【培优版】浙教版数学八上3.4 一元一次不等式组同步练习
一、选择题
1．（2022八上·定海期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-82．（2024八上·南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．7 B．5 C．0 D．－2
3．（2023八上·合川期末）关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；
④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024八下·菏泽期中）对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是( )
A． B． C． D．
6．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、填空题
7．（2023八上·萧山月考）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是 ，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是 ．
8．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
9．（2023八上·宁波月考）若不等式有解，则实数最小值是 ．
10．（2022八上·杭州期中）已知，在关于，的二元一次方程组中，，，则的取值范围是 ， .
三、解答题
11．（2023七下·江岸期末）用1块型钢板可恰好制成2块型钢板和1块型钢板；用1块型钢板可恰好制成1块型钢板和3块型钢板．
（1）若需14块型钢板和12块型钢板，则恰好用型钢板、型钢板各多少块？
（2）现准备购买、型钢板共50块，并全部加工成、型钢板，要求型钢板不超过86块，型钢板不超过90块，求、型钢板的购买方案共有多少种？
（3）在（2）的条件下，若出售型钢板每块利润为100元，型钢板每块利润为120元，则全部售出、型钢板可获得的最大利润为 元．
12．（2024八上·长沙开学考）使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”.
例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0，当x=2时，同时成立，则称“x=2”是方程2x-3=1与不等式x+3>0的“理想解”.
（1）已知试判断方程：的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
（2）若是方程x-2y=4与不等式组的“理想解”，求的取值范围；
（3）当关于x的方程与关于x的不等式恰有7个理想解为整数，若3m-n+p=4，m+n+p=6，求M=2m+3n-p的值.
13．（2024八上·岳麓开学考）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”．
（1）若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值．
（2）若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
（3）方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围．
四、实践探究题
14．（2024七下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）。而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二。
素材2 现有大长方形硬纸板n张.（说明：裁剪后的余料不可以再使用.）
问题解决
任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完。 型号 裁法（裁法一）（裁法二）合计大长方形硬纸板x（张）大长方形硬纸板y（张） ▲ A型号(张数）2x02xB型号（张数）0 ▲ ▲
若n=13， （1） 完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒
任务2 反思 方案 探究二： 若n=70，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由。
任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ▲ 。（填空）
五、综合题
15．（2023七下·昭通期末）某校在今年3月12日“植树节”这一天，决定购买、两种树苗对校园进行绿化改造，已知购买种树苗5棵，种树苗4棵，需要600元．若购买种树苗3棵，种树苗10棵，则需要740元．
（1）求购买、两种树苗每棵各需要多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金问题，购进种树苗不能少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过6870元．需购进这两种树苗共100棵，若种植一棵种树苗需支付工钱30元，种植一棵种树苗需支付工钱40元，且支付种树苗的工钱最多为3410元，有哪几种购买方式？
16．（2023八下·成都期末）“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．
（1）求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？
（2）若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为-1，0，1，
∴-2＜≤-1，
解得：-8＜m≤-5.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算：p@q＝p-q＋pq，可得到关于x的不等式组，求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，可得到整数解为-1，0，1，由此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
2．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解分式方程得：，
由分式方程的解为非负整数，可得：m＋5＝0，3，6，9，12…，
解之：m＝－5，－2，1，4，7…；
解不等式组：m≤y＜10，且不等式组至少有3个整数解，
得到m≤7，
所以m＝－5，－2，1，4，7.（因分式方程中x≠1，故m＝－2舍去）．
故m可取的整数值为－5，1，4，7.
其和为7．
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负整数，求出m的值，再结合m≤7，求出所有符合条件的整数，最后利用有理数的加法计算即可.
3．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且
∴正整数m有：2，3，
∵，
故答案为：C.
【分析】先解不等式组得，由于不等式组的解集为，可得，求出，然后解分式方程得，由于解为正数，可得y＞0且y≠2，据此求出整数m值，再相加即可.
