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专题02 有理数的运算 高频考点（10个）（精讲）
高频考点1. 有理数的加减
【解题技巧】
1.有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加.
（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
（3）互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.
注：要牢记“先符号，后绝对值”．
2.有理数的加法运算律
加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；用字母表示：a＋b＝b＋a.
加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变；用字母表示：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例1．（2023秋 市中区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
变式1．（2024 广东）计算的结果是
A． B． C．2 D．8
变式2．（2023 温州）如图，比数轴上点表示的数大3的数是
A． B．0 C．1 D．2
变式3．（2021 西宁）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是，根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是
A． B． C． D．
变式4．（2023秋 获嘉县期末）若，，且，则的值为
A．5或 B．或17 C．或 D．5或17
变式5．（2023秋 赤峰期末）绝对值小于4的所有整数的和是 ．
变式6．（2023秋 阿克陶县校级月考）计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式7．（2024秋 高州市校级月考）计算：
（1）； （2）．
变式8．（2024秋 昭阳区校级月考）计算：
（1）； （2）．
变式9．（2024秋 拱墅区月考）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
．
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
．
高频考点2. 有理数的减法
【解题技巧】有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
例1．（2024秋 张店区校级月考）计算：
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式1．（2024 雁塔区校级四模）计算的结果是
A．1 B． C．5 D．
变式2．（2023秋 通州区期末）下列算式中：①；②；③；④．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（2024秋 德惠市期中）被减数、减数与差的和是，则被减数是 ．
变式4．（2024春 望奎县期末）甲地的海拔高度是，乙地比甲地低，乙地的海拔高度是 ．
A．9 B． C．4 D．
变式5．（2022秋 凉州区校级期末）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是
A． B． C． D．
变式6．（2024秋 青原区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
变式7．（2023秋 郸城县校级月考）【方法引入】
数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数通过减法运算得到．
如图，点，间的距离为：；
点，间的距离为：；
点，间的距离为：．
【方法应用】
数轴上点，代表的数分别为和4，求点，间的距离；
数轴上点，代表的数分别为和，求点，间的距离；
【方法拓展】
数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，求另一个点表示的数．
高频考点3 有理数的加减混合运算
【解题技巧】有理数加减混合运算的一般步骤是先运用减法法则，将减法转化成加法，再运用加法交换律和结合律，使计算简便。
例1．（2023秋 乌鲁木齐期末）计算：（1）；
（2）．
变式1．（2021秋 襄州区期末）计算
（1） （2）
变式2．（2024秋 上蔡县月考）计算：
（1）； （2）．
变式3．（2024秋 迎泽区校级月考）计算
（1） （2）
（3） （4）
高频考点4 有理数的乘法
【解题技巧】1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数与零相乘，积为零.（3）多个不为零的有理数相乘，先确定积的符号，再将绝对值相乘. 若其中有一个乘数为0，则积为0
2.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即 .
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即.
（3）分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.即
例1．（2024秋 大理市校级月考）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
例2．（2023秋 牟平区期中）用简便方法计算：
（1）； （2）．
变式1．（2024秋 乌拉特前旗校级月考）下列算式中，积为负数的是
A． B． C． D．
变式2．（2024 滨海新区二模）计算的结果等于
A． B． C． D．2
变式3．（2023秋 竹溪县期末）如果，，那么
A．， B．， C．， D．，
变式4．（2024秋 句容市月考）有两个互不相等的整数，，如果，那么 ．
变式5．（2023秋 青山湖区校级期末）绝对值小于2010的所有整数的积是 ．
变式6．计算：
（1）； （2）．
变式7．（2024秋 庐江县校级月考）用简便方法计算：
①；
②．
高频考点5 有理数的除法
【解题技巧】1.有理数的除法法则：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0.
（2）除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数.
2. 有理数的乘除混合运算，通常把除法转化为乘法进行计算.
