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第3章 实数 单元综合测试提升卷
一、选择题
1．下列四个实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．-5 D．
2．下列说法正确的是( )
A．有最小的正数 B．有最小的自然数
C．有最大的有理数 D．无最大的负整数
3．下列说法中正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 的算术平方根是
C． 与 相等 D． 的立方根是
4．已知 ， ，且， ，则 （ ）
A．5 B．-1 C．5或-1 D．1或-1
5．若 =2，则a的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．
6．实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是（ ）
A．－a＜a＜1 B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．a＜1＜－a
7．有理数 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，① ；② ；③ ；④ ，在0到1之间数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．±2
9．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：
①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c=b；④ ．
其中正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知数 ， ， 的大小关系如图所示，则下列各式：
① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ，其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．( )2= (a≥0)；
12．用计算器计算： -3.142≈ (精确到0.001)
13．如图，将直径为1个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点由表示﹣2的点A到达点A'，则点A'对应的数是 ．
14．若一个正数的两个不同平方根分别是和，则这个数是 ．
15．若 ，则 的值为 ．
16．如图，点，在数轴上，点为原点，按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
三、综合题
17．求下列各数的平方根．
（1） ；
（2）
（3）0.012 1．
18．请回答下列问题：
（1） 介于连续的两个整数 和 之间，且 ，那么 ， ；
（2） 是 的小数部分， 是 的整数部分，求 ， ；
（3）求 的平方根.
19．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求这个魔方的棱长 ．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与－1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（ ）2＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
22．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．(注：结果保留 )
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”）， 这个数是 ；（注：滚动是指没有滑动的转动）
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+5，－3，－3 ．
①第 次滚动后，A点距离原点最近，第 次滚动后，A点距离原点最远．
②当圆片结束运动时，求A点运动的路程和此时点A所表示的数．
23．对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如.
（1）则 ； ；
（2）现对119进行如下操作：，这样对119只需进行3次操作后变为1.
对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；
对实数恰进行2次操作后变成1，则最小可以取到 ▲ ；
若正整数进，3次操作后变为1，求的最大值.
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第3章 实数 单元综合测试提升卷
一、选择题
1．下列四个实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C．-5 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，是无理数，
，，-5是有理数.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此判断.
2．下列说法正确的是( )
A．有最小的正数 B．有最小的自然数
C．有最大的有理数 D．无最大的负整数
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】A错误，只有最小的正整数，1
B有最小的自然数0
C没有最大的有理数
D最大的负整数是-1.
故选B.
3．下列说法中正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 的算术平方根是
C． 与 相等 D． 的立方根是
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A． 81 的平方根为 ，不符合题意；
B． 的算术平方根是 2 ，不符合题意；
C． ，符合题意；
D． 的立方根是 ，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根，立方根的定义进行判断求解即可。
4．已知 ， ，且， ，则 （ ）
A．5 B．-1 C．5或-1 D．1或-1
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】∵|x|＝3，y2＝4，xy＜0，
∴ 异号，
∴当x＝3时，y＝－2，则x＋y＝3－2＝1；
当x＝－3时，y＝2，则x＋y＝－3＋2＝－1．
∴ 1或-1
故选：D．
【分析】由xy＜0可得x、y异号，由|x|＝3，y2＝4，可得x＝3y＝－2或x＝－3，y＝2，然后分别代入计算即可.
5．若 =2，则a的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 =2，a=22=4，
故答案为：B．
【分析】将等式两边同时平方即可求出a的值。
6．实数a在数轴上对应的点如图所示，则a、－a、1的大小关系正确的是（ ）
A．－a＜a＜1 B．a＜－a＜1 C．1＜－a＜a D．a＜1＜－a
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由数轴上a的位置可知a＜0，|a|＞1；
设a=-2，则-a=2，
∵-2＜1＜2
∴a＜1＜-a，
故答案为：D．
【分析】利用数轴，先将所有的数在数轴上表示出来，再根据右边的数大于左边的数求解即可。
7．有理数 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，① ；② ；③ ；④ ，在0到1之间数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【解答】解：①根据数轴可以知道：-2＜a＜-1，
∴1＜-a＜2，
∴0＜-a-1＜1，符合题意；
②∵-2＜a＜-1，
∴-1＜a+1＜0，
∴0＜|a+1|＜1，符合题意；
③∵-2＜a＜-1，
∴1＜|a|＜2，
∴-2＜-|a|＜-1，
∴0＜2-|a|＜1，符合题意；
④∵1＜|a|＜2，
∴ ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据数轴得出-2＜a＜-1，再逐个判断即可。
8．已知实数a的一个平方根是4，则它的另一个平方根是（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．±2
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：数a的一个平方根是4，
∴a=16，
∴a的另一个平方根是-4．
故答案为：C
【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数.
