【培优版】浙教版数学八上5.5 一次函数的简单应用同步练习
一、选择题
1．（2023九上·江油开学考）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y(单位：km)与慢车行驶时间t(单位：h)的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】根据题意和图可知：慢车的速度为，快车的速度为，
慢车的y-t表达式：
快车的y-t表达式：
相遇，即两车的y相等
解得t=3h
解得t=4.5h
故两车两次相遇时间间隔为4.5-3=1.5h
故选：B
【分析】两次相遇的t，就是三条线段的两个交点横坐标，故要先找到这三条线段的函数解析式；横轴是时间，线段的倾斜程度即速度，甲乙间路程是a，根据路程=速度时间列出函数解析式，联立解一元一次方程组即可；分别求出2次相遇的t值，再相减。
2．（2024八下·荷塘期末）弹簧秤中弹簧的长度与所挂物体的质量的对应关系如图所示，则这个弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式为：，
该函数经过点和，
，
解得：，
即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式为：，
当时，，即这个弹簧称不挂物体时弹簧的长度为10cm，
故答案为：C．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式，然后将x=0代入所求函数关系式即可求解．
3．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ 某种蛇其体长是尾长的一次函数，设该一次函数解析式是y=kx+b（k≠0）
由表格可知，该一次函数过点（6，45.5），（10，60.5），代入得：
解得：k=7.5，b=0.5
则y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5
故答案为：A.
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，掌握该方法，准确计算是解题关键。由表格任选两个点坐标，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。
4．（2024·馆陶模拟）珍珍的爸爸是某单位的一名销售员，他的月工资（基本工资＋计件提成）总额随月销售量x（件）的变化而变化，下表是他应得工资w（元）与x之间的关系：
销售量x（件） 100 110 120 130 …
月工资总额w（元） …
求珍珍爸爸的月收入不低于5000元时应销售件数的取值范围，有如下解题方法：
方法一： 建立w与x的函数关系式：． 由，求得x的范围． 方法二： 月工资因计件提成不同而不同， ． 由，求得x的范围．
下列判断正确的是（ ）．
A．方法一的思路正确，函数表达式也正确
B．方法一的思路和函数表达式都不正确
C．方法二的思路正确，所列不等式也正确
D．方法二的思路和所列不等式都不正确
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】方法一：思路正确的，但函数表达式不正确，缺少了x的取值范围，x≥100
方法二思路正确，列不等式也正确.
故答案为：C.
【分析】根据表格可以的到函数关系式，但要注意x的取值范围。
5．（2024八下·东坡月考） 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故答案为：A．
【分析】设直线与y轴交于点D，AE⊥y轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，D的坐标，利用三角形的面积计算公式可求出三角形DAE的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积，据此求解。
6．（2024·广东模拟）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为x（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（斤） 1 2 3 4 5 6
y（厘米） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
当x为11斤时，对应的水平距离y为（ ）
A．3cm B．3.25cm C．3.5cm D．3.75cm
【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：观察表格数据发现y与x之间存在一次函数关系，故设y=kx+b，
将点（2，1）与（6，2）分别代入得，
解得，
∴y关于x的函数关系式为y=0.25x+0.5，
将x=11代入得y=0.25×11+0.5=3.25，
即当x为11斤时，对应的水平距离y为3.25厘米.
故答案为：B.
【分析】观察表格数据发现y与x之间存在一次函数关系，故借助表格数据，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式，进而举哀那个x=11代入所求的函数解析式，算出对应的函数值即可.