例1．（2024秋 南关区校级期中）计算：
（1） （2）
变式1．（2024 洪洞县二模）计算的结果是
A．12 B． C． D．
变式2．（2024秋 南召县月考）下列各式中，与的运算结果相同的是
A． B． C． D．
变式3．（2023秋 射阳县期末）若，，则下列成立的是
A．， B．， C．， D．，
变式4．（2023秋 开平市校级期中）计算：
（1）； （2）； （3）．
变式5．（2022春 普陀区校级期中）计算：．
变式6．（2022秋 宁远县期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题：
小明的解法：原式
小红的解法：原式的倒数为
故原式
（1）你觉得 小红 的解法更好．
（2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题：
计算：
高频考点6 有理数的乘方
【解题技巧】1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数.
2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0
例1．（2023秋 铜梁区期末）下列各式化简后是负数的是
A． B． C． D．
变式1．（2023秋 休宁县期中）表示的意义是
A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数
变式2．（2024秋 海原县期中）下列各组数中，相等的是
A．和 B．和 C．和 D．和
变式3．（2023秋 名山区期中）下列各数：，，，中，负数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式4．（2023秋 贵阳期末）将长方形纸片对折1次可得1条折痕，对折2次可得3条折痕，对折3次可得7条折痕，那么对折6次可得 条折痕．
变式5．（2024春 青岛期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题：
（1）填空： ， ；
（2）计算：，， ；
（3）若，，则 ．
变式6．（2023秋 滕州市期中）（1）填空： ； ； ．
（2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？
（3）利用上述规律，解答下列各题：
如果，那么 ．如果，那么 ．
高频考点7 有理数的混合运算
【解题技巧】
有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2. 如果有括号，先进行括号里的运算
3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
例1．（2024秋 南山区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
变式1．（2023秋 满城区期末）在算式□中□的里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是
A． B． C． D．
变式2．（2023秋 景县期末）下列计算错误的是
A． B． C． D．
变式3．（2024秋 翔安区校级期中）下列运算结果为负数的是
A． B． C． D．
变式4．（2022秋 萧山区期中）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
变式5．（2023秋 淄博期末）计算：
（1）； （2）．
变式6．（2024秋 南关区校级期中）计算：
（1）； （2）．
高频考点8 倒数
【解题技巧】
1.倒数：若两个有理数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数；其中一个数是另一个数的倒数.
2.注意：0没有倒数.
例1．（2024 陕西）的倒数是
A． B． C． D．3
变式1．（2024 下陆区校级三模）2024的倒数是
A．2024 B． C． D．
变式2．（2024秋 志丹县月考）若两个数，的乘积为，则与互为负倒数，下面选项中的两数互为负倒数的是
A．4和0.25 B．和 C．和 D．和
变式3．（2023秋 荆门期末）2023的倒数的相反数是
A． B． C． D．2023
变式4．（2024秋 合阳县期中）的倒数是
A． B． C．2023 D．
高频考点9 科学记数法
【解题技巧】
1.把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学记数法.．
2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
例1．（2023秋 和平区校级期末）据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
变式1．（2023秋 天元区期末）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
变式2．（2023秋 荔城区期末）杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，有最高2600000人同时在抖音收看直播．将数字2600000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
变式3．（2023秋 临颍县期末）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
高频考点9 近似数
【解题技巧】
1.准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数.
2.一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例1．（2023秋 河东区期末）下列说法正确的是
A．近似数1.8945精确到0.001 B．近似数0.520精确到百分位
C．近似数3.72精确到百分位 D．近似数5000精确到千位
变式1．（2023秋 明水县期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是
A．0.1（精确到 B．0.051（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到
变式2．（2023秋 舒城县期末）由四舍五入得到的近似数20.23万，是精确到
A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位
变式3．（2023秋 任丘市期末）近似数65.07万精确到
A．百位 B．百分位 C．万位 D．个位
变式4．（2023秋 靖江市期末）由四舍五入法得到的近似数，精确到
A．万位 B．百分位 C．百位 D．万分位
变式5．（2023秋 高阳县期末）一个数精确到十分位的结果是3.6，那么这个数的范围满足
A．a<3.65 B．a3.65 C． D．a3.65
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专题02 有理数的运算 高频考点（10个）（精讲）
高频考点1. 有理数的加减
【解题技巧】
1.有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加.
（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
（3）互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.
