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第4章 相似三角形 单元复习真题演练卷
一、选择题
1．已知，下列各选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a：b = 4：9 B．b：c = 2：3
C．a：b = 3：2 D．b：c = 3：2
3．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，点A、B的对应点分别为点，若，则图形乙的面积是图形甲的面积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
5．如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．6 B． C． D．
6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE^AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①DAEF∽DCAB；②CF=2AF；③DF=DC，其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
10．如图，将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得点C′与△ABC的内心重合，已知AC＝4，BC＝3，则阴影部分的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．已知是的位似图形，位似中心是原点，点的坐标为，，它的对应点为，则与的位似比为 .
12．若2y﹣5x＝0，则x：y＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点B在x轴正半轴上，AO＝AB，P，Q分别是OA，AB的中点，函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点P，若S△OPQ＝3，则k的值为 .
14．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ．
15．如图，在 中， 平分 在 延长线上，且 ，若 ， ，则 的长为 .
16．如图，半径为2的圆0分别与x轴，y轴交于A， D两点，圆0上两个动点B，C，使∠BAC=60 恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是 。
三、综合题
17．已知2a＝3b，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
18．如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB.
（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比.
19．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD， ＝ ，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，点E在CB延长线上，且AE＝AC．
（1）求证：△AEB∽△BCO；
（2）当AE∥BD时，求AO的长．
20．如图，抛物线 的图象经过点 ，顶点 的纵坐标为 ，与 轴交于 两点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）连接 为线段 上一点，当 时，求点 的坐标.
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
22．已知△ABC中，AC=BC，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O．
（1）如图①，∠ACB =60°，AD=BE，求证：∠COD=60°；
（2）如图②，∠ACB=90°，AD=AC，AE=AB，求证：∠COD =90°；
（3）如图③，∠ACB=90°，AD=AC，BE=AB，猜想∠COD的大小并加以证明．
23．已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
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第4章 相似三角形 单元复习真题演练卷
一、选择题
1．已知，下列各选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】对于A选项：可知，不一定能得到a=3，b=4，A选项不符合题意；B选项：由得：所以则B选项符合题意；对于C选项：可知，不一定能得到B选项不符合题意；可知，不一定能得到D选项不符合题意
故答案为：B.
【分析】本题主要考查比例的性质，根据比例的性质逐项判定即可.
2．如果线段b是线段a，c的比例中项，a：c = 4：9，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a：b = 4：9 B．b：c = 2：3
C．a：b = 3：2 D．b：c = 3：2
【答案】B
【知识点】比例线段；比例中项
【解析】【解答】解：∵a：c=4：9，
∴9a=4c，
∴．
∵线段b是线段a，c的比例中项，
∴a：b=b：c，即，
∴，
∴，
∴b：c=a：b=2：3；
故答案为：B．
【分析】首先由a：c=4：9，根据比例的基本性质得出9a=4c，则a=c，c=a．再根据比例中项的概念，可得a：b=b：c，即b2=ac，那么b=c=a，进而求解即可．
3．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、
，
∵是线段，
，
，
故A选项正确；
B、若满足此时
，
，
，故B选项错误；
C、已知线段m，且m≠0，所以m＞0；当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即故C选项错误；
D、若满足此时，故D选项错误.
故答案为： A.
【分析】根据比例线段的定义及性质逐一判断可得答案.
4．如图，图形甲与图形乙是位似图形，点O是位似中心，点A、B的对应点分别为点，若，则图形乙的面积是图形甲的面积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意可得，甲乙两图形相似，且相似比为，
根据相似图形的面积比是相似比的平方可得，图形乙的面积是图形甲的面积的4倍，
故答案为：C
【分析】利用位似图象的性质求解即可。
5．如图，，若，，，则的长度是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
解得，
故答案为：C
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，即，再求出即可。
6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
【答案】D
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=8．
在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴，即，
解得：OF=．
故答案为：D．
【分析】连接OB，利用勾股定理可得OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2，解得：OE=3，再证出△OFC∽△BEC，可得，即，再求出OF的长即可.
