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第3章 圆的基本性质 同步精练与测试
一、选择题
1．已知⊙O的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法判断
2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
3．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．正六边形的边长为4，则它的边心距为（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．如图，点、、在上，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，正六边形中，点P是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G.下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
9．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ R；③若AC⊥BD， ＝ ，AB＝ ，则BF+CE＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB=6 ，弦AC、BD相交于点E．若CE=BC，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，内接于，为弧的中点，若，则 °．
12．如果一个正六边形的半径为 ，那么这个正六边形的周长为 .
13．如图，在扇形中，，点是上的一个动点不与，重合，，，垂足分别为，若，则扇形的面积为 ．
14．将抛物线 绕原点 旋转 ，得到的抛物线解析式为 ．
15．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是 ．
16．如图，矩形ABCD中， ， ，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于 .
三、综合题
17．已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，-1)．
（1）请以原点O为对称点，画出与△ABC对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）△ABC的面积是 .
18．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 .
19．如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）当，时，求的长．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交BC于点F，交⊙O于点D，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接BD.
（1）求证：∠BED＝∠EBD；
（2）若点A是弧DAC的中点，求证DE＝CF.
21．如图，在平面直角坐标系中，（2，1），（4，3），（1，3）．
（1）若与关于原点成中心对称（点，，分别与点A，B，C对应），试在图中画出；
（2）将以C为中心顺时针旋转90°得到，试在图中画出；
（3）若可由以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 ．
22．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC.若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时，求点D的坐标.
23．如图，以 的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且AE平分∠CAB.
（1）求证： ；
（2）设∠ABD＝α，∠C＝β.用含β的代数式表示α；
（3）若AB＝10，BC＝12，求弦BD的长.
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第3章 圆的基本性质 同步精练与测试
一、选择题
1．已知⊙O的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法判断
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，点P到圆心O的距离小于圆O的半径；
从而得知点P在圆内.
故答案为：C.
【分析】直接根据点与圆的位置关系判断，若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外.
2．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO=25°，∠ACO=30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；圆的相关概念；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AO并延长交圆O于点D，如下图：
∵A，B，C是⊙O上的三点
∴OA=OB=OC
∴∠ABO=∠BAO=25°，∠ACO=∠CAO=30°；
∴∠BAC=25°+30°=55°
∴∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°
故答案为：B.
【分析】根据圆的半径处处相等，可得OA=OB=OC；根据等腰三角形的性质，可得∠ABO=∠BAO=25°，∠ACO=∠CAO=30°；根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOC的度数.
3．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
故答案为：C
【分析】先根据题意得到圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，进而根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求出r.
4．正六边形的边长为4，则它的边心距为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：
如图，连接OA，OB，过点O作OG⊥AB，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴OG=OA·cos30°=6×=，
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出∠AOB=60°，再求出△OAB是等腰三角形，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
5．如图，点、、在上，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥OC，
∴∠A+∠AOC=180°，
∴∠AOC=180°-70°=110°，
∴∠D=55°，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B=180°-55°=125°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得出∠AOC=110°，从而得出∠D=55°，再根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D=180°，即可得出答案.
6．如图，正六边形中，点P是边上的点，记图中各三角形的面积依次为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形 中，点P是边 上的点，则有 ，
且
∴ .
故答案为：B.
【分析】由题意可得S3=S正六边形ABCDEF，S1+S4=S2+S5=S正六边形ABCDEF，据此判断.
7．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；正多边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图2所示，过菱形的顶点B作BE⊥AD于E；如图3所示，设正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，
设正八边形的边长为a，则AB＝AD＝MN＝a，
∴∠ABC＝180°-360°÷8＝135°，∠MON＝360°÷8＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE＝180°-ABC＝45°，
∴BE＝AB＝a，
∴S菱形ABCD＝AD·BE＝a2，
∴空白部分面积的面积=4×a2，＝a2，
∵∠MON＝45°，
∴OP＝PM，
设OP＝PM＝b，则OM＝ON＝b，
∴PN＝（-1）b，
在Rt△MPN中，PM2+PN2＝MN2，
∴b2+（-1）2b2＝a2，
整理得：b2＝a2，
∴S△OMN＝ON·PM＝×b·b＝b2=a2，
∴正八边形的面积为：8×a2＝2（ 1+）a2，
∴阴影部分的面积为：2（ 1+）a2-a2，＝2a2，
∴阴影部分面积与空白部分面积之比为＝=．
故答案为：B．
【分析】如图2所示，过菱形的顶点B作BE⊥AD于E；如图3所示，设正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P，根据正多边形的性质求得多边形的内角和中心角，设正八边形的边长为a，利用直角三角形的性质、菱形的性质、勾股定理及三角形的面积公式，用a表示出空白部分面积和正八边形的面积，进而得到阴影部分的面积，再把阴影部分的面积比上空白部分的面积，化简即可求解.