注：要牢记“先符号，后绝对值”．
2.有理数的加法运算律
加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；用字母表示：a＋b＝b＋a.
加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变；用字母表示：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例1．（2023秋 市中区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）利用有理数的加法法则计算即可；
（2）利用有理数的加法法则计算即可；
（3）利用加法的结合律及有理数的加法法则计算即可；
（4）利用加法的交换律与结合律，有理数的加法法则计算即可．
【解析】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
变式1．（2024 广东）计算的结果是
A． B． C．2 D．8
【点拨】依据有理数的加法法则计算即可．
【解析】解：．
故选：．
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
变式2．（2023 温州）如图，比数轴上点表示的数大3的数是
A． B．0 C．1 D．2
【点拨】结合数轴得出对应的数，再利用有理数的加法计算得出答案．
【解析】解：由数轴可得：表示，则比数轴上点表示的数大3的数是：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法以及数轴，正确掌握有理数的加法是解题关键．
变式3．（2021 西宁）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是，根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是
A． B． C． D．
【点拨】根据题意给出的规律即可求出答案．
【解析】解：由题意可知：，
故选：．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是正确理解题意给出的规律，本题属于基础题型．
变式4．（2023秋 获嘉县期末）若，，且，则的值为
A．5或 B．或17 C．或 D．5或17
【点拨】根据绝对值的性质求出、，然后判断出、的对应情况，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．
【解析】解：，，
，，
，
时，，
，
或，
的值为或．
故选：．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法，熟记性质是解题的关键，难点在于确定、的对应情况．
变式5．（2023秋 赤峰期末）绝对值小于4的所有整数的和是 0 ．
【点拨】找出绝对值小于4的所有整数，求出之和即可．
【解析】解：绝对值小于4的所有整数是，，，0，1，2，3，
其和为．
故答案为：0
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式6．（2023秋 阿克陶县校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）（3）（4）根据绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算．
（2）根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加计算．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数加法．在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
变式7．（2024秋 高州市校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）根据有理数加法的运算法则从左往右计算，即可求解；
（2）利用有理数的加法运算律计算，即可求解．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式8．（2024秋 昭阳区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）根据有理数的加减运算法则即可求出答案．
（2）根据有理数的加减运算法则即可求出答案．
【解析】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．
变式9．（2024秋 拱墅区月考）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
．
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
．
【点拨】利用题目提供的方法计算即可．
【解析】解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键．
高频考点2. 有理数的减法
【解题技巧】有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
例1．（2024秋 张店区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）根据有理数的减法运算法则计算即可；
（2）根据有理数的减法运算法则计算即可；
（3）根据有理数的减法运算法则计算即可；
（4）根据有理数的减法运算法则计算即可．
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键．
变式1．（2024 雁塔区校级四模）计算的结果是
A．1 B． C．5 D．
【点拨】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．依此计算即可求解．
【解析】解：．
故选：．
【点睛】考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）．
变式2．（2023秋 通州区期末）下列算式中：①；②；③；④．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据有理数的减法运算法则对各小题分别进行计算即可继续进行判断．
【解析】解：①，故本小题错误；
②，故本小题错误；
③，故本小题错误；
④，故本小题正确；
综上所述，正确的有④共1个．
故选：．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
变式3．（2024秋 德惠市期中）被减数、减数与差的和是，则被减数是 ．
【点拨】设被减数为、减数为、差为，则可得到，结合，即可求出的值，从而得到被减数．
【解析】解：设被减数为、减数为、差为，
则，即，
根据题意得，，
所以，
所以，
即被减数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式4．（2024春 望奎县期末）甲地的海拔高度是，乙地比甲地低，乙地的海拔高度是 ．
A．9 B． C．4 D．
【点拨】利用减法法则得结论．
【解析】解：甲地的海拔高度是，乙地比甲地低，
．
乙地的海拔高度是．
故选：．
【点睛】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解决本题的关键．
变式5．（2022秋 凉州区校级期末）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是
A． B． C． D．
【点拨】在数轴上，右边的数总大于左边的数．原点右边的表示正数，原点左边的表示负数．
【解析】解：如图可知，答案和显然错误；
在中，的绝对值大于的绝对值，故和为负号，错误．
故选：．
【点睛】学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号．
