【培优版】浙教版数学八上5.4 一次函数的图象与性质同步练习
一、选择题
1．（2024九上·广州开学考）已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·宣化期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点，．若直线与线段AB有交点，则k的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2024·贺州模拟）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·岳阳期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·上杭开学考）关于x的一次函数，当时，y的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·和平期末）直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（2023八下·潼南期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2024八下·香河期末）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围
9．（2024九上·自贡开学考） 如图，直线y＝3x+6交坐标轴于A、B两点，C为AB中点，点D为AO上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足OE＝OD+OB，则的最小值为 ．
10．（2024八上·海曙期末）已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得是等腰直角三角形，则点P的横坐标为 .
11．（2023八下·武侯期末）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知三点，连接，以为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 ．
三、解答题
12．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系 中， 直线 上有一点 A， 其横坐标为 1 ， 经过点 的直线交 轴负半轴于一点 ， 且 ，
（1）求 的面积；
（2）求经过点 且平分 面积的直线解析式.
13．（2024八下·澄海期末）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，已知A(6，0)，B(0，4)．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若点C在坐标轴上，且，求点C的坐标；
（3）点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点恰好落在x轴的正半轴上，P与AB相交于点Q，求点的坐标．
四、实践探究题
14．（2023八下·南通期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”．
（1）在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值；
（3）若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围．
15．（2023八上·西安期中）
（1）问题发现：
如图1，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为
（2）问题探究：如图2，若点，的坐标分别为，，其余条件与（1）相同，求经过，两点的直线表达式。
（3）问题解决：国庆前夕，大唐芙蓉园景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3，是景区东门的广场一角，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史人文宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成长安八景图，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到出入安全，还需在靠近出入口的处建一个安检点．已知，，平分，安检点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离。
五、综合题
16．（2024九上·潮阳开学考）在平面直角坐标系中，对于两点，若在轴上存在点，使得，且，则称两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．
（1）如图①，在点中，点的等垂点是 （选填“”，“”或“”）
（2）如图②，若一次函数的图象上存在点的等垂点，求点的坐标；
（3）若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：两直线的交点坐标为（，）.
当k>0，b>0时，两直线的交点坐标的符号为（+，+），在第一象限，两直线的草图如图：
没有选项符合；
当k>0，b<0时，两直线的交点坐标的符号为（-，-），在第三象限，两直线的草图如图：
没有选项符合；
当k<0，b>0时，两直线的交点坐标的符号为（-，+），在第二象限，两直线的草图如图：
选项B符合；
当k<0，b<0时，两直线的交点坐标的符号为（+，-），在第四象限，两直线的草图如图：
没有选项符合.
故答案为：B.
【分析】分“k>0，b>0”、"k>0，b<0"、"k<0，b>0"、"k<0，b<0"四种情况，分别画出草图，再与各选项作比较即可得出结果.
2．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：如图，
令x=0，则y=0 k-2=2，
所以直线y=kx+2与y轴的交点坐标为C（0，2），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则
解得．
所以直线AC的解析式为y=4x+2，
设直线BC的解析式为y=ex+f，
则，
解得．
所以直线BC的解析式为y=-x+2，
若直线y=kx+2与线段AB有交点，则k的取值范围是k≥4或k≤-1，
各选项中D符合条件，ABC不符合条件．
故答案为：D．
【分析】先求出直线y=kx+2与y轴的交点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，然后根据直线与线段AB有交点，则k值小于直线AC的k值，或大于直线BC的k值，然后根据此范围进行选择即可．
3．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由N、P坐标可知，NP必垂直于y轴，则只有A函数和D函数满足；同时对比M、P点坐标可知，6＞2，但a-3＜a，表明当x＞0时，存在x增大但y减小的情况，则只有函数A满足.
故答案为：A.
【分析】首先根据坐标N、P判断函数应关于y轴对称；其次比较M、P坐标推测当x＞0时，函数是递增还是递减.
