
∵多边形是正八边形，∴，∴，
∴，∴；
（2）∵所对的圆心角为，∴所对的圆周角为，
∵，∴．
题型6.正多边形中的规律探究性问题
1.（2024·湖南湘西·中考真题）观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，；
（2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；……
根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是 ．
【答案】 ，
【分析】根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得出正n边形的结论．
【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AC，∠CAM=∠ABN=，
∵在△ABN和△CAM中，，∴△ABN≌△CAM（SAS），
∴AN= CM，∠BAN=∠MCA，∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°，
故结论为：AN= CM，∠NOC=60；
（2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AD，∠DAM=∠ABN=，
同理可证：Rt△ABNRt△DAM，∴AN= DM，∠BAN=∠ADM，
∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°，
故结论为：AN= DM，∠NOD=90；
（3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=，
同理可证得：Rt△ABNRt△EAM，∴AN= EM，∠BAN=∠AEM，
∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，故结论为：AN= EM，∠NOE=108；
∵正三角形的内角度数为：60°，正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
在正n边形中，点M，N是上的点，且，与相交于O，结论为： ，．
故答案为： ，．
2.（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3 ，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ．
【答案】
【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证，得，再根据“等边对等角”得，于是可得，从而可证则，因此．
本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的关键综合运用这些性质解题．
【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图
由正多边形的性质知：∴∴
由得：∴即：
又∵∴∴
∴即：
∵∴ 故答案为：．
3.（23-24九年级·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【答案】(1)(2)，(3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析
【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可；（2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可；（3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，故答案为：；
（2）解：假设正方形边长1，∴此时正方形的内切圆半径为，∴；
设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则，
又∵，∴是等边三角形，∴，
∴，∴；
（3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1．
题型7.圆锥侧面展开图的有关计算
1.（2024·江苏盐城·三模）如图， ，点A、C分别在射线上， ．
(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；(2)将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
(3)求所得的劣弧与线段围成的封闭图形的面积．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了圆周角定理和扇形面积公式．
（1）过A、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作即可；
（2）先证明为等边三角形得到，，求出长，进而求出结论；
（3）先证明为等边三角形得到，，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧与线段、围成的封闭图形的面积进行计算．
【详解】（1）解：如图，过A、分别作、的垂线，它们相交于，然后以为半径作,
则即为所求；
（2）解：∵，，，
由作图知和分别是切线，
，，
为等边三角形， 则长为：，
所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径设为r，
，，则该圆锥的底面圆的半径设为；
（3）∵，，，
由作图知和分别是切线，
，，
为等边三角形，，，
，垂直平分，平分，，
，劣弧与线段、围成的封闭图形的面积
．
2.（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
(1)求阴影部分面积；(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【答案】(1)；(2)该圆锥的底面圆的半径是．
【分析】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径．
（1）是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积；
（2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径．
【详解】（1）解：连接，
∵，∴是圆O的直径，∴点A、O、B三点共线，∴，
又∵，∴，∵圆的直径为2，则，
故．∴；
（2）解：的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．
3.（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可；（2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解．
【详解】（1），，
，，扇形纸板的圆心角度数为；
（2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，
由（1）得，
彩带长度的最小值为．
题型8.不规则图形面积的计算
1.（23-24九年级·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，
∵则四边形是正方形，
，∴，，，
，在中，，
，，
，∴，
，，
，，故选：B．
2.（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键．
连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可．
【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N，
则∵，∴，，四边形是矩形
∵，D是的中点，∴
∴同理∴四边形是正方形
∴，由题可知，，∴
在与中，，∴
∴
∵∴故答案为
3.（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30(2)与相切，理由见解析(3)
【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；（3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：弦于，是的直径， ，，故答案为：30；
（2）解：与相切，理由如下：连接，如图所示：
弦于，是的直径，，，
，，，
，，，是的半径，与相切；
（3）解：是的直径，，
，，，，连接，如图所示：
点是的中点，，，是的中位线，
，，，，，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．
题型9.利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题