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
故A选项不合题意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B选项不合题意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴ ，
∴AD BD＝DE DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2＝AD BD，
∴CD2＝DE DG，
∴ ，
故C选项不合题意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得 ，通过证明△ACD∽△CBD，可得 ，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得 ，通过证明△GEF∽△GBD，可得 ，即可求解．
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE^AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①DAEF∽DCAB；②CF=2AF；③DF=DC，其中正确的结论有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①符合题意；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即CF=2AF，故②符合题意；
作DM∥EB交BC于M，交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE BC，
∴BM=CM，
∵MN∥BF，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③符合题意；
综上，①②③都符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质得到∠ABC=∠AFB=90°，结合∠BAF=∠CAB可证明△AEF∽△CAB；根据点E是AD边的中点，以及AD//BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形的对应边成比例得到CF=2AF；先证出四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得出结论。
9．已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
根据反比例函数的中心对称性质，得 OA=OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，∠OCA=30°，
∴OC：OA= ，
过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，
∴∠ADO=∠OEC=90°，
∵∠AOD+∠OAD =90°，∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△DOA∽△ECO，
∴EC：DO=OE：AD=OC：AD，
∴EC= DO，OE= AD，
设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（ b，- a），
∵点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，
∴k=（- a）× b= -3ab= -3.
故答案为：C.
【分析】连接OC，则OA=OB，由等边三角形的性质可得OC⊥AB，∠OCA=30°，则OC：OA=，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，由同角的余角相等可得∠OAD=∠COE，证明△DOA∽△ECO，由相似三角形的性质表示出EC、OE，设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，则点C的坐标为（b，-a），代入y＝（x＞0）中求解可得k的值.
10．如图，将Rt△ABC平移到△A′B′C′的位置，其中∠C＝90°，使得点C′与△ABC的内心重合，已知AC＝4，BC＝3，则阴影部分的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】平移的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C'作C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC，并延长C'E交A'B'于点F，连接AC'，BC'，CC'，
∵点C'与△ABC的内心重合，C'E⊥AB，C'G⊥AC，C'H⊥BC，
∴C'E=C'G=C'H，
∵S△ABC=S△AC'C+S△AC'B+S△BC'C，
∴ AC×BC= AC×CC'+ BA×C'E+ BC×C'H
∴C'E=1，
∵将Rt△ABC平移到△A'B'C'的位置，
∴AB∥A'B'，AB=A'B'，A'C'=AC=4，B'C'=BC=3
∴C'F⊥A'B'，A'B'=5，
∴ A'C'×B'C'= A'B'×C'F，
∴C'F= ，
∵AB∥A'B'
∴△C'MN∽△C'A'B'，
∴C阴影部分=C△C'A'B'× =（5+3+4）× =5.
故答案为：A.
【分析】由三角形面积公式可求C'E的长，由相似三角形的性质可求解．
二、填空题
11．已知是的位似图形，位似中心是原点，点的坐标为，，它的对应点为，则与的位似比为 .
【答案】1：3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△DEF是△ABC的位似图形，位似中心是原点O，点D的坐标为（-2，3），它的对应点为A（6，-9），∴△DEF与△ABC的位似比为2∶6=1∶3.
故答案为：1∶3.
【分析】若原图形上点的坐标为(x，y），以原点为位似中心，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此用但D的横坐标的绝对值与点A的横坐标的绝对值的比得到位似比.
12．若2y﹣5x＝0，则x：y＝ ．
【答案】2：5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】 2y﹣5x＝0，
即
故答案为：2：5．
【分析】根据2y﹣5x＝0，可得2y=5x，再利用比例的性质求解即可。
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点B在x轴正半轴上，AO＝AB，P，Q分别是OA，AB的中点，函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点P，若S△OPQ＝3，则k的值为 .
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，
∵AO＝AB，
∴OD＝BD，
∵P，Q分别是OA，AB的中点，
∴S△AOB＝2S△AOQ，S△AOQ＝2S△POQ＝6，
∴S△AOB＝12，
∴S△AOD＝ S△AOB＝6，
∵PE∥AD，
∴△POE∽△AOD，
∴ ＝ ，
∴S△POE＝ S△AOD＝ ，
∵函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点P，
∴S△POE＝ |k|，
∴|k|＝3，
∵k＞0，
∴k＝3，
故答案为：3.