4．【答案】D
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：取连，
在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为
∴PN=OM
∵
∵，
∴均为等腰直角三角形
∴∠OHG=45°
∵∠PMH=90°
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴HG上任意一点P都是“和二点”
同理上的任意一点也是“和二点”
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”
把H(-2，0)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
把G(0，-2)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
∴k的取值范围：
故选：D．
【分析】
先取连，，得到，即：均为等腰直角三角形，故：∠OHG=45°，在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为，则，从而得到任意一点p是上的点为“和二点”，同理上的任意一点也是“和二点，可得到当一次函数的图象与线或有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E，H和E，G时的函数图象的解析式即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵0＜k＜1，
∴该一次函数y随x的增大而增大，
当2≤x≤3时，取x=3时，y有最大值，
故答案为：A.
【分析】将一次函数化为y=kx+b的形式，先确定k的符号，再确定其增减性，然后根据自变量的范围求最值.
6．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点到直线的距离
【解析】【解答】联立方程组，
解得：，
∴点A的坐标为（，），
∴点A所在的直线解析式为，
∵点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，
∴直线与直线 y＝x-3 平行，
∴，
解得：m=，
故答案为：C.
【分析】先联立方程组求出点A的坐标，求出点A所在直线解析式，再结合点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，可得，再求出m的值即可.
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
8．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴解得，
∴函数解析式y=x-1，
∵函数图象过点且平行于x轴的直线交于点C，
∴当y=x-1=-3时x=-2，
∴点C（-2，-3），
把点C（-2，-3)代入得，
∴要满足当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值时m 的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题先运用待定系数法求得一次函数与正比例函数的解析式，要满足在时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，图象中必须当x每取一个值，一次函数表示的点在正比例函数表示的点的上方.
9．【答案】2
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，
∴
当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，
作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，
∴OE=OB+OD=OQ+QE，
∴OD=QE，
∵∠DOE=∠DME=90°，∠DGO=∠EGM，
∴∠ODM=∠OEM，
∵DM=EM，
∴△ODM≌△QEM（SAS），
∴∠OMD=∠EMQ，OM=QM，
∴△OMQ为等腰直角三角形，
由直线y＝3x+6 ，可求A（0，6），B（-2，0），
∵C是AB的中点，
∴C（-1，3），
∵OB=2，∴OQ=2，
∴M（1，-1），
∴CM=，
此时=.
故答案为：
【分析】以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，则∴，当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，易得△OMQ为等腰直角三角形，再求出M的坐标，求出此时CM的长即可.
10．【答案】6，14，7
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
令y=0，得 ，解得：x=8，故点A坐标（8，0），OA=8；
令x=0，则y=6，故点B坐标（0，6），OB=6；
①过B作BP⊥AB，并截取BP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y轴于点G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的横坐标为6.
②过A作AP⊥AB，并截取AP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x轴于点H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H点坐标为（14，0），P点坐标为（14，8）.
故P的横坐标为14.
③P为直角顶点.
作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交x轴于点E，截取DP=DB，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的横坐标为7.
故答案为：6，14，7.
【分析】根据题意求出A，B两点的坐标，分别以A，B为顶点，AB长为一腰，作等腰直角三角形，构造全等三角形，即可求出第3个点P的坐标；再作AB的中垂线，在中垂线上找点P，构造全等三角形，即可求出坐标.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：在直线y=x+n中，
令y=0，则x=-n；令x=0，则y=n，即直线y=x+n经过点（-n，0）和（0，n），
∴点（-n，0）和（0，n）关于直线x=2对称的点的坐标分别为：（4+n，0）和（4，n），
设直线y=x+n关于直线x=2对称的直线为y=kx+b，则：
，解方程组，可得，
∴直线y=x+n关于直线x=2对称的直线为：y=-x+n+4，
把点A（-2，0）代入直线y=-x+n+4中，得n=-6，
把点C（4，4）代入直线y=-x+n+4中，得n=4，
∴-6＜n＜4.
故第1空答案为：-6＜n＜4.
