浙教版数学八年级上册期中模拟测试卷 B
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·眉山） 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·雅安）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
5．（2020·宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
6．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
8．（2024·广州） 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
9．（2024·南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
10．（2024·遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”
如图2，在中，，点D，E在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·无锡）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 命题．（填“真”或“假”）
12．（2024·济南）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝ °．
13．（2024·黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
14．（2023·牡丹江）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）
15．（2024·绥化）如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 。
16．（2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024·眉山） 解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
18．（2023·济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．（2024·常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 ．
20．（2019·广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
21．（2023·长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
22．（2022·黄石）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．（2024·新疆维吾尔自治区）
（1）【探究】
已知和都是等边三角形.
①如图1，当点在BC上时，连接CE.请探究CA，CE和CD之间的数是关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由.
（2）【运用】
如图3，等边三角形ABC中，，点在AC上，.点是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当为直角三角形时，请直接写出BD的长.
24．（2024八上·南宁开学考）【阅读理解】
已知，，是三个实数，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数．
如，；
，；
解决下列问题：
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的值：
（3）由（2）可得结论：“若，则______”（填，，的大小关系），运用这个结论解决问题：若，求的值．
25．（2024九上·新会开学考）阅读下列材料，并回答问题．
画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则这个结论就是著名的勾股定理．
请利用这个结论，完成下面的活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为 ．
（2）满足勾股定理方程的正整数组叫勾股数组．例如就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数
①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
（3）如图，于D，，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此标志图案是轴对称图形，故A符合题意；
B、此标志图案不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此标志图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此标志图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据三角形内角和定理结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
不等式①的解集为：x≥2，
不等式②的解集为：x＜6，
∴不等式组的解集为：2≤x＜6.
故答案为：C.
【分析】由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集；在数轴上表示解集时，再根据“＜”空心向左、“≥”实心向右即并结合各选项可判断求解.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD=50°，
∴∠D=∠ABD=50°，
∵∠DEF=∠D+∠DCE=120°，
∴∠DCE=∠DEF-∠D=120°-50°=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°.
故答案为：70°.
【分析】先由二直线平行，内错角相等，得∠D=∠ABD=50°，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DCE=∠DEF-∠D=70°，最后根据对顶角相等可得∠ACB的度数.
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个
由题意得： ，解得4≤x≤6
则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．
故答案为B．
【分析】设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．
6．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴∠AOB=∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴，，
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOE=∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B选项错误，符合题意；
∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
又∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，故C选项正确，不符合题意；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD=90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC=90°，
∵∠COF=∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC=90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC=90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，
即∠BOC+∠AOD=180°，故D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠COD，根据等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再结合OE⊥OF即可判断A选项，根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应边上的中线相等可得OE=OF，即可判断C选项，结合A选项中结论即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判断D选项.
7．【答案】C
【知识点】“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，即BC=12.
故答案为：C.
【分析】设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，
又∵AE=CF，
∴△AED≌△CFD，
∴S△AED=S△CFD，
∵S四边形AEDF=S△AED+S△ADF，
∴S四边形AEDF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC=××AB×AC=9.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由等腰直角三角形性质得AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，从而用SAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的面积相等得S△AED=S△CFD，进而利用割补法及等量代换，根据S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC可算出答案.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m>n），
∴中间小正方形的边长为m-n，
∴（m-n）2=m2-2mn+n2=5，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2=21，
∴（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，
∴m2+n2=13，
∴大正方形面积为13，
故答案为：B.
【分析】先求出中间小正方形的边长为m-n，再利用完全平方公式得（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，从而求出m2+n2=13，利用勾股定理可知大正方形面积为m2+n2，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD=AE，∠BAE=∠CAD，
在△ABD与△ABE中，
∵∠B=∠B，AB=AB，AD=AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ABD与△ACD中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AD=AD，∠BAD≠∠DAC，
∴△ABD与△ACD为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ABE中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AE=AE，∠BAE≠∠CAE，
∴△ACE与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ACD中，
∵∠C=∠C，AC=ACAD=AE，∠CAE≠∠CAD，
∴△ACE与△ACD为“伪全等三角形”，
综上，图中“伪全等三角形”有4对.