1.（23-24九年级·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．(1)求的度数；(2)求的长．(3)求点划过的路径长；(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，再由是等边三角形，利用等边三角形性质，结合三角形全等的判定得到，进而有，，再利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，且，即可得到答案；
（2）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到是等边三角形，从而确定；
（3）根据题意，把绕着点逆时针旋转得到，点划过的路径是，利用弧长公式代值求解即可得到答案；（4）由（1）的证明过程，结合旋转性质得到扫过的区域的面积，根据扇形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，
， 是等边三角形，，
，，
在和中， ，，，
在中，，，，则，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形，且，
；
（2）解：把绕着点逆时针旋转得到，则是等边三角形，；
（3）解：如图所示：把绕着点逆时针旋转得到，点划过的路径是，则长度为；
（4）解：由（1）的证明过程可知，，点划过的路径是，点划过的路径是，如图所示：由旋转性质可知， 扫过的区域的面积
．
2.（2024·江苏南通·一模）如图，已知正方形的边长为cm，将正方形在直线上顺时针连续翻转4次，则点所经过的路径长为 ( )
A．4πcm B．πcm C．πcm D．πcm
【答案】B
【分析】正方形 在直线上顺时针连续翻转4次，实际点经过的路径有三段，其中一段以为半径，圆心角为的弧长，另两段是以为半径，圆心角为的弧长，然后根据弧长公式计算．
【详解】解：点经过的路径如图
因为正方形 的边长为，所以，
所以点所经过的路径长．故选：B．
3.（2024·山东淄博·二模）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次
【分析】（1）据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出π=10×π+π，即可得出旋转次数．
【详解】解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10×π+π，∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，边经过点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上知识点；
由旋转的性质可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可得．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，
，，
，，，故选：A．
2．（23-24九年级·江苏南通·期末）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、垂线段最短，熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出是解题的关键．
当P为的中点时最短，则，由勾股定理求出的长；当P与A或B重合时，最长，得出的范围，再由为整数，得到所有可能的长即可．
【详解】解：连接，
当P为的中点时，则，由垂径定理得：，此时最短，
在中，，，由勾股定理得：，即的最小值为3，
当P与A或B重合时，最长，此时，
∵是弦上的动点（不含端点，）∴，
若线段的长度为正整数，∴或．
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个，故选：A．
3．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法计算
【答案】B
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，当点P与D重合时，最小，利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：如图，作点B关于的对称点C，连接交于点D，连接，则，；∵点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，
∴，，∴；
∵，∴当点P与D重合时，最小，最小值为线段的长；
在中，，由勾股定理得：，
即的最小值为；故选：B．
4．（23-24九年级·云南红河·期末）如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角，先求出，再由圆周角定理得出，最后由等边对等角即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，故选：A．
5．（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，将沿翻折，点A落在处，得到，点在上，根据，得到，根据，得到．
【详解】如图，沿翻折，点A落在处，
则，由对折知，，∴点在上，
∵，∴，∵四边形是的内接四边形，
∴，∴，故选：C．
6．（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为，
则，∴，
∴，故选：C．
7．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、弧长公式等知识点，能求出线段的长和的度数是解此题的关键．
解直角三角形求出，求出度数，从而求出度数，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，∴，
∵绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上，
∴，，∴是等边三角形，∴
∴，∴，
∴点C经过的路径长为：，故选：C．
8．（23-24九年级·山东聊城·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到，于是．
【详解】解：，，，．
又绕A点逆时针旋转后得到，，
．故选：B．
9．（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=，进而即可得解.
【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧，设与点O对应的点为F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示：由翻折的性质，得OB=BF，∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心∴OB=OF∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30°
∵OF⊥BC∴∵∴BG=CG=1.5∴
∵，OE⊥AB，OA=OB∴∠ABD=∠ADB=45°∴OE=EB=∴故选：A.
10．（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由平分可得，再由圆周角定理即可判断①；由①可得，由角平分线的定义、圆周角定理结合三角形外角的定义及性质证明，得到，即可判断②；令，则，此时，，，即，即可判断③；由，得，根据平分，得 ，从而利用直角三角形的两锐角互余得，即可判断④．
【详解】解： 平分，，∴，点是的中点，故①正确，符合题意；
，，，，
平分，，，，
，，，故②正确，符合题意；
是的直径，，∴，
令，则，此时，，，即，故③错误，不符合题意；∵，，∴，
∵， 平分，∴ ，
∴，
∵，∴，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，共个，故选：．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24九年级·湖北·期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接，根据扇形圆心角为，得到三点共线，为的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接， ， 三点共线，为的直径，
围成圆锥的底面半径为1，，，，
，，该圆形铁皮的直径是，故答案为：．
12．（23-24九年级·黑龙江七台河·期末）如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质；连接，由等腰三角形的性质得，由角的和差得，由圆的基本性质得，即可求解；理解圆的基本性质是解题的关键.