8．如图，等腰内接于圆O，直径，D是圆上一动点，连接，，且交于点G.下列结论：①平分；②；③当，四边形的面积为；④当时，四边形的周长最大，正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵等腰Rt△ABC内接于圆O，且AB为直径，
∴，
∴，即平分，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
作MC⊥CD，交DA延长线于M，
∵，
∴，
∵A、C、B、D四点共圆，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵，
∴；
∵，
∴；
∵直径，，，
∴，，
∴，
四边形ADBC的面积为
，故③错误；
∵，要使四边形ADBC的周长最大，要最大，
∴当AD=BD时，四边形ADBC的周长最大，
此时，，故④正确；
综上，①②④正确；
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角并结合等腰直角三角形的性质得AC=AB，根据圆心角、弧、弦的关系得，根据等弧所对的圆周角相等得∠ADC=∠BDC，据此判断①；根据等弧所对的圆周角相等得∠ADC=∠CAB，根据角的和差及三角形外角性质可得∠DAC=∠AGC，据此判断②；作MC⊥CD，交DA延长线于M， 根据同角的余角相等得∠2=∠3，根据圆内接四边形的性质及同角的补角相等得∠4=∠CBD，用ASA判断△CBD≌△CAM，根据全等三角形的性质得AM=BD，CM=CD，故△MCD是等腰直角三角形，则可得，，根据勾股定理建立方程表示出AD2的值，进而根据四边形ADBC的面积=△AB错的面积+△ABD的面积，代入计算即可判断③ ；由于AC=BC=2，要使四边形ADBC的周长最大，AD+BD要最大，当AD=BD时，四边形ADBC的周长最大，据此即可判断④.
9．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ R；③若AC⊥BD， ＝ ，AB＝ ，则BF+CE＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
即 + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，所以①正确；
连接OA、OD，如图，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴AD＝ OA＝ R，所以②正确；
AF与BD相交于G点，如图，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝ AB＝ × ＝1，
∵ ＝ ，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC⊥DG，
∴GE＝DE，即AE垂直平分DG，
∴AG＝AD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠BGF＝∠AGD，∠AFB＝∠ADB，
∴∠BGF＝∠BFG，
∴BF＝BG，
在△BCF和△AGE中，
，
∴△BCF≌△AGE（AAS），
∴CE＝GE，
∴BF+CE＝BG+GE＝BE＝1，所以③正确.
故答案为：D.
【分析】根据弦、弧之间的关系可得＝，推出＝，由等弧所对的圆周角相等可得∠ABD＝∠BAC，据此判断①；连接OA、OD，则△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝45°，由圆周角定理可得∠AOD＝90°，推出△AOD为等腰直角三角形，则AD＝OA，据此判断②；AF与BD相交于G点，则BE＝AB＝1，由＝可得∠FAC＝∠DAC，接着证AE垂直平分DG，得AG＝AD，由等腰三角形的性质可得∠AGD＝∠ADG，证明△BCF≌△AGE，得到CE＝GE，据此判断③.
10．已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB=6 ，弦AC、BD相交于点E．若CE=BC，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OD、OC，
∵CE=BC，
∴∠BEC=∠CBE，
又∵∠BEC=∠EAB+∠ABE，
∴∠CBE=∠EAB+∠ABE，
∴弧CD=弧BC+弧AD，
∴弧CD的度数为90°，
∴∠DOC=90°，
又∵直径AB=6cm ，
∴OC=OD=3，
∴S△OCD=.OC.OD=×3×3=，
∴S扇形OCD===，
∴S阴影=S扇形OCD-S△OCD=-.
