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第4章 相似三角形
题型1.成比例线段的计算 1
题型2.比例性质的应用 3
题型3.平行线分线段成比例的应用 4
题型4.相似三角形的判定 6
题型5 利用相似三角形的性质求值 7
题型6.与相似多边形有关的计算 8
题型7.网格中相似三角形的相关计算 10
题型8.相似三角形的判定与性质的综合应用 14
题型9.与判定相似三角形中等积式的证明 17
题型10.相似三角形中的运动问题 20
题型11.利用相似三角形测物体的高度 23
题型12.影子部分不落在地面上求物体的高度 24
题型13.位似图形 27
题型14.位似变换作图与计算 28
专项训练 32
题型1.成比例线段的计算
1.（23-24九年级·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且．
(1)求线段a、b的长；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
【答案】(1)线段的长为18，线段的长为12(2)线段的长为
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设，，代入计算可得的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得，由此即可得．
【详解】（1）解：，设，，
，，，，，
线段的长为18，线段的长为12．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，，
由题意知，，，线段的长为．
2.（23-24九年级·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案．
【详解】解：由于线段，，，是成比例线段，
故，即解得故答案为：．
3.（23-24九年级·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
【答案】(1)(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，∴，故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：由（1）知，
∴，∴，故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，∴，
在中， ，即，
则，解得，∴点D到线段的距离为．
题型2.比例性质的应用
1.（23-24九年级·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：①当时，得；
②当时，则，；综上所述，k的值为1或．故选：C．
2.（23-24九年级·辽宁丹东·期中）若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查比例性质的变形，根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定成立的选项即可
【详解】解：A.∵，∴，正确，不符合题意；
B. ∵，∴，∴，正确，不符合题意；
C. ∵，∴，∴，∴，∴，正确，不符合题意；
D.当时，原式不成立，故选项D符合题意，故选：D
3.（23-24九年级·四川乐山·期末）已知满足，试求的最大值 ．
【答案】25
【分析】设，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
【详解】解：设，
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2 c2= (2k+1)2+(3k-1)2 (4k+2)2=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4=-3k2-18k-2=-3(k2+6k+9-9)-2=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，∴a2+b2 c2的最大值为25，故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．
题型3.平行线分线段成比例的应用
1.（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．
【详解】解：直线， ， ，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
2.（23-24九年级·广西桂林·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，∴，解得：，故选：C．
3.（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，与相交于点，则 .
【答案】
【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．
【详解】解：作交于，作交于，如图所示：
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．
题型4.相似三角形的判定
1.（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在中，，∴，∵，∴，
∵，，∴，∴．
2.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，已知，添加一个条件 ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定推理即可；熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：由可得，
根据相似三角形的判定，可添加一个角或的两边对应成比例；
故可以添加：或或；
故答案为：（答案不唯一）
3.（23-24九年级·上海·期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质得，，
∴，
∴，，∴，故A不符合题意；
∵，∴，∴，
又∵，∴，故B不符合题意；
又，，∴，故C不符合题意；
根据题意，无法求解与相似，故D符合题意；故选：D．
题型5 利用相似三角形的性质求值
1.（24-25九年级·山东青岛·期中）某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积差为30，则它们的面积和为（ ）
A．74 B．76 C．78 D．81
【答案】C
【分析】本题主要考查了对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形面积比与相似比之间的关系，即相似三角形面积比等于相似比的平方．已知两相似三角形的相似比，即可求出面积比．根据面积差为30，可求出两三角形的面积，进而可求出面积和．
【详解】解：∵两三角形的相似比为，∴它们的面积比为，
设较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为，
则，解得，∴面积和为，故选C．
2.（23-24九年级·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵∴ ∴，故A，B，C正确,D错误故选：D．
3.（23-24九年级·广西贺州·期中）若与相似，已知，，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解分式方程等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
三角形相似，对应边成比例，据此即可求出答案．
【详解】解：，，
，，， ，解得：，
经检验，是原分式方程的根，故答案为：．
题型6.与相似多边形有关的计算
1.（23-24九年级·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【答案】B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，∴．选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
2.（23-24九年级·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）．
【答案】/
【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形为菱形，，∴，，∴，
∵菱形与菱形相似，∴，∴，
∴，根据勾股定理可得：，
即，解得：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等．
3.（2024·河北邢台·一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，∴BE＝4，由勾股定理得，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选：D．
【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.
