浙教版数学八年级上册期中模拟测试卷 C
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·滨州） 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可.
2．（2024·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠3=50°，
∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形内角和定理即可求解.
3．（2024·常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，连接OP，如图：
∵点P在∠AOB的角平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM=PN.
图中直尺都是矩形，对边平行，
根据平行线之间的距离处处相等，可得d1=PN，d2=PM，
∴d1=d2
故答案为：A.
【分析】过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，先根据角平分线的性质得到PM=PN；再根据“平行线之间的距离处处相等”得d1=PN，d2=PM，即可得到d1=d2.
4．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，∵AB∥OF，∠1=155°，
∴∠BFO=180°-∠1=25°，
∵∠POF=∠2=30°，
∴∠3=∠POF+∠BFO=30°+25°=55°；
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可求出∠BFO=25°，由对顶角相等可得∠POF=∠2=30°，根据三角形外角的性质可得∠3=∠POF+∠BFO，据此即可求解.
5．（2024·凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD=BD.
∵△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=50cm，
∴AC+BC=50cm.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，表示出△ACD的周长，即可得AC+BC的长.
6．（2023·甘孜）如图，AB与CD相交于点，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、不能证明△，A不符合题意；
B、由可得，，可利用证明，B符合题意；
C、不能证明，C不符合题意；
D、不能证明，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
7．（2024·资阳）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠C=90°-∠D=90°-50°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°-40°=140°.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证∠CED=90°，再利用直角三角形的两锐角互余可求出∠C的度数，然后利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠A的度数.
8．（2022·金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，
∵两点之间，线段最短，
∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.
故答案为：C.
【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.
9．（2022·遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形.若，，则点B到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABO与Rt△BOC中，
，，
，
，
设B到OC的距离为h，
，
.
故答案为：B.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得OB=2AB=2，利用勾股定理求出OC，设B到OC的距离为h，根据△BOC的面积公式就可求出h的值.
10．（2018·泰安）不等式组 有3个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组 ，由 ﹣ x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组 有3个整数解，
得：7≤2﹣a＜8，解得：﹣6＜a≤﹣5．
故答案为：B．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由题意可知
x※m=x+3m，
∴x+3m＜2，
x＜-3m+2，
此不等式有且只有一个正整数解，
∴1＜-3m+2≤2
解之：
故答案为：.
【分析】利用定义新运算可知x※m=x+3m，据此可得到关于x的不等式，再求出此不等式的解集，根据此不等式有且只有一个正整数解，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组，然后求出不等式组的解集.
12．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】60
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB，CH⊥BF，垂足分别为点G和点H，过点A作AO⊥BC，垂足为点O，
∵AB=AC，BF∥AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
∴CG=CH，
又∵BF=AE，
∴，
在等腰△ABC中，AB=AC=13，
∴BO=CO=，
在Rt△AOB中，
AO=，
∴，
∴.
故答案为：60.
【分析】利用平行和等腰推出角平分线，进而利用角平分线性质将目标四边形的一部分面积进行转化，将不规则四边形的面积转化为定△ABC的面积，最后利用三线合一构造直角结合勾股定理求其面积即求得目标四边形面积即可.
13．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36° ，
∴，
∵BD平分∠ABC ，
∴，
∴，
∴，
∵BC=2，
∴AD=DB=BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，利用角平分线概念求出及相关度数，根据三角形内角和和等腰三角形判定即可求出AD长度.
14．（2023·南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
【答案】m
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵a，b，c是勾股数，a，b均小于c，
a2+b2=c2即b2=c2-a2，
∴b2=c2-a2=，
∵m是大于1的奇数，
∴b=m.
故答案为：m.
【分析】利用已知和勾股定理可得到b2=c2-a2，将a，c代入可得到b2=m2，根据m是大于1的奇数，可得到b=m.
15．（2023·通辽）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
【答案】1
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设点P需运动t秒，点D落在边BC上，
∵△PQD为等边三角形，
∴∠DPQ=60°，
∴∠BPD=180°-∠APQ-∠DPQ=180°-90°-60°=30°，
∴∠BDP=180°-∠B-∠BPD=180°-60°-30°=90°，∠AQP=180°-∠APQ-∠A=180°-90°-60°=30°.