故答案为：D.
【分析】首先由等边对等角得∠B=∠C，从而由SAS判断出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质得AD=AE，∠BAE=∠CAD，从而再根据“伪全等三角形”的定义即可找出图中的“伪全等三角形”.
11．【答案】假
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴a-3>b-3，
∴命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是假命题，
故答案为：假.
【分析】根据题意得：a＞b，则a﹣3>b﹣3，即可求解.
12．【答案】65
【知识点】等腰直角三角形；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠2=180°-∠3-∠ABC=65°.
故答案为：65.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠3=∠1=70°，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，然后根据平角定义求解即可.
13．【答案】a＜0
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 关于x的不等式组，
解①得：x≤2；
解②得：x>2a，
∵不等式组恰好有3个整数解，
易分析该3个整数解为0，1，2，
即，
解得：a＜0
故答案为：a＜0.
【分析】解含参不等式组，即用参数a表示不等式组的解，进而由恰好3个整数解分析含参数解所在位置范围，需注意代入分析尝试临界整数值是否能取等问题.
14．【答案】或或
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C.
由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，
故应添加一组对应边相等，即AB=CD或AO=DO或BO=CO.
故答案为：AB=CD或AO=DO或BO=CO.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，∠B=∠C，由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
15．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
16．【答案】48
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y，
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2，
由题意得：正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边，
∴正方形c的面积为4；
根据勾股定理可得：x2+y2=22=4，
∴正方形a的面积+正方形b的面积=4；
∴：图①中所有正方形的面积和=4+4-8；
同理可得：正方形e的面积+正方形的面积=正方形a的面积，正方形g的面积+正方形h的面积= 正方形b的面积，
∴正方形e的面积+正方形的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.
∴图②中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和+4=12；
即一次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12；
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4，
∴2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16；
∴10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48.
故答案为：48.
【分析】 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和=8+4；同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2 次操作后所有正方形的面积和=8+2×4；……那么可推断10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4.
17．【答案】解：，
，
，
，
，
，
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集.
18．【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质求出不等式组的解集是，再求整数解即可。
19．【答案】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC为等腰三角形；
（2）AD∥l
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（2）连接AD，如图：
由（1）得，△GEC为等腰三角形；
∴GE=GC，
∵AC=DE，
∴DE－GE=AC－GC，即AG=DG，
∴∠GAD=∠GDA，
又∵∠AGD=∠EGC，∠ACB＝∠DEF，
∴，
∴AD//l.
【分析】（1）利用SSS证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB＝∠DEF，再根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得GE=GC，再结合等式的性质可得AG=DG，于是有∠GAD=∠GDA，于是可结合三角形的内角和定理证明∠GAD=∠ACB，再根据平行线的判定定理即可得到结论.
20．【答案】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
21．【答案】（1）解：设胜了场，负了场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）解：设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，
解得，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设胜了场，负了场，根据“每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据题意即可列出不等式，进而解不等式即可得到m的取值范围，从而结合题意即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，即．
在与中，
，
∴≌（SAS）；
（2）解：由（1）得，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴且，
在中∵且
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等，可推出∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE；
（2）利用全等三角形性质及等腰直角三角形的性质得∠ACE=∠ABD=∠AED=45°，利用三角形的内角和定理可求出∠AEC的度数，然后根据∠CED=∠AEC-∠AED，代入计算求出∠CED的度数.
