浙教版数学九上第4章 相似三角形 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（比例线段++++++++++++++）下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b= ，c= ，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b= ，c= ，d=2
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ ，故选项A中的线段成比例；
∵ ，故选项B中的线段成比例；
∵ ，故选项C中的线段不成比例；
∵ ，故选项D中的线段成比例；
故选C．
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
2．（2024九下·丰泽月考）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】解分式方程；相似多边形
【解析】【解答】解：由题意可知，两个矩形相似，可以得到
或，
解得或，
∵两个矩形不全等，
∴（舍去），
∴x=3，
故答案为：A．
【分析】根据相似多边形性质构建方程，解方程即可求出答案.
3．（2023九上·杭州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM、FE交于点O，则NF=AB，MH=BC，由对顶角的性质可得∠HOE=∠FOM，根据等角的余角相等可得∠GHM=∠EFN，证明△MHG∽△NFE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
4．（2017九上·萍乡期末）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ，
∴AC：BC：AB=1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选B．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
5．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
6．（2021九上·凌海期中）下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；
②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；
③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；
④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。
7．（2021九上·衢州期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm.
A． 1 B．2 2 C．5 5 D．10 10
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由黄金分割可得：
∴
整理得：
解得： ， (舍去)
故答案为：C.
【分析】由黄金分割的特点可得，代入数据求解即可.
8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【分析】A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误。
B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°。∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误。
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确。
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，
∴，即BC2=CD AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C。∴BC=BD，
∵AD=BD，∴AD=BC，
∴AD2=CD AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误。
故选C.
9．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴ ＝ ＝ ，
同理可证： ＝ ＝ ，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为 正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为 ＝48cm2，
故选B
【分析】先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 ．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝ BD，△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和
10．（2024·温州模拟）如图，在中，AG平分分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记或的面积分别为，若，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∠DAF=∠AGB，
AG平分 ，
∠DAF=∠BAG，
∠AGB=∠BAG，
BA=BG，
，
设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，
CD=BC-BG=x，
AB∥CD，
，
，
即，
AD∥BC，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，则∠DAF=∠AGB，再根据角平分线的定义得∠DAF=∠BAG，则BA=BG，进而可得BG=AB，设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，CD=BC-BG=x，证，根据相似三角形的性质得出，再证，根据相似三角形的性质得出再由，得出进而可得，据此即可得到答案.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2022·滨城模拟）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为 ．
【答案】（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故答案为：（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）．
【分析】根据位似图形的性质求解即可。
12．（2021九上·西湖期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 .
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得 .
故答案为：3.
【分析】依题意可知：两高脚杯中的液体部分两三角形相似，然后根据对应边成比例可得AB.
13．（2024九上·上海市期中）如图，中，G是重心，，，那么
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于E，
∵G是的重心，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接并延长交于E，先利用三角形重心的性质可得，求出，再证出，最后利用相似三角形的性质可得.
14．（2024九上·上海市期中）已知中，，，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为 ．（用含有m的代数式表示）
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
平分交于，
，
，
，
，，
，
设，
则，
，
，
整理得：，
解得：，
同理可得，
设，
，
，
，
解得：，
故答案为：
【分析】设，先证出，可得，再将数据代入可得，求出，再证出，可得，再将数据代入可得，最后求出即可.
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），
设直线QR的解析式为：y=kx+3m，代入点（3n，0），
可得：3kn+3m=0，
解得：.
∴.
过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，如图：
∴△TAU∽△QOR，
∴.
∴TA=m，AU=n.
∵△ORS是等边三角形，
∴∠SOR=60°.
设点T的坐标为，则点U的坐标为.
∵点T在直线的图象上，
∴，即.
∵点T和U都在反比例函数的图象上，
∴.
∴，即
①－②得：m(x－n)=0.
∵m≠0，
∴x＝n.
易证△QBT∽△QOR，
∴，
故QB=m，OB=2m.
∴点T的坐标为（n，2m），
∴.
等边三角形SOR中，OR=3n，
∴
∵△OQT的面积为，即，
∴.
∴，
.
故答案为：；.
【分析】设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），可得直线QR的解析式为；过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，证明△TAU∽△QOR，可得TA=m，AU=n.利用等边三角形的性质可设点T的坐标为，则点U的坐标为.把点T的坐标代入得：；把点T和U的坐标代入，可得；两式相减可求得x＝n；再根据△QBT∽△QOR，可得QB=m，T(2m，n). 表示出△OQT的面积，可得.于是可求得k的值，求出SD的长，即可得的面积.