变式6．（2024秋 青原区校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】（1）根据有理数的减法法则计算即可；
（2）根据有理数的减法法则计算即可；
（3）根据有理数的减法法则计算即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
变式7．（2023秋 郸城县校级月考）【方法引入】
数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数通过减法运算得到．
如图，点，间的距离为：；
点，间的距离为：；
点，间的距离为：．
【方法应用】
数轴上点，代表的数分别为和4，求点，间的距离；
数轴上点，代表的数分别为和，求点，间的距离；
【方法拓展】
数轴上的两个点之间的距离为6，其中一个点表示的数为3，求另一个点表示的数．
【点拨】方法应用：根据数轴上两点间的距离求解即可；
方法拓展：根据数轴上两点间的距离和列绝对值方程进行求解即可．
【解析】解：方法应用：数轴上点，代表的数分别为和4，
点，间的距离为；
数轴上点，代表的数分别为和，
点，间的距离为；
方法拓展：设另一个点表示的数为．
由题可得，，
解得或，
即另一个点表示的数为9或．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离、解绝对值方程等知识，涉及数形结合方法，是重要考点，解题的关键是理解题意，掌握相关知识．
高频考点3 有理数的加减混合运算
【解题技巧】有理数加减混合运算的一般步骤是先运用减法法则，将减法转化成加法，再运用加法交换律和结合律，使计算简便。
例1．（2023秋 乌鲁木齐期末）计算：（1）；
（2）．
【点拨】先分别变有理数加减混合运算为有理数加法，再运用加法交换结合律进行求解．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并进行正确地计算．
变式1．（2021秋 襄州区期末）计算
（1）
（2）
【点拨】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
变式2．（2024秋 上蔡县月考）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）根据有理数的加减混合运算可进行求解；
（2）根据有理数的加减混合运算律可进行求解．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
变式3．（2024秋 迎泽区校级月考）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【点拨】（1）利用绝对值化简和有理数的加法计算即可；
（2）把减法变为省略加号和括号的加法计算即可；
（3）把减法变为省略加号和括号的加法，利用加法交换律和结合律计算即可；
（4）把减法变为省略加号和括号的加法计算即可．
【解析】解：（1）
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，正确进行计算是解题关键．
高频考点4 有理数的乘法
【解题技巧】1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数与零相乘，积为零.（3）多个不为零的有理数相乘，先确定积的符号，再将绝对值相乘. 若其中有一个乘数为0，则积为0
2.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即 .
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即.
（3）分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.即
例1．（2024秋 大理市校级月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）先确定符号，将其化为假分数，再进行计算；
（2）先确定符号，利用交换律和结合律计算；
（3）先确定符号，再计算；
（4）先确定符号，利用交换律和结合律计算．
【解析】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握是有理数的乘法法则是解题的关键．
例2．（2023秋 牟平区期中）用简便方法计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得；
（2）将改写成，再利用有理数乘法分配律计算即可得．
【解析】解：（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题考查了有理数乘法的交换律与结合律、分配律，熟练掌握有理数乘法的运算律是解题关键．
变式1．（2024秋 乌拉特前旗校级月考）下列算式中，积为负数的是
A． B． C． D．
【点拨】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断．
【解析】解：．，0既不是正数，也不是负数；
．，是正数；
．，是正数；
．，是负数；
故选：．
【点睛】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
变式2．（2024 滨海新区二模）计算的结果等于
A． B． C． D．2
【点拨】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解析】解：原式
，
故选：．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
变式3．（2023秋 竹溪县期末）如果，，那么
A．， B．， C．， D．，
【点拨】根据有理数加法法则和绝对值的性质得到，根据有理数乘法法则得到与异号，即可得出是正数，是负数．
【解析】解：，，
与异号，且，
，，
故选：．
【点睛】此题考查了有理数乘法法则，加法法则，绝对值的性质，能熟记有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．
变式4．（2024秋 句容市月考）有两个互不相等的整数，，如果，那么 ．
【点拨】根据题意确定，的值后代入中计算即可．
【解析】解：有两个互不相等的整数，，如果，
，或，或，或，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的加法及乘法，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
变式5．（2023秋 青山湖区校级期末）绝对值小于2010的所有整数的积是 0 ．
【点拨】根据绝对值的定义可得，这些整数为0，，，，，则积为0．
【解析】解：绝对值小于2010的所有整数，这些整数为0，，，，，
则积为0．
故答案为0．
【点睛】本题考查了有理数的乘法以及绝对值的概念．0乘以任何数都得0．
变式6．计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）有一个因数为0，积就等于0；（2）几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，再把绝对值相乘．
【解析】解：（1）；
（2）原式．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有一个因数为0，积就等于0，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．
变式7．（2024秋 庐江县校级月考）用简便方法计算：
①；
②．
【点拨】①利用乘法分配律计算即可；
②利用乘法分配律计算即可．
【解析】解：①原式
．
②原式
．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键．
高频考点5 有理数的除法
【解题技巧】1.有理数的除法法则：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0.