9．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：
①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c=b；④ ．
其中正确的个数有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】∵c＜a＜0，b＞0，
∴abc＞0，
∴选项①不符合题意．
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴b+c＜0，
∴a（b+c）＞0，
∴选项②符合题意．
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴-a+b=-c，
∴a-c=b，
∴选项③符合题意．
∵ =-1+1-1=-1，
∴选项④不符合题意，
∴正确的个数有2个：②、③．
故答案为：B．
【分析】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．
10．已知数 ， ， 的大小关系如图所示，则下列各式：
① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ，其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b＜c， ，
①∵a＜0＜b＜c，∴abc＜0，故①不符合题意；
②∵ ，c＞0，∴a＋b＜0，∴a＋b c＜0，故②不符合题意；
③∵a＜0＜b＜c，∴ ，故③符合题意；
④∵bc＞0，a＜0，∴bc a＞0，故④符合题意；
⑤∵a b＜0，c＋a＞0，b c＜0，∴原式＝b a （c＋a）＋（c b）＝b a c a＋c b＝ 2a，故⑤符合题意．
故答案为：C．
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再对各小题进行分析即可．
二、填空题
11．( )2= (a≥0)；
【答案】a
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵( )2=a(a≥0) ，
故答案为：a.
【分析】进行实数的平方运算即可得出结果.
12．用计算器计算： -3.142≈ (精确到0.001)
【答案】0.464
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解： -3.142
≈ 3.606-3.142
≈0.464.
【分析】先利用计算器，结合结果精确到0.001计算的值，然后进行有理数的减法运算，即得结果.
13．如图，将直径为1个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点由表示﹣2的点A到达点A'，则点A'对应的数是 ．
【答案】π﹣2
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意可得：滚动的距离即为圆的周长
∵A所表示的数为﹣2，
所表示的数为
故答案是：
【分析】先求出，再根据A所表示的数为﹣2，计算求解即可。
14．若一个正数的两个不同平方根分别是和，则这个数是 ．
【答案】81
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：由题意得
a+5+2a-17=0，
∴a=4，
∴=9，
∴这个数是：92=81，
故答案为：81．
【分析】根据平方根的性质可得+=0，求出a的值，再求出这个数即可。
15．若 ，则 的值为 ．
【答案】5或 3或1
【知识点】有理数的除法法则；实数的绝对值
【解析】【解答】∵abcd＞0，
∴ ＝1，
∵abcd＞0，
∴有三种可能：①a、b、c、d都是正数，此时 ＝1＋1＋1＋1＋1＝5；
②a、b、c、d都是负数，此时 ＝ 1 1 1 1 1＋1＝ 3；
③a、b、c、d中有两个正数，有两个负数，此时 ＝0，
故 ＝1．
综上所述， 的值为5或 3或1．
故答案为：5或 3或1．
【分析】分情况讨论，再结合绝对值的定义、有理数的除法、加法计算即可。
16．如图，点，在数轴上，点为原点，按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
【答案】-
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：设点B所表示的数为a，
∵OA=OB，
∴点A所表示的数为-a，AB=2a，
∵BC=AB，
∴OC=BC+OB=3a，即点C所表示的数为3a，
又∵点C所表示的数是 ，
∴3a= ，
∴a=，
∴点A所表示的数为-.
故答案为：-.
【分析】设点B所表示的数为a，由OA=OB确定出点A所表示的数为-a，再确定AB的长2a，进而确定出OC的长为3a，可得点C所表示的数3a，结合题意列出方程3a= ，求解即可得出解决此题了.
三、综合题
17．求下列各数的平方根．
（1） ；
（2）
（3）0.012 1．
【答案】（1）解：
（2）解：先化简 =5，5的平方根记作
（3）解：
【知识点】平方根
【解析】【分析】(1)直接根据平方根的定义解答即可；
(2)先进行二次根式的化简，再根据平方根的定义解答求其平方根即可；
(3)直接根据平方根的定义解答即可.
18．请回答下列问题：
（1） 介于连续的两个整数 和 之间，且 ，那么 ， ；
（2） 是 的小数部分， 是 的整数部分，求 ， ；
（3）求 的平方根.
【答案】（1）4；5
（2）；3
（3）解：
∴的平方根为±8.
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵a＜b，
∴a=4，b=5.
故答案为：4，5.
（2）∵ 是 的小数部分， 是 的整数部分，
∴的整数部分是6，则小数部分是,
∴x=;
∵ 是 的整数部分，的整数部分是3，
∴y=3
故答案为：；3.
