浙教版数学八上第3章 一元一次不等式 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．若三个连续正整数的和小于39，设中间一个正整数为n，则下面列出的不等式正确的是( ).
A．n+1+n+n-1<39 B．n+n-1+n-2<39
C．n+2+n+1+n<39 D．2n+1+2n-1+2n-3<39
2．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每本作业本6元，每支签字笔2.2元.小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本本数为( ).
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知关于x的不等式3x--m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( ).
A．4≤m<7 B．4
4．若不等式组的解是x>1，则m的取值范围是( ).
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
5．某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
6． 解在数轴上表示为如图所示的不等式组是( ).
A． B． C． D．
7．（2024九上·温州开学考）已知下列表格中的每组，的值分别是关于，的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为（ ）
… 0 1 …
… 0 1 2 3 …
A． B． C． D．
8．（2024·义乌模拟）已知正数a，b，下列表达式正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2024七下·怀宁期中） 若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39 B．42 C．45 D．48
10．（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八上·南宁开学考）若的解集中的最小整数解为2，则的取值范围是 ．
12．（2024九上·双流开学考）已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ．
13．（2024八下·宝安期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
14．有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为 ．
15．（2024七下·宜春期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ．
16．（2024九上·重庆市开学考）若关于的一元一次不等式组所有整数解的和为，且关于的分式方程解为奇数，则符合条件的所有整数的和为 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题12分，第21题8分，第22题7分，第23题8分，第24题11分，共66分）
17．解下列不等式，并把解表示在数轴上.
（1）3-2x<6.
（2） 1.5x+12<0.5x+10.
（3）x-2≤9x-3.
（4）5x-19>1+8x.
18．某种书包原价每个x元，超市店庆促销，第一次降价打八折，第二次降价每个再减10元，经两次降价后超市的利润不少于20%.已知书包的成本是每个60元.根据题意列出x所满足的不等式.
19．（2024八上·长沙开学考）解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
20．已知大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为2cm，起始状态如图所示.大正方形固定不动，把小正方形以1cm/s的速度沿水平方向向右平移.设平移的时间为t(s)，两个正方形重叠部分的面积为S(cm2).完成下列问题：
（1）平移1.5s时，S= cm2.
（2）根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为三类，请填写下表：
运动状态 不等式表示运动时间t(s)的范围 两正方形重叠部分的面积(cm2)
第一种 运动状态 2t
第二种 运动状态 2≤t<4
第三种运动状态 0
（3）当时，小正方形平移的距离为多少厘米
21．（2024七下·临海期末）根据以下素材，完成任务．
探究奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 获奖总人数初定为150人，各档获奖人数要求为：一等奖名额最少，三等奖名额最多，且三等奖获奖人数是一等奖的4倍．
素材2 为获一、二、三等奖的同学分别购买A，B，C三种奖品，价格如下表： 等次奖品单价（元）一等奖A120二等奖B50三等奖C40
素材3 学校购买奖品的预算为9000元．
问题解决
任务1 确定人数范围 获奖总人数为150人时，求获一等奖人数的取值范围．
任务2 确定购买方案 获奖总人数为150人时，如何设置一、二、三等奖的获奖人数，使得购买奖品花费最少？最少花费多少元？
任务3 优化购买方案 为提高同学们参赛积极性，学校决定增加获奖人数，在符合各档获奖人数要求的前提下，请你设置一个合理的一、二、三等奖的获奖人数方案，要求恰好花完9000元预算且获奖总人数最多．
22．（2024九下·北京市模拟）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
23．（2024七上·成华开学考）某次考试共有100道题，每题1分，做错不扣分，甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题叫作“较难题”，没人做出来的题叫作“特难题”，且“较难题”的个数是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过的是“容易题”，但又不全是“容易题”．“特难题”共有多少道？
24．（2024八上·长沙开学考）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围；
（3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
设中间一个正整数为n
∴前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1
∴n+1+n+n-1<39
故答案为：A
【分析】根据连续正整数，设中间一个正整数为n，则前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1，根据题意列出不等式即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设还可以买x本作业本
由题意可得：
解得：
∵x为正整数
∴x的最大值为4
故答案为：B
【分析】设还可以买x本作业本，根据题意建立不等式，解不等式结合取最大正整数解即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：3x--m+1>0
解得：
∵不等式的最小整数解为：2
∴，解得： 4≤m<7
故答案为：A
【分析】先解不等式，可得，再根据不等式最小整数解建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解得：
∵不等式组的解为x>1
∴m+1≤1，解得：m≤0
故答案为：D
【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解建立不等式，解不等式即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，
根据题意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．
【分析】设这人跑了x分钟，然后根据 完成“2.1千米的路程”列不等式解题即可．
6．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由题意可得：
解在数轴上表示为如图所示的不等式组为
故答案为：B
【分析】根据不等式组的解在数轴上表式的形式即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得出：，
解得：，
∴不等式为，
解得：，
故选：B．
【分析】先根据表格求出a、b的值，代入不等式，再解不等式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a，b都是正数，
∴a+b>0，2b>b，
①对于A，B选项，若，
∴
∴或.
