浙教版数学八年级上册期中模拟测试卷 A
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·桐城期中）下列各组线段中，不能作为直角三角形三边的是( )
A．4，5，6 B．3，4，5 C．20，21，29 D．8，15，17
3．（2024·盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
4．（2024·上海）如果，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·巴中）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 （ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
7．（2024·遂宁）不等式组的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
8．（2024·泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·新疆）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．30°
10．（2022·攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形.若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·无锡）请写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题： .
12．（2024八下·南昌期末）一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 ．
13．（2024·成都）如图，，若，，则的度数为 .
14．（2019·广安）等腰三角形的两边长分别为 ，其周长为 cm．
15．（2018·山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为 ．
16．（2022八下·临清期中）关于x的一元一次不等式组恰有一个整数解，则m的取值范围是 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023·苏州）解不等式组：
18．（2017·巴中）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
19．（2024·镇江）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °．
20．（2023·怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
21．（2023·聊城）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
22．（2024八下·娄星期末）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表不完整．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：组员：，，
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图中的长度 米
图中的长度 米
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度；
（2）该校礼仪队要求旗手在不少于秒且不超过秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围计算结果精确到．
23．（2024七下·福田期末）综合与实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维.以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，点D为线段AB上的一动点（点D不与A，B重合），以CD为边作等腰△CDE，CD=CE，∠ACB=∠DCE=，连接BE.解答下列问题：
①【观察发现】
如图1，当时，线段AD，BE的数量关系为 ▲ ，.∠ABE= ▲ °；
②【类比探究】
如图2，当时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由；
（2）【拓展延伸】如图3，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，连接AC，若AC=8，则四边形ABCD的面积为多少 （直接写出结果）.
24．（2024八下·信宜月考）综合与运用
阅读理解：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“友好方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围．
25．（2024七下·南海期中）如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题：
（1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度；
（2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求.
（3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；．
D、不是轴对称图形，不符合题意；，
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判定．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠1=55°，∠BAC=90°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=35°，
∵直尺两边是平行的，
∴∠2=∠ABC=35°.
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠ACB=∠1=55°，再利用三角形内角和求出∠ABC=35°，然后根据平行线的性质即可求解.
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；
B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；
C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；
D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。
5．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=40°，∠1与∠4是对顶角，
∴∠4=∠1=40°，
∴∠3=30°+40°=70°，
∵m∥n，
∴∠2=∠3=70°.
故答案为：A.
【分析】由对顶角相等得∠4=∠1=40°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠3=30°+40°=70°，最后根据两直线平行，内错角相等可求出∠2的度数.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°.
故答案为：C.
【分析】先由三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，再根据全等三角形的对应角相等可求出∠DCE的度数.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＜3，
由②得x≥2，
∴该不等式组的解集为：2≤x＜3，
A、此选项数轴上表示的解集是x≤2，故此选项不符合题意；
B、此选项数轴上表示的解集是2≤x＜3，故此选项符合题意；
C、此选项数轴上表示的解集是x＞3，故此选项不符合题意；
D、此选项数轴上表示的解集是2＜x≤3，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”读出各个选项数轴所表示的不等式，即可判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等边三角形ABC
∴ ∠ABC=∠ACB=60°
∵直线l∥m
∴ ∠EBC+∠DCB=180°
∴ ∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°
即 21°+60°+60°+∠ACD=180°
∴ ∠ACD=39°
故答案为：B.
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键；由等边三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根据直线l∥m得 ∠EBC+∠DCB=180°，可得 ∠ACD=39°.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠C=∠ABC=30°，根据三角形的内角和及等腰三角形两底角相等得出答案。
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
，
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理算出OB的长，再根据含30°角直角三角形的性质得出AB的长，最后在Rt△BCO中，再根据勾股定理算出OA的长即可.
11．【答案】如果b-a＜0，那么a＞b
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果 ，那么 ”的逆命题是“如果 ，那么 ”，
故答案为：如果b-a＜0，那么a＞b.
【分析】命题"如果a>b，那么b-a<0"的条件为：a>b，结论为b-a<0，将条件与结论互换可得原命题的逆命题，据此解答.