【详解】解：如图，连接，
，，，，，
，，，故答案为：．
13．（23-24九年级·四川南充·期末）图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转变换，图形规律以及等腰直角三角形的性质，由题意得正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为，根据求出的值即可得解．
【详解】解：由题意得：正边形绕其中心最小旋转，所得图形与原图的重叠部分是正边形，则将一个正六边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形，
由题意得：旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为，则正八边形的边长为，∴，解得：，
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：，
∴正八边形的面积为，故答案为：，．
14．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，是的外接圆，于点于点，连结，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线定理，解题的关键是利用垂径定理得到中点与．
【详解】解：是的外接圆，，，
，，、分别为、的中点，是的中位线，
，．故答案为：．
15．（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】过作于，交于，反向延长交于点，交于点，则，连接，则为的直径．根据平行线的性质得到推出．根据勾股定理即可计算答案．
【详解】解：过作于，交于，反向延长交于点，交于点，如图所示：
则，连接，则为的直径，
，，，，∴∴，
在中，，，
在中，，，故答案为．
16．（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，点是正方形外接圆的劣弧上的一点，则代数式的值是 ．
【答案】；
【分析】延长PA到E，使AE=PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角形，则可求得答案．
【详解】解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
．
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，∴PE=PB，∵AE=CP，∴PA+PC＝PE＝PB．
即：，故答案为：．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点．(1)求证：平分；(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论；（2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴平分；
（2）解：过点作于，如下图，
∵，∴，∵，，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，
在中，，即的半径长为．
18．（23-24九年级·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的．
【答案】(1)图见解析，点坐标为(2)见解析
【分析】此题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，点的坐标，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点位置写出坐标即可；
（2）分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．
【详解】（1）解：如图所示，为所求，点坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求．
19．（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G．(1)求证： ；(2)若，求弧的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．（1）根据是 的直径，，，推出，即可推得．（2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵是 的直径，∴，∴；
∵，∴；
∵，∴，∴，∴．
（2）解：如图，连接、，∵，，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，∴弧的长度．
20．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析(2)13
【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
（1）欲证明，只要证明即可；（2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可．
【详解】（1）证明：，，
，即，；（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，，，
又，， ，，
在中，，
设的半径为，中，，
，解得，即的半径为13．
21．（23-24九年级·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．
(1)如图①，求和的大小；(2)如图②，，垂足为E，求的大小．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）由四边形是的内接四边形的性质求出答案即可；（2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案．
【详解】（1）解： ， ．
四边形是的内接四边形， ．
， ；
（2）解：连接． ， ． ．
． ．
22．（23-24·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，则，∴，
∵正方形，∴，，∴，∴，
∵，∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，∴，，而，
∴，，
∵，∴，∴，，
∵，∴，
∴，而，∴，
∴，∴，，而正方形的边长，
∴，解得：，∴，
∵，，，∴，
∴，而，∴．
23．（23-24·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
【答案】（1）；（2）；（3）小明的说法正确，见解析，
【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题．（2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答．（3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答．
【详解】解：（1）
如图，连接BD交AC于点E ，
是等腰直角三角形，为等边三角形，，,
在与中， ，，
，，根据三线合一，可得垂直平分，
，，，
，，．
（2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大．
在上取一点异于点D的点，连接、．在中，，
，，即．最大
在等腰直角中，，O为AC的中点，
且．．
．点B、D之间的最大距离为．
（3）小明的说法正确． 如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．
点E为BC中点，，所在的圆的圆心O在直线DF上．
设圆O半径为r，连接BO．在中，，
且，，得．
连接AO并延长交于点，则为最大距离．
在中，，且，小明的说法正确．
在中，．
．．点A到的最大距离为．
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第3章 圆的基本性质
题型1.垂径定理的应用 1
题型2.弧、弦、圆心角的关系 3
题型3.圆周角定理及其推论的应用 6
题型5.正多边形和圆的有关计算 11
题型6.正多边形中的规律探究性问题 13
题型7.圆锥侧面展开图的有关计算 16
题型8.不规则图形面积的计算 19
题型9.利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题 23
专项训练 26
题型1.垂径定理的应用
1.（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？
2.（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何 ”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸
3.（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为桌面截线，水面截线，直径一端点B刚好与点N重合，．
(1)计算的长度，并比较直径与长度的大小；(2)请在图中画出线段，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．
题型2.弧、弦、圆心角的关系
1.（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
(1)求证：；(2)连接 作直线求证：．
2.（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：．