4．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
5．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥-，
∴不等式组的解集是：-≤x＜2，
∵不等式组有2个整数解，
∴-1＜-≤0，
解得：3≤m＜5．
故答案为：A．
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可。
6．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
7．【答案】a＞-1；1≤a＜2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： x+a≥0，则x≥-a；
1-2x＞x-2，则x＜1；
若不等式组有解，则-a＜1，a＞-1.
若不等式组刚好有两个整数解，则-2＜-a≤-1，解得：1≤a＜2.
故答案为：a＞-1，1≤a＜2.
【分析】先解出两个不等式的解集，根据不等式组有解，可得-a＜1，即可求得a的取值范围；再根据不等式组刚好有两个整数解，可得-2＜-a≤-1，即可求得.
8．【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
9．【答案】4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
当1≤x≤3时，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
当x＞3时，原不等式变形为
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴实数a的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分情况讨论：当x＜1时，可缓解绝对值，可得到不等式的解集为x≥，代入可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当1≤x≤3时，可得到x≥7-a，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；当x＞3时可得到x≤，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；根据a的取值范围，可得到a的最小值.
10．【答案】；5m+5a+5b-18
【知识点】整式的加减运算；解一元一次不等式组；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由方程组 解得 ，
又 ， ，
，
解得 ，
，
.
.
故答案为： ，.
【分析】首先解出关于未知数x、y的二元一次方程组的解，结合x、y的取值范围可列出关于字母a的不等式组，求解可得a的取值范围，再根据不等式的性质结合a-b=m可得，从而判断出a+b-3+m＞0，m-4+a+b＜0，接着根据绝对值的性质化简绝对值，最后再去括号、合并同类项即可.
11．【答案】（1）解：设用型钢板、型钢板各x块和y块，
，
解得：；
答：用型钢板、型钢板各6块和2块
（2）解：设、型钢板购买各a块和块，
，
解得：，
由于a为整数，
∴a可以取30，31，32，33，34，35，36共7中方案，
答：、型钢板的购买方案共有7种．
（3）18800
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：（3）当a=30时，利润为：80×100+90×120=18800（元），
当a=31时，利润为：81×100+88×120=18660（元），
当a=32时，利润为：82×100+86×120=18520（元），
当a=33时，利润为：83×100+84×120=18380（元），
当a=34时，利润为：84×100+82×120=18240（元），
当a=35时，利润为：85×100+80×120=18100（元），
当a=36时，利润为：86×100+78×120=17960（元），
∵18800＞18660＞17520＞18380＞17240＞17100＞17960，
∴全部售出C、D型钢板可获得的最大利润为 18800元，
故答案为：18800．
【分析】（1）设用A型钢板、B型钢板各x块和y块，根据“ 用1块A型钢板可恰好制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可恰好制成1块C型钢板和3块D型钢板 ”分别列出方程，组成方程组求解；
（2）设A型钢板购买a块，可用a表示出B型钢板购买的数量，再根据“ 要求C型钢板不超过86块，D型钢板不超过90块 ”分别列出不等式，组成不等式组求解，并求得整数解就是相应的方案；
（3）根据（2）得到的方案分别计算利润，比较大小，得出结论.
12．【答案】（1）解：解方程2x＋3＝1得，x＝ 1，
当x＝ 1时，x =<，
则方程2x＋3＝1的解不是不等式①x >的理想解；
当x＝ 1时，2（x＋3）＝2（ 1＋3）＝4，
∴2x＋3＝1的解不是不等式②2（x＋3）＜4的理想解；
当x＝ 1时，＝ 1＜3，
∴2x＋3＝1的解是不等式③＜3的理想解.