16．（2024九上·闵行开学考）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．
图1 图2
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是调和点列，且，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出，即，代入求出BD=1，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，故，即可求解.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题10分，第21题10分，第22题6分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024九上·上海市期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值．
【答案】解：设，
∵等边的边长为8，
∴，
∵E为中点，
∴，
①和是对应边时，，
∴，
即，
整理得，，
解得，，
即的长为2或6，
②和是对应边时，，
∴，
即，
解得，
即，
综上所述，的值是2或6或．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】分类讨论：①和是对应边时，；②和是对应边时，，再分别利用相似三角形的性质列出算式和方程求解即可.
18．（2024八上·益阳开学考）
（1）画出图形A先绕点O顺时针方向旋转，再向左平移6格后得到的图形．
（2）画出平行四边形①按放大后得到的图形．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）把图形A绕O点顺时针旋转90°，找出旋转中心O，把正方形顺时针旋转90°；再把旋转后的正方形再向左平移6格，再依次连接起来即可得出图形；
（2）根据图形放大或缩小的意义，把平行四边形①的各边分别放大到原来的2倍，对应角的度数不变，即可画出放大后的图形．
19．（2024·大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝，
∴S△CDF＝DF CH＝×2×＝，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝DF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行，对角相等得AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠AEB＝∠BCF，由同位角相等，两直线平行，得AE∥CF，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形AECF是平行四边形；
（2）过点C作CH⊥AD于点H，由平行四边形邻角互补及角平分线的定义推出∠ADC＝∠DCF＝60°，由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△CDF是等边三角形，由等边三角形的性质得CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，在Rt△CHD中，由勾股定理算出CH的长，由三角形的面积计算方法算出△CDF的面积；由平行于三角形一边得直线，截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DGF∽△EGC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出，最后根据同高三角形的面积之比就等于底之比可求出△GDF的面积.
20．（2024·青海） 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
【答案】（1）解：点是抛物线上的一点
把点代入中
得：
拋物线的解析式为
（2）解：方法一：由（1）得：
抛物线最高点的坐标为
方法二：
抛物线最高点的坐标为；
（3）解：过点A、B分别作轴的垂线，垂足分别是点E、D
在和中
又点是OA的三等分点
∴，BD=AE
∴，BD=
点的横坐标为1
将代入中
点的坐标为
答：这棵树的高度是2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=-x2+bx，即可求得b的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）由（1）知拋物线的解析式为，把它转化为顶点式，即可求得抛物线最高点的坐标； 或者根据抛物线顶点坐标公式，求得顶点坐标，即可得出答案；
（3）首先证明，然后根据相似三角形的性质，可得出OD=1，BD=，即点C的横坐标为1，然后根据点C在抛物线上，即可得出点C的纵坐标为，再用点C的纵坐标减去BD的长度即可得出这颗树的高度.
21．（2024·谷城模拟）
（1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明；
（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：
（3）【拓展应用】如图3，是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长至点，使，连接，
∵为三角形的中线，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴三点共线，
同法（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，易证，再由相似三角形的性质即可得出结论；
（2）与（1）类似，利用平行四边形的性质、相似三角形的性质证明；
（3）延长至点，使，连接，构造平行四边形ABHC，由（2）结论得，进而得出，后由，即可得出结果.
22．（2024九下·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务
如何调整足球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽DE=CF=7m，高CD=EF=2.5m，小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD(即AC⊥CF)，AC=24m，足球运动的路线是抛物线的一部分.
素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为4.5m，即，此时水平距离，以点为原点，直线BA为轴，建立平面直角坐标系.
素材3 距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF，拦网高HN=4m.
问题解决
任务1 结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式.
任务2 结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变此时足球能否进入球门 若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门
任务3 结合以上素材，小梅站在A处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点E处进入球门
上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门
【答案】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
足球运动轨迹抛物线的函数表达式为
任务二：当时，即时，
，
足球不能进入球门，
小梅带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：
把点代入得：，
解得(舍去)或
向正后方移动1米射门
任务三：
如图构造三角形，
由题意可知：
当时，，
能过拦网.
当时，
能在处入网
【知识点】相似三角形的应用；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据题意，确定抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，再把代入，即可求出抛物线解析式.