解得：a>2b或a②对于C，D选项，若，
∴
∴或.
解得：b此时a>b正确，故C正确，D错误；
故答案为：C.
【分析】对分解因式，可得或，转换为分式同号的不等式组解之，后分析即可.
9．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解①式得；解②式得. 则解集为.
若x只有3个整数解，则这三个整数解只能为1，2，3，即要求，解得，则符合条件的整数k有12、13和14，三数之和为39.
故答案为：A.
【分析】先解不等式组，然后根据题目关于x的整数解的限定条件，推算出k的取值范围，再从中选出符合整数条件的k的可能取值，相加即可.
10．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①∵[-0.5]=-1，[-0.5]+{-0.5}=-0.5，
，故①错误；
②，
，
∴或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为6，6，8，故③正确；
④∵x=[x]+{x}，∴{x}=x-[x]，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故答案为：A
【分析】根据新定义，对上述①②③④进行分析判断即可；
11．【答案】
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵的解集中的最小整数解为2，
∴，
故答案为：．
【分析】根据最小整数解的意义即可求出答案.
12．【答案】m<3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，，
∵关于x的不等式组有解，
∴m<3，
故答案为：m<3．
【分析】先解不等式2x-1<5，得x<3，接下来根据找不等式组解集的口诀：”同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小解不了“得m<3，即可求出m的取值的范围．
13．【答案】
【知识点】不等式的性质；利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解：∵不等式（m为常数，且）的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据“不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，转化为关于字母参数的不等式求解．
14．【答案】39或44或49
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，
根据题意得：0＜5x＋14 8（x 1）＜8，解得＜x＜，
∵x为整数，∴x＝5或6或7，即学生有5x＋14＝39或5x＋14＝44或5x＋14＝49．
即，学生人数是39或44人或49；故答案为：39或44或49．
【分析】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，列出不等式组0＜5x＋14 8（x 1）＜8，求整数解即可．
15．【答案】0或或．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
即，
解此不等式组，解集为，
为非负整数，即x非负数
，
对不等式变换得：，
为非负整数，
或或，
分别求解得或或，
故答案为：0或或．
【分析】由的定义可得到一个关于的一元一次不等式组，解此不等式组、并对解集进行变换得，在根据x为非负整数，即可列出相关等式，即或或，分别进行求解即可．
16．【答案】10
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解关于x的不等式组，得，
∵不等式组所有整数解的和为，
∴或，
∴或，
解关于的分式方程，得，
当5-y=0时，有y=a+9=5，即a=-4时，分式方程有增根，
∴当时，是方程的解，
又∵关于的分式方程解为奇数，即y=a+9为奇数，
∴a为偶数，且，
∴或，
∴符合条件的所有整数的和为，
故答案为：10．
【分析】先解关于x的不等式组，得，从而根据”所有整数解的和为-9“确定a的取值范围，然后解关于的分式方程，得，并检验可得当时，是方程的解，由分数方程的解是奇数求出满足题意的值，最后求和即可.
17．【答案】（1）解：3-2x<6，
解得：，在数轴上表示如下图：
（2）解： 1.5x+12<0.5x+10 ，
解得：x<-2，在数轴上表示如下图：
（3）解：x-2≤9x-3，
解得：，在数轴上表示如下图：
（4）解： 5x-19>1+8x，
解得：，在数轴上表示如下图：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
（2）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
（3）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
（4）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
18．【答案】解：由题意可得：
0.8x-10-60≥0.2×60．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】由题意建立不等式即可求出答案.
19．【答案】解：
解不等式①得x＞-1，
解不等式②得x≤4，
∴ 不等式组的解集为-1＜x≤4.