（2）解：根据方程x 2y＝4得x0＝2y0＋4，代入不等式组，
得，
解得，
则 1＜2y0＜2，3＜2y0＋4＜6，
∴2＜x0＋2y0＜8；
（3）解：解方程，得x＝2m 1，
解不等式组，
得，
根据题意得：，，
解不等式①得：
解不等式②得：3≤m＜5，
∴3≤m≤4；
，
解得，
∴3≤≤4，
解得：19≤M≤26．
故M的取值范围是19≤M≤26．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）先求出方程2x＋3＝1的解，再将其分别代入三个不等式检验即可；
（2）先求出x0＝2y0＋4，再结合，可得，再求出，最后求出2＜x0＋2y0＜8即可；
（3）先求出不等式组的解集，再结合题意列出不等式组求出m的取值范围，再结合，求出，最后求出19≤M≤26即可．
13．【答案】（1）解：关于x的方程，得，解方程，得.
因为关于x的方程和方程是“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”。
所以，
解得或．
（2）解：解关于x的不等式组得，
a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解
，，
，
．
（3）解：方程的解是，关于x的方程的解是，∵方程是若关于x的方程的“领先方程”，
∴或，即或，
∵关于x的不等式组有解且均为非负解，
∴，且，
∴．
综上所述，．
解得，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可；
（2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围；
（3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答．
（1）解关于x的方程，得，
解方程，得.
∵关于x的方程和方程是“活力方程”，
∴，
解得或．
（2）解：解关于x的不等式组得，
a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解
，，
，
．
（3）解：方程的解是，关于x的方程的解是，
∵方程是若关于x的方程的“领先方程”，
∴或，即或，
∵关于x的不等式组有解且均为非负解，
∴，且，
∴．
综上所述，．
解得，
∴，
解得．
14．【答案】任务一：（1）由题意得：B型号（张数） 为3y， 大长方形硬纸板总数为13，
故答案为：3y，3y，13；
（2）由（1）得，
解得：，
∴
答：最多能做6个礼品盒；
任务二：设能做a个礼品盒，
由题意得：，
解得，
∵a是正整数，
∴a最大为32，
即最多能做32个礼品盒；
（3）设恰好用完能做b个礼品盒，
由题意得：，
整理得：，
∵n在10张至30张之间 ，
∴，
解得：，
∵n，b为正整数，
∴或，
故答案为：11或24.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务一：（1）根据裁法二可知B型号（张数） 为3y， 而大长方形硬纸板总数为x+y；
（2）根据长方形硬纸板总数为13， 所裁剪的A、B型纸板恰好用完列方程组求出裁法一裁剪的张数，然后再计算所做礼品盒数量即可；
任务二：设能做a个礼品盒，根据纸板总数不大于70列不等式求出a的取值范围即可；
任务三：设恰好用完能做b个礼品盒，表示出所需纸板数，然后根据n在10张至30张之间 列不等式求出b的取值范围，再根据n，b为正整数进行求解即可.
15．【答案】（1）解：设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，由题意得：
，
解得：．
答：购买A种树苗每棵需要80元，B种树苗每棵需要50元．
（2）解：设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗棵，根据题意，得
，
解得：
∵m为整数，
∴或61或62
∴或39或38
∴有3种购买方式，方式一：购买A种树苗60棵，则购买B种树苗40棵，
方式二：购买A种树苗61棵，则购买B种树苗39棵，
方式三：购买A种树苗62棵，则购买B种树苗38棵．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】 (1) 根据题意列二元一次方程组 (2)根据题意列不等式组，解决方案问题。
16．【答案】（1）解：设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元，由题意得：
，解之得，
经检验：x=45是原方程的解，
则．
答：每个A种纪念品为45元、则每个B种纪念品的进价为50元．
（2）解：设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个，由题可得：
解之得：．
∵为整数，
∴．
答：该经销商应购进B类纪念品25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元 ，根据“ 用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同”列出分式方程，解之并检验即可；
（2）设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个 ，根据" 两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个 "列出不等式组，求出其整数解即可.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上3.4 一元一次不等式组同步练习
一、选择题
1．（2022八上·定海期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-8【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为-1，0，1，
∴-2＜≤-1，
解得：-8＜m≤-5.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算：p@q＝p-q＋pq，可得到关于x的不等式组，求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，可得到整数解为-1，0，1，由此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
2．（2024八上·南充期末）若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．7 B．5 C．0 D．－2
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解分式方程得：，
由分式方程的解为非负整数，可得：m＋5＝0，3，6，9，12…，
解之：m＝－5，－2，1，4，7…；
解不等式组：m≤y＜10，且不等式组至少有3个整数解，
得到m≤7，
所以m＝－5，－2，1，4，7.（因分式方程中x≠1，故m＝－2舍去）．
故m可取的整数值为－5，1，4，7.
