浙教版数学八上第5章 一次函数 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020八下·长沙期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、 是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x是正比例函数，故此选项符合题意；
D、 是反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数进行分析即可．
2．（2024八上·宁波开学考）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，
∴不等式组的解为，
故答案为：A．
【分析】根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即是不等式组的解集．
3．（2024九上·上海市月考）下列函数中，一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．（为常数）
【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、，自变量的次数是4不是1，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是一次函数，故此选项符合题意；
C、自变量在分母里面，不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、当时，（k为常数）不是一次函数，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】形如“y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）”的函数，叫做一次函数，据此逐一判断得出答案.
4．（2024九上·内江开学考）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故A项不符合题意；
B 对于x的每一个值，y不都有唯一确定的值与其对应，即y不是x的函数，故B项符合题意；
C 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故C项不符合题意；
D 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故D项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义，结合图象逐一判断即可.
5．（2024九上·龙马潭开学考）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意可得，3-k＜0，-k＜0，
∴ k＞3.
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的图象可知，比例系数＜0并且与y轴交于负半轴，即可求得.
6．（2024九上·安州开学考）已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵若函数图象经过原点
∴
．
故选：．
【分析】
一次函数的图象经过原点，则b=0，根据这个性质列出关于m的方程，解出m即可.
7．（2024九上·梓潼开学考）定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数，例如：一次函数与就是一对交换函数．现有一次函数，当时，这个一次函数的图象与其交换函数图象交点的横坐标（ ）．
A． B．2 C．1 D．无法确定
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得，一次函数y=2x-b的“交换函数”为y=-bx+2.
当2x-b=-bx+2时，
(2+b)x=2+b，
∵，
∴，
∴x=1，
即当时，一次函数的图象与其交换函数图象交点的横坐标是x=1，
故答案为：C．
【分析】根据题目给出的新定义得一次函数y=2x-b的“交换函数”为y=-bx+2，联立两函数得关于x的一元一次方程，求解即可得到交点的横坐标.
8．（2024九上·岳阳开学考）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点的坐标为；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由图像可得：
3(x-60)=120
解得：x=100，①正确
②120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲乙两地的距离，②错误
③∵快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟
∴点B的横坐标为
纵坐标为：，③正确
④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则返回时与货车共同行驶的时间为小时，此时两车相距75千米
由题意可得：，解得：y=90，④正确
故答案为：C
【分析】根据函数图象可得3小时行驶了的120千米，可判断①②，根据快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟可得点B横坐标，可得纵坐标，可判断③，设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则返回时与货车共同行驶的时间为小时，此时两车相距75千米，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
9．（2024九上·株洲开学考）如图，一次函数的图像与轴相较于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为y＝2x 3，
∴令y＝0，可得x＝，
∴A（，0），
∴点A关于y轴的对称点的坐标为（ ，0）．
故答案为：A.
【分析】先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）求解即可.
10．（2013·舟山）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴BD= a，
①当P点在AB上，即0≤x＜a时，y=x，
②当P点在BD上，即a≤x＜（1+ ）a时，过P点作PF⊥AB，垂足为F，
∵AB+BP=x，AB=a，
∴BP=x﹣a，
∵AE2+PE2=AP2，
∴（ ）2+[ a﹣（x﹣a）]2=y2，
∴y= ，
③当P点在DC上，即a（1+ ）≤x＜a（2+ ）时，同理根据勾股定理可得AP2=AD2+DP2，
y= ，
④当P点在CA上，即当a（2+ ）≤x≤a（2+2 ）时，y=a（2+2 ）﹣x，
结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，
根据当a≤x＜（1+ ）a时，P在BE上和ED上时的函数图象对称，故B选项错误，
再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，
故只有D符合要求，
故选：D．
【分析】根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2 a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·重庆市月考）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限．
【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
，
则点在第四象限，
故答案为：四．
【分析】 正比例函数中，当k＞0时，的值随着值的增大而增大，当k＜0时，的值随着值的增大而减小，据此可知中，从而得到，通过点在象限的特征解答即可．
12．（2024八上·深圳开学考）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间有如下关系：
x/km 1 2 3 4
y/℃ 55 90 125 160
根据表格，估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为 km．
【答案】6
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格中数据知：x值每增加1，对应的y值恒增加35，
∴ 地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，设y=kx+b，
把（1，55）（2，90）代入
得，解得，
∴y=35x+20，
当y= 230 时，230=35x+20，解得x=6，
∴ 估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为6km.