在数轴上表示为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
20．【答案】（1）3
（2）0≤t<2；12-2t；t≥4
（3）解：当S=2cm2时，大、小正方形重叠部分的宽为1cm，此时小正方形平移的距离为1cm或5cm．
【知识点】平移的性质；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：（1）当t=1.5s时，小正方形向右移动1×1.5=1.5（cm）
∴S=2×1.5=3（cm2）．
故答案为：3
【分析】（1）根据路程=速度×时间计算出1.5s时，重叠部分的长，再根据矩形面积即可求出答案.
（2）小正方形边长与大正方形重叠，小正方形全部在大正方形里面，小正方形在大正方形右侧进行讨论，即可求出答案.
21．【答案】解：
任务一：设一等奖，二等奖，三等奖的人数分别为x人，人，人，
则
解得
（说明：未说明x为整数不扣分，等号取到也不扣分）
任务二：购买奖品的费用
因为且为整数，
所以当时，购买奖品的费用最少，为8010元．
答：设置一、二、三等奖的获奖人数分别为17人、65人、68人时，购买奖品花费最少，最少花费为8010元．
（说明：计算所有方案的费用也得满分）
任务三：设增加后的获奖人数为m人，则
解得
所以
解得
因为m，x要为整数，且要尽可能使获奖人数多
所以时，即一等奖20人，二等奖68人，三等奖80人．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设一等奖，二等奖，三等奖的人数分别为x人，人，人，进而结合题意即可列出不等式组，从而即可得到x的取值范围；
任务二：根据题意表示出购买奖品费用，进而根据x的取值结合题意即可求解；
任务三：增加后的获奖人数为m人，则，，进而即可列出不等式组，从而即可得到，再结合题意即可得到，再解不等式组即可求出m的范围，从而即可求解。
22．【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
23．【答案】解：设特难题有x道，容易题有y道，则较难题有道，
∴有2个人做出来的题有道，
∵ 甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，
∴，
整理得：，
∵丙同学做出的题中超过的是“容易题”，但又不全是“容易题”，甲的分数为90分，丙的分数为50，
∴y=10+5x＞50×80%，x＜100-90，y＜50，
解得：6∵x为正整数，
∴x=7或8或9，
∵40∴当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
综上所述，特难题有7道．
【知识点】二元一次方程的解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设特难题有x道，容易题有y道，则较难题有道，从而求出有2个人做出来的题有道，进而得，整理推出，由“丙同学做出的题中超过的是容易题，但又不全是容易题”、“甲的分数为90分，丙的分数为50”得y=10+5x＞50×80%、x＜100-90，y＜50，从而求出x、y的取值范围，进而求出x=7或8或9，接下来分别求这三种情况的y的值，即可解答.
24．【答案】（1）解： 不等式组A：，解得4＜x＜6，
∴A的中点值x=5，
∵x=5在范围内，
∴ 不等式B对于不等式组A中点包含；
（2）解：∵ D对于不等式组C中点包含，
∴ 不等式组C和 不等式组D有解，
不等式组C： ，解得，
不等式组D： ，解得，
∴，解得m＞-4，
∴当m＞-4时，不等式组C的解集为m-3＜x＜3m+5，
不等式组D的解集为m-4＜x＜，
∴C的中点值为=2m+1，
∵D对于不等式组C中包含，
∴m-4＜2m+1＜，
解得：-5＜m＜10，
∵m＞-4，
∴-4＜m＜10，
（3）解： 不等式组E：，解得2n＜x＜2m
不等式组F：， 解得＜x＜6+n，
∴E的中点值为n+m，
∵ 不等式组F 对于不等式组E中点包含，
∴＜n+m＜6+n，解得：n＜m＜6，
∵ 所有符合要求的整数m之和为14 ，
∴整数m可取2，3，4，5，或整数m可取-1，0，1，2，3，4，5
∴1≤n＜2或1=-2≤n＜-1.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求不等式组A的解集，然后求A的中点值，继而判断；
（2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后求得C的中点值，最后根据定义求出m的范围即可；
（3）先求不等式组E和F的解集，再求E的中点值，然后根据定义求出m、n的不等式，最后通过m的条件确定n的范围即可.
1 / 1浙教版数学八上第3章 一元一次不等式 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．若三个连续正整数的和小于39，设中间一个正整数为n，则下面列出的不等式正确的是( ).