题型7.网格中相似三角形的相关计算
1.（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与全等．（画出两个）
(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使 ；
(3)在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使 ，且相似比为．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据全等三角形的判定，取格点D，使，作出图形即可；（2）由图及勾股定理可知，进而可得根据相似三角形的判定作出图形即可；
（3）取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图中，点中任取两个即为所求；
（2）解：如图中，点E即为所求；
由图可知，，，
又，，是直角三角形，∴，
又∵，∴；
（3）解：如图，取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求，
如图：，四边形是平行四边形，，
则：，∴，相似比为：．
2.（23-24九年级·山东潍坊·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图1中，________；(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在线段上找一点P，使；②如图3，在线段上找一点P，使．
【答案】(1)(2)①见详解；②见详解
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；
（1）（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解；（2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为，即可求解；②作点关于的对称点，连接交于，即可求解；
能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键．
【详解】（1）解：由图得，，，
，，故答案：；
（2）解：①如图2，点为所求；
②如图3，点为所求．
3.（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．
(1)在图①中的边上确定一点，连结，使．直接写出与的相似比为______；(2)在图②中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使，且相似比为．直接写出______；(3)在图③中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使且相似比为．直接写出的长度为______．
【答案】(1)作图见解析；；(2)作图见解析；；(3)作图见解析；．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用数形结合的思想，熟练掌握相似三角形的性质，是解答本题的关键．（1）根据题意，得到，故取格点，连接，得到，进而得到 ，相似比为：，由此得到答案．（2）根据题意，取格点，格点，连接，交于点，则，根据相似比为，得到，由此得到答案．（3）根据题意且相似比为，得到，取格点，格点，连接，交于点，则，由，，得到．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
，，，
， ，故取格点，格点，连接，
， ，相似比为：，即为所求，故答案为：；
（2）根据题意得：，且相似比为，作图如下：
，取格点，格点，连接，交于点，则，即为所求，
由（1）得，
又相似比为， ， ，故答案为：．
（3）根据题意得，且相似比为， ，
， ，取格点，格点，连接，交于点，则，
即为所求， ，又， ，故答案为：．
题型8.相似三角形的判定与性质的综合应用
1.（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，，则由勾股定理得到，求出，则，再证明，得到，即，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接 ∵四边形是正方形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴
∵，∴，
又∵，∴，∴，即，∴，故选：B．
2.（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，，O是对角线的中点，连结并延长交边或边于点E．(1)当点E在上，①求证：；②若，求的值；(2)若，直接写出的长．
【答案】(1)①证明见解析，②；(2)的长为或
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出， 由直角三角形的性质得出，证明即可得出结论；
②得出，过点D作于点H，设，则，则可得出答案；（2）分两种情况讨论，当点E在上时，当点E在上时，分别求解即可得到答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质， 矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质， 含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）①证明：如图1，∵，∴，∵，∴
∵是斜边上的中线，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，即，∴，∴；
②解：如图2， 若，在中，，∴，
过点D作于点H，设，则，在中，，
∴，∴，；
（2）解：如图3，当点E在上时，设则设
，
把代入中，得：，解得：， (舍去) ，
如图4， 当点E在上时，
，
∴四边形是矩形，
设∵∴∵，∴，
在中，由勾股定理得
在中， 由勾股定理得
∴解得：，(舍去)，综上所述，的长为：或 ．
3.（24-25九年级·山东青岛·期中）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设．(1)求证：；(2)当P也是边中点时，求的值；(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值；(4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)2或5(4)相等，理由见解析
【分析】（1）先证明，再由，即可证出；
（2）当P是的中点时，，由，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（3）分两种情况：当时，则，得出四边形为矩形．求出，即；当，且时，先求出，得到 ，再由勾股定理得出的长，再得出的长，根据相似三角形的性质求出的长，即可得出结论；
（4）先证明，求出、，再证明，即可得出．
【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，，∴，．
又∵，∴，∴；
（2）当P是的中点时，．∵，∴，即，∴；
（3）分两种情况：①当，且时，则有，
∴四边形为矩形，∴，即．
②当，且时．
∵，∴，∴．∵，∴点F为的中点．
∵，∴
，即，∴，∴，即；∴满足条件的x的值为2或5；
（4）．理由如下：如图，∵四边形是正方形，
∴，，∴．
∵E是的中点，∴，∴．
∵，∴，，∴，
∴，∴，即，∴，∴
，∴．又∵，∴，∴．
题型9.与判定相似三角形中等积式的证明
1.（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且．
(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)当时，求证；．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，得出，从而推出，得到，即可得证；
（2）证明，得出，证明，再由相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴四边形是等腰梯形；
（2）证明：∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴．
