二次函数的图象一周强化

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二次函数　二次函数的图象一周强化
一、一周知识概述
1、一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
2、(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线．
　　二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)．
　　(2)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
　　抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．
　　(3)抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
　　y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
　　y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
　　(4)一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
　　①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
　　②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
　　③顶点坐标是(h，k)．
　　二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
　　①列表：根据对称性选取适当的x的值，得到相应的y值；
　　②描点：在直角坐标系中描出表中数对表示的点；
　　③连线：用光滑曲线将所描的点连接起来．
4、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式 作用 字母的符号 图象的特征
a 1．决定抛物线的开口方向；2．决定增减性 a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c) c＞0 交点在x轴上方
c=0 抛物线过原点
c＜0 交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是 ab＞0 对称轴在y轴左侧
ab＜0 对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
　　(1)一般式：y=ax2＋bx＋c，(a、b、c是常数，a≠0)；
　　(2)顶点式：y=a(x-h)2+k，(h，k)为函数图象的顶点；
　　(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、用待定系数法求二次函数的关系式
　　用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式．
3、二次函数的平移规律
　　如表所示：
y=ax2 h＞0向右平移个单位 y=a(x－h)2 k＞0向上平移个单位长度 y=a(x－h)2＋k
h＜0向左平移个单位 k＜0向下平移个单位长度
　　 掌握平移规律，不要死记硬背，根据顶点的位置关系来确定平移的方向和距离非常简便．
　　(1)平移的方向的确定是一个难点，对此，我们可以通过顶点的变化情况来决定．例如：y=x2＋2x＋3顶点坐标为(-1，2)，y=x2顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到(-1，2)，因此，将y=x2向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到y=x2＋2x＋3．
　　(2)左右平移改变的是x的值，上下平移改变的是y的值，一般地，左加右减，上加下减。例如：y=x2＋2x＋3向右平移1个单位，得到y=(x-1)2＋2(x-1)＋3，向下平移2个单位，就得到y=(x-1)2＋2(x-1)＋3－2，整理后就得到y=x2．
三、典型例题讲解
例1、下列函数中，(x，m为自变量)，哪些是二次函数？
　　(1)n=m2－3m＋　　　　(2)y=－1＋x2
　　(3)　　　 (4)
　　(5)y=ax2＋bx＋c　　　　(6)
解：
　　根据二次函数的定义可知
　　(1)(2)(6)是二次函数，其中(6)式可写成，而(3)的右边不是整式．(4)n是m的三次函数，(5)中a应不为0．
例2、在同一直角坐标系中，
　　(1)画出下列函数的图象．①；②y=2x2；③；④y=－2x2；
　　(2)说出四个图象的区别与联系．
分析：
　　列表时，应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值，并把函数放在一起，把y=2x2和y=－2x2放在一起列表时要方便些．一般情况下，包括顶点，描出5至7个点即可．连线时要注意平滑，图象的两边要伸展出去．
解：
　　(1)①列表：
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
－8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
y=－2x2 －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
　　②描点；
　　③连线．如图所示．
　　(2)四个图象的区别与联系，如下表：
函数 区别 联系
图象开口方向 抛物线位置 开口大小
y=2x2 a>0，开口向上 抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴上方，并向上无限延伸 当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽 四个图象的顶点都是原点，对称轴都是y轴
y=－2x2 a<0，开口向下 抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴下方，并向下无限延伸 当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽
　　反思：①对于y=2x2和y=－2x2，|a|>1，在选取x的值时，每两点相隔半个单位比每两点相隔一个单位画图方便．
　　②一定要对图象仔细观察，常误认为|a|越大，开口越大，|a|越小，开口越小．而实际上恰好相反，即|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．
　　③用平滑曲线连接各点时，两点间不能出现直线的情况．
例3、已知抛物线，求：
　　(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
　　(2)作出草图；
　　(3)根据图象指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0；
　　(4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：
　　解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：
　　(1)．∵，∴抛物线开口向上．
　　抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
　　(2)抛物线与x轴的交点是(－10，0)，(－2，0)，与y轴的交点是(0，10)，列表、描点、连线(略)，草图如图所示．
　　(3)当x＜－10或x＞－2时，y＞0；
　　当x=－10或x=－2时，y=0；
　　当－10＜x＜－2时，y＜0．
　　(4)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
　　点评：画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例4、已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为(　 )
A. y=2(x-2)2+2 B. y=2(x+2)2-2
C. y=2(x-2)2-2 　D. y=2(x+2)2+2
分析：
　　若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2(x+2)2-2 .
答案：B
　　点评：将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维.
例5、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则a、b、c的符号为(　)．
A．a＜0，b＞0，c=0　　　　　B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0　　　　 D．a＞0，b＞0，c＜0
分析：
　　由二次函数图象确定性质，由性质判断图象，是二次函数基本知识的考查．
解：
　　由图象开口向上，则a＞0；对称轴在y轴左侧，－＜0，则a、b同号，即b＞0；与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0．∴a＞0，b＞0，c＜0．
答案：D
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