任务二：根据题意，确定C点横坐标为24，代入抛物线解析式求得C点纵坐标，与CD比较，若小于CD长则可以进入球门，否则不能进入球门，利用函数图象的平移规律，设出移动后的抛物线解析式，再把点代入，求出平移距离即可.
任务三，根据题意，构建数学模型，运用相似三角形性质，求出拦网处的横坐标，再由纵坐标判断是否可以过网，由于AF=25，故验证x=25时，纵坐标与2.5的大小，判断能否在点E处进入球门.
23．（2024·重庆） 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）解：∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴y1＝x（0＜x≤6）；
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP，
∴y2＝（0＜x≤6）；
（2）解：平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小；
（3）解：由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：（3）∵y1＝x，y2＝，
∴，
∴，
∴函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【分析】（1）根据线段平行可推出△APQ∽△ABC，证明，即可求出y1 关于x的函数表达式；用同样的方法证明△APQ∽△ABC，利用相似的性质周长比等于线段比即可求出y2 关于x的函数表达式；
（2）利用描点法克画出y1，y2的图象，观察图像即可写出关于他们的函数图象性质；
（3）先求出两个函数图象的交点的横坐标即可求出y1＞y2时x的取值范围 .
24．（2021九上·揭阳期末）如图，四边形中，平分，，E为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）证明：平分，
，
在和中，，
，
，
；
（2）证明：，为的中点，
，
，
由（1）已得：，
，
；
（3）解：，E为的中点，
，
由（2）已证：，
，
，
，即，
．
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平分，，证得，再由相似三角形的对应边成比例，即可得出结论；
（2）为的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，继而证得，从而得出结论；
（3）易证得出，再由相似三角形的对应边成比例，即可求得结果。
1 / 1浙教版数学九上第4章 相似三角形 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（比例线段++++++++++++++）下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b= ，c= ，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b= ，c= ，d=2
2．（2024九下·丰泽月考）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023九上·杭州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017九上·萍乡期末）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
6．（2021九上·凌海期中）下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
7．（2021九上·衢州期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm.
A． 1 B．2 2 C．5 5 D．10 10
8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
9．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
10．（2024·温州模拟）如图，在中，AG平分分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记或的面积分别为，若，的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2022·滨城模拟）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为 ．
12．（2021九上·西湖期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 .
13．（2024九上·上海市期中）如图，中，G是重心，，，那么
14．（2024九上·上海市期中）已知中，，，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为 ．（用含有m的代数式表示）
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
16．（2024九上·闵行开学考）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．
图1 图2
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题10分，第21题10分，第22题6分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024九上·上海市期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值．
18．（2024八上·益阳开学考）
（1）画出图形A先绕点O顺时针方向旋转，再向左平移6格后得到的图形．
（2）画出平行四边形①按放大后得到的图形．
19．（2024·大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
20．（2024·青海） 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线最高点的坐标；
（3）斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．
21．（2024·谷城模拟）
（1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明；
（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：
（3）【拓展应用】如图3，是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值．
22．（2024九下·温州模拟）根据以下素材，探索完成任务
如何调整足球的发球方向
素材1 如图是某足球场的一部分，球门宽DE=CF=7m，高CD=EF=2.5m，小梅站在A处向门柱CD一侧发球，点A正对门柱CD(即AC⊥CF)，AC=24m，足球运动的路线是抛物线的一部分.
素材2 如图，当足球运动到最高点时，高度为4.5m，即，此时水平距离，以点为原点，直线BA为轴，建立平面直角坐标系.
素材3 距离球门正前方6m处放置一块矩形拦网HGMN，拦网面垂直于地面，且GH∥CF，拦网高HN=4m.
问题解决
任务1 结合素材1，2，求足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式.
任务2 结合素材1，2，小梅不改变发球的方向，射门路线的形状和最大高度保持不变此时足球能否进入球门 若不能进入，他应该带球向正后方至少移动多少米射门才能让足球进入球门
任务3 结合以上素材，小梅站在A处，只改变发球方向，射门路线的形状和最大高度保持不变，请探求此时足球能否越过拦网，在点E处进入球门
上述任务1、任务2、任务3中球落在门柱边线视同足球进入球门
23．（2024·重庆） 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
24．（2021九上·揭阳期末）如图，四边形中，平分，，E为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ ，故选项A中的线段成比例；
∵ ，故选项B中的线段成比例；
∵ ，故选项C中的线段不成比例；
∵ ，故选项D中的线段成比例；
故选C．
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
2．【答案】A
【知识点】解分式方程；相似多边形
【解析】【解答】解：由题意可知，两个矩形相似，可以得到
或，
解得或，
∵两个矩形不全等，
∴（舍去），
∴x=3，
故答案为：A．
【分析】根据相似多边形性质构建方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】过点H作HM⊥AB，垂足为M，过点F作FN⊥AD，垂足为N，设HM、FE交于点O，则NF=AB，MH=BC，由对顶角的性质可得∠HOE=∠FOM，根据等角的余角相等可得∠GHM=∠EFN，证明△MHG∽△NFE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB= = ，BC=2，AC= = ，
∴AC：BC：AB=1： ： ，
A、三边之比为1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选B．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
5．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；
②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；
③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；
④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。
7．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由黄金分割可得：
∴
整理得：
解得： ， (舍去)
故答案为：C.