2.（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．(1)求证：；(2)如果．①求的长；②若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．（1）根据平行四边形的性质，知道，，结合，先证明，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；（2）①先证明，得到，再证明，得到，解得的长度，最后利用算得的长度；②通过平行线分线段成比例，，算得的长度，再通过，得到，从而算得的长度．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形
，，
．，即．
（2）①解：
，即
，
解得：（舍去负值）
②解：
，
3.（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点是边上的任意一点（不与端点，重合），连接，且交于点．(1)求证：；
(2)若点也在上，满足，如图所示．求证：．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质；（1）由矩形的性质得，由同角的余角相等得，根据两角对应相等的两三角形相似可判定，由相似的性质得，即可求证；（2）由矩形的性质得，，由同角的余角相等得，根据两角对应相等的两三角形相似可判定，由相似的性质得，，由比例性质得，即可求证；
掌握判定方法及性质，能根据比例的性质得，从而证明线段相等是解题的关键．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，
，，，
，，， ；
（2）证明：四边形是矩形，
，，，
，，，
，，，，
，，，
，，，
，故．
题型10.相似三角形中的运动问题
1.（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图，四边形中，，，，，，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿运动，过点P作，交于E，连接，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为t秒．(1)当时，求线段的长；(2)当运动t秒时线段的长（用含t的式子表示）；
(3)运动过程中是否存在某一时刻，使与相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)当时，与相似
【分析】本题主要考查了相似三角形综合．熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．通过证明，可得，即可求解；先判断出，求出，再判断出，得出比例式建立方程求解，即可求出答案；
分，两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）当时，，∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
（2）由运动知，，∵，∴，∴，∴，
由运动知，，∴，
在中，，，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴，∴，∴；
（3）∵，∴，
若，，∴，
∵，∴，∴(不合题意舍去)，
若，，∴，
∴，∴．故当时，与相似．
2.（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点从点开始向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当、两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
(1)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
(3)几秒钟后，与相似？
【答案】(1)1s(2)2s(3)或
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．（1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解；（2）由勾股定理得：，即可求解；
（3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设经过秒以后，面积为（）
此时，，，由，得，
整理得：，解得：，（舍）．
（2）解：设经过秒后，的长度等于，
由，得，解得：（舍去），．
答：2秒后，的长度为．
（3）解：当时，即，解得
当时，，即，解得，或．
3.（23-24九年级·江苏苏州·期中）已知矩形中，，点是对角线上一点，且．点是边中点，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为．若面积记为，面积记为，面积记为．当点运动到点的正上方时，两点运动停止．
(1)如图①，点在线段(包含端点)上运动时，与的函数图像如图②所示，则的长为___________cm；
(2)如图③，点在线段上运动；①若，求此时的值；②若，求此时的值．
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）根据两个图像的对比，可以找到当为时，点与会重合，即可求得．
（2）分别做出直角三角形，利用相似求边长，再用表示出三角形的面积，即可求得．
【详解】（1）解：由图②可知，当x的值为时，点运动到了点，
∴，故 (cm)
（2）解：①如图3，过点作于点
∵，∴，∵，∴
在Rt中，∴解得：
∵点在线段上运动，∴，∴此时的值为3秒．
②如图3，过点作，交于点， 交于点
由题意得：，∴，
∵， ∴，
∴，解得，同理，可得，
∵∴，
∵∴，
∴解得： ∵，∴此时的值为秒．
题型11.利用相似三角形测物体的高度
1.（23-24九年级·山东东营·期末）某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度．
【答案】米
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．过点作于点，交于点，进而求得，根据，得出，根据相似三角形的性质，列出比例式求得，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
依题意，，∴，
∵，∴，∴，即，解得：，
∵，∴城楼的高度为米
2.（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）如图，屋架跨度的一半，高度．现要在屋顶上开一个天窗，在水平位置，且．求天窗高度的长．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：由题意得，，
又，，，
，天窗高度的长．
3（23-24九年级·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度．
【答案】．
【分析】本题考查的是相似三角形的应用及矩形的判定及性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，由是水平线，都是铅垂线，则四边形是矩形，四边形是矩形，如图，
，，，，
又根据题意，得， ，，
，即 ，解得：，，
答：这棵树的高度为．
题型12.影子部分不落在地面上求物体的高度
1.（23-24九年级·四川巴中·期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长．
【详解】作于点，如图，
则四边形为矩形，，，
根据题意得，即，解得，
所以．答：旗杆的高度为米．故选：A．
2/（23-24九年级·河南郑州·期中）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为 ．
【答案】4米
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】如图，设树高为AB，过点C作CD⊥AB于D，则CD=1.1+1.6=2.7米，DB=1米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，∴，解得：AD＝3，
∴AB＝AD+DB＝3+1＝4（米）．故答案为：4米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
3.（23-24九年级·陕西西安·期末）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，段为地上的影子，段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度，长度的砖块，小明数了一下，段刚好是4块地砖的长度，而段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高，指示牌距保安亭，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