故答案为：B.
【分析】连接OD、OC，根据等腰三角形的性质得出∠BEC=∠CBE，又由三角形的外角性质得出∠BEC=∠EAB+∠ABE，再由等量代换得出∠CBE=∠EAB+∠ABE，根据弧与圆周角的关系得出弧CD=弧BC+弧AD，从而得出弧CD的度数为90°，即∠DOC=90°，从而求出S阴影=S扇形OCD-S△OCD=-.
二、填空题
11．如图，内接于，为弧的中点，若，则 °．
【答案】120
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：为弧的中点，
，
；
故答案：．
【分析】由为弧的中点结合圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
12．如果一个正六边形的半径为 ，那么这个正六边形的周长为 .
【答案】12
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a=2，
正六边形的周长=6a=12，
故答案为：12．
【分析】根据正六边形的边长等于外接圆的半径，即可求解.
13．如图，在扇形中，，点是上的一个动点不与，重合，，，垂足分别为，若，则扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示，
∵OE⊥AC，OD⊥BC，
∴D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE
∵DE=1，
∴AB=2．
又∵在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴，
∴扇形OAB的面积为：．
故答案为：．
【分析】连接AB，根据垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．再根据OA=OB且∠AOB=90°，利用勾股定理即可求得该扇形的半径．
14．将抛物线 绕原点 旋转 ，得到的抛物线解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，-1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【分析】求出抛物线的顶点坐标，再根据将抛物线 绕顶点旋转180度，求出旋转后的抛物信啊的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可。
15．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是 ．
【答案】2.5
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
【分析】当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，利用垂径定理易证OM⊥CD，再证明∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，可推出四边形CPOM是矩形，利用矩形的对角线相等，可证得PM=OC，从而可求出PM的长。
16．如图，矩形ABCD中， ， ，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】(1)如图，当P在B的右侧时，由旋转和矩形性质得：
AP=AD=5，AB=CD=3，
在直角三角形ABP中，BP= ，
所以，PC=BC-BP=5-4=1，
在直角三角形PDC中，PD= ，
( 2 )如图，当点P在B的左侧时，由旋转和矩形性质得：
AP=AD=5，AB=CD=3，
在直角三角形APB中，PB= ，
所以，PC=BC+PB=5+4=9，
在在直角三角形PDC中，PD= ，
所以，PD的长度为
故答案为：
【分析】画图，分两种情况：点P在B的右侧或左侧.根据旋转和矩形性质，运用勾股定理，分别求出BP和PC，便可求出PD.
三、综合题
17．已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，-1)．
（1）请以原点O为对称点，画出与△ABC对称的△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）△ABC的面积是 .
【答案】（1）解：如图所示，点A1（﹣1，4）点B1（﹣5，4），点C1（﹣4，1）．
（2）6
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）△ABC的面积= ×4×3=6．
【分析】根据平移规律得出对应点位置即可；利用关于原点对称点的坐标性质得出对应点位置进而得出答案．
18．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 .
【答案】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，
∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，∴AC=BD；
（2）
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： （2）连接OC，如图，
设CH=x.在Rt△OCH中，OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2.
在Rt△OAH中，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，∴42﹣x2=62﹣（3+x）2，
解得：x= ，
∴CD=2CH= .
故答案为：.
【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，AH=BH，利用等量减等量差相等可得到结论；
（2）连接OC，如图，设CH=x，利用勾股定理得到OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，则42﹣x2=62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长.
19．如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
，
是等腰三角形
（2）解：如图，连接 ，过点D作 于点H，
是直径，
，
，
，
即 ，
．
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再根据圆周角定理得出∠B=∠E，从而得出∠C=∠E，再根据等角对等边得出DC=DE，即可证出△CDE是等腰三角形；
（2）连接AD，过点D作DH⊥AE于点H，根据勾股定理求出AD的长，再根据等积法求出DH的长，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出CH的长，利用AE=2CH-AC，即可求出AE的长.
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交BC于点F，交⊙O于点D，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接BD.
（1）求证：∠BED＝∠EBD；
（2）若点A是弧DAC的中点，求证DE＝CF.