23．【答案】（1）解：①．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：过作，则为等边三角形．
①当点在左侧时，如图1，
，，，
，
，
此时不可能为直角三角形．
②当点在右侧，且在线段上时，如图2，
同理可得，
，，
此时只有有可能为，
当时，，
，
，
，
又，
．
③当点在右侧，且延长线上时，如图3，
此时只有，
，
，
，
，
，
．
综上：的长为或
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①先根据等边三角形的性质得到，，，进而进行角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到CE=BD，进而根据线段的运算即可求解；
②先根据等边三角形的性质得到，，，进而根据角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，根据线段的运算即可求解；
（2）过作，则为等边三角形，进而分类讨论：①当点在左侧时，②当点在右侧，③当点在右侧，且延长线上时，进而根据三角形全等的判定与性质结合直角三角形的判定即可求解。
24．【答案】（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：，，
∴，
∴，
解得
（3）解：根据（2）可得；
故答案为：；
根据题意，得，
解得，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据新定义可得出，解不等式组即可求出答案.
（2）先求得，根据新定义，列出不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）根据（2）的结论得出a、b、c的关系，然后列出方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：，，
∴，
∴，
解得
（3）解：根据（2）可得；
故答案为：；
根据题意，得，
解得，
∴．
25．【答案】（1）10
（2）11，60，61
（3）解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股数
【解析】【解答】（1）解：该直角三角形的斜边长为：；
故答案为：10；
（2）解：∵①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
第⑤组勾股数为：11，60，61；
故答案为：11，60，61；
【分析】（1）根据“在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方”，可得出这个直角三角形斜边长；
（2）先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 由以上特点我们可第⑤组勾股数
（3）先利用HL判断出Rt△ADC≌Rt△BDE，由全等三角形的对应边相等得AD=BD，在Rt△ACD中根据勾股定理求得AD，再证明从而得出BD的长度．
（1）解：依题意；
故答案为：10
（2）解：∵①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
第⑤组勾股数为：11，60，61；
故答案为：11，60，61；
（3）解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
1 / 1浙教版数学八年级上册期中模拟测试卷 B
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·眉山） 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、此标志图案是轴对称图形，故A符合题意；
B、此标志图案不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此标志图案不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、此标志图案不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．（2024·通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据三角形内角和定理结合题意即可求解。
3．（2024·雅安）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
不等式①的解集为：x≥2，
不等式②的解集为：x＜6，
∴不等式组的解集为：2≤x＜6.
故答案为：C.
【分析】由题意先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集；在数轴上表示解集时，再根据“＜”空心向左、“≥”实心向右即并结合各选项可判断求解.
4．（2023·深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD=50°，
∴∠D=∠ABD=50°，
∵∠DEF=∠D+∠DCE=120°，
∴∠DCE=∠DEF-∠D=120°-50°=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°.
故答案为：70°.
【分析】先由二直线平行，内错角相等，得∠D=∠ABD=50°，然后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DCE=∠DEF-∠D=70°，最后根据对顶角相等可得∠ACB的度数.
5．（2020·宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个
由题意得： ，解得4≤x≤6
则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．
故答案为B．
【分析】设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．
6．（2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴∠AOB=∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴，，
∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOE=∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF=90°，即∠BOD=90°，
∴OB⊥OD，故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B选项错误，符合题意；
∵△OAB与△ODC关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
又∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，故C选项正确，不符合题意；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD=90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC=90°，
∵∠COF=∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC=90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC=90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°，
即∠BOC+∠AOD=180°，故D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质得出∠AOB=∠COD，根据等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合可推得∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF，再结合OE⊥OF即可判断A选项，根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，根据全等三角形对应边上的中线相等可得OE=OF，即可判断C选项，结合A选项中结论即可得出∠BOC+∠COD=90°，∠AOB+∠BOC=90°，即可判断D选项.
7．（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，
在Rt△ABC中，∵BC2+AC2=AB2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得x=12，即BC=12.
故答案为：C.
【分析】设BC=x，则BD=AB=BC+CD=x+1，在Rt△ABC中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
8．（2024·广州） 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，
又∵AE=CF，
∴△AED≌△CFD，
∴S△AED=S△CFD，
∵S四边形AEDF=S△AED+S△ADF，
∴S四边形AEDF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC=××AB×AC=9.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由等腰直角三角形性质得AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，从而用SAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的面积相等得S△AED=S△CFD，进而利用割补法及等量代换，根据S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC可算出答案.