7．（2024·青秀模拟）九章算术记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长寸；同时地上种着瓠沿墙向上每天长尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题图中单位：尺表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，单位：天表示生长时间根据小南的模型，点的横坐标和点的实际意义分别是（ ）
A．，点表示瓜蔓枯萎 B．，点表示瓜蔓垂到地面
C．，点表示瓜蔓垂到地面 D．，点表示瓠蔓垂到地面
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：7寸＝0.7尺．
∵瓜蔓在高9尺的墙上，向下伸，每天长7寸，
∴x天时瓜蔓离地面的高度h＝9﹣0.7x．
∵地上种着瓠蔓向上长，每天长1尺，
∴x天时高度h＝x．
∵相遇时高度相同，
∴9﹣0.7x＝x．
解得：x＝
∴两图象交点P的横坐标为，点A表示瓜蔓垂到地面．
故答案为：C．
【分析】一尺＝10寸，因此7寸＝0.7尺．根据题意，x天时瓜蔓离地面的高度h＝9﹣0.7x；x天时瓠蔓高度h＝x．相遇时高度h相同，算出x即可．
8．（2024九上·广水期末）某网红店生产并销售一种特色食品，每天均能限量生产并销售完毕，如图中的线段，分别表示某天生产成本（单位：元），收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．根据图象信息可知，该网红店某一天中盈利120元时的产量是（ ）
A．30千克 B．42千克 C．45千克 D．48千克
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意：可设段的解析式为：，且经过点，，
∴，
解得：，
∴段的解析式为：；
设段的解析式为：，且经过点，
∴，
解得：，
∴段的解析式为：．
∵该网红店某一天中盈利120元时，即，
∴，
解得：．
∴这天的产量是45千克．
故答案为：C．
【分析】先结合函数图象上的数据利用待定系数法求出直线AB和OC的解析式，再结合“该网红店某一天中盈利120元”列出方程，再求出x的值即可.
二、填空题
9．（2024八下·定兴期末）在同一直线上，甲骑自行车，乙步行，分别由，两地同时向右匀速出发，当甲追上乙时，两人同时停止行驶如图表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，观察图象，出发后 甲追上乙；若乙的速度为，则经过甲行驶的路程为 ．
【答案】2；
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：由图象可知，出发后2h甲追上乙，故答案为2.
设甲的速度为xkm/h，
由图象可知：A，B两地相距24km，
根据题意得：2x=8x2+24，
解得：x=20
∴20×1.5=30(km)
故答案为2；.
【分析】
由图象可知：A，B两地相距24km，当t=2时，y=0，即：出发后2h甲追上乙；再设甲的速度为xkm/h，根据等量关系：甲走的路程=乙走的路程+24，列出方程，解出x，再乘以1.5即可.
10．（2024·澄海模拟）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发 小时与轿车相遇．
【答案】3.9
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设OA段对应的函数解析式为y=kx，
将（5，300）代入，得：5k=300，
解得k=60，
∴OA段对应的函数解析式为y=60x，
设CD段对应的函数解析式为y=ax+b，
解得
∴CD段对应的函数解析式为y=110x-195，
110x-195=60x，解得x=3.9，
∴货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9.
【分析】先分别求得OA段，CD段对应的函数解析式，再求出两个函数图象的交点的横坐标即可.
11．某超市糯米的价格为 5 元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过 2 千克时， 按原价售出， 超过 2 千克时， 超过的部分打八折． 若某人付款 14 元，则他购买了 千克糯米； 设某人的付款金额为 元， 购量为 千克， 则购买量 关于付款金额 的函数解析式为
【答案】3；
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设某人的付款金额为 元， 购量为 千克，
则，化简得，
当x=14时，y=3.
故答案为：3；.
【分析】设某人的付款金额为 元， 购量为 千克，根据题意可得，化简得，再代入x=14，求得y值.
12．（2023八上·包河期中）已知合肥到芜湖的距离为千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离千米与行驶时间小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究：
（1）邮政车的速度为 千米小时；
（2）当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为 千米．
【答案】（1）80
（2）
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可以知道；邮政车由合肥到芜湖所用时间为小时，
∴邮政车的速度为150÷=80（千米/小时）；
故答案为：80.
（2）设大巴车的速度为m千米/小时，
由题意知：两车第一次相遇时路程之和为150×2=300（千米），
∴
∴m=40，
∴
∴相遇点距合肥的距离为千米；
故答案为：.
【分析】（1）由图形可以知道邮政车由合肥到芜湖所用时间为小时，可得到邮政车的速度为150÷=80（千米/小时）；
（2）设大巴车的速度为m千米/小时，由题意可知两车第一次相遇时路程之和为150×2=300（千米），可以列方程解方程求出m，再代入，即可求解.