（2）除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数.
2. 有理数的乘除混合运算，通常把除法转化为乘法进行计算.
例1．（2024秋 南关区校级期中）计算：
（1）
（2）
【点拨】（1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可．
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
变式1．（2024 洪洞县二模）计算的结果是
A．12 B． C． D．
【点拨】根据有理数除法的运算法则进行计算即可得出答案．
【解析】解：原式．
故选：．
【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则．
变式2．（2024秋 南召县月考）下列各式中，与的运算结果相同的是
A． B． C． D．
【点拨】利用有理数的乘除混合运算法则逐一计算，并与题中的计算结果比较即可．
【解析】解：
中、，不相同，故选项不符合题意；
中、，相同，故选项符合题意；
中、，不相同，故选项不符合题意；
中、，不相同，故选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键．
变式3．（2023秋 射阳县期末）若，，则下列成立的是
A．， B．， C．， D．，
【点拨】利用有理数的加法与除法法则判断即可．
【解析】解：，，
与同号，且同时为负数，
则，，
故选：．
【点睛】此题考查了有理数的除法，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式4．（2023秋 开平市校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】（1）根据有理数的乘法法则进行计算即可；
（2）从左到右依次计算即可；
（3）从左到右依次计算即可．
【解析】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法与除法，熟知有理数的乘除法则是解题的关键．
变式5．（2022春 普陀区校级期中）计算：．
【点拨】先确定结果的符合，将除化为乘，再约分即可．
【解析】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序及相关法则．
变式6．（2022秋 宁远县期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题：
小明的解法：原式
小红的解法：原式的倒数为
故原式
（1）你觉得 小红 的解法更好．
（2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题：
计算：
【点拨】两种解法都正确，第一种是一般的解法，按照有理数混合运算的顺序进行计算．第二种先求出代数式的倒数，再求原数，较为简便，所以第二种好．
【解析】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分）
（2）原式的倒数为
，
故原式．
【点睛】本题很有创新，敢大胆的尝试新的解题方法，开拓了学生的解题思路，是一道好题．
高频考点6 有理数的乘方
【解题技巧】1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数.