【分析】（1）利用估算无理数的大小的方法，可求出a，b的值。
（2）利用估算无理数的大小，可得到x，y的值。
（3）将（2）中的x，y的值代入代数式进行计算，然后求出其平方根即可。
19．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求这个魔方的棱长 ．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与－1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
【答案】（1）
（2）解：∵魔方的棱长为4
∴小立方体的棱长为2
∴阴影部分的面积：×2×2×4=8
边长为：AB2=8
∴AB=
答：阴影部分的面积为8，其边长为．
（3）
【知识点】立方根及开立方；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：（3）∵AB=AD=，点A表示的数是-1，点D在点A的左边
∴点D在数轴上表示的数是：
故答案为：
【分析】（1）根据立方体的体积等于棱长的3次方，可得出答案。
（2）先求出小立方体的棱长，再利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积及其边长。
（3）根据点A表示的数及AD的长，就可得出点D在数轴上表示的数。
20．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 ．
【答案】（1）解：由题意得
.
答：这个魔方的棱长为4.
（2）解：∵魔方是由8个大小相同的小立方体组成的，
∴每一个小立方体的棱长为2，
∴阴影部分的边长为；
阴影部分（正方形ABCD）的面积为.
答：阴影部分的边长为，阴影部分的面积为8.
（3）-1-
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：（3）∵正方形ABCD的边长为，
∴AD=，
∵点A表示的数为-1，点D在点A的左边，
∴点D表示的数为-1-.
【分析】（1）利用立方体的体积可求出这个魔方的棱长.
（2）魔方是由8个大小相同的小立方体组成的，可求出每一个小立方体的边长，然后利用勾股定理求出阴影部分的边长和面积.
（3）利用正方形的边长可得到AD的长，再根据点A表示的数为-1，点D在点A的左边，可得到点D表示的数.
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（ ）2＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
【答案】（1）1； ﹣1
（2）解：∵ ＜ ＜ ，
∴ 的小数部分为：a= ﹣2，
∵ ＜ ＜ ，
∴ 的整数部分为b=6，
∴a+b﹣ = ﹣2+6﹣ =4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）∵1＜ ，
∴1＜ ＜2，
∴ 的整数部分是1，小数部分是： ﹣1；
故答案为：1，-1。
【分析】（1）因为124，所以，即的整数部分为1；小数部分=-1；
（2）由材料知，，所以，即的整数部分是2，小数部分a=-2；又因为，所以，即的整数部分b=6，故a+b﹣=-2+6-=4.
22．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．(注：结果保留 )
（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”）， 这个数是 ；（注：滚动是指没有滑动的转动）
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+5，－3，－3 ．
①第 次滚动后，A点距离原点最近，第 次滚动后，A点距离原点最远．
②当圆片结束运动时，求A点运动的路程和此时点A所表示的数．
【答案】（1）无理；π
（2）4π或 4π
（3）5；3；解：②∵ ， ∴14×2π×1=28π， ∴A点运动的路程共有28π； ∵（+2）+（ 1）+（+5）+（ 3）+（ 3）=0， ∴0×2π=0， ∴此时点A所表示的数是：0， 综合上述，点A所表示的数是： ．
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，
∴ ；
∴点C表示的数是无理数，这个数是π；
故答案为：无理，π；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，
当向右滚动时，有
；
此时点D表示额数为 ；
当向左滚动时，有
；
此时点D表示的数为 ；
∴点D表示的数是4π或-4π；
故答案为：4π或 4π；（3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，－1，+5，－3，－3 ．
∴ ， ，
∴第5次滚动后，A点距离原点最近，第3次滚动后，A点距离原点最远，
故答案为：5，3；
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（3）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距离变化；②利用绝对值的性质以及有理数的加减运算得出移动距离和A表示的数即可．
23．对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如.
（1）则 ； ；
（2）现对119进行如下操作：，这样对119只需进行3次操作后变为1.
对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；
对实数恰进行2次操作后变成1，则最小可以取到 ▲ ；
若正整数进，3次操作后变为1，求的最大值.
【答案】（1）11；-12
（2）解：①3；1
②4；
③，
，
，
，
，
.
次操作，故.
.
是整数.
的最大值为255.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）由题意得，；，
故答案为：11；-12；
（2）①对15进行1次操作后变为；
200进行第一次操作：，
第二次操作后：，
第三次操作后：，
故答案为：3；1；
②，
，
，
，
操作两次，
，
，
，
最小可以取到4；
故答案为：4；
【分析】（1）根据[a]的含义可得答案；
（2）①根据[a]的含义和无理数的估计可求；
②根据[a]的含义倒推m的范围，可以得出m最小值；
③根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
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