9．（2024·南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m>n），
∴中间小正方形的边长为m-n，
∴（m-n）2=m2-2mn+n2=5，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2=21，
∴（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，
∴m2+n2=13，
∴大正方形面积为13，
故答案为：B.
【分析】先求出中间小正方形的边长为m-n，再利用完全平方公式得（m-n）2+（m+n）2=2（m2+n2）=26，从而求出m2+n2=13，利用勾股定理可知大正方形面积为m2+n2，即可求解.
10．（2024·遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”
如图2，在中，，点D，E在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD=AE，∠BAE=∠CAD，
在△ABD与△ABE中，
∵∠B=∠B，AB=AB，AD=AE，∠BAD≠∠BAE，
∴△ABD与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ABD与△ACD中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AD=AD，∠BAD≠∠DAC，
∴△ABD与△ACD为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ABE中，
∵∠B=∠C，AB=AC，AE=AE，∠BAE≠∠CAE，
∴△ACE与△ABE为“伪全等三角形”；
在△ACE与△ACD中，
∵∠C=∠C，AC=ACAD=AE，∠CAE≠∠CAD，
∴△ACE与△ACD为“伪全等三角形”，
综上，图中“伪全等三角形”有4对.
故答案为：D.
【分析】首先由等边对等角得∠B=∠C，从而由SAS判断出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质得AD=AE，∠BAE=∠CAD，从而再根据“伪全等三角形”的定义即可找出图中的“伪全等三角形”.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·无锡）命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a>b，
∴a-3>b-3，
∴命题“若a＞b，则a﹣3＜b﹣3”是假命题，
故答案为：假.
【分析】根据题意得：a＞b，则a﹣3>b﹣3，即可求解.
12．（2024·济南）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝ °．
【答案】65
【知识点】等腰直角三角形；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠2=180°-∠3-∠ABC=65°.
故答案为：65.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠3=∠1=70°，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，然后根据平角定义求解即可.
13．（2024·黑龙江）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】a＜0
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 关于x的不等式组，
解①得：x≤2；
解②得：x>2a，
∵不等式组恰好有3个整数解，
易分析该3个整数解为0，1，2，
即，
解得：a＜0
故答案为：a＜0.
【分析】解含参不等式组，即用参数a表示不等式组的解，进而由恰好3个整数解分析含参数解所在位置范围，需注意代入分析尝试临界整数值是否能取等问题.
14．（2023·牡丹江）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）
【答案】或或
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C.
由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，
故应添加一组对应边相等，即AB=CD或AO=DO或BO=CO.
故答案为：AB=CD或AO=DO或BO=CO.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，∠B=∠C，由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
15．（2024·绥化）如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 。
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
16．（2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
【答案】48
【知识点】勾股树模型
【解析】【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y，
∴正方形a的面积为x2，正方形b的面积为y2，
由题意得：正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边，
∴正方形c的面积为4；
根据勾股定理可得：x2+y2=22=4，
∴正方形a的面积+正方形b的面积=4；
∴：图①中所有正方形的面积和=4+4-8；
同理可得：正方形e的面积+正方形的面积=正方形a的面积，正方形g的面积+正方形h的面积= 正方形b的面积，
∴正方形e的面积+正方形的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.
∴图②中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和+4=12；
即一次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+4=12；
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4，
∴2次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16；
∴10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4=8+40=48.
故答案为：48.
【分析】 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和=8+4；同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2 次操作后所有正方形的面积和=8+2×4；……那么可推断10次操作后所有正方形的面积和=图①中所有正方形的面积和+10×4.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024·眉山） 解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
其解集在数轴上表示如下：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集.
18．（2023·济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质求出不等式组的解集是，再求整数解即可。
19．（2024·常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 ．
【答案】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC为等腰三角形；
（2）AD∥l
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（2）连接AD，如图：
由（1）得，△GEC为等腰三角形；
∴GE=GC，
∵AC=DE，
∴DE－GE=AC－GC，即AG=DG，
∴∠GAD=∠GDA，
又∵∠AGD=∠EGC，∠ACB＝∠DEF，
∴，
∴AD//l.