其和为7．
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负整数，求出m的值，再结合m≤7，求出所有符合条件的整数，最后利用有理数的加法计算即可.
3．（2023八上·合川期末）关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且
∴正整数m有：2，3，
∵，
故答案为：C.
【分析】先解不等式组得，由于不等式组的解集为，可得，求出，然后解分式方程得，由于解为正数，可得y＞0且y≠2，据此求出整数m值，再相加即可.
4．（2024七下·玉州期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是1＜x≤3，则a＝7；
②当a＝3，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是11≤a＜13；
④若它有解，则a＞3．
其中正确的结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
5．（2024八下·菏泽期中）对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥-，
∴不等式组的解集是：-≤x＜2，
∵不等式组有2个整数解，
∴-1＜-≤0，
解得：3≤m＜5．
故答案为：A．
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可。
6．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
二、填空题
7．（2023八上·萧山月考）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是 ，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞-1；1≤a＜2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： x+a≥0，则x≥-a；
1-2x＞x-2，则x＜1；
若不等式组有解，则-a＜1，a＞-1.
若不等式组刚好有两个整数解，则-2＜-a≤-1，解得：1≤a＜2.
故答案为：a＞-1，1≤a＜2.
【分析】先解出两个不等式的解集，根据不等式组有解，可得-a＜1，即可求得a的取值范围；再根据不等式组刚好有两个整数解，可得-2＜-a≤-1，即可求得.
8．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
9．（2023八上·宁波月考）若不等式有解，则实数最小值是 ．
【答案】4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
当1≤x≤3时，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
当x＞3时，原不等式变形为
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴实数a的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分情况讨论：当x＜1时，可缓解绝对值，可得到不等式的解集为x≥，代入可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当1≤x≤3时，可得到x≥7-a，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；当x＞3时可得到x≤，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；根据a的取值范围，可得到a的最小值.
10．（2022八上·杭州期中）已知，在关于，的二元一次方程组中，，，则的取值范围是 ， .
【答案】；5m+5a+5b-18
【知识点】整式的加减运算；解一元一次不等式组；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由方程组 解得 ，
又 ， ，
，
解得 ，
，
.
.
故答案为： ，.
【分析】首先解出关于未知数x、y的二元一次方程组的解，结合x、y的取值范围可列出关于字母a的不等式组，求解可得a的取值范围，再根据不等式的性质结合a-b=m可得，从而判断出a+b-3+m＞0，m-4+a+b＜0，接着根据绝对值的性质化简绝对值，最后再去括号、合并同类项即可.