【分析】作AD⊥x轴于D，PE⊥x轴于E，由等腰三角形的性质可得OD＝BD，根据线段中点的概念以及三角形的面积公式可得S△AOB＝2S△AOQ，S△AOQ＝2S△POQ＝6，据此可得S△AOB、S△AOD的值，证明△POE∽△AOD，由相似三角形的性质可得S△POE的值，由反比例函数k的几何意义可得S△POE＝|k|，据此可得k的值.
14．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】 DE∥BC，
，
DB＝AE，
，
，
，
AB＝5，AC＝10，
，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
15．如图，在 中， 平分 在 延长线上，且 ，若 ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC， DE=BD
∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD
∴∠DBC=∠AED
如图，在BC上取点，使BF=AE
则在 与 中，
∴
∴AE=BF=2， ，
∴CF=BC-BF=8-2=6
∵∠BAD= ，∠DFC=
∴∠BAD=∠DFC
又∵∠C=∠C
∴ CFD∽ CAB
∴
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∠BAD=∠DFC
∴
∵
∴
∴DF=FC=6，则AD=DF =6
∴CA=6+CD
又∵CF=6，BC=8
∴
解得 .
故答案为： .
【分析】在BC上取点，使BF=AE，利用边角边定理先证△AED≌△FBD，则得出BF=2，∠ABC=∠ACB=∠BAD=∠DFC，则可得出△CFD∽△CAB，得到，将推得的CA=6+CD及其他各值代入即可得到结果.
16．如图，半径为2的圆0分别与x轴，y轴交于A， D两点，圆0上两个动点B，C，使∠BAC=60 恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是 。
【答案】
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，
∵△ABC的重心为G，
∴F为BC的中点，AG=AF，
∴OF⊥BC.
∵∠BAC=60°，
∴∠BOF=60°，
∴∠OBF=30°，
∴OF==1.
在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，
∵，∠FAO=∠GAE，
∴△AGE∽△AFO，
∴，
∴GE=，
∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，
∴E（，0），
∴DE=，
∴DG的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由重心的概念可得F为BC的中点，结合垂径定理可得OF⊥BC，进而求出OF的长，在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，易证△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质可求出GE、DE的值，进一步推出G在以E为圆心，为半径的圆上运动，则DG的最小值为DE减去，据此计算即可.
三、综合题
17．已知2a＝3b，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：2a＝3b，
（2）解：
设，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）直接根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，将等积式化为比例式即可；
（2）由（1）的结论，可设a=3k，b=2k，然后代入所求的式子，合并化简即可.
18．如图，P是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为斜边在右侧作等腰Rt△APQ，已知直角顶点Q的纵坐标为﹣2，连结OQ交AP于B，BQ＝2OB.
（1）求点P的坐标；
（2）连结OP，求△OPQ的面积与△OAQ的面积之比.
【答案】（1）解：过Q作QC⊥x轴于C，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴∠PAQ＝∠CAQ＝45°，
∴AC＝QC＝2，AQ＝2 ，AP＝4，
∵AB∥CQ，
∴ ，
∴OA＝ AC＝1，
∴点P的坐标（1，﹣4）
（2）解：∵AB∥CQ，
∴△OAB∽△OCQ，
∴ ，
∴AB＝ CQ＝ ，
∴PB＝ ，
∴S△OAQ＝ OA CQ＝ ×1×2＝1，S△OPQ＝ PB OA+ PB AC＝5，
∴△OPQ的面积与△OAQ的面积之比＝5.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）过Q作QC⊥x轴于C，先根据等腰直角三角形的性质求得AC＝QC＝2、AQ＝2 、AP＝4，然后再由AB∥CQ，运用平行线分线段成比例定理求得OA的长，最后结合AP=4即可解答；
（2）先证出△OAB∽△OCQ，再根据相似三角形的性质求得AB和PB的长，然后再求出△OPQ和△OAQ的面积，最后作比即可.
19．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD， ＝ ，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，点E在CB延长线上，且AE＝AC．
（1）求证：△AEB∽△BCO；
（2）当AE∥BD时，求AO的长．
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
， ，
，
在△AEB和△BCO中，
，
；
（2）解：过 作 于 ，过 作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，等量代换得到 ，根据三角形的内角和和平角的性质得到 ，于是得到结论；（2）过 作 与 ，过 作 与 ，根据平行线的性质得到 ， ，推出 ，求得 ， ，得到 ，根据相似三角形的性质得到 ，于是得到 ，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
20．如图，抛物线 的图象经过点 ，顶点 的纵坐标为 ，与 轴交于 两点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）连接 为线段 上一点，当 时，求点 的坐标.