【答案】184cm
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，准确熟练地进行计算是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点作，垂足为，
由题意得：，，
指示牌高，指示牌距保安亭， ，，
，爸爸的身高为．
题型13.位似图形
1.（23-24九年级·河北邢台·开学考试）在下列四个三角形中，与是位似图形且为位似中心的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，
∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点D B．位似中心是点G C．位似比为 D．位似比为
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质、位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．掌握位似图形的意义与位似比求法是解题的关键．连接、、，可知位似中心在点，之间，根据两个三角形网格数可知相似比，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接、、，
在正方形网格中，与位似，点是的中点，
位似中心在点，之间，，故选项A，B错误，相似比为，
位似比为，故选项正确，D错误，故选：．
3.（2024·河北唐山·一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【答案】D
【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确；D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．故选：D．
【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键．
题型14.位似变换作图与计算
1.（23-24九年级·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
(2)证明和相似．
【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析
【分析】本题考查作图 位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据和位似，且位似比为作出图形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，
；
（2）证明：小正方形边长为1， ，，，，，，
，，，∴，∴．
2.（2024九年级·广东茂名·培优）如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为．
(1)以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的；
(2)点A的对应点D的坐标是______；(3) ______．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键．（1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的；（2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标；（3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出．
【详解】（1）解：位似中心为点，位似比，已知，，，
∴对应点的坐标分别是，，，连接点，如图所示，
；
（2）由（1）知，故答案为：；
（3）如图，连接，，，，，∴，
∴设，则，∴,故答案为：．
3.（23-24九年级·山东日照·期末）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标；
(2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的；
(3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点．
【答案】(1)画图见解析，，，；(2)画图见解析；(3)画图见解析．
【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可；（）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可；
（）连接，相交于点；此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤．
【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接，
∴即为所求；
（2）如图，延长，，然后连接，∴即为所求；
（3）如图，连接，相交于点，
∴点即为所求．
选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．
【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意；
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．故选：B．
2．（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、根据题意可知，，，根据两边成比例夹角相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、由条件无法判断，故不能判定，该选项符合题意；故选：．
3．（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可．
【详解】由勾股定理得，
，， ，， ，
， ，解得，故选：D．
4．（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，，，，，，
∴，∴，
∴，∴，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意，
∴将平面镜放置在离王刚处才能观测到大树的顶端．故选：B．
5．（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点是矩形的边上的一动点，矩形的两条边、的长分别是3和4，则点到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
【答案】D
【分析】此题主要考查了矩形的性质与相似三角形的综合运用，利用三角形的相似求线段长度是初中阶段重点知识，熟练掌握是解此题的关键．过点作，，由矩形的性质可证和，根据和，即和，两式相加得，即为点到矩形的两条对角线和的距离之和．
【详解】解：过点作，，
∵四边形是矩形，∴，∴，∴，
∵，∴，同理：，
∴，∴，∴，∴，
即为点到矩形的两条对角线和的距离之和是：．故选：D．
6．（23-24·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，∴ 且相似比为，∴的面积的面积，
∵的面积是6，，∴的面积为24，故选：C
7．（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，证明出四边形的形状是解题关键．根据作法可知：是线段的垂直平分线，再根据等边对等角的性质，得出，，证明四边形是菱形，得到，然后由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出的长．
【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线，，，，
平分，，，
，同理可得，四边形是菱形，，
，，， ，
，，， ，，故选：D．
8．（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对于三人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对
C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对
【答案】C
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．