三、解答题
13．（2024八下·玉山期末）某手机专卖店销售部甲型手机和部乙型手机的利润为元，销售部甲型手机和部乙型手机的利润为元．
（1）求每部甲型手机和乙型手机的利润；
（2）该专卖店计划购进这两种型号的手机共部，其中乙型手机的进货量不低于甲型手机的倍设购进甲型手机部，这部手机全部销售的总利润为元．
求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
该商店如何进货才能使销售总利润最大？
【答案】（1）解：设每部甲型手机的利润为元，每部乙型手机的利润为元，
根据题意得：，
解得，
每部甲型手机的利润为元，每部乙型手机的利润为元；
（2）解：乙型手机的进货量不低于甲型手机的倍，
，
解得，
根据题意得，
；
在中，随的增大而增大，
当时，取最大值，
此时，
购进甲型手机部，乙型手机部，才能使销售总利润最大．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每部甲型手机的利润为元，每部乙型手机的利润为元，根据两种购买情况所得的利润分别列出方程并组成方程组进行求解即可。
（2）①结合（1）中所得结果，根据总利润＝甲型手机利润+乙型手机利润列出关系式。根据甲乙两型手机的进货量的关系列不等式求出X的取值范围。
②根据关系式得出y与X间的变化关系，再根据X的取值范围求出y的最大值即可。
14．（2024七下·萍乡期末）如图（1），B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地.如图（2），横轴x（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴y（千米）表示两车与A地的距离.
问题：
（1）A、B两地相距 千米；
（2）和两段线分别表示两车距A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系，请问：表示甲车的图象为 ，表示乙车的图象为 ；
（3）求两车相遇时距A地多少千米？
【答案】（1）400
（2）；
（3）解：设两车相遇时距A地x千米，由图象知甲车的速度：400÷(5-1)=100千米/小时，
，乙车速度为：400÷5=80千米/小时，
根据题意可列方程为：
得.
答：两车相遇时距A地千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）从图示中，我们可以看到，当x=0时，乙车处于B地，其与A地的距离为400千米，因此，可以得出，A、B两地相距400千米，故答案为400.
（2）根据图象可知：可表示甲车图象，可表示乙车图象，故答案为：，.
【分析】（1）根据图象，可以得出A，B两地之间的距离
（2）根据甲迟出发1个小时，可得：可表示甲车图象，可表示乙车图象
（3）设两车相遇时距A地x千米，根据等量关系：甲所用的时间+1=乙所用的时间，列出方程：解得即可.
四、实践探究题
15．（2024八下·岳阳期末）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量 0 10 30 60
实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示剩余电量 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）．
y关于t的函数表达式为____________，e关于s的函数表达式为_____________；
【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（s）和显示剩余电量（e）的函数关系如下图所示：
①该车到达B地时，显示剩余电量e的值为____________；该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为_____________．
②该车中途充电用了多少分钟？
③当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地多少千米？
【答案】（1），
（2）①10，40；
②把代入中，得
∴增加的电量为，即
∴，即该车中途充电用了30分钟
③当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时，由表格数据得此时该车距出发点A地160千米
当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时，
∵离开服务区时的剩余电量为，汽车显示剩余电量e的值为60时，耗电量为，
∵每千米耗电量为
∴耗电量行驶的路程为千米
故此时该车距出发点A地千米
综上，当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地160或280千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，设y关于t的函数表达式为
将代入，得
∴y关于t的函数表达式为
设e关于s的函数表达式为
将代入，得
∴e关于s的函数表达式为
故答案为：；.
（2）①由图知，该车到达B地时，显示剩余电量e的值为10
把代入中，得
∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为40故答案为：10，40.