【分析】首先求出直线y=x+n与x轴和y轴的交点坐标分别为（-n，0）和（0，n），然后再求出这两点关于直线x=2的对称点的坐标分别为：（4+n，0）和（4，n），从而利用待定系数法求得直线y=x+n关于直线x=2对称的直线解析式（系数含有n），然后分别代入临界点的坐标，可求得两个n的值，也就得出了n的取值范围。
12．【答案】（1）解：∵ 直线 上有一点 ， 其横坐标为 1 ，
∴y=2，
∴点A（1，2），
∵OP=3，
∴，
∴△AOP的面积为3.
（2）解：如图，设直线l交AO于点Q，
∵ 经过点P且平分△AOP的面积，
∴
解之：yQ=±1，
∵点Q在第一象限，
∴yQ=1，
当y=1时2x=1，
解之：
∴点Q
设直线PQ的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线PQ的函数解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将x=1代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，再利用三角形的面积公式求出△AOP的面积.
（2）设直线l交AO于点Q，利用经过点P且平分△AOP的面积，可求出△POQ的面积，利用三角形的面积公式求出点Q的纵坐标，由此可得到点Q的横坐标，即可得到点Q的坐标，设设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P、Q的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到直线PQ的函数解析式.
13．【答案】（1）解：设直线AB的函数解析式为，
依题意得：，
解得：
直线AB的函数解析式为：．
（2）解：，
，
当点在轴上时，设，
由题意可得：，
解得：或，
点的坐标为或；
当点在轴上时，设，
由题意可得：，
解得：或，
点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为：
或或或．
（3）解：点与点关于直线AB对称，
，且，
，
点的纵坐标为4，且点的纵坐标为4，
轴，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
在Rt中，，
，
解得：，
，
点的坐标．
【知识点】一次函数的图象；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；列一次函数关系式
【解析】【分析】本题主要考查一次函数的解析式，绝对值方程，坐标与图形，轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，属于较难题型.
（1）设直线AB的函数解析式为，然后将点A，B的坐标代入即可求解；
（2）由题意可得：分点C在x轴上，点C在y轴上两种情况进行分类讨论：当点在轴上时，设，由题意可得：，解出x进而即可求得点C的坐标；当点在轴上时，设，由题意可得：，解出y进而即可求得点C的坐标；
（3）利用对称的性质可得：，又点的纵坐标为4，且点的纵坐标为4，轴，，进而可得，，设，则，进而得到，，然后在
Rt中，，建立方程解出m即可求解.
14．【答案】（1）①②
（2）如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，
当直线经过点时，；
当直线经过点时，．
综上所述：k的值为或．
（3）当时，，当时，，
在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当图象与正方形区域有公共部分时，
函数图象的“n级限距点”一定存在．
设，，，，
如图2，当图象经过点时，代入得，
如图3，当图象经过点时，得．
∴当时，函数图象的“n级限距点”一定存在．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一次函数的图象
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，三点到两坐标轴的距离都不大于1，即x坐标和y坐标的绝对值小于1，
可知①符合题意，②符合题意，③不符合题意，故答案为①②；
【分析】（1）根据定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分 a >0和 a <0两种情况，分别根据”2阶方点“有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出 a 的值，并舍去不符合题意的值即可；
（3）由（3）二次函数解析式可知其顶点坐标在直线=-2x+1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（ n ，- n ）和点（- n，n ）时为临界情况，求出此时 n 的值，由图象可得 n 的取值范围．
15．【答案】（1）解：如图1，过作于，
，是等腰直角三角形，点，的坐标分别为，，
，，
是等腰直角三角形，
，，，
点的坐标为
（2）解：如图2，过作于，
，
点，的坐标分别为，，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，，直线的解析式为，
设，，，
，
，
解得或（不合题意舍去），
，
设直线的解析式为，，，
直线的解析式为；
（3）解：如图3，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由（2）得直线的解析式为，
过作于，平分，，
，，
，
，
，
由（2）知，，，
，，，，
设直线的解析式为，
则，
直线的解析式为，
，解得，，