故答案为：6.
【分析】先判断地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，利用待定系数法求解析式，再求出y= 230 时x值即可.
13．（2024九上·哈尔滨开学考）若的图像与轴轴所围成的三角形的面积为2，则 ．
【答案】1或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，；当时，，；
的图像与轴轴所围成的三角形的面积为2，
，
解得．
故答案为：1或．
【分析】本题考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积。当时，；当时，，代入三角形面积公式可列出方程，解方程可求出k的值，据此可求出答案.
14．（2024九上·涪城开学考）若直线与直线相交于x轴同一点，则当x 时，．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解∶ 直线，
取，
则，解得，
∵直线与直线相交于x轴同一点，
∴直线与直线相交与点，
画出大致图像如图：
根据函数图象可知：当时，，
故答案为：．
【分析】先求出两条直线的交点坐标，再画出大致图象，依据图象写出不等式的解集.
15．（2024八下·澄海期末）一根弹簧秤原长12cm，所挂物体的质量每增加2kg，弹簧就伸长6cm，则挂物体后弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式是 ．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】∵【解答】解：∵ 所挂物体的质量每增加2kg，弹簧就伸长6cm， ∴挂物体的质量，弹簧伸长，又弹簧原长， 则挂物体后弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式是
.
故答案为：.
【分析】本题主要考查根据实际问题列出函数的解析式，一次函数的实际运用，属于中档题型，根据题意得到：挂物体的质量，弹簧伸长，然后再加上弹簧的原长即可求解.
16．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是 （填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．
【答案】①②
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：①由y2＝x+m得，当x=0时，y2=m，当y=0时，x=-m，
∴直线y2＝x+m与坐标轴的截距相等，
∴直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，则①的结论正确；
②由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，
∴k+b＞0，则②的结论正确；
③观察图可知：两函数的交点横坐标为x=2，且当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，
∴关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＞2，则③的结论不正确.
故答案为：①②．
【分析】①根据直线与坐标轴的截距相等并结合等腰直角三角形的性质即可判断求解；
②观察图可知，当x=1时的函数图象对应的点的位置来判断求解；
③观察图可知，由两函数图象的交点与两函数图象的位置即可判断求解．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题8分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题14分，第23题14分，第24题8分，共66分）
17．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为：；
（2）解：当时，，
∵ 函数的值小于函数的值，
∴当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）当时，，然后结合题意可得关于m的不等式，解不等式即可求出的取值范围．
（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
根据题意得：当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为．
18．（2024七下·龙岗期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
（2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
（3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
（4）图2中点A表示 ．
【答案】（1）小明的游览时间；小明步行的路程
（2）4
（3）0.35
（4）小明游览时间为时，步行的路程为
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程．故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程；
（2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：，时间为：
∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是
故答案为：4；
（3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：，∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：，
∴在景点好汉坡处逗留的时间是，
故答案为：0.35；
（4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为．故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为．
【分析】（1）根据题意由图2横纵坐标物理量即可得到；
（2）根据题意结合图1与图2分析每个数据对应含义，即可计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解；
（3）同理，先根据好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而计算其行走的时间推理计算得出其逗留时间；
（4）根据其横纵坐标结合题意说明即可．
19．（2024八下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．
（1）求的面积；
（2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标，
【答案】（1）取y=0，
则，
，
，
解，
得：，
点的坐标为，
=；
（2）设直线的解析式为，作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，
，
，
∵三点共线，
∴有最小值，
，，
。
∴，
解得：，
直线的解析式为，
取，得，
点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式得到方程组求解，由此求出点A的坐标，再利用三角形面积公式求解；
（2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式，取函数值为0，就可求出点的坐标．
20．（2024九上·温州开学考）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）玲玲的速度为 千米/分钟，小华返回学校的速度为 千米/分钟．
（2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
【答案】（1）0.125；0.5
（2）解：由题意，得：5-0.5（a-30）=0.125a，
解得：a=32．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：玲玲的速度为：5÷40=0.125千米/分钟，
小华返回学校的速度为：5÷（40-30）=0.5千米/分钟．
故答案为：0.125；0.5.