【分析】（1）分别设y关于t的函数表达式为，e关于s的函数表达式为利用待定系数法求解函数关系式即可
（2）①根据图象直接回答： 该车到达B地时，显示剩余电量e的值为 10，然后把代入中，解出e即可
②先求得离开服务区走完剩余路程千米时，需要耗电量，结合该车到达B地时，显示剩余电量为，可求得增加的为，令y=，解出t即可
③本题需要分类讨论：
分当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时，由表格可得：s=160千米
当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时，计算出离开服务区时，剩余电量，得出耗电量为，得出每千米耗电量为，则求出耗电量行驶的路程为千米即可.
16．根据以下素材，探索完成任务.
如何确定木板分配方案？
素材1 某校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品.他们以每张15元的价格买了100张矩形木板，每张木板长和宽分别为 80cm，40 cm.
素材2 如图①，现将部分木板按虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分）.把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1.如图②，其余木板按虚线裁木板（阴影部分是余料），剪出两块给部分盒子配上盖子。
素材3 售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度.
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案.
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小艺打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售.请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润.
【答案】解：任务1：设长方体收纳盒的高度为，
，
解得，
长方体收纳盒的高度为10cm.
任务2：设有a个收纳盒，
得，
解得，
，
共有4种方案：①76张木板制作无盖收纳盒，24张制作盒盖；②77张木板制作无盖收纳盒，23张制作盒盖；③78张木板制作无盖收纳盒，22张制作盒盖；④79张木板制作无盖收纳盒，21张制作盒盖.
任务3：设利润为w元，
得，
当a=76时，利用最大，
76张木板制作无盖收纳盒，24张制作盒盖.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务1：长方体收纳盒的高度为，可得收纳盒底面的长为cm，宽为cm，再根据底面长与宽之比为3：1列出方程，解得x=10，即长方体收纳盒的高度为10cm.
任务2：设有a个收纳盒，故有盖收纳盒个数为个，无盖收纳盒为个，根据制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍列出不等式组，解得，进而得到a的值，共有4种方案.
任务3：由任务2 可得有盖收纳盒个数为个，无盖收纳盒为个，小木剑为个，再利用利润计算公式表示出w=-a+600，然后通过一次函数的性质可得当a=76时，利用最大，故76张木板制作无盖收纳盒，24张制作盒盖.
五、综合题
17．（2023·苏州）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：
（1）滑块从点到点的滑动过程中，的值 ；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2）滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若，求的值．
【答案】（1）由负到正
（2）解：设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵，
∴，
∴
∴d是t一次函数，
∵当t=4.5s和5.5s时，与之对应d的两个值互为相反数；
∴当t=5时，d=0，
∴，
∴，
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91-1)÷9=10s，
∵整个过程总用时27s（含停顿时间）．当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，
∴滑块从点B到点A的滑动时间为27-2-10=15s，
∴滑块返回的速度为(91-1)÷15=6m/s，
∴当时，，
∴，
∴，
∴d与t的函数表达式为；
（3）解：当d=18时，有两种情况，
由（2）可得，
①当0≤t≤10时，，
解得：；
②当12≤t≤27时，，
解得：，
综上所述，当或时，．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵d=l1-l2，
当滑块左端在点A时，l1=0，d=-l2＜0，
当滑块的右端在点B时，l2=0，d=l1＞0，
∴d的值由负到正；
故答案为：由负到正；
【分析】（1）根据d=l1-l2，求出两个特殊位置：当滑块左端在点A时与当滑块的右端在点B时a的值，即可判断得出答案；
（2）设轨道AB的长为n，由题意可得l1+l2+1=n，则d=l1-l2=18t-n+1，由当t=4.5s和5.5s时，与之对应d的两个值互为相反数可得当t=5时，d=0，据此可求出d=91，从而根据路程、速度、时间三者的关系可算出滑块返回的速度6m/s，l2=6(t-12)，再代入d=l1-l2，即可求解；
（3）当d=18时，有两种情况，①当0≤t≤10时，②当12≤t≤27时，分别列出方程，求解即可.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上5.5 一次函数的简单应用同步练习
一、选择题
1．（2023九上·江油开学考）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y(单位：km)与慢车行驶时间t(单位：h)的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是 ( )
A． B． C． D．
2．（2024八下·荷塘期末）弹簧秤中弹簧的长度与所挂物体的质量的对应关系如图所示，则这个弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为( )
A． B． C． D．