【分析】由黄金分割的特点可得，代入数据求解即可.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【分析】A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误。
B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°。∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误。
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确。
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，
∴，即BC2=CD AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C。∴BC=BD，
∵AD=BD，∴AD=BC，
∴AD2=CD AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误。
故选C.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴ ＝ ＝ ，
同理可证： ＝ ＝ ，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为 正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为 ＝48cm2，
故选B
【分析】先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 ．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝ BD，△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和
10．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∠DAF=∠AGB，
AG平分 ，
∠DAF=∠BAG，
∠AGB=∠BAG，
BA=BG，
，
设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，
CD=BC-BG=x，
AB∥CD，
，
，
即，
AD∥BC，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，则∠DAF=∠AGB，再根据角平分线的定义得∠DAF=∠BAG，则BA=BG，进而可得BG=AB，设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，CD=BC-BG=x，证，根据相似三角形的性质得出，再证，根据相似三角形的性质得出再由，得出进而可得，据此即可得到答案.
11．【答案】（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故答案为：（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n）．
【分析】根据位似图形的性质求解即可。
12．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得 .
故答案为：3.
【分析】依题意可知：两高脚杯中的液体部分两三角形相似，然后根据对应边成比例可得AB.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于E，
∵G是的重心，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接并延长交于E，先利用三角形重心的性质可得，求出，再证出，最后利用相似三角形的性质可得.
14．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
平分交于，
，
，
，
，，
，
设，
则，
，
，
整理得：，
解得：，
同理可得，
设，
，
，
，
解得：，
故答案为：
【分析】设，先证出，可得，再将数据代入可得，求出，再证出，可得，再将数据代入可得，最后求出即可.
15．【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），
设直线QR的解析式为：y=kx+3m，代入点（3n，0），
可得：3kn+3m=0，
解得：.
∴.
过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，如图：
∴△TAU∽△QOR，
∴.
∴TA=m，AU=n.
∵△ORS是等边三角形，
∴∠SOR=60°.
设点T的坐标为，则点U的坐标为.
∵点T在直线的图象上，
∴，即.
∵点T和U都在反比例函数的图象上，
∴.
∴，即
①－②得：m(x－n)=0.
∵m≠0，
∴x＝n.
易证△QBT∽△QOR，
∴，
故QB=m，OB=2m.
∴点T的坐标为（n，2m），
∴.
等边三角形SOR中，OR=3n，
∴
∵△OQT的面积为，即，
∴.
∴，
.
故答案为：；.
【分析】设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），可得直线QR的解析式为；过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，证明△TAU∽△QOR，可得TA=m，AU=n.利用等边三角形的性质可设点T的坐标为，则点U的坐标为.把点T的坐标代入得：；把点T和U的坐标代入，可得；两式相减可求得x＝n；再根据△QBT∽△QOR，可得QB=m，T(2m，n). 表示出△OQT的面积，可得.于是可求得k的值，求出SD的长，即可得的面积.
16．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵是调和点列，且，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据题意得出，即，代入求出BD=1，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，故，即可求解.
17．【答案】解：设，
∵等边的边长为8，
∴，
∵E为中点，
∴，
①和是对应边时，，
∴，
即，
整理得，，
解得，，
即的长为2或6，
②和是对应边时，，
∴，
即，
解得，
即，
综上所述，的值是2或6或．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】分类讨论：①和是对应边时，；②和是对应边时，，再分别利用相似三角形的性质列出算式和方程求解即可.