【答案】（1）解：由题可列方程组： ，解得： ，
∴抛物线解析式为： 或
（2）解：由题，∠AOC=90°，AC= ，AB=4，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为：y=-2x-2，
当△AOC∽△AEB时，
= = = ，
∵S△AOC=1，∴S△AEB= ，
∴ AB×|yE|= ，AB=4，则yE= ，
则点E（ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）当△AOC∽△AEB时， = = = ，求出yE= ，即可求出点E坐标.
21．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；
（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．
【答案】（1）证明：∵直径BD，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，
∴ ∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90° ∠BAC，
∴∠ACB＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．
分情况：
①BE＝BC，
那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝22.5°，
∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．
②BC＝CE，
那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，
∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝18°，
∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．
③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，
综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；
（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，
∵直径BD，
∴∠BCD＝90°，
∴AF∥CD，
∴ ，
∴OE OD，DE OD，CD OA，
∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∴AE CE＝DE BE＝24，
∵OB＝OD＝OA，
∴ OD OD＝24，
∴OD OA，
∴CD ，BD ，
在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，
∴BC ．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可证得∠ABE+∠ADB＝90°，利用圆周角定理可证得∠ADB＝∠ACB，根据∠BAC＝2∠ABE，可证得∠ACB＝90° ∠BAC，再利用三角形的内角和定理可推出∠ACB=∠ABC，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用已知可证得∠BEC＝3∠ABE；利用已知△BCE是等腰三角形，分情况讨论：BE＝BC；BC＝CE；BE＝CE，此时E，A重合，舍去，分别求出符合题意的∠BCE的度数.
（3）连接AO并延长，交BC于点F，利用圆周角定理可推出∠BCD=90°，可得到AF∥CD，利用平行线分线段成比例定理，可推出OE OD，DE OD，CD OA；再证明△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可求出CD，BD的长；然后利用勾股定理求出BC的长.
22．已知△ABC中，AC=BC，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O．
（1）如图①，∠ACB =60°，AD=BE，求证：∠COD=60°；
（2）如图②，∠ACB=90°，AD=AC，AE=AB，求证：∠COD =90°；
（3）如图③，∠ACB=90°，AD=AC，BE=AB，猜想∠COD的大小并加以证明．
【答案】（1）证明：∵AC=BC，∠ACB =60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵AD=BE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠COD=∠CBD+∠BCE=∠CBD+∠ABD=60°；
（2）证明：如图，过A作AF//BC交CE的延长线于F，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∵AE=AB，
∴ ，
∴，
∵AC=BC，AD=AC，
∴ ，
∵∠ACB=90°，AF//BC，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
∴∠CAF=∠ACB=90°，
∴△AFC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠COD=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°；
（3）解：∠COD=45° ，理由如下：
设BE =a，则AB=4a，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴ ，∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC=，
∵AD=AC，
∴ ，
∴ ， ，
∴，
∵∠ABC=∠A=45°，
∴△ABD∽△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠COD=∠CBD+∠BCE=∠CBD+∠ABD=45°．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）易得△ABC为等边三角形，则∠A=∠ABC=60°，证△ABD≌△BCE，得∠ABD=∠BCE，根据外角的性质可得∠COD=∠CBD+∠BCE=∠CBD+∠ABD，据此计算；
（2）过A作AF//BC交CE的延长线于F，易证△AEF∽△BEC，由相似三角形的性质得，证明△AFC≌△CDB，得到∠ACE=∠CBD，据此计算；
（3）设BE =a，则AB=4a，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC=，证明△ABD∽△BCE，得到∠ABD=∠BCE，据此计算.
23．已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：
（2）解：如图所示：
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴
（3）解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先判断 为直角三角形，再利用勾股定理求解即可；
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，得出为等腰直角三角形，设，得出CF、AF的值，整理得：①，即②，将①代入②整理得：，设直线FA解析式为：，将两个点代入可得： 再联立方程， 将①代入②得：， 得出x 的值即可。
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