12．【答案】120
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设三边的长是，，，
代入周长公式得：，
解得：，
则三角形三边长是10 ，24 ，26 ．
∵
∴根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，
∴三角形的面积是
故答案为：120
【分析】设三边的长是，，，根据周长即可求得，则三角形三边长是10 ，24 ，26 ，利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解即可．
13．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDE，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠E=45°，
∴∠DCE=180°-∠D-∠E=100°.
故答案为：100°.
【分析】由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠E=45°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DCE的度数.
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为 时，三角形三边长为 ，不能构成三角形；（2）当腰长为 时，三角形三边长为 ，周长
故答案为32
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，故两腰的长度为13cm，故可求出三角形的周长。
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，作高线BG，
，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠1=∠2=30°，
∵MN∥PQ，
∴∠2=∠3=30°
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
∵AB=2，
∴BG= AB=1，
∴AG= ，
∴AF=2AG=2 ，
故答案为：2 ．
【分析】如图，作高线BG，由题意得：AF平分∠NAB，根据角平分线的定义得出∠1=∠2=30°，根据二直线平行，内错角相等得出∠2=∠3=30°，故∠1=∠3=30°，根据等腰三角形的性质得出AB=BF，AG=GF，根据含30 直角三角形的边之间的关系得出BG的长，进而根据勾股定理算出AG的长，从而得出答案。
16．【答案】
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】根据题意有x的解集为：，
∵x恰有一个整数解，
∴该整数解为3，
∴m的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
17．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出解集即可.
18．【答案】解： ，
解不等式①得，x＜3，
解不等式②得，x≥﹣2，
所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜3
在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解并在数轴上表示出来.
19．【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）；
（2）20
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，
∴∠DBA＝90°-70°＝20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA＝20°，
故答案为：20．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△BAD；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAB=20°，由（1）得△ABC≌△BAD，根据全等三角形对应角相等得∠CAB＝∠DBA＝20°.
20．【答案】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）解：∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再求出， 最后作答即可；
（3）根据题意先求出 种客车越少，费用越低， 再计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，进而更加三角形全等的判定与性质证明，进而等腰三角形的性质结合题意即可求解；
（2）过点E作于F，先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。
22．【答案】（1）解：由图可得绳子的长度比旗杆的高度多米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
由图可得，在中，，即，
解得，
答：旗杆的高度为米．
（2）解：厘米米，
米，
米秒，
米秒．
答：五星红旗升起的速度不小于米秒且不大于米秒．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设旗杆的高度为米，在Rt△ABD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）根据速度=路程÷时间计算即可求解.
23．【答案】（1）解：（1）①线段AD，BE的数量关系为 AD=BE （或相等），
∠ABE＝ 90 °；
②AC∥BE，
理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
∵CA=CB，
∴∠A=∠CBA=，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A=∠CBE=60°，
∴∠ACB=∠CBE，
∴AC∥BE；
（2）解：32
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
故答案为：，90．
（2）如图2，过A作AG⊥AC交CB延长线于G，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACD+∠CDA+∠CAD=180°
∴∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∵∠ABC+∠ABG=180°
∴∠ADC=∠ABG
∵∠DAB=∠CAG=90°
∴∠DAB-∠BAC=∠CAG-∠BAC
即∠DAC=∠BAG
在△ACD和△AGB中，
∴△ACD≌△AGB（ASA）
∴S△ACD=S△AGB，AG=AC
∴S△ACD+S△ABC=S△AGB+S△ABC
∴S四边形ABCD=S△ACG=.