3．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B． C． D．
4．（2024·馆陶模拟）珍珍的爸爸是某单位的一名销售员，他的月工资（基本工资＋计件提成）总额随月销售量x（件）的变化而变化，下表是他应得工资w（元）与x之间的关系：
销售量x（件） 100 110 120 130 …
月工资总额w（元） …
求珍珍爸爸的月收入不低于5000元时应销售件数的取值范围，有如下解题方法：
方法一： 建立w与x的函数关系式：． 由，求得x的范围． 方法二： 月工资因计件提成不同而不同， ． 由，求得x的范围．
下列判断正确的是（ ）．
A．方法一的思路正确，函数表达式也正确
B．方法一的思路和函数表达式都不正确
C．方法二的思路正确，所列不等式也正确
D．方法二的思路和所列不等式都不正确
5．（2024八下·东坡月考） 如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东模拟）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为x（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：
x（斤） 1 2 3 4 5 6
y（厘米） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
当x为11斤时，对应的水平距离y为（ ）
A．3cm B．3.25cm C．3.5cm D．3.75cm
7．（2024·青秀模拟）九章算术记载：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高尺，在墙头种一株瓜，瓜蔓沿墙向下每天长寸；同时地上种着瓠沿墙向上每天长尺，问瓜蔓、瓠蔓要多少天才相遇？小南绘制如图的函数模型解决了此问题图中单位：尺表示瓜蔓与瓠蔓离地面的高度，单位：天表示生长时间根据小南的模型，点的横坐标和点的实际意义分别是（ ）
A．，点表示瓜蔓枯萎 B．，点表示瓜蔓垂到地面
C．，点表示瓜蔓垂到地面 D．，点表示瓠蔓垂到地面
8．（2024九上·广水期末）某网红店生产并销售一种特色食品，每天均能限量生产并销售完毕，如图中的线段，分别表示某天生产成本（单位：元），收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．根据图象信息可知，该网红店某一天中盈利120元时的产量是（ ）
A．30千克 B．42千克 C．45千克 D．48千克
二、填空题
9．（2024八下·定兴期末）在同一直线上，甲骑自行车，乙步行，分别由，两地同时向右匀速出发，当甲追上乙时，两人同时停止行驶如图表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，观察图象，出发后 甲追上乙；若乙的速度为，则经过甲行驶的路程为 ．
10．（2024·澄海模拟）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发 小时与轿车相遇．
11．某超市糯米的价格为 5 元/千克， 端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过 2 千克时， 按原价售出， 超过 2 千克时， 超过的部分打八折． 若某人付款 14 元，则他购买了 千克糯米； 设某人的付款金额为 元， 购量为 千克， 则购买量 关于付款金额 的函数解析式为
12．（2023八上·包河期中）已知合肥到芜湖的距离为千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离千米与行驶时间小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究：
（1）邮政车的速度为 千米小时；
（2）当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为 千米．
三、解答题
13．（2024八下·玉山期末）某手机专卖店销售部甲型手机和部乙型手机的利润为元，销售部甲型手机和部乙型手机的利润为元．
（1）求每部甲型手机和乙型手机的利润；
（2）该专卖店计划购进这两种型号的手机共部，其中乙型手机的进货量不低于甲型手机的倍设购进甲型手机部，这部手机全部销售的总利润为元．
求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
该商店如何进货才能使销售总利润最大？
14．（2024七下·萍乡期末）如图（1），B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地.如图（2），横轴x（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴y（千米）表示两车与A地的距离.
问题：
（1）A、B两地相距 千米；
（2）和两段线分别表示两车距A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的关系，请问：表示甲车的图象为 ，表示乙车的图象为 ；
（3）求两车相遇时距A地多少千米？
四、实践探究题
15．（2024八下·岳阳期末）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量 0 10 30 60
实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2：
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示剩余电量 100 60 50 30
【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）．
y关于t的函数表达式为____________，e关于s的函数表达式为_____________；
【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（s）和显示剩余电量（e）的函数关系如下图所示：
①该车到达B地时，显示剩余电量e的值为____________；该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为_____________．
②该车中途充电用了多少分钟？
③当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地多少千米？
16．根据以下素材，探索完成任务.
