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专题03 实数 高频考点（5个）（精讲）
高频考点1. 平方根、算术平方根与立方根
【解题技巧】1.平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做二次方根.
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算.
2.算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0.
3.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根.
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
例1．（2023春 新会区校级期中）下列说法中正确的是
A．16的算术平方根是 B．7是49的一个平方根 C．25的平方根是5 D．8的立方根是
变式1．（2024春 凉州区期中）9的平方根是
A．3 B． C． D．
变式2．（2024春 海淀区校级期中）81的算术平方根为
A． B．3 C． D．9
变式3．（2024春 苍梧县期中）的立方根为
A． B． C． D．不存在
变式4．（2024春 顺德区校级月考）下列说法正确的是
A．是5的平方根 B．的平方根是 C． D．
变式5．（2024春 江门期中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
变式6．（2023春 西和县期中）若，则 ．
变式7．（2023秋 榕城区期末）已知，．
（1）已知的算术平方根为3，求的值；
（2）如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数．
变式8．（2024春 廊坊期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5，是9的算术平方根．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
变式9．（2024春 梁平区期末）（1）观察发现：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 1 100
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：①已知，则 ；
②已知，则 ．
高频考点2 实数的分类
【解题技巧】按实数的定义分类：
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数
例1．（2023秋 广陵区期末）下列各数中，是无理数的是
A． B．3.14 C． D．0
例2．（2024春 沾化区期末）把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
①，②0，③，④（两个1之间的0逐渐增加），⑤，⑥，⑦．
整数集合： ；
负分数集合： ；
正有理数集合： ；
无理数集合： ．
变式1．（2023秋 诸暨市期末）下列各数：，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ．其中无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2023秋 惠城区期末）在实数，0，，3.1415926，4，，中，有理数的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
变式3．（2023秋 射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦
正数集合：
整数集合：
负分数集合：
无理数集合：
变式4．（2021秋 招远市期末）把下列各数写入相应的集合中：，，0.3，，，，，0，，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1
有理数集合 ；
无理数集合 ；
正实数集合 ；
负实数集合 ．
高频考点3 实数的相反数、绝对值、倒数
【解题技巧】1.相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是0．
若a，b互为相反数，则a＋b＝0 ．
2.绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
|a|＝
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
3.倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．
0 没有倒数．
若a，b互为倒数，则ab＝1．
例1．（2023春 魏县期末）的相反数是 ，绝对值是 ．
变式1．（2024春 禹州市期末）的相反数是 ．
变式2．（2024春 西丰县期末）实数的绝对值为 ．
变式3．（2023春 利州区期末）的算术平方根的相反数是 ．
变式4．（2024春 南开区期末）是的绝对值，是的相反数，则 ．
高频考点4 实数的大小比较及估算
【解题技巧】1. 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，
2.数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大．
3.差值比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0 a>b；
a－b<0 aa－b＝0 a＝b．
例1．（2023秋 南关区期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来：；；0；；．
变式1．（2023秋 双牌县期末）下列各式比较大小正确的是
A． B． C． D．
变式2．（2024春 阳谷县期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是
A． B． C． D．
变式3．（2024秋 清镇市期中）无理数是在哪两个连续整数之间
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
变式4．（2024秋 皇姑区期中）如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形．则大正方形的边长最接近的整数是
A． B． C． D．
变式5．（2022春 天水期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，用“”号连接起来、、、、0、1.6．
变式6．（2023秋 兴平市期末）已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
高频考点5 实数的运算
【解题技巧】实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
例1．（2024春 望花区期末）计算：
（1）；
（2）．
变式1．（2024春 唐县期末）计算的结果是
A．0 B．16 C．12 D．4
变式2．（2024秋 昌平区校级期中）计算：．
变式3．（2024春 端州区校级期中）计算：．
变式4．（2024春 明水县期末）计算：
（1）；
（2）．
变式5．（2024春 鱼台县期末）计算：．
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专题03 实数 高频考点（5个）（精讲）
高频考点1. 平方根、算术平方根与立方根
【解题技巧】1.平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做二次方根.
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方是平方运算的逆运算.
2.算术平方根：正数的正平方根称为算术平方根. 0的算术平方根是0.
3.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根.