【分析】（1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可；
（2）根据“两人到学校的距离相等”，列出方程，解方程即可求出a的值.
21．友谊商店笔记本电脑的售价是a元/台.最近，该商店对笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买笔记本电脑x台.
（1）当x=8时，选择哪种方案，可使该公司购买笔记本电脑的费用最少 最少费用是多少元
（2）若采用方案二购买更合算，求x的取值范围.
【答案】（1）解：设购买笔记本电脑x台时的费用为ω元．
当x=8时
方案一：w=90%a×8=7.2a；
方案二：ω=5a+（8-5）a×80%=7.4a．
∴当x=8时，选择方案一可使该公司购买笔记本电脑的费用最少，最少费用是7.2a元．
（2）解：若采用方案二购买更合算，则x>5．
方案一：w=90%ax=0.9ax；
方案二：当x>5时，w=5a+（x-5）a×80%=5a+0，8ax-4a=a+0.8ax．
由0.9ax>a+0.8ax，解得x>10．
∴x的取值范围是x>10．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买笔记本电脑x台时的费用为ω元，根据题意分别求出两种方案的费用，比较大小即可求出答案.
（2）若采用方案二购买更合算，则x>5，求出两种方案的费用，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．（2024九上·宝安开学考）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】水杯容积：700mL．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35℃～38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满700mL的水杯为止．
（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．）
【问题】
（1）接到温水的体积是 mL，接到开水的体积是 mL；（用含x的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是50℃，求x的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为y℃，则y关于x的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 ．
【答案】（1）20x；（700﹣20x）
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒
（3）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4）y＝100﹣2x；31≤x≤32.5
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为：，．
（4）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为：，
【分析】（1）根据速度×时间=体积即可求解；
（2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，进而列出不等式，解不等式即可求解；
（3）根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度列出等式，进而解分析即可求解；
（4）根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度列出等式，进而即可关于的一次函数关系式，再根据结合一次函数的图象即可求解。
23．（2024八下·临湘期末）如图，已知过点的直线与直线：相交于点且与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若点是轴上一动点，连接、，当周长最小时，求点坐标．
【答案】（1）解：点在直线上，
，
，
则的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：与轴相交于点，
的坐标为，
又直线与轴相交于点，
点的坐标为，则，
而，
；
（3）解：作点关于轴对称点，连接交轴于，
则此时，周长最小，
，，
直线：，
当 时，，
点坐标为时周长最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据直线l2的解析式可求得点P的坐标，再根据点B和点P的坐标利用待定系数法即可得出直线l1的解析式；
（2）根据，即可求得答案；
（3）首先得出点C关于X轴的对称点C'的坐标，进而利用待定系数法求得直线PC'的函数解析式，然后再求出直线PC'与X轴的交点坐标，就是符合条件的点Q的坐标。
24．（2020八下·邯郸月考）如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（ 1，0），且2OA＝OB．
（1）求直线AB解析式；
（2）如图，将△AOB向右平移3个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；
（3）在（2）中△AOB扫过的面积是 ．
【答案】（1）解：∵点A的坐标为（ 1，0）
∴
∵2OA＝OB
∴
∴
设直线AB解析式为
将 和 代入 中
解得
∴ ；
故直线AB解析式为
（2）解：∵将△AOB向右平移3个单位长度，得到△A1O1B1，
∴
∴
（3）7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（3）△AOB 扫过的面积 ．
【分析】（1）先求出点B的坐标，设直线 AB 解析式为 ，利用待定系数法求解即可；（2）根据平移的性质求出点 的坐标，再根据两点之间的距离公式求解即可；（3）根据三角形和矩形面积公式求解即可．
1 / 1浙教版数学八上第5章 一次函数 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020八下·长沙期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A． B． C． D．
2．（2024八上·宁波开学考）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ）
A． B． C． D．无解
3．（2024九上·上海市月考）下列函数中，一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．（为常数）
4．（2024九上·内江开学考）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·龙马潭开学考）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·安州开学考）已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·梓潼开学考）定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数，例如：一次函数与就是一对交换函数．现有一次函数，当时，这个一次函数的图象与其交换函数图象交点的横坐标（ ）．
A． B．2 C．1 D．无法确定
8．（2024九上·岳阳开学考）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点的坐标为；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③
9．（2024九上·株洲开学考）如图，一次函数的图像与轴相较于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
10．（2013·舟山）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·重庆市月考）正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第 象限．