A．n+1+n+n-1<39 B．n+n-1+n-2<39
C．n+2+n+1+n<39 D．2n+1+2n-1+2n-3<39
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
设中间一个正整数为n
∴前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1
∴n+1+n+n-1<39
故答案为：A
【分析】根据连续正整数，设中间一个正整数为n，则前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1，根据题意列出不等式即可求出答案.
2．小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每本作业本6元，每支签字笔2.2元.小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本本数为( ).
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设还可以买x本作业本
由题意可得：
解得：
∵x为正整数
∴x的最大值为4
故答案为：B
【分析】设还可以买x本作业本，根据题意建立不等式，解不等式结合取最大正整数解即可求出答案.
3．已知关于x的不等式3x--m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( ).
A．4≤m<7 B．4【答案】A
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：3x--m+1>0
解得：
∵不等式的最小整数解为：2
∴，解得： 4≤m<7
故答案为：A
【分析】先解不等式，可得，再根据不等式最小整数解建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．若不等式组的解是x>1，则m的取值范围是( ).
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解得：
∵不等式组的解为x>1
∴m+1≤1，解得：m≤0
故答案为：D
【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解建立不等式，解不等式即可求出答案.
5．某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑( )
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，
根据题意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．
【分析】设这人跑了x分钟，然后根据 完成“2.1千米的路程”列不等式解题即可．
6． 解在数轴上表示为如图所示的不等式组是( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由题意可得：
解在数轴上表示为如图所示的不等式组为
故答案为：B
【分析】根据不等式组的解在数轴上表式的形式即可求出答案.
7．（2024九上·温州开学考）已知下列表格中的每组，的值分别是关于，的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为（ ）
… 0 1 …
… 0 1 2 3 …
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得出：，
解得：，
∴不等式为，
解得：，
故选：B．
【分析】先根据表格求出a、b的值，代入不等式，再解不等式即可求解.
8．（2024·义乌模拟）已知正数a，b，下列表达式正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a，b都是正数，
∴a+b>0，2b>b，
①对于A，B选项，若，
∴
∴或.
解得：a>2b或a②对于C，D选项，若，
∴
∴或.
解得：b此时a>b正确，故C正确，D错误；
故答案为：C.
【分析】对分解因式，可得或，转换为分式同号的不等式组解之，后分析即可.
9．（2024七下·怀宁期中） 若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．39 B．42 C．45 D．48
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，解①式得；解②式得. 则解集为.
若x只有3个整数解，则这三个整数解只能为1，2，3，即要求，解得，则符合条件的整数k有12、13和14，三数之和为39.
故答案为：A.
【分析】先解不等式组，然后根据题目关于x的整数解的限定条件，推算出k的取值范围，再从中选出符合整数条件的k的可能取值，相加即可.
10．（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①∵[-0.5]=-1，[-0.5]+{-0.5}=-0.5，
，故①错误；
②，
，
∴或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为6，6，8，故③正确；
④∵x=[x]+{x}，∴{x}=x-[x]，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故答案为：A
【分析】根据新定义，对上述①②③④进行分析判断即可；
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八上·南宁开学考）若的解集中的最小整数解为2，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵的解集中的最小整数解为2，
∴，
故答案为：．
【分析】根据最小整数解的意义即可求出答案.
12．（2024九上·双流开学考）已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 ．
【答案】m<3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，，
∵关于x的不等式组有解，
∴m<3，
故答案为：m<3．
【分析】先解不等式2x-1<5，得x<3，接下来根据找不等式组解集的口诀：”同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小解不了“得m<3，即可求出m的取值的范围．
13．（2024八下·宝安期末）若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质；利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】解：∵不等式（m为常数，且）的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据“不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，转化为关于字母参数的不等式求解．
14．有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为 ．
【答案】39或44或49
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，
根据题意得：0＜5x＋14 8（x 1）＜8，解得＜x＜，
∵x为整数，∴x＝5或6或7，即学生有5x＋14＝39或5x＋14＝44或5x＋14＝49．
即，学生人数是39或44人或49；故答案为：39或44或49．
【分析】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，列出不等式组0＜5x＋14 8（x 1）＜8，求整数解即可．
15．（2024七下·宜春期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ．
【答案】0或或．
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
即，
解此不等式组，解集为，
为非负整数，即x非负数
，
对不等式变换得：，
为非负整数，
或或，
分别求解得或或，
故答案为：0或或．
【分析】由的定义可得到一个关于的一元一次不等式组，解此不等式组、并对解集进行变换得，在根据x为非负整数，即可列出相关等式，即或或，分别进行求解即可．
16．（2024九上·重庆市开学考）若关于的一元一次不等式组所有整数解的和为，且关于的分式方程解为奇数，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】10
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解关于x的不等式组，得，
∵不等式组所有整数解的和为，
∴或，
∴或，
解关于的分式方程，得，
当5-y=0时，有y=a+9=5，即a=-4时，分式方程有增根，
∴当时，是方程的解，
又∵关于的分式方程解为奇数，即y=a+9为奇数，
∴a为偶数，且，
∴或，
∴符合条件的所有整数的和为，
故答案为：10．
【分析】先解关于x的不等式组，得，从而根据”所有整数解的和为-9“确定a的取值范围，然后解关于的分式方程，得，并检验可得当时，是方程的解，由分数方程的解是奇数求出满足题意的值，最后求和即可.