点分别到，墙面的距离分别为，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过作于，则可得到是等腰直角三角形，根据OA的长，应用勾股定理计算出AD，DH，OH，即可得到点D的坐标；
（2）由A，B的坐标求出直线AB的表达式，点D在直线AB上，设出其坐标，同（1）由DH，OH，和AH求出点D的坐标，根据正比例函数表达式即可求解；
（3） 点到，墙面的距离即为点E的横、纵坐标，联立直线OD和直线BC的表达式即可求得点E的坐标。由（2）可得直线OD的表达式，过作于，通过和全等，求出AF，根据直角三角形ACF，解出OC，即得点C的坐标，用待定系数法求出直线BC的表达式，联立直线OD表达式，即可得解。
16．【答案】（1）D
（2）解：①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，如图1：
是的等垂点，
，
，
设，则
．
将代入，
得：，
解得，
；
②当在轴下方时，过作轴于．如图2：
同①可证明
，
设，则
，
将代入，
得：，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或；
（3）或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，如图，
∵D(-2，0)，A(2，0)，T(0，2)，
∴OT=OD=OA=2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B(2，-2)，C(0，1)，D(-2，0)中，点A的等垂点是点D；
故答案为：D；
（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上存在无数个点A的等垂点，该一次函数的所有表达式为y=x+2或y=-x-2，理由如下：
当一次函数为y=x+2时，设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：
∵PR是线段AA'的垂直平分线，
∴RA=RA'， PA=PA'，
∴∠RPA=∠RPA'=90°，
∵A(2，0)，A' (t，t+2)，
∴，
∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴ РМ=РN=，
而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，
∴△PRN≌△PAM（ASA），
∴PR=PA，
∴РR=РА=РА'
∴△PRA与△PRA'都是等腰直角三角形，
∴∠ARP=∠A'RP=45°，
∴∠ARA'=90°，
根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，
∴一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，
同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点，
故答案为：y=x+2或y=-x-2.
【分析】（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，由点的坐标与图形的性质、等边对等角及三角形的内角和定理可推出△ADT是等腰直角三角形，从而根据等垂点定义可得结论；
（2）①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，由等垂点定义得∠A'EA=90°，A'E=AE，由等角的余角相等得∠A'EF=∠EAO，由AAS判断出△A'FE≌△EOA，得EF=AO=2，A'F=OE，设A'F=OE=m，则OF=OE+EF=m+2，则A'（m，m+2），将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出m的值，从而即可得到点A'得坐标；②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，同①可证△AOG≌△GHA'，得A'H=OG，GH=OA=2，设A'H=OG=n，则OH=2-n，则点A'(-n，n-2)，将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出n的值，从而即可得到点A'得坐标，综上可得答案；
（3）设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：由线段垂直平分线的性质得RA=RA'， PA=PA'，由中点坐标公式得，进而根据点的坐标与图形性质得РМ=РN=，由同角的余角相等得∠RPN=∠APM，从而由ASA判断出△PRN≌△PAM，得РR=РА=РА'，可推出∠ARA'=90°，根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上5.4 一次函数的图象与性质同步练习
一、选择题
1．（2024九上·广州开学考）已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：两直线的交点坐标为（，）.
当k>0，b>0时，两直线的交点坐标的符号为（+，+），在第一象限，两直线的草图如图：
没有选项符合；
当k>0，b<0时，两直线的交点坐标的符号为（-，-），在第三象限，两直线的草图如图：
没有选项符合；
当k<0，b>0时，两直线的交点坐标的符号为（-，+），在第二象限，两直线的草图如图：
选项B符合；
当k<0，b<0时，两直线的交点坐标的符号为（+，-），在第四象限，两直线的草图如图：
没有选项符合.
故答案为：B.
【分析】分“k>0，b>0”、"k>0，b<0"、"k<0，b>0"、"k<0，b<0"四种情况，分别画出草图，再与各选项作比较即可得出结果.