【分析】（1）①先根据题意进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而即可得到，再等量代换即可求解；
②根据题意进行角的运算得到∠ACD=∠BCE，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）结合三角形内角和定理得到∠A=∠CBA=，再根据三角形全等的判定与性质证明△ACD≌△BCE（SAS）得到∠A=∠CBE=60°，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）过A作AG⊥AC交CB延长线于G，根据题意进行角的运算得到∠ADC=∠ABG，从而得到∠DAC=∠BAG，再根据三角形全等的判定与性质证明△ACD≌△AGB（ASA）得到S△ACD=S△AGB，AG=AC，从而即可得到S△ACD+S△ABC=S△AGB+S△ABC，再根据S四边形ABCD=S△ACG即可求解。
24．【答案】（1）①③
（2）解：
由①得：，解得：，
由②得：，解得：，
，
把代入得：
解得：，
的取值范围．
【知识点】解一元一次不等式组；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：（1）①，解得：，
②，解得：，
③，解得：，
由得原不等式组的解集为：，
不等式组的“友好方程”是：①③，
故答案为：①③；
【分析】（1）根据解一元一次方程的方法分别解出三个方程的解；然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出不等式组的解集，进而根据不等式组的“友好方程”定义判断即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集；根据解一元一次方程的方法求出方程的解，然后代入不等式组的解可得关于字母k的不等式组，求解即可.
25．【答案】（1）45
（2）解：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠N=∠M=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ NC=AM=6，BN=CM=2，
∴ MN=NC+CM=AM+BN=8；
（3）AM+MN=BN，
理由：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠CNB=∠AMC=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ CN=AM，BN=CM，
∴ MN=CM-CN=BN-AM，
即MN=BN-AM.
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠C=90°，AC=BC，
∴ ∠B=45°，
∵ AB∥MN，
∴ ∠2=∠B=45°；
故答案为：（1）45；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=45°，根据平行四边形的性质，即可求得；
（2）根据垂直的定义可得∠N=∠M=90°，根据同角的余角相等可得∠NBC=∠MCA，依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CN+CM，即可求得；
（3）同（2）依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CM-CN，即可求得.
1 / 1浙教版数学八年级上册期中模拟测试卷 A
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；．
D、不是轴对称图形，不符合题意；，
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判定．
2．（2024八下·桐城期中）下列各组线段中，不能作为直角三角形三边的是( )
A．4，5，6 B．3，4，5 C．20，21，29 D．8，15，17
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
3．（2024·盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠1=55°，∠BAC=90°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=35°，
∵直尺两边是平行的，
∴∠2=∠ABC=35°.
故答案为：B.
【分析】由对顶角相等可得∠ACB=∠1=55°，再利用三角形内角和求出∠ABC=35°，然后根据平行线的性质即可求解.
4．（2024·上海）如果，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；
B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；
C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；
D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。
5．（2024·巴中）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=40°，∠1与∠4是对顶角，
∴∠4=∠1=40°，
∴∠3=30°+40°=70°，
∵m∥n，
∴∠2=∠3=70°.
故答案为：A.
【分析】由对顶角相等得∠4=∠1=40°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠3=30°+40°=70°，最后根据两直线平行，内错角相等可求出∠2的度数.
6．（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 （ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°.
故答案为：C.
【分析】先由三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，再根据全等三角形的对应角相等可求出∠DCE的度数.
7．（2024·遂宁）不等式组的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＜3，
由②得x≥2，
∴该不等式组的解集为：2≤x＜3，
A、此选项数轴上表示的解集是x≤2，故此选项不符合题意；
B、此选项数轴上表示的解集是2≤x＜3，故此选项符合题意；
C、此选项数轴上表示的解集是x＞3，故此选项不符合题意；
D、此选项数轴上表示的解集是2＜x≤3，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”读出各个选项数轴所表示的不等式，即可判断得出答案.
8．（2024·泰安）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 等边三角形ABC
∴ ∠ABC=∠ACB=60°
∵直线l∥m
∴ ∠EBC+∠DCB=180°
∴ ∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°
即 21°+60°+60°+∠ACD=180°
∴ ∠ACD=39°
故答案为：B.
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键；由等边三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根据直线l∥m得 ∠EBC+∠DCB=180°，可得 ∠ACD=39°.
9．（2018·新疆）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A．85° B．75° C．60° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故答案为：B．
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠C=∠ABC=30°，根据三角形的内角和及等腰三角形两底角相等得出答案。
10．（2022·攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形.若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：，，，
，，
，
，
故答案为：A.