三、解答题（本题共8小题，第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题12分，第21题8分，第22题7分，第23题8分，第24题11分，共66分）
17．解下列不等式，并把解表示在数轴上.
（1）3-2x<6.
（2） 1.5x+12<0.5x+10.
（3）x-2≤9x-3.
（4）5x-19>1+8x.
【答案】（1）解：3-2x<6，
解得：，在数轴上表示如下图：
（2）解： 1.5x+12<0.5x+10 ，
解得：x<-2，在数轴上表示如下图：
（3）解：x-2≤9x-3，
解得：，在数轴上表示如下图：
（4）解： 5x-19>1+8x，
解得：，在数轴上表示如下图：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
（2）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
（3）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
（4）先解不等式，再将解在数轴上表示出来即可.
18．某种书包原价每个x元，超市店庆促销，第一次降价打八折，第二次降价每个再减10元，经两次降价后超市的利润不少于20%.已知书包的成本是每个60元.根据题意列出x所满足的不等式.
【答案】解：由题意可得：
0.8x-10-60≥0.2×60．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】由题意建立不等式即可求出答案.
19．（2024八上·长沙开学考）解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式①得x＞-1，
解不等式②得x≤4，
∴ 不等式组的解集为-1＜x≤4.
在数轴上表示为
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
20．已知大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为2cm，起始状态如图所示.大正方形固定不动，把小正方形以1cm/s的速度沿水平方向向右平移.设平移的时间为t(s)，两个正方形重叠部分的面积为S(cm2).完成下列问题：
（1）平移1.5s时，S= cm2.
（2）根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为三类，请填写下表：
运动状态 不等式表示运动时间t(s)的范围 两正方形重叠部分的面积(cm2)
第一种 运动状态 2t
第二种 运动状态 2≤t<4
第三种运动状态 0
（3）当时，小正方形平移的距离为多少厘米
【答案】（1）3
（2）0≤t<2；12-2t；t≥4
（3）解：当S=2cm2时，大、小正方形重叠部分的宽为1cm，此时小正方形平移的距离为1cm或5cm．
【知识点】平移的性质；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：（1）当t=1.5s时，小正方形向右移动1×1.5=1.5（cm）
∴S=2×1.5=3（cm2）．
故答案为：3
【分析】（1）根据路程=速度×时间计算出1.5s时，重叠部分的长，再根据矩形面积即可求出答案.
（2）小正方形边长与大正方形重叠，小正方形全部在大正方形里面，小正方形在大正方形右侧进行讨论，即可求出答案.