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）把图形A绕O点顺时针旋转90°，找出旋转中心O，把正方形顺时针旋转90°；再把旋转后的正方形再向左平移6格，再依次连接起来即可得出图形；
（2）根据图形放大或缩小的意义，把平行四边形①的各边分别放大到原来的2倍，对应角的度数不变，即可画出放大后的图形．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF＝∠BCD＝×120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH＝＝＝，
∴S△CDF＝DF CH＝×2×＝，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AF＝DF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行，对角相等得AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠AEB＝∠BCF，由同位角相等，两直线平行，得AE∥CF，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形AECF是平行四边形；
（2）过点C作CH⊥AD于点H，由平行四边形邻角互补及角平分线的定义推出∠ADC＝∠DCF＝60°，由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△CDF是等边三角形，由等边三角形的性质得CD＝DF＝2，DH＝DF＝1，在Rt△CHD中，由勾股定理算出CH的长，由三角形的面积计算方法算出△CDF的面积；由平行于三角形一边得直线，截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△DGF∽△EGC，进而根据相似三角形对应边成比例可求出，最后根据同高三角形的面积之比就等于底之比可求出△GDF的面积.
20．【答案】（1）解：点是抛物线上的一点
把点代入中
得：
拋物线的解析式为
（2）解：方法一：由（1）得：
抛物线最高点的坐标为
方法二：
抛物线最高点的坐标为；
（3）解：过点A、B分别作轴的垂线，垂足分别是点E、D
在和中
又点是OA的三等分点
∴，BD=AE
∴，BD=
点的横坐标为1
将代入中
点的坐标为
答：这棵树的高度是2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=-x2+bx，即可求得b的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）由（1）知拋物线的解析式为，把它转化为顶点式，即可求得抛物线最高点的坐标； 或者根据抛物线顶点坐标公式，求得顶点坐标，即可得出答案；
（3）首先证明，然后根据相似三角形的性质，可得出OD=1，BD=，即点C的横坐标为1，然后根据点C在抛物线上，即可得出点C的纵坐标为，再用点C的纵坐标减去BD的长度即可得出这颗树的高度.
21．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长至点，使，连接，
∵为三角形的中线，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴三点共线，
同法（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，易证，再由相似三角形的性质即可得出结论；
（2）与（1）类似，利用平行四边形的性质、相似三角形的性质证明；
（3）延长至点，使，连接，构造平行四边形ABHC，由（2）结论得，进而得出，后由，即可得出结果.
22．【答案】解：任务一：由题意得抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
抛物线经过点，
，
解得，
足球运动轨迹抛物线的函数表达式为
任务二：当时，即时，
，
足球不能进入球门，
小梅带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：
把点代入得：，
解得(舍去)或
向正后方移动1米射门
任务三：
如图构造三角形，
由题意可知：
当时，，
能过拦网.
当时，
能在处入网
【知识点】相似三角形的应用；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据题意，确定抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，再把代入，即可求出抛物线解析式.
任务二：根据题意，确定C点横坐标为24，代入抛物线解析式求得C点纵坐标，与CD比较，若小于CD长则可以进入球门，否则不能进入球门，利用函数图象的平移规律，设出移动后的抛物线解析式，再把点代入，求出平移距离即可.
任务三，根据题意，构建数学模型，运用相似三角形性质，求出拦网处的横坐标，再由纵坐标判断是否可以过网，由于AF=25，故验证x=25时，纵坐标与2.5的大小，判断能否在点E处进入球门.
23．【答案】（1）解：∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴y1＝x（0＜x≤6）；
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP，
∴y2＝（0＜x≤6）；
（2）解：平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小；
（3）解：由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：（3）∵y1＝x，y2＝，
∴，
∴，
∴函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【分析】（1）根据线段平行可推出△APQ∽△ABC，证明，即可求出y1 关于x的函数表达式；用同样的方法证明△APQ∽△ABC，利用相似的性质周长比等于线段比即可求出y2 关于x的函数表达式；
（2）利用描点法克画出y1，y2的图象，观察图像即可写出关于他们的函数图象性质；
（3）先求出两个函数图象的交点的横坐标即可求出y1＞y2时x的取值范围 .
24．【答案】（1）证明：平分，
，
在和中，，
，
，
；
（2）证明：，为的中点，
，
，
由（1）已得：，
，
；
（3）解：，E为的中点，
，
由（2）已证：，
，
，
，即，
．
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平分，，证得，再由相似三角形的对应边成比例，即可得出结论；
（2）为的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，继而证得，从而得出结论；
（3）易证得出，再由相似三角形的对应边成比例，即可求得结果。
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