∵∠BDP=∠APQ，∠BPD=∠AQP=30°，DP=PQ，
∴△BDP≌△APQ（ASA），
∴BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t.
∵∠BPD=30°，
∴BD=BP，
∴2t=(6-2t)，
解得t=1.
故答案为：1.
【分析】设点P需运动t秒，点D落在边BC上，由等边三角形的性质可得∠DPQ=60°，由平角的概念可得∠BPD=30°，结合内角和定理可得∠BDP=90°，∠AQP=30°，利用ASA证明△BDP≌△APQ，得到BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=BP，据此求解.
16．（2024·连云港）如图，直线，直线，则 °.
【答案】30
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l⊥a，
∴∠4=90°，
又∵ 直线，
∴∠3=∠4=90°，
又∵∠1=∠2+∠3，
∴∠2=∠1-∠3=120°-90°=30°，
故答案为：30.
【分析】由平行线的性质及三角形内角和或内角和的推论逐一求角往目标角靠拢即可.
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2020·威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
【答案】解：
由①得：x≥ 1；
由②得：x＜3；
∴原不等式组的解集为 1≤x＜3，
在坐标轴上表示：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．
18．（2022·扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和.
【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集，据此可得不等式组的整数解，然后求和即可.
19．（2022·武汉）如图，在四边形中，，.
（1）求的度数；
（2）平分交于点，.求证：.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）证明：∵平分，∴.
∵，∴.
∵，∴.
∴.
另解：运用三角形内角和也可以得证.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B+∠BAD=180°，结合∠B的度数可得∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的概念可得∠DAE=∠BAD=50°，根据平行线的性质可得∠AEB=∠DAE=50°，推出∠BCD=∠AEB，然后根据平行线的判定定理进行证明.
20．（2022·长沙）如图，AC平分，垂足分别为B，D.
（1）求证：；
（2）若，求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明： AC平分，
，
，
（2）解：，，
，
，
，
四边形ABCD的面积
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CAB=∠CAD，根据垂直的概念可得∠B=∠D=90°，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AB=AD=4，BC=CD=3，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
21．（2023·长沙）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，进而根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
（2）先根据三角形全等的性质得到，进而根据勾股定理求出AC，再结合题意运用即可求解。
22．（2023·黄冈）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【答案】（1）解：设A，B两种型号的单价分别为元和元，
由题意：，
解得：，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；
（2）解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个，
由题意：，
解得：，
∴至少需购买A型垃圾桶125个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种型号的单价分别为x元和y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元可得3x+4y=580；根据购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元可得6x+5y=860，联立求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶a个，则购买B型垃圾桶(200-a)个，根据A的单价×个数+B的单价×个数=总费用结合题意可得关于a的不等式，求解即可.
23．（2023·苏州）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
由作图可得AE=AF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=40°
由作图可得AE=AD，
∴∠ADE=70°，
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=20°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，由作图知AE=AF，由SAS判断出△ADE≌△ADF；
（2）由角平分线的定义得∠EAD=40°，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠ADE=70°，由等腰三角形的三线合一得∠ADB=90°，最后根据角的和差可算出∠BDE的度数.
24．（2022·资阳）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）解：由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD，由已知条件可知AB=CE，CD=CB，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CED=∠A=90°，设BE=x，则CD=BC=3+x，在Rt△BED、Rt△CED中，根据勾股定理可得x，然后求出DE、BC，再根据三角形的面积公式进行计算.
25．（2022·安顺）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
（1）求证：；
（2）若时，求的长．
【答案】（1）证明： 是等腰直角三角形，
，
，
，
在 与 中
；
（2）解：在 中， ， ，
，
，
，
，
，
∴∠ADC=∠ACD，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得出∠DAE=90°，AD= AE，根据角的和差关系求出∠BAD=∠CAE，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
(2)根据勾股定理求得BC的长，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ADC=∠ACD，得出AC=DC，再根据BD= BC - CD，即可解答.
26．（2022·青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
【答案】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ，最后求解即可。
1 / 1浙教版数学八年级上册期中模拟测试卷 C
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·滨州） 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2024·常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
4．（2023·山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
6．（2023·甘孜）如图，AB与CD相交于点，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·资阳）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
8．（2022·金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形.若，，则点B到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2018·泰安）不等式组 有3个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 .