【详解】解：如图所示，
据题意得：，，，∴，，∴，
∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确．
乙：设原矩形边长为，．向外扩张一个单位后边长变为，．
则∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确；
丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，故丙正确，故选：C．
9．（23-24九年级·四川达州·期末）如图，，，，点E在边上运动（不与端点重合），边始终过点A，交于点G，当是等腰三角形时，的面积是（ ）．
A．8或 B．8 C． D．6或
【答案】A
【分析】首先由，且，可得，当与去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．
【详解】解：∵，，∴，且，∴，∴；
∵，∴，即：，
当时，在与中，∴，
∴，∴，作于点M，
∵，，∴，∴，
∴，∴，
当时，则，∴，即，
又∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴．故选：A．
10．（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（ ）
A．点到边的距离不变 B．点到边的距离不变
C．点到边的距离不变 D．点到边的距离不变
【答案】A
【分析】先证得，，则，，过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，证明得，由此可对选项进行判断；证明得，由此可对选项进行判断；根据，得，由此可对选项进行判断；设，则，，则，，进而得，根据可得，由此可对选项进行判断．
【详解】解：四边形为梯形，，，，
，，
，，，，
过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，如图所示：
，，，，即．
，点到边的距离不变，故选项A正确，符合题意；
，，，又，的延长线交于，
四边形为矩形，，，，
，即，，
当边的长度发生变化时，随的变化而变化，故选项B不正确，不符合题意；
，，，
当边的长度发生变化时，随的变化而变化，故选项D不正确，不符合题意；
设，则，，，，四边形为矩形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即，整理得：，
当边的长度发生变化时，随的变化而变化，故选项C不正确，不符合题意．故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据题意可得：，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵将的圆周分成五等份，∴，∴，∴，
∵点M是的黄金分割点，∴，∴故答案为：．
12．（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，利用三角形相似的性质可求得，同理求得，它们的差即为所求答案．
【详解】线段被截成三等份，，，
，，，，，
四边形是矩形，，，
，，，
阴影部分的面积．故答案为：4．
13．（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ．
【答案】8或
【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，，，
，，．
当时，，，，
当时，，，，
以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或．故答案为：8或．
14．（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：
（1）已知，则 （用含的代数式表示）；（2）若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据旋转的性质得到，推出，即可得到答案；（2）根据旋转的性质证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）点B的对应点恰好落在点O处，，，
由旋转的性质可知，，，；
（2）由旋转的性质可知， ，B，O，D，E四点共线，，
，，，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
．故答案为：；．
15．（23-24·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：过点B作交于H，∴∴，
∵，E是边上的中点，∴，∴是线段的垂直平分线，∴，
∵，即∴,∴，
∴，即，∴，
∴．故答案为：．
16．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 ．
【答案】5
【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可．
【详解】由图可知，，
，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，可如图所示作出， ， ，，
同理可得，，且
综上所述：故答案为：5
三．解答题（共7小题）
17．（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：(1)；(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明，进而结论得证；（2）如图，延长交于，则，平分，进而证得，得出，证明与全等，从而证得．
【详解】（1）证明：∵，，平分，
∴，，∴，
∵，∴，∴；
（2）证明，如图，延长交于，
∵平分，，∴，平分，∵∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，∴，即，∵，∴，∴．
18．（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【答案】(1)，，(2)
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．
（1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长．
【详解】（1）解：设，，，
∴，即，解得：，∴，，；
（2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项，∴，即，∴，
∵，∴．
19．（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【答案】．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，设与的交点为H，
∵点M是的中点，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∵，∴，
∴，∴．
20．（23-24九年级·江苏·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，(1)求证：；(2)若，求线段长．
【答案】(1)见解析(2)线段长为5
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论；（2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴ ，∴，又∵，∴．
（2）解：∵ ，∴，由（1）得，
∴，∴，∴，∴线段长为5．
21．（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，在边上找一点，使．
(2)在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且．
(3)在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等．
【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析
【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关键．
（1）只需将线段分成的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接即可；
（2）只需找到和靠近点的三等分点，根据相似三角形的性质，找到的三等分点，连接即可；
（3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图.