21．（2024七下·临海期末）根据以下素材，完成任务．
探究奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 获奖总人数初定为150人，各档获奖人数要求为：一等奖名额最少，三等奖名额最多，且三等奖获奖人数是一等奖的4倍．
素材2 为获一、二、三等奖的同学分别购买A，B，C三种奖品，价格如下表： 等次奖品单价（元）一等奖A120二等奖B50三等奖C40
素材3 学校购买奖品的预算为9000元．
问题解决
任务1 确定人数范围 获奖总人数为150人时，求获一等奖人数的取值范围．
任务2 确定购买方案 获奖总人数为150人时，如何设置一、二、三等奖的获奖人数，使得购买奖品花费最少？最少花费多少元？
任务3 优化购买方案 为提高同学们参赛积极性，学校决定增加获奖人数，在符合各档获奖人数要求的前提下，请你设置一个合理的一、二、三等奖的获奖人数方案，要求恰好花完9000元预算且获奖总人数最多．
【答案】解：
任务一：设一等奖，二等奖，三等奖的人数分别为x人，人，人，
则
解得
（说明：未说明x为整数不扣分，等号取到也不扣分）
任务二：购买奖品的费用
因为且为整数，
所以当时，购买奖品的费用最少，为8010元．
答：设置一、二、三等奖的获奖人数分别为17人、65人、68人时，购买奖品花费最少，最少花费为8010元．
（说明：计算所有方案的费用也得满分）
任务三：设增加后的获奖人数为m人，则
解得
所以
解得
因为m，x要为整数，且要尽可能使获奖人数多
所以时，即一等奖20人，二等奖68人，三等奖80人．
【知识点】一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设一等奖，二等奖，三等奖的人数分别为x人，人，人，进而结合题意即可列出不等式组，从而即可得到x的取值范围；
任务二：根据题意表示出购买奖品费用，进而根据x的取值结合题意即可求解；
任务三：增加后的获奖人数为m人，则，，进而即可列出不等式组，从而即可得到，再结合题意即可得到，再解不等式组即可求出m的范围，从而即可求解。
22．（2024九下·北京市模拟）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲
乙
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
【答案】（1）解：依据题意，得：，
解得：，
检验：当x=300时，x（x+200）≠0，
∴x=300是分式方程的解，
∴x的值为300；
（2）解：设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，
依据题意，得：，
解得：，
∴乙工程队至少施工15天.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据信息二中的条件列出关于x的分式方程，解分式方程并检验，即可求出x的值；
（2）设乙工程队单独施工m天，则甲工程队单独施工（20-m）天，根据“体育中心需要支付施工费用不超过45000元”列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的取值范围，再取m的最小值即可求解.
23．（2024七上·成华开学考）某次考试共有100道题，每题1分，做错不扣分，甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题叫作“较难题”，没人做出来的题叫作“特难题”，且“较难题”的个数是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过的是“容易题”，但又不全是“容易题”．“特难题”共有多少道？
【答案】解：设特难题有x道，容易题有y道，则较难题有道，
∴有2个人做出来的题有道，
∵ 甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，
∴，
整理得：，
∵丙同学做出的题中超过的是“容易题”，但又不全是“容易题”，甲的分数为90分，丙的分数为50，
∴y=10+5x＞50×80%，x＜100-90，y＜50，
解得：6∵x为正整数，
∴x=7或8或9，
∵40∴当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
综上所述，特难题有7道．
【知识点】二元一次方程的解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】设特难题有x道，容易题有y道，则较难题有道，从而求出有2个人做出来的题有道，进而得，整理推出，由“丙同学做出的题中超过的是容易题，但又不全是容易题”、“甲的分数为90分，丙的分数为50”得y=10+5x＞50×80%、x＜100-90，y＜50，从而求出x、y的取值范围，进而求出x=7或8或9，接下来分别求这三种情况的y的值，即可解答.
24．（2024八上·长沙开学考）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围；
（3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围．
【答案】（1）解： 不等式组A：，解得4＜x＜6，
∴A的中点值x=5，
∵x=5在范围内，
∴ 不等式B对于不等式组A中点包含；
（2）解：∵ D对于不等式组C中点包含，
∴ 不等式组C和 不等式组D有解，
不等式组C： ，解得，
不等式组D： ，解得，
∴，解得m＞-4，
∴当m＞-4时，不等式组C的解集为m-3＜x＜3m+5，
不等式组D的解集为m-4＜x＜，
∴C的中点值为=2m+1，
∵D对于不等式组C中包含，
∴m-4＜2m+1＜，
解得：-5＜m＜10，
∵m＞-4，
∴-4＜m＜10，
（3）解： 不等式组E：，解得2n＜x＜2m
不等式组F：， 解得＜x＜6+n，
∴E的中点值为n+m，
∵ 不等式组F 对于不等式组E中点包含，
∴＜n+m＜6+n，解得：n＜m＜6，
∵ 所有符合要求的整数m之和为14 ，
∴整数m可取2，3，4，5，或整数m可取-1，0，1，2，3，4，5
∴1≤n＜2或1=-2≤n＜-1.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求不等式组A的解集，然后求A的中点值，继而判断；
（2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后求得C的中点值，最后根据定义求出m的范围即可；
（3）先求不等式组E和F的解集，再求E的中点值，然后根据定义求出m、n的不等式，最后通过m的条件确定n的范围即可.
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