3.（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且．(1)如图，求证：．(2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长．
题型3.圆周角定理及其推论的应用
1.（2024·贵州遵义·三模）如图，是的外接圆，D是弧的中点，连接，，．平分交于点E．(1)写出图中一个与相等的角______；
(2)试判断的形状，并说明理由；(3)若的半径为，，求的长．
2.（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．（1）若，则的度数为 ；（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
3.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，弦分别交于点F，G，且，连接．(1)设，用含的式子表示的度数；(2)求证：；
(3)若的半径为1，记的面积分别为，，S，设，，且满足，求a，b的值．
题型4.巧用圆内接四边形的性质求解
1.（2024·福建泉州·模拟预测）已知，为的位于圆心两侧的两条弦，且．
(1)如图1，连接，．求证：．
(2)如图2，过点作的垂线交于点．若在上取一点，使得．求证：，，三点共线．
2.（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·吉林白城·模拟预测）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，若，则 °．
题型5.正多边形和圆的有关计算
1.（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．
(1)如图①，求证：点H，G三等分．(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）；②求证：是①所作圆的切线．
2.（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级·浙江金华·期中）如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点．若的半径为1，(1)求的长；(2)求的度数．
题型6.正多边形中的规律探究性问题
1.（2024·湖南湘西·中考真题）观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，；
（2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；……
根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是 ．
2.（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3 ，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ．
3.（23-24九年级·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；
(3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
题型7.圆锥侧面展开图的有关计算
1.（2024·江苏盐城·三模）如图， ，点A、C分别在射线上， ．
(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；(2)将劣弧所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
(3)求所得的劣弧与线段围成的封闭图形的面积．
2.（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．
(1)求阴影部分面积；(2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
3.（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
题型8.不规则图形面积的计算
1.（23-24九年级·浙江台州·期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
3.（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．(1)填空： °；(2)判断与的位置关系，并说明理由；(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
题型9.利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题
1.（23-24九年级·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边内有一点，且，，，若把绕着点逆时针旋转得到，连接，．(1)求的度数；(2)求的长．(3)求点划过的路径长；(4)当时，如果是由旋转所得，求扫过的区域的面积．
2.（2024·江苏南通·一模）如图，已知正方形的边长为cm，将正方形在直线上顺时针连续翻转4次，则点所经过的路径长为 ( )
A．4πcm B．πcm C．πcm D．πcm
3.（2024·山东淄博·二模）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，边经过点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级·江苏南通·期末）如图，在中，半径，弦，是弦上的动点（不含端点，），若线段长为正整数，则点的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（23-24九年级·全国·专题练习）如图，点是半圆上一个三等分点，点是弧的中点，点是直径上一动点，的半径为1，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．无法计算
4．（23-24九年级·云南红河·期末）如图，是的直径，半径，是圆上，之间的一点，，与相交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级·山东威海·期末）如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，，．绕直角顶点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D正好在线段上时，点C经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．π
8．（23-24九年级·山东聊城·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．2
9．（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（23-24九年级·湖北·期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮的直径是 ．
12．（23-24九年级·黑龙江七台河·期末）如图，是的直径，C、D是上两点，，若，则 ．
13．（23-24九年级·四川南充·期末）图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正八边形的面积为 ．
14．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，是的外接圆，于点于点，连结，若，则的长为 ．
15．（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为 ．
16．（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，点是正方形外接圆的劣弧上的一点，则代数式的值是 ．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点．(1)求证：平分；(2)若，，求的半径长．
18．（23-24九年级·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．(1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的．
19．（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G．(1)求证： ；(2)若，求弧的长度．
20．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
21．（23-24九年级·天津宁河·期末）已知内接于，，，D是上的点．
(1)如图①，求和的大小；(2)如图②，，垂足为E，求的大小．
22．（23-24·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；(2)若，，求阴影部分的面积．
23．（23-24·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________；
【问题解决】（2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离．
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