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
例1．（2023春 新会区校级期中）下列说法中正确的是
A．16的算术平方根是 B．7是49的一个平方根 C．25的平方根是5 D．8的立方根是
变式1．（2024春 凉州区期中）9的平方根是
A．3 B． C． D．
【点拨】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：，据此解答即可．
【解析】解：9的平方根是．
故选：．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
变式2．（2024春 海淀区校级期中）81的算术平方根为
A． B．3 C． D．9
【点拨】根据算术平方根的定义解答即可．
【解析】解：，
的算术平方根为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
变式3．（2024春 苍梧县期中）的立方根为
A． B． C． D．不存在
【点拨】根据立方根的定义，即可求解．
【解析】解：，
的立方根是，
故选：．
【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义．
变式4．（2024春 顺德区校级月考）下列说法正确的是
A．是5的平方根 B．的平方根是 C． D．
【点拨】：由5的平方根是判断；
：负数没有平方根进行判断；
：开立方求出结果，然后判断；
：求出算术平方根，然后判断．
【解析】解：，的平方根是，正确，
负数没有平方根，错误，
，错误，
错误．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根、立方根的概念的运用，掌握这几个定义的区别及实际应用是解题关键．
变式5．（2024春 江门期中）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【点拨】根据算术平方根的意义，可判断、、，根据平方的意义，可判断．
【解析】解：，故错误；
，故正确；
，故错误；
故错误；
故选：．
【点睛】本题考查了算术平方根，注意算术平方根的被开方数是非负数．
变式6．（2023春 西和县期中）若，则 ．
【点拨】根据非负性求出，的值，再代入求值即可．
【解析】解：，
，，
，，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握非负性的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
变式7．（2023秋 榕城区期末）已知，．
（1）已知的算术平方根为3，求的值；
（2）如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数．
【点拨】（1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值；
（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数．
【解析】解：（1）的算术平方根为3，
，
即，
；
（2）根据题意得：，
即：，
，
，
这个正数为．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系．
变式8．（2024春 廊坊期末）已知的立方根是4，的算术平方根是5，是9的算术平方根．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【点拨】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【解析】解：（1），
，
；
，
，
又，
；
，
；
（2）把：，，代入得：
，
，
的平方根是：．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．
变式9．（2024春 梁平区期末）（1）观察发现：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 1 100
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：①已知，则 ；
②已知，则 ．
【点拨】（1）直接计算即可；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律；
（3）利用（2）中找出的规律求解．
【解析】解：（1），，
故答案为：0.1，10；
（2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知，则，
②已知，，则，
故答案为：22.4，25．
【点睛】本题考查算术平方根，能够理解题意是解题的关键．
高频考点2 实数的分类
【解题技巧】按实数的定义分类：
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数
例1．（2023秋 广陵区期末）下列各数中，是无理数的是
A． B．3.14 C． D．0
【点拨】无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．
【解析】解：是分数，属于有理数，不符合题意；
是有限小数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，故是无理数，符合题意；
是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如等；②开方开不尽的数，如等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个，（两个2之间依次增加1个．
例2．（2024春 沾化区期末）把下列各数填入相应的集合里．（填序号）
①，②0，③，④（两个1之间的0逐渐增加），⑤，⑥，⑦．
整数集合： ；
负分数集合： ；
正有理数集合： ；
无理数集合： ．
【点拨】利用实数的分类逐一判断各个数即可．
【解析】解：整数集合：②③．
负分数集合：⑤⑦．
正有理数集合：③⑥．
无理数集合：①④．
故答案为：②③；⑤⑦；③⑥；①④．
【点睛】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称实数．
变式1．（2023秋 诸暨市期末）下列各数：，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ．其中无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解析】解：在实数，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ，无理数有，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ，共3个．
故选：．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，掌握实数的分类是解答本题的关键．
变式2．（2023秋 惠城区期末）在实数，0，，3.1415926，4，，中，有理数的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】整数和分数统称为有理数，据此即可求得答案．
【解析】解：，，3.1415926是分数，0，4，是整数，它们均为有理数，
则有理数的个数为6个，
故选：．
【点睛】本题考查有理数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
变式3．（2023秋 射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦
正数集合：
整数集合：
负分数集合：
无理数集合：
【点拨】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号，再根据正数、整数、负分数、无理数的定义求解即可．
【解析】解：，，．
正数集合：③④⑤
整数集合：②③
负分数集合：①⑥
无理数集合：⑤⑦．
故答案为：①④⑤；②③；①⑥；⑤⑦．
【点睛】本题主要考查了实数的分类及实数的意义，掌握正数、整数、负分数、无理数的定义与特点．特别注意整数和正数的区别，0是整数，但不是正数．
变式4．（2021秋 招远市期末）把下列各数写入相应的集合中：，，0.3，，，，，0，，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1
有理数集合 ；
无理数集合 ；
正实数集合 ；
负实数集合 ．
【点拨】利用有理数，无理数，正实数，以及负实数的定义判断即可得到结果．
【解析】解：有理数集合：，，0.3，，，，0，；无理数合：，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ；正实数集：，0.3，，，，；负实数集合：，，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ．
故答案为：，，0.3，，，，0，；，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ；，0.3，，，，；，，，（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ．
【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的范围以及分类方法是解本题的关键．