【答案】（1）证明：∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵∠BED＝∠BAD+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD
（2）证明：∵点A是的中点，
∴＝，
∴AC＝AD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAF＝∠DAB，
∵＝，
∴∠ACF＝∠ADB，
∴△ACF≌△ADB（ASA），
∴CF＝BD，
由（1）知：∠BED＝∠EBD，
∴DE＝BD，
∴DE＝CF.
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，由圆周角定理可得∠CAD＝∠CBD，由外角的性质可得∠BED＝∠BAD+∠ABE，根据角的和差关系可得∠EBD＝∠CBD+∠CBE，据此证明；
（2）根据中点的概念可得＝，由弧、弦的关系可得AC＝AD，由角平分线的概念可得∠CAF＝∠DAB，由圆周角定理可得∠ACF＝∠ADB，利用ASA证明△ACF≌△ADB，得到CF＝BD，由（1）知：∠BED＝∠EBD，则DE＝BD，据此证明.
21．如图，在平面直角坐标系中，（2，1），（4，3），（1，3）．
（1）若与关于原点成中心对称（点，，分别与点A，B，C对应），试在图中画出；
（2）将以C为中心顺时针旋转90°得到，试在图中画出；
（3）若可由以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是 ．
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
（3）（-3，1）
【知识点】旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】（3）解：点P的位置如图所示，
由图可知，点P的坐标为（，1）．
故答案为：（，1）．
【分析】（1）根据中心对称的性质分别确定点A、B、C关于原点成中心对称的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质分别确定点A、B以C为中心顺时针旋转90°后的对应点A2、B2，然后顺次连接即可；
（3）分别作线段A1A2、B1B2的垂直平分线，两直线的交点即为点P，然后写出坐标即可.
22．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC.若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.当点D在抛物线上时，求点D的坐标.
【答案】（1）解：将代入，
，
；
（2）解：令，则，
或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
；
（3）解：设，
如图2，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将B（0，-2）代入可得a的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）易得A（4，0），利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据OP的值可得点P的坐标，进而可得Q、C的坐标，求出AP，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算；
（3）设P（t，0），过点D作x轴的垂线交于点N，根据同角的余角相等可得∠NPD=∠OBP，证明△PND≌△BOP，得到OP=ND，BO=PN，据此可得D（t+2，-t），然后代入二次函数解析式中求出t，据此可得点D的坐标.
23．如图，以 的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且AE平分∠CAB.
（1）求证： ；
（2）设∠ABD＝α，∠C＝β.用含β的代数式表示α；
（3）若AB＝10，BC＝12，求弦BD的长.
【答案】（1）证明：∵AB为直径，OE为半径，
∴∠AEB=90°，OE= AB，
∴∠AEC=180°-∠AEB=90°，
∴∠C+∠CAE=90°， ∠ABE+∠BAE=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠C=∠ABE，
∴ AB=AC，
∴OE= AC ；
（2）解：由（1）可知：∠C=∠ABE=β，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABE=180°-2β，
∵ AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CAB+∠ABD=90°，
即180°-2β + α=90°，
α=2β-90°；
（3）解：设OE与BD交于点F，
∵AB=10，
∴OB=OE= AB=5，
∵AB=AC，AE平分∠CAB，
∴BE=CE= BC=6， 即点E为BC的中点，
∵∠BDC= 180°-∠ADB=90°，
∴在Rt△BDC中，DE=BE=6，
∴点E在BD的中垂线上，
∵点O在BD的中垂线上，
∴OE垂直平分BD，BD=2BF，
设OF=x，EF=OE-OF=5-x，
根据勾股定理可得： OB2-OF2=BF2=BE2-EF2，
即52-x2= 62-（5-x）2，
解得：x= ，
即OF= ，
∴BF= = ，
即BD=2BF= .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和半径、直径的关系可得∠AEB=90°，OE= AB，再根据等角对等边证出AB=AC，即可证出结论；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠CAB，然后根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（3）设OE与BD交于点F，根据直径的长求出OB和OE，然后根据三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DE=BE=6，从而证出OE垂直平分BD，BD=2BF，然后设OF=x，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出结论.
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