2．（2024八下·宣化期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点，．若直线与线段AB有交点，则k的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：如图，
令x=0，则y=0 k-2=2，
所以直线y=kx+2与y轴的交点坐标为C（0，2），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则
解得．
所以直线AC的解析式为y=4x+2，
设直线BC的解析式为y=ex+f，
则，
解得．
所以直线BC的解析式为y=-x+2，
若直线y=kx+2与线段AB有交点，则k的取值范围是k≥4或k≤-1，
各选项中D符合条件，ABC不符合条件．
故答案为：D．
【分析】先求出直线y=kx+2与y轴的交点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，然后根据直线与线段AB有交点，则k值小于直线AC的k值，或大于直线BC的k值，然后根据此范围进行选择即可．
3．（2024·贺州模拟）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由N、P坐标可知，NP必垂直于y轴，则只有A函数和D函数满足；同时对比M、P点坐标可知，6＞2，但a-3＜a，表明当x＞0时，存在x增大但y减小的情况，则只有函数A满足.
故答案为：A.
【分析】首先根据坐标N、P判断函数应关于y轴对称；其次比较M、P坐标推测当x＞0时，函数是递增还是递减.
4．（2024八下·岳阳期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：取连，
在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为
∴PN=OM
∵
∵，
∴均为等腰直角三角形
∴∠OHG=45°
∵∠PMH=90°
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴HG上任意一点P都是“和二点”
同理上的任意一点也是“和二点”
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”
把H(-2，0)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
把G(0，-2)，E(-3，-4)代入一次函数得：
解得：
∴k的取值范围：
故选：D．
【分析】
先取连，，得到，即：均为等腰直角三角形，故：∠OHG=45°，在HG上任取一点P，作轴轴，垂直分别为，则，从而得到任意一点p是上的点为“和二点”，同理上的任意一点也是“和二点，可得到当一次函数的图象与线或有交点时，一次函数的图象上存在“和二点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E，H和E，G时的函数图象的解析式即可.
5．（2023九上·上杭开学考）关于x的一次函数，当时，y的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵0＜k＜1，
∴该一次函数y随x的增大而增大，
当2≤x≤3时，取x=3时，y有最大值，
故答案为：A.
【分析】将一次函数化为y=kx+b的形式，先确定k的符号，再确定其增减性，然后根据自变量的范围求最值.
6．（2023八下·和平期末）直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；点到直线的距离
【解析】【解答】联立方程组，
解得：，
∴点A的坐标为（，），
∴点A所在的直线解析式为，
∵点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，
∴直线与直线 y＝x-3 平行，
∴，
解得：m=，
故答案为：C.
【分析】先联立方程组求出点A的坐标，求出点A所在直线解析式，再结合点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，可得，再求出m的值即可.
7．（2023八下·潼南期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的图象；解含括号的一元一次方程；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
二、填空题
8．（2024八下·香河期末）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，写出m的取值范围
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点和，
∴解得，
∴函数解析式y=x-1，
∵函数图象过点且平行于x轴的直线交于点C，
∴当y=x-1=-3时x=-2，
∴点C（-2，-3），
把点C（-2，-3)代入得，
∴要满足当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值时m 的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题先运用待定系数法求得一次函数与正比例函数的解析式，要满足在时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，图象中必须当x每取一个值，一次函数表示的点在正比例函数表示的点的上方.
9．（2024九上·自贡开学考） 如图，直线y＝3x+6交坐标轴于A、B两点，C为AB中点，点D为AO上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足OE＝OD+OB，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，
∴
当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，
作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，
∴OE=OB+OD=OQ+QE，
∴OD=QE，
∵∠DOE=∠DME=90°，∠DGO=∠EGM，
∴∠ODM=∠OEM，
∵DM=EM，
∴△ODM≌△QEM（SAS），
∴∠OMD=∠EMQ，OM=QM，
∴△OMQ为等腰直角三角形，
由直线y＝3x+6 ，可求A（0，6），B（-2，0），
∵C是AB的中点，
∴C（-1，3），
∵OB=2，∴OQ=2，
∴M（1，-1），
∴CM=，
此时=.
故答案为：
【分析】以DE为斜边，在DE的下方构造等腰Rt△MDE，连接CM，则DM=DE，则∴，当C、D、M三点共线时CD+DM=CM最小，此时CD+DE有最小值，作点B关于y轴的对称点Q，则OB=OQ，易得△OMQ为等腰直角三角形，再求出M的坐标，求出此时CM的长即可.