三、解答题
11．（2023七下·江岸期末）用1块型钢板可恰好制成2块型钢板和1块型钢板；用1块型钢板可恰好制成1块型钢板和3块型钢板．
（1）若需14块型钢板和12块型钢板，则恰好用型钢板、型钢板各多少块？
（2）现准备购买、型钢板共50块，并全部加工成、型钢板，要求型钢板不超过86块，型钢板不超过90块，求、型钢板的购买方案共有多少种？
（3）在（2）的条件下，若出售型钢板每块利润为100元，型钢板每块利润为120元，则全部售出、型钢板可获得的最大利润为 元．
【答案】（1）解：设用型钢板、型钢板各x块和y块，
，
解得：；
答：用型钢板、型钢板各6块和2块
（2）解：设、型钢板购买各a块和块，
，
解得：，
由于a为整数，
∴a可以取30，31，32，33，34，35，36共7中方案，
答：、型钢板的购买方案共有7种．
（3）18800
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：（3）当a=30时，利润为：80×100+90×120=18800（元），
当a=31时，利润为：81×100+88×120=18660（元），
当a=32时，利润为：82×100+86×120=18520（元），
当a=33时，利润为：83×100+84×120=18380（元），
当a=34时，利润为：84×100+82×120=18240（元），
当a=35时，利润为：85×100+80×120=18100（元），
当a=36时，利润为：86×100+78×120=17960（元），
∵18800＞18660＞17520＞18380＞17240＞17100＞17960，
∴全部售出C、D型钢板可获得的最大利润为 18800元，
故答案为：18800．
【分析】（1）设用A型钢板、B型钢板各x块和y块，根据“ 用1块A型钢板可恰好制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可恰好制成1块C型钢板和3块D型钢板 ”分别列出方程，组成方程组求解；
（2）设A型钢板购买a块，可用a表示出B型钢板购买的数量，再根据“ 要求C型钢板不超过86块，D型钢板不超过90块 ”分别列出不等式，组成不等式组求解，并求得整数解就是相应的方案；
（3）根据（2）得到的方案分别计算利润，比较大小，得出结论.
12．（2024八上·长沙开学考）使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”.
例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0，当x=2时，同时成立，则称“x=2”是方程2x-3=1与不等式x+3>0的“理想解”.
（1）已知试判断方程：的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
（2）若是方程x-2y=4与不等式组的“理想解”，求的取值范围；
（3）当关于x的方程与关于x的不等式恰有7个理想解为整数，若3m-n+p=4，m+n+p=6，求M=2m+3n-p的值.
【答案】（1）解：解方程2x＋3＝1得，x＝ 1，
当x＝ 1时，x =<，
则方程2x＋3＝1的解不是不等式①x >的理想解；
当x＝ 1时，2（x＋3）＝2（ 1＋3）＝4，
∴2x＋3＝1的解不是不等式②2（x＋3）＜4的理想解；
当x＝ 1时，＝ 1＜3，
∴2x＋3＝1的解是不等式③＜3的理想解.
（2）解：根据方程x 2y＝4得x0＝2y0＋4，代入不等式组，
得，
解得，
则 1＜2y0＜2，3＜2y0＋4＜6，
∴2＜x0＋2y0＜8；
（3）解：解方程，得x＝2m 1，
解不等式组，
得，
根据题意得：，，
解不等式①得：
解不等式②得：3≤m＜5，
∴3≤m≤4；
，
解得，
∴3≤≤4，
解得：19≤M≤26．
故M的取值范围是19≤M≤26．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）先求出方程2x＋3＝1的解，再将其分别代入三个不等式检验即可；
（2）先求出x0＝2y0＋4，再结合，可得，再求出，最后求出2＜x0＋2y0＜8即可；
（3）先求出不等式组的解集，再结合题意列出不等式组求出m的取值范围，再结合，求出，最后求出19≤M≤26即可．
13．（2024八上·岳麓开学考）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”．
（1）若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值．
（2）若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
（3）方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围．
【答案】（1）解：关于x的方程，得，解方程，得.
因为关于x的方程和方程是“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”。
所以，
解得或．
（2）解：解关于x的不等式组得，
a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解
，，
，
．
（3）解：方程的解是，关于x的方程的解是，∵方程是若关于x的方程的“领先方程”，
∴或，即或，
∵关于x的不等式组有解且均为非负解，
∴，且，
∴．
综上所述，．
解得，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可；
（2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围；
（3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答．
（1）解关于x的方程，得，
解方程，得.