如何确定木板分配方案？
素材1 某校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品.他们以每张15元的价格买了100张矩形木板，每张木板长和宽分别为 80cm，40 cm.
素材2 如图①，现将部分木板按虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分）.把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1.如图②，其余木板按虚线裁木板（阴影部分是余料），剪出两块给部分盒子配上盖子。
素材3 售价如标签所示：
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度.
任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案.
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小艺打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售.请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润.
五、综合题
17．（2023·苏州）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：
（1）滑块从点到点的滑动过程中，的值 ；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2）滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】根据题意和图可知：慢车的速度为，快车的速度为，
慢车的y-t表达式：
快车的y-t表达式：
相遇，即两车的y相等
解得t=3h
解得t=4.5h
故两车两次相遇时间间隔为4.5-3=1.5h
故选：B
【分析】两次相遇的t，就是三条线段的两个交点横坐标，故要先找到这三条线段的函数解析式；横轴是时间，线段的倾斜程度即速度，甲乙间路程是a，根据路程=速度时间列出函数解析式，联立解一元一次方程组即可；分别求出2次相遇的t值，再相减。
2．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式为：，
该函数经过点和，
，
解得：，
即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式为：，
当时，，即这个弹簧称不挂物体时弹簧的长度为10cm，
故答案为：C．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）的对应函数关系式，然后将x=0代入所求函数关系式即可求解．
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵ 某种蛇其体长是尾长的一次函数，设该一次函数解析式是y=kx+b（k≠0）
由表格可知，该一次函数过点（6，45.5），（10，60.5），代入得：
解得：k=7.5，b=0.5
则y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5
故答案为：A.
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，掌握该方法，准确计算是解题关键。由表格任选两个点坐标，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。
4．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】方法一：思路正确的，但函数表达式不正确，缺少了x的取值范围，x≥100
方法二思路正确，列不等式也正确.
故答案为：C.
【分析】根据表格可以的到函数关系式，但要注意x的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和为：．
故答案为：A．
【分析】设直线与y轴交于点D，AE⊥y轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A，D的坐标，利用三角形的面积计算公式可求出三角形DAE的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积，据此求解。
6．【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：观察表格数据发现y与x之间存在一次函数关系，故设y=kx+b，
将点（2，1）与（6，2）分别代入得，
解得，
∴y关于x的函数关系式为y=0.25x+0.5，
将x=11代入得y=0.25×11+0.5=3.25，
即当x为11斤时，对应的水平距离y为3.25厘米.
故答案为：B.
【分析】观察表格数据发现y与x之间存在一次函数关系，故借助表格数据，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式，进而举哀那个x=11代入所求的函数解析式，算出对应的函数值即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：7寸＝0.7尺．
∵瓜蔓在高9尺的墙上，向下伸，每天长7寸，
∴x天时瓜蔓离地面的高度h＝9﹣0.7x．
∵地上种着瓠蔓向上长，每天长1尺，
∴x天时高度h＝x．
∵相遇时高度相同，
∴9﹣0.7x＝x．
解得：x＝
∴两图象交点P的横坐标为，点A表示瓜蔓垂到地面．
故答案为：C．
【分析】一尺＝10寸，因此7寸＝0.7尺．根据题意，x天时瓜蔓离地面的高度h＝9﹣0.7x；x天时瓠蔓高度h＝x．相遇时高度h相同，算出x即可．
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意：可设段的解析式为：，且经过点，，
∴，
解得：，
∴段的解析式为：；
设段的解析式为：，且经过点，
∴，
解得：，
∴段的解析式为：．
∵该网红店某一天中盈利120元时，即，
∴，
解得：．
∴这天的产量是45千克．
故答案为：C．
【分析】先结合函数图象上的数据利用待定系数法求出直线AB和OC的解析式，再结合“该网红店某一天中盈利120元”列出方程，再求出x的值即可.