2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0
例1．（2023秋 铜梁区期末）下列各式化简后是负数的是
A． B． C． D．
【点拨】根据乘方的意义和互为相反数的定义，对各个选项中的式子进行化简或计算，然后根据计算结果进行判断即可．
【解析】解：．，化简后是正数，故此选项不符合题意；
．，化简后是正数，故此选项不符合题意；
．，化简后是负数，故此选项符合题意；
．，化简后是正数，故此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了正负数，解题关键是熟练掌握乘方的意义和互为相反数的定义．
变式1．（2023秋 休宁县期中）表示的意义是
A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数
【点拨】原式利用乘方的意义判断即可．
【解析】解：表示的意义是5个2相乘的相反数，
故选：．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
变式2．（2024秋 海原县期中）下列各组数中，相等的是
A．和 B．和 C．和 D．和
【点拨】根据有理数的乘方的定义对各选项分别进行计算，然后利用排除法求解．
【解析】解：、，，，故本选项错误；
、，，，故本选项错误；
、，，故本选项正确；
、，，，故本选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记乘方的定义是解题的关键，计算时要注意和的区别．
变式3．（2023秋 名山区期中）下列各数：，，，中，负数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据小于0的数是负数，对各选项计算后再计算负数的个数．
【解析】解：，是负数；
，是正数；
是负数；
，是正数．
所以负数有：，，共2个．
故选：．
【点睛】本题主要考查小于0的数是负数的概念，是基础题．
变式4．（2023秋 贵阳期末）将长方形纸片对折1次可得1条折痕，对折2次可得3条折痕，对折3次可得7条折痕，那么对折6次可得 63 条折痕．
【点拨】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
【解析】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
，
当时，，
故答案为：63．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．
变式5．（2024春 青岛期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题：
（1）填空： 3 ， ；
（2）计算：，， ；
（3）若，，则 ．
【点拨】运用乘方知识和运算新定义进行逐一计算、求解．
【解析】解：（1），，
，，
故答案为：3，2；
（2），，
，，
，，，
故答案为：；
（3），，
，，
，，，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了乘方运算方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识和定义进行运算．
变式6．（2023秋 滕州市期中）（1）填空： 1.44 ； ； ．
（2）根据上题的规律猜想：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点怎样移动？
（3）利用上述规律，解答下列各题：
如果，那么 ．如果，那么 ．
【点拨】（1）利用平方的概念填空；
（2）由（1）中可以发现小数点的变化，从而找出规律．
（3）利用这个规律计算这两题即可．
【解析】解：（1）1.44；144；14400；
（2）根据上题的规律可知：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位．
（3）0.105625；．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方的运算法则和规律．
小数点的变化规律：当底数的小数点向右移动一位，其平方数的小数点向右移动两位．
高频考点7 有理数的混合运算
【解题技巧】
有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2. 如果有括号，先进行括号里的运算
3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
例1．（2024秋 南山区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）先去掉小括号，再根据有理数加减法计算法则进行计算；
（2）根据乘法分配律进行简便计算即可；
（3）先算乘法和除法，再算减法即可求出结果；
（4）先算乘方和括号里的，再算乘除法，最后算减法即可求出结果．
【解析】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算定律．
变式1．（2023秋 满城区期末）在算式□中□的里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是
A． B． C． D．
【点拨】将运算符代入，比较大小即可；
【解析】解：；；；；
则要使算式的值最小，这个符号应是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式2．（2023秋 景县期末）下列计算错误的是
A． B． C． D．
【点拨】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解析】解：、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意，
故选：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式3．（2024秋 翔安区校级期中）下列运算结果为负数的是
A． B． C． D．
【点拨】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断．
【解析】解：．，是正数；
．，0既不是正数，也不是负数；
．，是正数；
．，是负数；
故选：．
【点睛】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
变式4．（2022秋 萧山区期中）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【点拨】根据先计算有理数乘法与再计算减法判断；根据有理乘除混合运算法则判断；根据有理数除法法则与乘法分配律判断；根据有理数混合运算顺序，运算法则判断．
【解析】解：．原式，选项错误，不符合题意；
．原式，选项错误，不符合题意；
．原式，选项正确，符合题意；
．原式，选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算顺序，运算法则，运算定律是解题的关键．
变式5．（2023秋 淄博期末）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先算绝对值内的运算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先算括号内的运算．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
变式6．（2024秋 南关区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法，最后算减法即可；
（2）先根据乘法分配律计算括号内的式子，然后算括号外的除法即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
高频考点8 倒数
【解题技巧】
1.倒数：若两个有理数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数；其中一个数是另一个数的倒数.
2.注意：0没有倒数.