【详解】（1）解：点即为所求；
（2）解：点、即为所求；
（3）解：的面积为：，
、、的面积相等，、、的面积都为：，
的高为：，的高为：，
∵，∴，且相似比为，，点即为所求.
22．（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．(1)当动点运动时间 秒时，与相似．(2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
【答案】(1)或(2)当时，秒．理由见解析．
【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间．
（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间．
【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，， ；
1）当，即时，
； ，即， ．
2）当，即时，
， ，即， ．
和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
（2）如图，过点E作于F，设经过运动时间为t秒时，，
则，，， ；
，即，
，， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，即， （秒）．
23．（23-24·陕西榆林·二模）问题探究：
(1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为
(2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；
问题解决：(3)某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）
【答案】(1)4(2)18(3)6000万元
【分析】（1）利用相似三角形面积比等于相似比平方的性质求解即可．
（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC BE＝3AC＝3（x+y），求出x+y的最小值，可得结论．（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．证明△PAM∽△NTP，推出，可得，设总费用W万元，则 ，求出W的最小值，可得结论．
【详解】（1）如图1中，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，
∵S△ABE＝16，∴S△CDE＝4．故答案为：4．
（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，
∴S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC BE＝3AC＝3（x+y），∴x+y的值最小时，矩形的面积最小，
∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，∴△AEB∽△BEC，∴，∴BE2＝AE EC，∴xy＝9，
∵（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy，∴x2+2xy+y2≥4xy∴（x+y）2≥4xy，∴（x+y）2≥36，∴x+y≥6，
当x+y=6时，S矩形ABCD有最小值，最小值为
（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∵BP＝BT，∠PBT＝60°，∴△PBT是等边三角形，∴PB＝BT＝PT，
∵AB＝300米，∴PA＝100（米），PB＝200（米），∴PT＝BT＝200（米），
∵∠APN＝∠APM+∠MPN＝∠PBN+∠PNB，∠MPN＝∠PBN＝120°，∴∠APM＝∠PNB，
∵∠A＝∠T＝60°，∴△PAM∽△NTP，∴，∴，∴，
设总费用W万元，则 ，∵，∴，
∴W≥6000，最小值为,故建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用6000万元．
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第4章 相似三角形
题型1.成比例线段的计算 1
题型2.比例性质的应用 3
题型3.平行线分线段成比例的应用 4
题型4.相似三角形的判定 6
题型5 利用相似三角形的性质求值 7
题型6.与相似多边形有关的计算 8
题型7.网格中相似三角形的相关计算 10
题型8.相似三角形的判定与性质的综合应用 14
题型9.与判定相似三角形中等积式的证明 17
题型10.相似三角形中的运动问题 20
题型11.利用相似三角形测物体的高度 23
题型12.影子部分不落在地面上求物体的高度 24
题型13.位似图形 27
题型14.位似变换作图与计算 28
专项训练 32
题型1.成比例线段的计算
1.（23-24九年级·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足，且．
(1)求线段a、b的长；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
2.（23-24九年级·福建福州·期末）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 .
3.（23-24九年级·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．(1)黄金矩形的长 ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
题型2.比例性质的应用
1.（23-24九年级·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
2.（23-24九年级·辽宁丹东·期中）若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级·四川乐山·期末）已知满足，试求的最大值 ．
题型3.平行线分线段成比例的应用
1.（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．
2.（23-24九年级·广西桂林·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A． B． C． D．
3.（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，与相交于点，则 .