9．【答案】2；
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：由图象可知，出发后2h甲追上乙，故答案为2.
设甲的速度为xkm/h，
由图象可知：A，B两地相距24km，
根据题意得：2x=8x2+24，
解得：x=20
∴20×1.5=30(km)
故答案为2；.
【分析】
由图象可知：A，B两地相距24km，当t=2时，y=0，即：出发后2h甲追上乙；再设甲的速度为xkm/h，根据等量关系：甲走的路程=乙走的路程+24，列出方程，解出x，再乘以1.5即可.
10．【答案】3.9
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设OA段对应的函数解析式为y=kx，
将（5，300）代入，得：5k=300，
解得k=60，
∴OA段对应的函数解析式为y=60x，
设CD段对应的函数解析式为y=ax+b，
解得
∴CD段对应的函数解析式为y=110x-195，
110x-195=60x，解得x=3.9，
∴货车出发3.9小时与轿车相遇，
故答案为：3.9.
【分析】先分别求得OA段，CD段对应的函数解析式，再求出两个函数图象的交点的横坐标即可.
11．【答案】3；
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设某人的付款金额为 元， 购量为 千克，
则，化简得，
当x=14时，y=3.
故答案为：3；.
【分析】设某人的付款金额为 元， 购量为 千克，根据题意可得，化简得，再代入x=14，求得y值.
12．【答案】（1）80
（2）
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可以知道；邮政车由合肥到芜湖所用时间为小时，
∴邮政车的速度为150÷=80（千米/小时）；
故答案为：80.
（2）设大巴车的速度为m千米/小时，
由题意知：两车第一次相遇时路程之和为150×2=300（千米），
∴
∴m=40，
∴
∴相遇点距合肥的距离为千米；
故答案为：.
【分析】（1）由图形可以知道邮政车由合肥到芜湖所用时间为小时，可得到邮政车的速度为150÷=80（千米/小时）；
（2）设大巴车的速度为m千米/小时，由题意可知两车第一次相遇时路程之和为150×2=300（千米），可以列方程解方程求出m，再代入，即可求解.
13．【答案】（1）解：设每部甲型手机的利润为元，每部乙型手机的利润为元，
根据题意得：，
解得，
每部甲型手机的利润为元，每部乙型手机的利润为元；
（2）解：乙型手机的进货量不低于甲型手机的倍，
，
解得，
根据题意得，
；
在中，随的增大而增大，
当时，取最大值，
此时，
购进甲型手机部，乙型手机部，才能使销售总利润最大．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每部甲型手机的利润为元，每部乙型手机的利润为元，根据两种购买情况所得的利润分别列出方程并组成方程组进行求解即可。
（2）①结合（1）中所得结果，根据总利润＝甲型手机利润+乙型手机利润列出关系式。根据甲乙两型手机的进货量的关系列不等式求出X的取值范围。
②根据关系式得出y与X间的变化关系，再根据X的取值范围求出y的最大值即可。
14．【答案】（1）400
（2）；
（3）解：设两车相遇时距A地x千米，由图象知甲车的速度：400÷(5-1)=100千米/小时，
，乙车速度为：400÷5=80千米/小时，
根据题意可列方程为：
得.
答：两车相遇时距A地千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）从图示中，我们可以看到，当x=0时，乙车处于B地，其与A地的距离为400千米，因此，可以得出，A、B两地相距400千米，故答案为400.
（2）根据图象可知：可表示甲车图象，可表示乙车图象，故答案为：，.
【分析】（1）根据图象，可以得出A，B两地之间的距离
（2）根据甲迟出发1个小时，可得：可表示甲车图象，可表示乙车图象
（3）设两车相遇时距A地x千米，根据等量关系：甲所用的时间+1=乙所用的时间，列出方程：解得即可.
15．【答案】（1），
（2）①10，40；
②把代入中，得
∴增加的电量为，即
∴，即该车中途充电用了30分钟
③当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时，由表格数据得此时该车距出发点A地160千米
当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时，
∵离开服务区时的剩余电量为，汽车显示剩余电量e的值为60时，耗电量为，
∵每千米耗电量为
∴耗电量行驶的路程为千米
故此时该车距出发点A地千米
综上，当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地160或280千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，设y关于t的函数表达式为
将代入，得
∴y关于t的函数表达式为
设e关于s的函数表达式为
将代入，得
∴e关于s的函数表达式为
故答案为：；.
