二次函数的图象一周强化

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名称 二次函数的图象一周强化
格式 rar
文件大小 36.8KB
资源类型 教案
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2009-10-26 20:50:00

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二次函数 二次函数的图象一周强化
一、一周知识概述
1、一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项.
2、(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象都是抛物线.
  二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).
  (2)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.
  抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同,只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时,向上平行移动,当c<0时,向下平行移动.
  (3)抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=h,顶点为(h,0).
  y=a(x-h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同,只是位置不同,它们彼此可以通过平移而得到.
  y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位,即得y=a(x-h)2的图象,由实践可知,当h>0时,向右平移,当h<0时,向左平移.
  (4)一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,只是位置不同.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
  ①a>0时,开口向上;a<0时,开口向下;
  ②对称轴是平行于y轴的直线x=h;
  ③顶点坐标是(h,k).
  二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或向下)平移|k|个单位而得到.
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的画法
  ①列表:根据对称性选取适当的x的值,得到相应的y值;
  ②描点:在直角坐标系中描出表中数对表示的点;
  ③连线:用光滑曲线将所描的点连接起来.
4、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式 作用 字母的符号 图象的特征
a 1.决定抛物线的开口方向;2.决定增减性 a>0 开口向上
a<0 开口向下
c 决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,c) c>0 交点在x轴上方
c=0 抛物线过原点
c<0 交点在x轴下方
决定对称轴的位置,对称轴是 ab>0 对称轴在y轴左侧
ab<0 对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式:
  (1)一般式:y=ax2+bx+c,(a、b、c是常数,a≠0);
  (2)顶点式:y=a(x-h)2+k,(h,k)为函数图象的顶点;
  (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2),(x1,0) , (x2,0)为函数图象与x轴的交点.
2、用待定系数法求二次函数的关系式
  用待定系数法求函数解析式时,应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式.如果知道函数图象与x轴的交点,那么选择交点式;如果知道函数图象的顶点,那么选择顶点式;如果知道函数图象上三个一般的点,那么选择一般式.
3、二次函数的平移规律
  如表所示:
y=ax2 h>0向右平移个单位 y=a(x-h)2 k>0向上平移个单位长度 y=a(x-h)2+k
h<0向左平移个单位 k<0向下平移个单位长度
   掌握平移规律,不要死记硬背,根据顶点的位置关系来确定平移的方向和距离非常简便.
  (1)平移的方向的确定是一个难点,对此,我们可以通过顶点的变化情况来决定.例如:y=x2+2x+3顶点坐标为(-1,2),y=x2顶点坐标为(0,0),将(0,0)向左平移1个单位,向上平移2个单位,就得到(-1,2),因此,将y=x2向左平移1个单位,向上平移2个单位,就得到y=x2+2x+3.
  (2)左右平移改变的是x的值,上下平移改变的是y的值,一般地,左加右减,上加下减。例如:y=x2+2x+3向右平移1个单位,得到y=(x-1)2+2(x-1)+3,向下平移2个单位,就得到y=(x-1)2+2(x-1)+3-2,整理后就得到y=x2.
三、典型例题讲解
例1、下列函数中,(x,m为自变量),哪些是二次函数?
  (1)n=m2-3m+    (2)y=-1+x2
  (3)    (4)
  (5)y=ax2+bx+c    (6)
解:
  根据二次函数的定义可知
  (1)(2)(6)是二次函数,其中(6)式可写成,而(3)的右边不是整式.(4)n是m的三次函数,(5)中a应不为0.
例2、在同一直角坐标系中,
  (1)画出下列函数的图象.①;②y=2x2;③;④y=-2x2;
  (2)说出四个图象的区别与联系.
分析:
  列表时,应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值,并把函数放在一起,把y=2x2和y=-2x2放在一起列表时要方便些.一般情况下,包括顶点,描出5至7个点即可.连线时要注意平滑,图象的两边要伸展出去.
解:
  (1)①列表:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
-8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
y=-2x2 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8
  ②描点;
  ③连线.如图所示.
  (2)四个图象的区别与联系,如下表:
函数 区别 联系
图象开口方向 抛物线位置 开口大小
y=2x2 a>0,开口向上 抛物线除顶点在x轴上外,其余在x轴上方,并向上无限延伸 当|a|变大时,抛物线开口变窄,当|a|变小时,抛物线开口变宽 四个图象的顶点都是原点,对称轴都是y轴
y=-2x2 a<0,开口向下 抛物线除顶点在x轴上外,其余在x轴下方,并向下无限延伸 当|a|变大时,抛物线开口变窄,当|a|变小时,抛物线开口变宽
  反思:①对于y=2x2和y=-2x2,|a|>1,在选取x的值时,每两点相隔半个单位比每两点相隔一个单位画图方便.
  ②一定要对图象仔细观察,常误认为|a|越大,开口越大,|a|越小,开口越小.而实际上恰好相反,即|a|越大,开口越小,|a|越小,开口越大.
  ③用平滑曲线连接各点时,两点间不能出现直线的情况.
例3、已知抛物线,求:
  (1)函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标;
  (2)作出草图;
  (3)根据图象指出x为何值时,y>0,y=0,y<0;
  (4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少?
分析:
  解本题的关键是作出已知函数的图象,再根据图象探讨相关性质,这比凭空思考,或单纯的计算更为形象、直观.
解:
  (1).∵,∴抛物线开口向上.
  抛物线的对称轴是x=-6,顶点坐标为(-6,-8).
  (2)抛物线与x轴的交点是(-10,0),(-2,0),与y轴的交点是(0,10),列表、描点、连线(略),草图如图所示.
  (3)当x<-10或x>-2时,y>0;
  当x=-10或x=-2时,y=0;
  当-10<x<-2时,y<0.
  (4)当x=-6时,y有最小值,最小值是-8.
  点评:画二次函数y=ax2+bx+c的图象往往通过把解析式配方得到,先确定对称轴和顶点,再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点,最后利用平滑的曲线把这些点连起来.
例4、已知y=2x2的图象是抛物线,若抛物线不动,把 x轴、y轴分别向上,向右平移2个单位,那么在新的坐标系下抛物线的解析式为(  )
A. y=2(x-2)2+2 B. y=2(x+2)2-2
C. y=2(x-2)2-2  D. y=2(x+2)2+2
分析:
  若抛物线不动,把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位,由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2(x+2)2-2 .
答案:B
  点评:将坐标系平移,实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位,即向下,向左平移2个单位,注意换位思考,逆向思维.
例5、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则a、b、c的符号为( ).
A.a<0,b>0,c=0     B.a>0,b<0,c>0
C.a>0,b<0,c<0     D.a>0,b>0,c<0
分析:
  由二次函数图象确定性质,由性质判断图象,是二次函数基本知识的考查.
解:
  由图象开口向上,则a>0;对称轴在y轴左侧,-<0,则a、b同号,即b>0;与y轴交点在y轴负半轴,则c<0.∴a>0,b>0,c<0.
答案:D
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