12．（2024八上·深圳开学考）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间有如下关系：
x/km 1 2 3 4
y/℃ 55 90 125 160
根据表格，估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为 km．
13．（2024九上·哈尔滨开学考）若的图像与轴轴所围成的三角形的面积为2，则 ．
14．（2024九上·涪城开学考）若直线与直线相交于x轴同一点，则当x 时，．
15．（2024八下·澄海期末）一根弹簧秤原长12cm，所挂物体的质量每增加2kg，弹簧就伸长6cm，则挂物体后弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式是 ．
16．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是 （填写序号）．
①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＜2．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题8分，第19题6分，第20题8分，第21题8分，第22题14分，第23题14分，第24题8分，共66分）
17．（2024九上·北京市开学考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围．
18．（2024七下·龙岗期末）2024深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去．小明步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
（2）他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
（3）小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
（4）图2中点A表示 ．
19．（2024八下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．
（1）求的面积；
（2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标，
20．（2024九上·温州开学考）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）玲玲的速度为 千米/分钟，小华返回学校的速度为 千米/分钟．
（2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
21．友谊商店笔记本电脑的售价是a元/台.最近，该商店对笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买笔记本电脑x台.
（1）当x=8时，选择哪种方案，可使该公司购买笔记本电脑的费用最少 最少费用是多少元
（2）若采用方案二购买更合算，求x的取值范围.
22．（2024九上·宝安开学考）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】水杯容积：700mL．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35℃～38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
【操作】先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满700mL的水杯为止．
（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．）
【问题】
（1）接到温水的体积是 mL，接到开水的体积是 mL；（用含x的代数式表示）
（2）若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？
（3）若水杯接满水后，水杯中温度是50℃，求x的值；
（4）记水杯接满水后水杯中温度为y℃，则y关于x的关系式是 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 ．
23．（2024八下·临湘期末）如图，已知过点的直线与直线：相交于点且与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）若点是轴上一动点，连接、，当周长最小时，求点坐标．
24．（2020八下·邯郸月考）如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（ 1，0），且2OA＝OB．
（1）求直线AB解析式；
（2）如图，将△AOB向右平移3个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；
（3）在（2）中△AOB扫过的面积是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、 是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x是正比例函数，故此选项符合题意；
D、 是反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数进行分析即可．
2．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，
∴不等式组的解为，
故答案为：A．
【分析】根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即是不等式组的解集．
3．【答案】B
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、，自变量的次数是4不是1，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是一次函数，故此选项符合题意；
C、自变量在分母里面，不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、当时，（k为常数）不是一次函数，故此选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】形如“y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）”的函数，叫做一次函数，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故A项不符合题意；
B 对于x的每一个值，y不都有唯一确定的值与其对应，即y不是x的函数，故B项符合题意；
C 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故C项不符合题意；
D 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故D项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义，结合图象逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意可得，3-k＜0，-k＜0，
∴ k＞3.
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的图象可知，比例系数＜0并且与y轴交于负半轴，即可求得.
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵若函数图象经过原点
∴
．
故选：．
【分析】
一次函数的图象经过原点，则b=0，根据这个性质列出关于m的方程，解出m即可.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得，一次函数y=2x-b的“交换函数”为y=-bx+2.
当2x-b=-bx+2时，
(2+b)x=2+b，
∵，
∴，
∴x=1，
即当时，一次函数的图象与其交换函数图象交点的横坐标是x=1，
故答案为：C．
【分析】根据题目给出的新定义得一次函数y=2x-b的“交换函数”为y=-bx+2，联立两函数得关于x的一元一次方程，求解即可得到交点的横坐标.