（2）①由图知，该车到达B地时，显示剩余电量e的值为10
把代入中，得
∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为40故答案为：10，40.
【分析】（1）分别设y关于t的函数表达式为，e关于s的函数表达式为利用待定系数法求解函数关系式即可
（2）①根据图象直接回答： 该车到达B地时，显示剩余电量e的值为 10，然后把代入中，解出e即可
②先求得离开服务区走完剩余路程千米时，需要耗电量，结合该车到达B地时，显示剩余电量为，可求得增加的为，令y=，解出t即可
③本题需要分类讨论：
分当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时，由表格可得：s=160千米
当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时，计算出离开服务区时，剩余电量，得出耗电量为，得出每千米耗电量为，则求出耗电量行驶的路程为千米即可.
16．【答案】解：任务1：设长方体收纳盒的高度为，
，
解得，
长方体收纳盒的高度为10cm.
任务2：设有a个收纳盒，
得，
解得，
，
共有4种方案：①76张木板制作无盖收纳盒，24张制作盒盖；②77张木板制作无盖收纳盒，23张制作盒盖；③78张木板制作无盖收纳盒，22张制作盒盖；④79张木板制作无盖收纳盒，21张制作盒盖.
任务3：设利润为w元，
得，
当a=76时，利用最大，
76张木板制作无盖收纳盒，24张制作盒盖.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务1：长方体收纳盒的高度为，可得收纳盒底面的长为cm，宽为cm，再根据底面长与宽之比为3：1列出方程，解得x=10，即长方体收纳盒的高度为10cm.
任务2：设有a个收纳盒，故有盖收纳盒个数为个，无盖收纳盒为个，根据制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍列出不等式组，解得，进而得到a的值，共有4种方案.
任务3：由任务2 可得有盖收纳盒个数为个，无盖收纳盒为个，小木剑为个，再利用利润计算公式表示出w=-a+600，然后通过一次函数的性质可得当a=76时，利用最大，故76张木板制作无盖收纳盒，24张制作盒盖.
17．【答案】（1）由负到正
（2）解：设轨道AB的长为n，当滑块从左向右滑动时，
∵，
∴，
∴
∴d是t一次函数，
∵当t=4.5s和5.5s时，与之对应d的两个值互为相反数；
∴当t=5时，d=0，
∴，
∴，
∴滑块从点A到点B所用的时间为(91-1)÷9=10s，
∵整个过程总用时27s（含停顿时间）．当滑块右端到达点B时，滑块停顿2s，
∴滑块从点B到点A的滑动时间为27-2-10=15s，
∴滑块返回的速度为(91-1)÷15=6m/s，
∴当时，，
∴，
∴，
∴d与t的函数表达式为；
（3）解：当d=18时，有两种情况，
由（2）可得，
①当0≤t≤10时，，
解得：；
②当12≤t≤27时，，
解得：，
综上所述，当或时，．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵d=l1-l2，
当滑块左端在点A时，l1=0，d=-l2＜0，
当滑块的右端在点B时，l2=0，d=l1＞0，
∴d的值由负到正；
故答案为：由负到正；
【分析】（1）根据d=l1-l2，求出两个特殊位置：当滑块左端在点A时与当滑块的右端在点B时a的值，即可判断得出答案；
（2）设轨道AB的长为n，由题意可得l1+l2+1=n，则d=l1-l2=18t-n+1，由当t=4.5s和5.5s时，与之对应d的两个值互为相反数可得当t=5时，d=0，据此可求出d=91，从而根据路程、速度、时间三者的关系可算出滑块返回的速度6m/s，l2=6(t-12)，再代入d=l1-l2，即可求解；
（3）当d=18时，有两种情况，①当0≤t≤10时，②当12≤t≤27时，分别列出方程，求解即可.
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