12．（2024·陕西）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
13．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
14．（2023·南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
15．（2023·通辽）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．
16．（2024·连云港）如图，直线，直线，则 °.
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2020·威海）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
18．（2022·扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和.
19．（2022·武汉）如图，在四边形中，，.
（1）求的度数；
（2）平分交于点，.求证：.
20．（2022·长沙）如图，AC平分，垂足分别为B，D.
（1）求证：；
（2）若，求四边形ABCD的面积.
21．（2023·长沙）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2023·黄冈）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
23．（2023·苏州）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
24．（2022·资阳）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
25．（2022·安顺）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．
（1）求证：；
（2）若时，求的长．
26．（2022·青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠3=50°，
∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形内角和定理即可求解.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，连接OP，如图：
∵点P在∠AOB的角平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM=PN.
图中直尺都是矩形，对边平行，
根据平行线之间的距离处处相等，可得d1=PN，d2=PM，
∴d1=d2
故答案为：A.
【分析】过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，先根据角平分线的性质得到PM=PN；再根据“平行线之间的距离处处相等”得d1=PN，d2=PM，即可得到d1=d2.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，∵AB∥OF，∠1=155°，
∴∠BFO=180°-∠1=25°，
∵∠POF=∠2=30°，
∴∠3=∠POF+∠BFO=30°+25°=55°；
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可求出∠BFO=25°，由对顶角相等可得∠POF=∠2=30°，根据三角形外角的性质可得∠3=∠POF+∠BFO，据此即可求解.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD=BD.
∵△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=50cm，
∴AC+BC=50cm.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，表示出△ACD的周长，即可得AC+BC的长.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、不能证明△，A不符合题意；
B、由可得，，可利用证明，B符合题意；
C、不能证明，C不符合题意；
D、不能证明，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
7．【答案】B
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠C=90°-∠D=90°-50°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°-40°=140°.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证∠CED=90°，再利用直角三角形的两锐角互余可求出∠C的度数，然后利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠A的度数.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，
∵两点之间，线段最短，
∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.
故答案为：C.
【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABO与Rt△BOC中，
，，
，
，
设B到OC的距离为h，
，
.
故答案为：B.
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得OB=2AB=2，利用勾股定理求出OC，设B到OC的距离为h，根据△BOC的面积公式就可求出h的值.
10．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：不等式组 ，由 ﹣ x＜﹣1，解得：x＞4，
由4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a，
故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a，
由关于x的不等式组 有3个整数解，
得：7≤2﹣a＜8，解得：﹣6＜a≤﹣5．
故答案为：B．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围即可。
11．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由题意可知
x※m=x+3m，
∴x+3m＜2，
x＜-3m+2，
此不等式有且只有一个正整数解，
∴1＜-3m+2≤2
解之：
故答案为：.
【分析】利用定义新运算可知x※m=x+3m，据此可得到关于x的不等式，再求出此不等式的解集，根据此不等式有且只有一个正整数解，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组，然后求出不等式组的解集.
12．【答案】60
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB，CH⊥BF，垂足分别为点G和点H，过点A作AO⊥BC，垂足为点O，
∵AB=AC，BF∥AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CBF，
∴BC平分∠ABF，
∴CG=CH，
又∵BF=AE，
∴，
在等腰△ABC中，AB=AC=13，
∴BO=CO=，
在Rt△AOB中，
AO=，
∴，
∴.
故答案为：60.
【分析】利用平行和等腰推出角平分线，进而利用角平分线性质将目标四边形的一部分面积进行转化，将不规则四边形的面积转化为定△ABC的面积，最后利用三线合一构造直角结合勾股定理求其面积即求得目标四边形面积即可.
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36° ，
∴，
∵BD平分∠ABC ，
∴，
∴，
∴，
∵BC=2，
∴AD=DB=BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，利用角平分线概念求出及相关度数，根据三角形内角和和等腰三角形判定即可求出AD长度.
14．【答案】m
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵a，b，c是勾股数，a，b均小于c，
a2+b2=c2即b2=c2-a2，
∴b2=c2-a2=，
∵m是大于1的奇数，
∴b=m.
故答案为：m.