【分析】（1）利用SSS证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB＝∠DEF，再根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得GE=GC，再结合等式的性质可得AG=DG，于是有∠GAD=∠GDA，于是可结合三角形的内角和定理证明∠GAD=∠ACB，再根据平行线的判定定理即可得到结论.
20．（2019·广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【答案】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
21．（2023·长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
【答案】（1）解：设胜了场，负了场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）解：设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，
解得，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设胜了场，负了场，根据“每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据题意即可列出不等式，进而解不等式即可得到m的取值范围，从而结合题意即可求解。
22．（2022·黄石）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即．
在与中，
，
∴≌（SAS）；
（2）解：由（1）得，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴且，
在中∵且
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等，可推出∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE；
（2）利用全等三角形性质及等腰直角三角形的性质得∠ACE=∠ABD=∠AED=45°，利用三角形的内角和定理可求出∠AEC的度数，然后根据∠CED=∠AEC-∠AED，代入计算求出∠CED的度数.
23．（2024·新疆维吾尔自治区）
（1）【探究】
已知和都是等边三角形.
①如图1，当点在BC上时，连接CE.请探究CA，CE和CD之间的数是关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由.
（2）【运用】
如图3，等边三角形ABC中，，点在AC上，.点是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当为直角三角形时，请直接写出BD的长.
【答案】（1）解：①．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
②．理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：过作，则为等边三角形．
①当点在左侧时，如图1，
，，，
，
，
此时不可能为直角三角形．
②当点在右侧，且在线段上时，如图2，
同理可得，
，，
此时只有有可能为，
当时，，
，
，
，
又，
．
③当点在右侧，且延长线上时，如图3，
此时只有，
，
，
，
，
，
．
综上：的长为或
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）①先根据等边三角形的性质得到，，，进而进行角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到CE=BD，进而根据线段的运算即可求解；
②先根据等边三角形的性质得到，，，进而根据角的运算得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，根据线段的运算即可求解；
（2）过作，则为等边三角形，进而分类讨论：①当点在左侧时，②当点在右侧，③当点在右侧，且延长线上时，进而根据三角形全等的判定与性质结合直角三角形的判定即可求解。
24．（2024八上·南宁开学考）【阅读理解】
已知，，是三个实数，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数．
如，；
，；
解决下列问题：
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的值：
（3）由（2）可得结论：“若，则______”（填，，的大小关系），运用这个结论解决问题：若，求的值．
【答案】（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：，，
∴，
∴，
解得
（3）解：根据（2）可得；
故答案为：；
根据题意，得，
解得，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据新定义可得出，解不等式组即可求出答案.
（2）先求得，根据新定义，列出不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）根据（2）的结论得出a、b、c的关系，然后列出方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：根据题意，得，
解得；
（2）解：，，
∴，
∴，
解得
（3）解：根据（2）可得；
故答案为：；
根据题意，得，
解得，
∴．
25．（2024九上·新会开学考）阅读下列材料，并回答问题．
画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则这个结论就是著名的勾股定理．
请利用这个结论，完成下面的活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为 ．
（2）满足勾股定理方程的正整数组叫勾股数组．例如就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数
①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
（3）如图，于D，，求的长度．
【答案】（1）10
（2）11，60，61
（3）解：，
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在和中，
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，
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【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；勾股数
【解析】【解答】（1）解：该直角三角形的斜边长为：；
故答案为：10；
（2）解：∵①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
第⑤组勾股数为：11，60，61；
故答案为：11，60，61；
【分析】（1）根据“在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方”，可得出这个直角三角形斜边长；
（2）先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 由以上特点我们可第⑤组勾股数
（3）先利用HL判断出Rt△ADC≌Rt△BDE，由全等三角形的对应边相等得AD=BD，在Rt△ACD中根据勾股定理求得AD，再证明从而得出BD的长度．
（1）解：依题意；
故答案为：10
（2）解：∵①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
第⑤组勾股数为：11，60，61；
故答案为：11，60，61；
（3）解：，
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在和中，
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