10．（2024八上·海曙期末）已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得是等腰直角三角形，则点P的横坐标为 .
【答案】6，14，7
【知识点】三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
令y=0，得 ，解得：x=8，故点A坐标（8，0），OA=8；
令x=0，则y=6，故点B坐标（0，6），OB=6；
①过B作BP⊥AB，并截取BP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PG⊥y轴于点G.
∴∠PGB=∠PBA=∠BOA=90°.
∴∠GPB+∠GBP=90°，∠GBP+∠ABO=90°，
∴∠GPB=∠ABO，
∴△GPB≌△OBA（AAS）.
∴GP=OB=6，
故P的横坐标为6.
②过A作AP⊥AB，并截取AP=AB，则△ABP是等腰直角三角形.作PH⊥x轴于点H.
同理可得：△OBA≌△HAP.
∴AH=OB=6，HP=OA=8，H点坐标为（14，0），P点坐标为（14，8）.
故P的横坐标为14.
③P为直角顶点.
作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交x轴于点E，截取DP=DB，作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.
∵∠NPM=∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA，
∵∠PNB=∠PMA=90°，PB=PA，
∴△PNB≌△PMA（AAS）
∴PN=PM，NB=AM.
∴OB+NB=OA－MA，
∴MA=1，OM=7
∴故P的横坐标为7.
故答案为：6，14，7.
【分析】根据题意求出A，B两点的坐标，分别以A，B为顶点，AB长为一腰，作等腰直角三角形，构造全等三角形，即可求出第3个点P的坐标；再作AB的中垂线，在中垂线上找点P，构造全等三角形，即可求出坐标.
11．（2023八下·武侯期末）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知三点，连接，以为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：在直线y=x+n中，
令y=0，则x=-n；令x=0，则y=n，即直线y=x+n经过点（-n，0）和（0，n），
∴点（-n，0）和（0，n）关于直线x=2对称的点的坐标分别为：（4+n，0）和（4，n），
设直线y=x+n关于直线x=2对称的直线为y=kx+b，则：
，解方程组，可得，
∴直线y=x+n关于直线x=2对称的直线为：y=-x+n+4，
把点A（-2，0）代入直线y=-x+n+4中，得n=-6，
把点C（4，4）代入直线y=-x+n+4中，得n=4，
∴-6＜n＜4.
故第1空答案为：-6＜n＜4.
【分析】首先求出直线y=x+n与x轴和y轴的交点坐标分别为（-n，0）和（0，n），然后再求出这两点关于直线x=2的对称点的坐标分别为：（4+n，0）和（4，n），从而利用待定系数法求得直线y=x+n关于直线x=2对称的直线解析式（系数含有n），然后分别代入临界点的坐标，可求得两个n的值，也就得出了n的取值范围。
三、解答题
12．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系 中， 直线 上有一点 A， 其横坐标为 1 ， 经过点 的直线交 轴负半轴于一点 ， 且 ，
（1）求 的面积；
（2）求经过点 且平分 面积的直线解析式.
【答案】（1）解：∵ 直线 上有一点 ， 其横坐标为 1 ，
∴y=2，
∴点A（1，2），
∵OP=3，
∴，
∴△AOP的面积为3.
（2）解：如图，设直线l交AO于点Q，
∵ 经过点P且平分△AOP的面积，
∴
解之：yQ=±1，
∵点Q在第一象限，
∴yQ=1，
当y=1时2x=1，
解之：
∴点Q
设直线PQ的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴直线PQ的函数解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将x=1代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，再利用三角形的面积公式求出△AOP的面积.
（2）设直线l交AO于点Q，利用经过点P且平分△AOP的面积，可求出△POQ的面积，利用三角形的面积公式求出点Q的纵坐标，由此可得到点Q的横坐标，即可得到点Q的坐标，设设直线PQ的解析式为y=kx+b，将点P、Q的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到直线PQ的函数解析式.