题型4.相似三角形的判定
1.（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．
2.（23-24九年级·四川成都·期末）如图，已知，添加一个条件 ，使得．
3.（23-24九年级·上海·期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
题型5 利用相似三角形的性质求值
1.（24-25九年级·山东青岛·期中）某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积差为30，则它们的面积和为（ ）
A．74 B．76 C．78 D．81
2.（23-24九年级·四川眉山·期中）如图，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年级·广西贺州·期中）若与相似，已知，，，则 ．
题型6.与相似多边形有关的计算
1.（23-24九年级·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
2.（23-24九年级·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）．
3.（2024·河北邢台·一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
题型7.网格中相似三角形的相关计算
1.（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与全等．（画出两个）
(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使 ；
(3)在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使 ，且相似比为．
2.（23-24九年级·山东潍坊·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图1中，________；(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在线段上找一点P，使；②如图3，在线段上找一点P，使．
3.（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．
(1)在图①中的边上确定一点，连结，使．直接写出与的相似比为______；(2)在图②中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使，且相似比为．直接写出______；(3)在图③中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使且相似比为．直接写出的长度为______．
题型8.相似三角形的判定与性质的综合应用
1.（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，，O是对角线的中点，连结并延长交边或边于点E．(1)当点E在上，①求证：；②若，求的值；(2)若，直接写出的长．
3.（24-25九年级·山东青岛·期中）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设．(1)求证：；(2)当P也是边中点时，求的值；(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值；(4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由．
题型9.与判定相似三角形中等积式的证明
1.（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且．(1)求证：四边形是等腰梯形；(2)当时，求证；．
2.（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．(1)求证：；(2)如果．①求的长；②若，求的长．
3.（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点是边上的任意一点（不与端点，重合），连接，且交于点．(1)求证：；
(2)若点也在上，满足，如图所示．求证：．
题型10.相似三角形中的运动问题
1.（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图，四边形中，，，，，，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿运动，过点P作，交于E，连接，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为t秒．(1)当时，求线段的长；(2)当运动t秒时线段的长（用含t的式子表示）；
(3)运动过程中是否存在某一时刻，使与相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
2.（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点从点开始向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当、两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．(1)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
(3)几秒钟后，与相似？
3.（23-24九年级·江苏苏州·期中）已知矩形中，，点是对角线上一点，且．点是边中点，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为．若面积记为，面积记为，面积记为．当点运动到点的正上方时，两点运动停止．
(1)如图①，点在线段(包含端点)上运动时，与的函数图像如图②所示，则的长为___________cm；
(2)如图③，点在线段上运动；①若，求此时的值；②若，求此时的值．
题型11.利用相似三角形测物体的高度
1.（23-24九年级·山东东营·期末）某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度．
2.（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）如图，屋架跨度的一半，高度．现要在屋顶上开一个天窗，在水平位置，且．求天窗高度的长．
3（23-24九年级·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度．
题型12.影子部分不落在地面上求物体的高度
1.（23-24九年级·四川巴中·期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米
2/（23-24九年级·河南郑州·期中）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为 ．
3.（23-24九年级·陕西西安·期末）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，段为地上的影子，段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度，长度的砖块，小明数了一下，段刚好是4块地砖的长度，而段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高，指示牌距保安亭，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
题型13.位似图形
1.（23-24九年级·河北邢台·开学考试）在下列四个三角形中，与是位似图形且为位似中心的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2.（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点D B．位似中心是点G C．位似比为 D．位似比为
3.（2024·河北唐山·一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
题型14.位似变换作图与计算
1.（23-24九年级·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．(1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．(2)证明和相似．
2.（2024九年级·广东茂名·培优）如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为．
(1)以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的；
(2)点A的对应点D的坐标是______；(3) ______．
3.（23-24九年级·山东日照·期末）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标；(2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的；
(3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点．
选择题（共10小题）
1．（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端．
A． B． C． D．
5．（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点是矩形的边上的一动点，矩形的两条边、的长分别是3和4，则点到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
6．（23-24·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
7．（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对于三人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对
C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对
9．（23-24九年级·四川达州·期末）如图，，，，点E在边上运动（不与端点重合），边始终过点A，交于点G，当是等腰三角形时，的面积是（ ）．
A．8或 B．8 C． D．6或
10．（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（ ）
A．点到边的距离不变 B．点到边的距离不变
C．点到边的距离不变 D．点到边的距离不变
二．填空题（共6小题）
11．（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ．
12．（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ．
13．（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ．
14．（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：
（1）已知，则 （用含的代数式表示）；（2）若，则的长为 ．
15．（23-24·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．
16．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 ．
三．解答题（共7小题）
17．（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：(1)；(2)．
18．（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
19．（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
20．（23-24九年级·江苏·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，(1)求证：；(2)若，求线段长．
21．（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，在边上找一点，使．
(2)在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且．
(3)在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等．
22．（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．(1)当动点运动时间 秒时，与相似．(2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
23．（23-24·陕西榆林·二模）问题探究：
(1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为
(2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；
问题解决：(3)某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）
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