【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理算出OB的长，再根据含30°角直角三角形的性质得出AB的长，最后在Rt△BCO中，再根据勾股定理算出OA的长即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·无锡）请写出命题“如果 ，那么 ”的逆命题： .
【答案】如果b-a＜0，那么a＞b
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“如果 ，那么 ”的逆命题是“如果 ，那么 ”，
故答案为：如果b-a＜0，那么a＞b.
【分析】命题"如果a>b，那么b-a<0"的条件为：a>b，结论为b-a<0，将条件与结论互换可得原命题的逆命题，据此解答.
12．（2024八下·南昌期末）一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 ．
【答案】120
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设三边的长是，，，
代入周长公式得：，
解得：，
则三角形三边长是10 ，24 ，26 ．
∵
∴根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，
∴三角形的面积是
故答案为：120
【分析】设三边的长是，，，根据周长即可求得，则三角形三边长是10 ，24 ，26 ，利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解即可．
13．（2024·成都）如图，，若，，则的度数为 .
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDE，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠E=45°，
∴∠DCE=180°-∠D-∠E=100°.
故答案为：100°.
【分析】由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠E=45°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DCE的度数.
14．（2019·广安）等腰三角形的两边长分别为 ，其周长为 cm．
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为 时，三角形三边长为 ，不能构成三角形；（2）当腰长为 时，三角形三边长为 ，周长
故答案为32
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，故两腰的长度为13cm，故可求出三角形的周长。
15．（2018·山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于 CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，作高线BG，
，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠1=∠2=30°，
∵MN∥PQ，
∴∠2=∠3=30°
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
∵AB=2，
∴BG= AB=1，
∴AG= ，
∴AF=2AG=2 ，
故答案为：2 ．
【分析】如图，作高线BG，由题意得：AF平分∠NAB，根据角平分线的定义得出∠1=∠2=30°，根据二直线平行，内错角相等得出∠2=∠3=30°，故∠1=∠3=30°，根据等腰三角形的性质得出AB=BF，AG=GF，根据含30 直角三角形的边之间的关系得出BG的长，进而根据勾股定理算出AG的长，从而得出答案。
16．（2022八下·临清期中）关于x的一元一次不等式组恰有一个整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的解及解集；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】根据题意有x的解集为：，
∵x恰有一个整数解，
∴该整数解为3，
∴m的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023·苏州）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出解集即可.
18．（2017·巴中）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解： ，
解不等式①得，x＜3，
解不等式②得，x≥﹣2，
所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜3
在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解并在数轴上表示出来.
19．（2024·镇江）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °．
【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）；
（2）20
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，
∴∠DBA＝90°-70°＝20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA＝20°，
故答案为：20．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△BAD；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAB=20°，由（1）得△ABC≌△BAD，根据全等三角形对应角相等得∠CAB＝∠DBA＝20°.
20．（2023·怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
【答案】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）解：∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再求出， 最后作答即可；
（3）根据题意先求出 种客车越少，费用越低， 再计算求解即可。
21．（2023·聊城）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，进而更加三角形全等的判定与性质证明，进而等腰三角形的性质结合题意即可求解；
（2）过点E作于F，先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。
22．（2024八下·娄星期末）国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表不完整．
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长：组员：，，
工具 皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图中的长度 米
图中的长度 米
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度；
（2）该校礼仪队要求旗手在不少于秒且不超过秒的时间内将五星红旗从旗杆底部处升至顶部处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围计算结果精确到．
【答案】（1）解：由图可得绳子的长度比旗杆的高度多米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
由图可得，在中，，即，
解得，
答：旗杆的高度为米．
（2）解：厘米米，
米，
米秒，
米秒．
答：五星红旗升起的速度不小于米秒且不大于米秒．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）设旗杆的高度为米，在Rt△ABD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）根据速度=路程÷时间计算即可求解.