13．（2024八下·澄海期末）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，已知A(6，0)，B(0，4)．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若点C在坐标轴上，且，求点C的坐标；
（3）点P在第一象限内，且纵坐标为4．若点P关于直线AB的对称点恰好落在x轴的正半轴上，P与AB相交于点Q，求点的坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的函数解析式为，
依题意得：，
解得：
直线AB的函数解析式为：．
（2）解：，
，
当点在轴上时，设，
由题意可得：，
解得：或，
点的坐标为或；
当点在轴上时，设，
由题意可得：，
解得：或，
点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为：
或或或．
（3）解：点与点关于直线AB对称，
，且，
，
点的纵坐标为4，且点的纵坐标为4，
轴，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
在Rt中，，
，
解得：，
，
点的坐标．
【知识点】一次函数的图象；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；列一次函数关系式
【解析】【分析】本题主要考查一次函数的解析式，绝对值方程，坐标与图形，轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，属于较难题型.
（1）设直线AB的函数解析式为，然后将点A，B的坐标代入即可求解；
（2）由题意可得：分点C在x轴上，点C在y轴上两种情况进行分类讨论：当点在轴上时，设，由题意可得：，解出x进而即可求得点C的坐标；当点在轴上时，设，由题意可得：，解出y进而即可求得点C的坐标；
（3）利用对称的性质可得：，又点的纵坐标为4，且点的纵坐标为4，轴，，进而可得，，设，则，进而得到，，然后在
Rt中，，建立方程解出m即可求解.
四、实践探究题
14．（2023八下·南通期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”．
（1）在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值；
（3）若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围．
【答案】（1）①②
（2）如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，
当直线经过点时，；
当直线经过点时，．
综上所述：k的值为或．
（3）当时，，当时，，
在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当图象与正方形区域有公共部分时，
函数图象的“n级限距点”一定存在．
设，，，，
如图2，当图象经过点时，代入得，
如图3，当图象经过点时，得．
∴当时，函数图象的“n级限距点”一定存在．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一次函数的图象
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，三点到两坐标轴的距离都不大于1，即x坐标和y坐标的绝对值小于1，
可知①符合题意，②符合题意，③不符合题意，故答案为①②；
【分析】（1）根据定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分 a >0和 a <0两种情况，分别根据”2阶方点“有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出 a 的值，并舍去不符合题意的值即可；
（3）由（3）二次函数解析式可知其顶点坐标在直线=-2x+1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（ n ，- n ）和点（- n，n ）时为临界情况，求出此时 n 的值，由图象可得 n 的取值范围．
15．（2023八上·西安期中）
（1）问题发现：
如图1，等腰直角置于平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是上一点，，则点的坐标为
（2）问题探究：如图2，若点，的坐标分别为，，其余条件与（1）相同，求经过，两点的直线表达式。
（3）问题解决：国庆前夕，大唐芙蓉园景区为了提高服务质量，想尽可能美化每一个角落，给游客美的享受．如图3，是景区东门的广场一角，两面墙互相垂直，景区管理部门设计将，墙面布置成历史人文宣传墙，边上用建筑隔板搭出段将该角落与广场其他区域隔开，段布置成长安八景图，剩余部分为广场角出入口，内部空间放置一些绿植和供游人休息的桌椅，考虑到出入安全，还需在靠近出入口的处建一个安检点．已知，，平分，安检点在与的交点处．求点分别到，墙面的距离。
【答案】（1）解：如图1，过作于，
，是等腰直角三角形，点，的坐标分别为，，
，，
是等腰直角三角形，
，，，
点的坐标为
（2）解：如图2，过作于，
，
点，的坐标分别为，，
，，
，，
设直线的解析式为，
则，，直线的解析式为，
设，，，
，
，
解得或（不合题意舍去），
，
设直线的解析式为，，，
直线的解析式为；