例1．（2024 陕西）的倒数是
A． B． C． D．3
【点拨】根据倒数的定义进行解答即可．
【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
【点睛】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
变式1．（2024 下陆区校级三模）2024的倒数是
A．2024 B． C． D．
【点拨】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【解析】解：2024的倒数是；
故选：．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
变式2．（2024秋 志丹县月考）若两个数，的乘积为，则与互为负倒数，下面选项中的两数互为负倒数的是
A．4和0.25 B．和 C．和 D．和
【点拨】根据负倒数的定义逐一分析判断即可．
【解析】解：若两个数，的乘积为，则与互为负倒数，
、，不符合题意；
、，符合题意；
、，不符合题意；
、，不符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查的是负倒数的含义，熟记定义是解题的关键．
变式3．（2023秋 荆门期末）2023的倒数的相反数是
A． B． C． D．2023
【点拨】由倒数和相反数的定义进行判断，即可得到答案．
【解析】解：2023的倒数的相反数是；
故选：．
【点睛】本题考查了倒数和相反数的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．
变式4．（2024秋 合阳县期中）的倒数是
A． B． C．2023 D．
【点拨】根据倒数的定义进行解题即可．
【解析】解：的倒数是．
故选：．
【点睛】本题考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
高频考点9 科学记数法
【解题技巧】
1.把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学记数法.．
2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
例1．（2023秋 和平区校级期末）据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【点拨】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解析】解：457万．
故选：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
变式1．（2023秋 天元区期末）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
【点拨】利用科学记数法表示大数．
【解析】解：，
故选：．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表达形式．
变式2．（2023秋 荔城区期末）杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，有最高2600000人同时在抖音收看直播．将数字2600000用科学记数法表示应为
A． B． C． D．
【点拨】根据科学记数法的定义解答即可．
【解析】解：，共有7位数字，2的后面有6位，
．
故选：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，确定与的值是解题的关键．
变式3．（2023秋 临颍县期末）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为
A．千克 B．千克 C．千克 D．千克
【点拨】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解析】解：500亿．
故选：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
高频考点9 近似数
【解题技巧】
1.准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数.
2.一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
例1．（2023秋 河东区期末）下列说法正确的是
A．近似数1.8945精确到0.001 B．近似数0.520精确到百分位
C．近似数3.72精确到百分位 D．近似数5000精确到千位
【点拨】根据解近似数的精确度分别进行判断．
【解析】解：、近似数1.8945精确到万分位，所以选项错误；
、近似数0.520精确到百分位 到千位，所以选项错误；
、近似数3.72精确到百分位，所以选项正确；
、近似数5000精确到个位，所以选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，解答本题的关键是掌握近似数的定义：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．
变式1．（2023秋 明水县期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是
A．0.1（精确到 B．0.051（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到
【点拨】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解析】解：．（精确到，所以选项不符合题意；
．（精确到千分位），所以选项符合题意；
．（精确到百分位），所以选项不符合题意；
．（精确到，所以选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
变式2．（2023秋 舒城县期末）由四舍五入得到的近似数20.23万，是精确到
A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位
【点拨】根据题目中的数据和最后一个数字所在的位置，可知这个近似数精确到哪一位．
【解析】解：近似数20.23万精确到百位，
故选：．
【点睛】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数精确到哪一位，就是看最后一个数字所在的位置．
变式3．（2023秋 任丘市期末）近似数65.07万精确到
A．百位 B．百分位 C．万位 D．个位
【点拨】先把65.07万化为650700，进而可得出结论．
【解析】解：65.07万，
数字7在百位，故精确到百位．
故选：．
【点睛】此题考查了近似数精确的数位，要将数化为原数，近似数最后一个数字所在的数位即为精确的数位，正确理解近似数的精确方法是解题的关键．
变式4．（2023秋 靖江市期末）由四舍五入法得到的近似数，精确到
A．万位 B．百分位 C．百位 D．万分位
【点拨】由于，数字1在百位上，则近似数精确到百位．
【解析】解：，
近似数精确到百位．
故选：．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起，到这个数完为止，所有这些数字叫这个数的有效数字．
变式5．（2023秋 高阳县期末）一个数精确到十分位的结果是3.6，那么这个数的范围满足
A．a<3.65 B．a3.65 C． D．a3.65
【点拨】利用近似数的精确度，一个数精确到十分位的结果是3.6，则这个数最小为3.55，最大小于3.65．
【解析】解：根据题意，这个数的范围满足a3.65．
故选：．
【点睛】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．
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