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由图像可得：
3(x-60)=120
解得：x=100，①正确
②120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲乙两地的距离，②错误
③∵快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟
∴点B的横坐标为
纵坐标为：，③正确
④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则返回时与货车共同行驶的时间为小时，此时两车相距75千米
由题意可得：，解得：y=90，④正确
故答案为：C
【分析】根据函数图象可得3小时行驶了的120千米，可判断①②，根据快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟可得点B横坐标，可得纵坐标，可判断③，设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则返回时与货车共同行驶的时间为小时，此时两车相距75千米，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数解析式为y＝2x 3，
∴令y＝0，可得x＝，
∴A（，0），
∴点A关于y轴的对称点的坐标为（ ，0）．
故答案为：A.
【分析】先利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）求解即可.
10．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴BD= a，
①当P点在AB上，即0≤x＜a时，y=x，
②当P点在BD上，即a≤x＜（1+ ）a时，过P点作PF⊥AB，垂足为F，
∵AB+BP=x，AB=a，
∴BP=x﹣a，
∵AE2+PE2=AP2，
∴（ ）2+[ a﹣（x﹣a）]2=y2，
∴y= ，
③当P点在DC上，即a（1+ ）≤x＜a（2+ ）时，同理根据勾股定理可得AP2=AD2+DP2，
y= ，
④当P点在CA上，即当a（2+ ）≤x≤a（2+2 ）时，y=a（2+2 ）﹣x，
结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，
根据当a≤x＜（1+ ）a时，P在BE上和ED上时的函数图象对称，故B选项错误，
再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，
故只有D符合要求，
故选：D．
【分析】根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2 a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．
11．【答案】四
【知识点】点的坐标与象限的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
，
则点在第四象限，
故答案为：四．
【分析】 正比例函数中，当k＞0时，的值随着值的增大而增大，当k＜0时，的值随着值的增大而减小，据此可知中，从而得到，通过点在象限的特征解答即可．
12．【答案】6
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格中数据知：x值每增加1，对应的y值恒增加35，
∴ 地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，设y=kx+b，
把（1，55）（2，90）代入
得，解得，
∴y=35x+20，
当y= 230 时，230=35x+20，解得x=6，
∴ 估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为6km.
故答案为：6.
【分析】先判断地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，利用待定系数法求解析式，再求出y= 230 时x值即可.
13．【答案】1或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，；当时，，；
的图像与轴轴所围成的三角形的面积为2，
，
解得．
故答案为：1或．
【分析】本题考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积。当时，；当时，，代入三角形面积公式可列出方程，解方程可求出k的值，据此可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解∶ 直线，
取，
则，解得，
∵直线与直线相交于x轴同一点，
∴直线与直线相交与点，
画出大致图像如图：
根据函数图象可知：当时，，
故答案为：．
【分析】先求出两条直线的交点坐标，再画出大致图象，依据图象写出不等式的解集.
15．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】∵【解答】解：∵ 所挂物体的质量每增加2kg，弹簧就伸长6cm， ∴挂物体的质量，弹簧伸长，又弹簧原长， 则挂物体后弹簧长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数表达式是
.
故答案为：.
【分析】本题主要考查根据实际问题列出函数的解析式，一次函数的实际运用，属于中档题型，根据题意得到：挂物体的质量，弹簧伸长，然后再加上弹簧的原长即可求解.
16．【答案】①②
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：①由y2＝x+m得，当x=0时，y2=m，当y=0时，x=-m，
∴直线y2＝x+m与坐标轴的截距相等，
∴直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，则①的结论正确；
②由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，
∴k+b＞0，则②的结论正确；
③观察图可知：两函数的交点横坐标为x=2，且当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，
∴关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x＞2，则③的结论不正确.