高频考点3 实数的相反数、绝对值、倒数
【解题技巧】1.相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是0．
若a，b互为相反数，则a＋b＝0 ．
2.绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
|a|＝
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
3.倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．
0 没有倒数．
若a，b互为倒数，则ab＝1．
例1．（2023春 魏县期末）的相反数是 ，绝对值是 ．
【点拨】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答；
根据正数的绝对值等于它本身解答．
【解析】解：的相反数是，
绝对值是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义和绝对值的性质，是基础题．
变式1．（2024春 禹州市期末）的相反数是 ．
【点拨】根据相反数的意义求解．
【解析】解：的相反数是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的性质，理解相反数的意义是解题的关键．
变式2．（2024春 西丰县期末）实数的绝对值为 ．
【点拨】首先判断的正负情况，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数化简即可．
【解析】解：，
，
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，其中对绝对值的定义应熟记：①正数的绝对值是它本身，②负数的绝对值是它的相反数，③零的绝对值是零，比较简单．
变式3．（2023春 利州区期末）的算术平方根的相反数是 ．
【点拨】先求得的算术平方根，再求得此题结果即可．
【解析】解：，9的算术平方根是3，
的算术平方根，
的相反数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的算术平方根、相反数等方面的应用能力，关键是能准确理解以上知识并准确求解．
变式4．（2024春 南开区期末）是的绝对值，是的相反数，则 0 ．
【点拨】根据绝对值、相反数的定义求出、的值，然后计算即可．
【解析】解：是的绝对值，
，
是的相反数，
，
，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值、相反数的定义是解题的关键．
高频考点4 实数的大小比较及估算
【解题技巧】1. 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，
2.数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大．
3.差值比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0 a>b；
a－b<0 aa－b＝0 a＝b．
例1．（2023秋 南关区期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接起来：；；0；；．
【点拨】根据正数大于0，0大于一切负数，然后把根号外面的3平方后移到根号内，再根据被开方数的大小与比较，根据比较与的大小，从而最后得解．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
按照从小到大的顺序排列为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记正数大于0，0大于一切负数，负数相比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
变式1．（2023秋 双牌县期末）下列各式比较大小正确的是
A． B． C． D．
【点拨】根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较．
【解析】解：、，，故本选项正确；
、，，，，，，故本选项错误；
、，，故本选项正确；
、，，故本选项错误．
故选：．
【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小．
变式2．（2024春 阳谷县期末）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是
A． B． C． D．
【点拨】根据图示，可得，，判断出、的取值范围，把，，，按照从小到大的顺序排列即可．
【解析】解：根据图示，可得，，
，，
．
故选：．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
变式3．（2024秋 清镇市期中）无理数是在哪两个连续整数之间
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【点拨】先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可作出判断．
【解析】解：，
，
，
即无理数是在3和4之间，
故选：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
变式4．（2024秋 皇姑区期中）如图，用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形．则大正方形的边长最接近的整数是
A． B． C． D．
【点拨】由题意得大正方形的面积为，则其边长为，估算在4和5之间，然后比较18与的大小后即可得出答案．
【解析】解：由题意可得大正方形的面积为，
则其边长为，
，
，
，
，
则大正方形的边长最接近的整数是，
故选：．
【点睛】本题考查无理数的估算，结合已知条件求得是解题的关键．
变式5．（2022春 天水期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，用“”号连接起来、、、、0、1.6．
【点拨】根据负数正数，直接比较大小即可．
【解析】解：根据题意得：
．
【点睛】比较有理数的大小的方法：（1）负数正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
变式6．（2023秋 兴平市期末）已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【点拨】（1）运用平方根和立方根知识进行估算、求解；
（2）将，，的值代入后，运用平方根知识进行求解．
【解析】解：（1）由题意得，
解得，
，
的整数部分是3，
即，
，，；
（2）由（1）所得，，，
，
的平方根是，
的平方根是．
【点睛】此题考查了运用平方根和立方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
高频考点5 实数的运算
【解题技巧】实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
例1．（2024春 望花区期末）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）根据算术平方根、立方根分别计算即可；
（2）根据绝对值、有理数的乘方、算术平方根分别计算即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值、有理数的乘方运算法则是解题的关键．
变式1．（2024春 唐县期末）计算的结果是
A．0 B．16 C．12 D．4
【点拨】先计算、，再加减．
【解析】解：．
故选：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，会计算算术平方根、立方根是解决本题的关键．
变式2．（2024秋 昌平区校级期中）计算：．
【点拨】先把二次根式化成最简二次根式，再算开立方运算，最后合并同类二次根式即可．
【解析】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式．
变式3．（2024春 端州区校级期中）计算：．
【点拨】先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可．
【解析】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
变式4．（2024春 明水县期末）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）根据幂的运算法则，算术平方根，立方根的定义直接计算即可得到答案；
（2）根据绝对值，算术平方根，立方根的定义直接计算即可得到答案．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的概念是解决此题的关键．
变式5．（2024春 鱼台县期末）计算：．
【点拨】原式利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解析】解：原式．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
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