∵关于x的方程和方程是“活力方程”，
∴，
解得或．
（2）解：解关于x的不等式组得，
a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解
，，
，
．
（3）解：方程的解是，关于x的方程的解是，
∵方程是若关于x的方程的“领先方程”，
∴或，即或，
∵关于x的不等式组有解且均为非负解，
∴，且，
∴．
综上所述，．
解得，
∴，
解得．
四、实践探究题
14．（2024七下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）。而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二。
素材2 现有大长方形硬纸板n张.（说明：裁剪后的余料不可以再使用.）
问题解决
任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完。 型号 裁法（裁法一）（裁法二）合计大长方形硬纸板x（张）大长方形硬纸板y（张） ▲ A型号(张数）2x02xB型号（张数）0 ▲ ▲
若n=13， （1） 完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒
任务2 反思 方案 探究二： 若n=70，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由。
任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ▲ 。（填空）
【答案】任务一：（1）由题意得：B型号（张数） 为3y， 大长方形硬纸板总数为13，
故答案为：3y，3y，13；
（2）由（1）得，
解得：，
∴
答：最多能做6个礼品盒；
任务二：设能做a个礼品盒，
由题意得：，
解得，
∵a是正整数，
∴a最大为32，
即最多能做32个礼品盒；
（3）设恰好用完能做b个礼品盒，
由题意得：，
整理得：，
∵n在10张至30张之间 ，
∴，
解得：，
∵n，b为正整数，
∴或，
故答案为：11或24.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务一：（1）根据裁法二可知B型号（张数） 为3y， 而大长方形硬纸板总数为x+y；
（2）根据长方形硬纸板总数为13， 所裁剪的A、B型纸板恰好用完列方程组求出裁法一裁剪的张数，然后再计算所做礼品盒数量即可；
任务二：设能做a个礼品盒，根据纸板总数不大于70列不等式求出a的取值范围即可；
任务三：设恰好用完能做b个礼品盒，表示出所需纸板数，然后根据n在10张至30张之间 列不等式求出b的取值范围，再根据n，b为正整数进行求解即可.
五、综合题
15．（2023七下·昭通期末）某校在今年3月12日“植树节”这一天，决定购买、两种树苗对校园进行绿化改造，已知购买种树苗5棵，种树苗4棵，需要600元．若购买种树苗3棵，种树苗10棵，则需要740元．
（1）求购买、两种树苗每棵各需要多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金问题，购进种树苗不能少于60棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过6870元．需购进这两种树苗共100棵，若种植一棵种树苗需支付工钱30元，种植一棵种树苗需支付工钱40元，且支付种树苗的工钱最多为3410元，有哪几种购买方式？
【答案】（1）解：设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，由题意得：
，
解得：．
答：购买A种树苗每棵需要80元，B种树苗每棵需要50元．
（2）解：设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗棵，根据题意，得
，
解得：
∵m为整数，
∴或61或62
∴或39或38
∴有3种购买方式，方式一：购买A种树苗60棵，则购买B种树苗40棵，
方式二：购买A种树苗61棵，则购买B种树苗39棵，
方式三：购买A种树苗62棵，则购买B种树苗38棵．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】 (1) 根据题意列二元一次方程组 (2)根据题意列不等式组，解决方案问题。
16．（2023八下·成都期末）“成都成就梦想”，第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日在成都举行，某特许经销商试销售A，B两类大运会纪念品，若A类纪念品每个进价比B类纪念品每个进价少5元，且用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同．
（1）求A，B两类纪念品每个进价分别是多少元？
（2）若该经销商购进A类纪念品数量比B类纪念品数量的3倍还少5个，两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个，求该经销商应购进B类纪念品多少个？
【答案】（1）解：设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元，由题意得：
，解之得，
经检验：x=45是原方程的解，
则．
答：每个A种纪念品为45元、则每个B种纪念品的进价为50元．
（2）解：设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个，由题可得：
解之得：．
∵为整数，
∴．
答：该经销商应购进B类纪念品25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设每个A种纪念品为元、则每个B种纪念品的进价为元 ，根据“ 用90元购进A类纪念品的数量和100元购进B类纪念品的数量相同”列出分式方程，解之并检验即可；
（2）设购进种纪念品个，则购进A种纪念品为个 ，根据" 两类纪念品的总数不超过95个，且B类纪念品的个数多于24个 "列出不等式组，求出其整数解即可.
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