故答案为：①②．
【分析】①根据直线与坐标轴的截距相等并结合等腰直角三角形的性质即可判断求解；
②观察图可知，当x=1时的函数图象对应的点的位置来判断求解；
③观察图可知，由两函数图象的交点与两函数图象的位置即可判断求解．
17．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为：；
（2）解：当时，，
∵ 函数的值小于函数的值，
∴当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）当时，，然后结合题意可得关于m的不等式，解不等式即可求出的取值范围．
（1）解：∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
根据题意得：当时，，
解得：，
∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，
∴的取值范围为．
18．【答案】（1）小明的游览时间；小明步行的路程
（2）4
（3）0.35
（4）小明游览时间为时，步行的路程为
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程．故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程；
（2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：，时间为：
∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是
故答案为：4；
（3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：，∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：，
∴在景点好汉坡处逗留的时间是，
故答案为：0.35；
（4）由图象可知：小明游览时间为时，步行的路程为．故答案为：小明游览时间为时，步行的路程为．
【分析】（1）根据题意由图2横纵坐标物理量即可得到；
（2）根据题意结合图1与图2分析每个数据对应含义，即可计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解；
（3）同理，先根据好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而计算其行走的时间推理计算得出其逗留时间；
（4）根据其横纵坐标结合题意说明即可．
19．【答案】（1）取y=0，
则，
，
，
解，
得：，
点的坐标为，
=；
（2）设直线的解析式为，作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，
，
，
∵三点共线，
∴有最小值，
，，
。
∴，
解得：，
直线的解析式为，
取，得，
点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式得到方程组求解，由此求出点A的坐标，再利用三角形面积公式求解；
（2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式，取函数值为0，就可求出点的坐标．
20．【答案】（1）0.125；0.5
（2）解：由题意，得：5-0.5（a-30）=0.125a，
解得：a=32．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：玲玲的速度为：5÷40=0.125千米/分钟，
小华返回学校的速度为：5÷（40-30）=0.5千米/分钟．
故答案为：0.125；0.5.
【分析】（1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可；
（2）根据“两人到学校的距离相等”，列出方程，解方程即可求出a的值.
21．【答案】（1）解：设购买笔记本电脑x台时的费用为ω元．
当x=8时
方案一：w=90%a×8=7.2a；
方案二：ω=5a+（8-5）a×80%=7.4a．
∴当x=8时，选择方案一可使该公司购买笔记本电脑的费用最少，最少费用是7.2a元．
（2）解：若采用方案二购买更合算，则x>5．
方案一：w=90%ax=0.9ax；
方案二：当x>5时，w=5a+（x-5）a×80%=5a+0，8ax-4a=a+0.8ax．
由0.9ax>a+0.8ax，解得x>10．
∴x的取值范围是x>10．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买笔记本电脑x台时的费用为ω元，根据题意分别求出两种方案的费用，比较大小即可求出答案.
（2）若采用方案二购买更合算，则x>5，求出两种方案的费用，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．【答案】（1）20x；（700﹣20x）
（2）解：由上可得温水的体积是，开水的体积为，
当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时，
可得
解得
∴则至少应接温水秒
（3）解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
（4）y＝100﹣2x；31≤x≤32.5
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）∵温水水流速度是，
∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是，
∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为，
故答案为：，．
（4）由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为，
∴
解得：
若要使杯中温度达到最佳水温时，
则有
代入，可得，
故答案为：，
【分析】（1）根据速度×时间=体积即可求解；
（2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，进而列出不等式，解不等式即可求解；
（3）根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度列出等式，进而解分析即可求解；
（4）根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度列出等式，进而即可关于的一次函数关系式，再根据结合一次函数的图象即可求解。
23．【答案】（1）解：点在直线上，
，
，
则的坐标为，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：与轴相交于点，
的坐标为，
又直线与轴相交于点，
点的坐标为，则，
而，
；
（3）解：作点关于轴对称点，连接交轴于，
则此时，周长最小，
，，
直线：，
当 时，，
点坐标为时周长最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据直线l2的解析式可求得点P的坐标，再根据点B和点P的坐标利用待定系数法即可得出直线l1的解析式；
（2）根据，即可求得答案；
（3）首先得出点C关于X轴的对称点C'的坐标，进而利用待定系数法求得直线PC'的函数解析式，然后再求出直线PC'与X轴的交点坐标，就是符合条件的点Q的坐标。
24．【答案】（1）解：∵点A的坐标为（ 1，0）
∴
∵2OA＝OB
∴
∴
设直线AB解析式为
将 和 代入 中
解得
∴ ；
故直线AB解析式为
（2）解：∵将△AOB向右平移3个单位长度，得到△A1O1B1，
∴
∴
（3）7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（3）△AOB 扫过的面积 ．
【分析】（1）先求出点B的坐标，设直线 AB 解析式为 ，利用待定系数法求解即可；（2）根据平移的性质求出点 的坐标，再根据两点之间的距离公式求解即可；（3）根据三角形和矩形面积公式求解即可．
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