23．（2024七下·福田期末）综合与实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维.以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，点D为线段AB上的一动点（点D不与A，B重合），以CD为边作等腰△CDE，CD=CE，∠ACB=∠DCE=，连接BE.解答下列问题：
①【观察发现】
如图1，当时，线段AD，BE的数量关系为 ▲ ，.∠ABE= ▲ °；
②【类比探究】
如图2，当时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由；
（2）【拓展延伸】如图3，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，连接AC，若AC=8，则四边形ABCD的面积为多少 （直接写出结果）.
【答案】（1）解：（1）①线段AD，BE的数量关系为 AD=BE （或相等），
∠ABE＝ 90 °；
②AC∥BE，
理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
∵CA=CB，
∴∠A=∠CBA=，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A=∠CBE=60°，
∴∠ACB=∠CBE，
∴AC∥BE；
（2）解：32
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
故答案为：，90．
（2）如图2，过A作AG⊥AC交CB延长线于G，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACD+∠CDA+∠CAD=180°
∴∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∵∠ABC+∠ABG=180°
∴∠ADC=∠ABG
∵∠DAB=∠CAG=90°
∴∠DAB-∠BAC=∠CAG-∠BAC
即∠DAC=∠BAG
在△ACD和△AGB中，
∴△ACD≌△AGB（ASA）
∴S△ACD=S△AGB，AG=AC
∴S△ACD+S△ABC=S△AGB+S△ABC
∴S四边形ABCD=S△ACG=.
【分析】（1）①先根据题意进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而即可得到，再等量代换即可求解；
②根据题意进行角的运算得到∠ACD=∠BCE，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）结合三角形内角和定理得到∠A=∠CBA=，再根据三角形全等的判定与性质证明△ACD≌△BCE（SAS）得到∠A=∠CBE=60°，从而根据平行线的判定即可求解；
（2）过A作AG⊥AC交CB延长线于G，根据题意进行角的运算得到∠ADC=∠ABG，从而得到∠DAC=∠BAG，再根据三角形全等的判定与性质证明△ACD≌△AGB（ASA）得到S△ACD=S△AGB，AG=AC，从而即可得到S△ACD+S△ABC=S△AGB+S△ABC，再根据S四边形ABCD=S△ACG即可求解。
24．（2024八下·信宜月考）综合与运用
阅读理解：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“友好方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围．
【答案】（1）①③
（2）解：
由①得：，解得：，
由②得：，解得：，
，
把代入得：
解得：，
的取值范围．
【知识点】解一元一次不等式组；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：（1）①，解得：，
②，解得：，
③，解得：，
由得原不等式组的解集为：，
不等式组的“友好方程”是：①③，
故答案为：①③；
【分析】（1）根据解一元一次方程的方法分别解出三个方程的解；然后根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出不等式组的解集，进而根据不等式组的“友好方程”定义判断即可；
（2）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集；根据解一元一次方程的方法求出方程的解，然后代入不等式组的解可得关于字母k的不等式组，求解即可.
25．（2024七下·南海期中）如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题：
（1）若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度；
（2）在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求.
（3）三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由.
【答案】（1）45
（2）解：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠N=∠M=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ NC=AM=6，BN=CM=2，
∴ MN=NC+CM=AM+BN=8；
（3）AM+MN=BN，
理由：∵ AM⊥MN，BN⊥MN，
∴ ∠CNB=∠AMC=90°，
∴ ∠NBC+∠BCN=90°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCN+∠MCA=90°，
∴ ∠NBC=∠MCA，
∵ AC=BC，
∴ △NBC≌△MCA（AAS），
∴ CN=AM，BN=CM，
∴ MN=CM-CN=BN-AM，
即MN=BN-AM.
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ∠C=90°，AC=BC，
∴ ∠B=45°，
∵ AB∥MN，
∴ ∠2=∠B=45°；
故答案为：（1）45；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=45°，根据平行四边形的性质，即可求得；
（2）根据垂直的定义可得∠N=∠M=90°，根据同角的余角相等可得∠NBC=∠MCA，依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CN+CM，即可求得；
（3）同（2）依据AAS判定△NBC≌△MCA推出CN=AM，BN=CM，根据位置关系可得MN=CM-CN，即可求得.
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