（3）解：如图3，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，由（2）得直线的解析式为，
过作于，平分，，
，，
，
，
，
由（2）知，，，
，，，，
设直线的解析式为，
则，
直线的解析式为，
，解得，，
点分别到，墙面的距离分别为，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过作于，则可得到是等腰直角三角形，根据OA的长，应用勾股定理计算出AD，DH，OH，即可得到点D的坐标；
（2）由A，B的坐标求出直线AB的表达式，点D在直线AB上，设出其坐标，同（1）由DH，OH，和AH求出点D的坐标，根据正比例函数表达式即可求解；
（3） 点到，墙面的距离即为点E的横、纵坐标，联立直线OD和直线BC的表达式即可求得点E的坐标。由（2）可得直线OD的表达式，过作于，通过和全等，求出AF，根据直角三角形ACF，解出OC，即得点C的坐标，用待定系数法求出直线BC的表达式，联立直线OD表达式，即可得解。
五、综合题
16．（2024九上·潮阳开学考）在平面直角坐标系中，对于两点，若在轴上存在点，使得，且，则称两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知点的坐标是．
（1）如图①，在点中，点的等垂点是 （选填“”，“”或“”）
（2）如图②，若一次函数的图象上存在点的等垂点，求点的坐标；
（3）若一次函数的图象上存在无数个点的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式： ．
【答案】（1）D
（2）解：①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，如图1：
是的等垂点，
，
，
设，则
．
将代入，
得：，
解得，
；
②当在轴下方时，过作轴于．如图2：
同①可证明
，
设，则
，
将代入，
得：，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或；
（3）或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，如图，
∵D(-2，0)，A(2，0)，T(0，2)，
∴OT=OD=OA=2，
∴△ADT是等腰直角三角形，
∴在点B(2，-2)，C(0，1)，D(-2，0)中，点A的等垂点是点D；
故答案为：D；
（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上存在无数个点A的等垂点，该一次函数的所有表达式为y=x+2或y=-x-2，理由如下：
当一次函数为y=x+2时，设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：
∵PR是线段AA'的垂直平分线，
∴RA=RA'， PA=PA'，
∴∠RPA=∠RPA'=90°，
∵A(2，0)，A' (t，t+2)，
∴，
∵PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴ РМ=РN=，
而∠RPN=90°-∠NPA=∠APM，∠PNR=∠PMA=90°，
∴△PRN≌△PAM（ASA），
∴PR=PA，
∴РR=РА=РА'
∴△PRA与△PRA'都是等腰直角三角形，
∴∠ARP=∠A'RP=45°，
∴∠ARA'=90°，
根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，
∴一次函数y=x+2的图象上存在无数个点A的等垂点，
同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点，
故答案为：y=x+2或y=-x-2.
【分析】（1）取点T(0，2)，连接DT、AT，由点的坐标与图形的性质、等边对等角及三角形的内角和定理可推出△ADT是等腰直角三角形，从而根据等垂点定义可得结论；
（2）①当A'在x轴上方时，过A'作A'F⊥y轴于F，由等垂点定义得∠A'EA=90°，A'E=AE，由等角的余角相等得∠A'EF=∠EAO，由AAS判断出△A'FE≌△EOA，得EF=AO=2，A'F=OE，设A'F=OE=m，则OF=OE+EF=m+2，则A'（m，m+2），将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出m的值，从而即可得到点A'得坐标；②当A'在x轴上方时，过A'作A'H⊥y轴于H，同①可证△AOG≌△GHA'，得A'H=OG，GH=OA=2，设A'H=OG=n，则OH=2-n，则点A'(-n，n-2)，将点A'得坐标代入直线y=2x-1算出n的值，从而即可得到点A'得坐标，综上可得答案；
（3）设直线y=x+2上任意一点A'(t，t+2)，连接AA'，作AA'的垂直平分线交y轴于R，交AA'于P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，如图：由线段垂直平分线的性质得RA=RA'， PA=PA'，由中点坐标公式得，进而根据点的坐标与图形性质得РМ=РN=，由同角的余角相等得∠RPN=∠APM，从而由ASA判断出△PRN≌△PAM，得РR=РА=РА'，可推出∠ARA'=90°，根据等垂点定义，A'是A的等垂点，即直线y=x+ 2上任意一点都是A的等垂点，同理可证一次函数y=-x-2的图象上存在无数个点A的等垂点.
1 / 1