【分析】利用已知和勾股定理可得到b2=c2-a2，将a，c代入可得到b2=m2，根据m是大于1的奇数，可得到b=m.
15．【答案】1
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设点P需运动t秒，点D落在边BC上，
∵△PQD为等边三角形，
∴∠DPQ=60°，
∴∠BPD=180°-∠APQ-∠DPQ=180°-90°-60°=30°，
∴∠BDP=180°-∠B-∠BPD=180°-60°-30°=90°，∠AQP=180°-∠APQ-∠A=180°-90°-60°=30°.
∵∠BDP=∠APQ，∠BPD=∠AQP=30°，DP=PQ，
∴△BDP≌△APQ（ASA），
∴BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t.
∵∠BPD=30°，
∴BD=BP，
∴2t=(6-2t)，
解得t=1.
故答案为：1.
【分析】设点P需运动t秒，点D落在边BC上，由等边三角形的性质可得∠DPQ=60°，由平角的概念可得∠BPD=30°，结合内角和定理可得∠BDP=90°，∠AQP=30°，利用ASA证明△BDP≌△APQ，得到BP=AB-AP=6-2t，BD=AP=2t，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=BP，据此求解.
16．【答案】30
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l⊥a，
∴∠4=90°，
又∵ 直线，
∴∠3=∠4=90°，
又∵∠1=∠2+∠3，
∴∠2=∠1-∠3=120°-90°=30°，
故答案为：30.
【分析】由平行线的性质及三角形内角和或内角和的推论逐一求角往目标角靠拢即可.
17．【答案】解：
由①得：x≥ 1；
由②得：x＜3；
∴原不等式组的解集为 1≤x＜3，
在坐标轴上表示：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．
18．【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ，
∴所有整数解的和为：.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集，据此可得不等式组的整数解，然后求和即可.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）证明：∵平分，∴.
∵，∴.
∵，∴.
∴.
另解：运用三角形内角和也可以得证.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B+∠BAD=180°，结合∠B的度数可得∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的概念可得∠DAE=∠BAD=50°，根据平行线的性质可得∠AEB=∠DAE=50°，推出∠BCD=∠AEB，然后根据平行线的判定定理进行证明.
20．【答案】（1）证明： AC平分，
，
，
（2）解：，，
，
，
，
四边形ABCD的面积
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CAB=∠CAD，根据垂直的概念可得∠B=∠D=90°，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AB=AD=4，BC=CD=3，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
21．【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，进而根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
（2）先根据三角形全等的性质得到，进而根据勾股定理求出AC，再结合题意运用即可求解。
22．【答案】（1）解：设A，B两种型号的单价分别为元和元，
由题意：，
解得：，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；
（2）解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个，
由题意：，
解得：，
∴至少需购买A型垃圾桶125个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A，B两种型号的单价分别为x元和y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元可得3x+4y=580；根据购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元可得6x+5y=860，联立求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶a个，则购买B型垃圾桶(200-a)个，根据A的单价×个数+B的单价×个数=总费用结合题意可得关于a的不等式，求解即可.
23．【答案】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
由作图可得AE=AF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=40°
由作图可得AE=AD，
∴∠ADE=70°，
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=20°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，由作图知AE=AF，由SAS判断出△ADE≌△ADF；
（2）由角平分线的定义得∠EAD=40°，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理得∠ADE=70°，由等腰三角形的三线合一得∠ADB=90°，最后根据角的和差可算出∠BDE的度数.
24．【答案】（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）解：由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD，由已知条件可知AB=CE，CD=CB，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠CED=∠A=90°，设BE=x，则CD=BC=3+x，在Rt△BED、Rt△CED中，根据勾股定理可得x，然后求出DE、BC，再根据三角形的面积公式进行计算.
25．【答案】（1）证明： 是等腰直角三角形，
，
，
，
在 与 中
；
（2）解：在 中， ， ，
，
，
，
，
，
∴∠ADC=∠ACD，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得出∠DAE=90°，AD= AE，根据角的和差关系求出∠BAD=∠CAE，然后利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
(2)根据勾股定理求得BC的长，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ADC=∠ACD，得出AC=DC，再根据BD= BC - CD，即可解答.
26．【答案】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ，最后求解即可。
1 / 1
