浙教版数学九上第4章 相似三角形 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·江岸期末）1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，如图所示：
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
将点A（2，4），B（6，0）代入y=mx+n，得：，解得
∴直线AB的解析式为：y=-x+6，
∴直线OD的解析式为：y=x，
∵点A（2，4），
∴点M的横坐标为2，
对于y=x，当x=2时，y=2，
∴点M（2，2），
∵点O（0，0），A（2，4），B（6，0），点F，E分别为AB，OB的中点，
∴点F（4，2），点E（3，0），
设直线OF的解析式为：y=cx，
将点F（4，2）代入y=cx，得：4c=2，解得：c=，∴直线OF的解析式为： y=x，
设直线AE的解析式为：y=px+q，
将点A（2，4），点E（3，0）代入y=px+q， 得，解得，
∴直线AE的解析式为：y=-4x+12，
解方程组，得∴点N的坐标为 （，），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
将点M（2，2），N（，） 代入y=kx+b，得，解得，
∴直线MN的解析式为：y=-x+4，
即△OAB的欧拉线的解析式为：y=-x+4．
故答案为：C．
【分析】作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，先求出直线AB的解析式为：y=-x+6，进而得直线OD的解析式为y=x，由此可求出点M（2，2），再分别求出点F（4，2），点E（3，0），进而再求出直线OF的解析式为y=x，直线AE的解析式为：y=-4x+12，由此可得点N（，），由此即可求出即△OAB的欧拉线的解析式。
2．（2024·赤峰）如图，中，，.将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点.若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④.其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°-2∠C=36°
由旋转的性质得：∠AB'C'=∠ABC=36°，∠B'AC'=∠BAC=∠AC'B'=∠C=∠ADC=72°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C=72°，
∴∠C'AC=36°，
∴∠C'AC=∠BAC'=36°，
∴∠B'AB=72°-36°=36°，
由旋转得AB=AB'，
∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-36°）=72°，
① 点B在旋转过程中经过的路径长是，故正确；
②∠B'AB=∠ABC=36°，
∴，故②正确；
③∵∠DC'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=36°，
∴∠DC'B=∠ABC，
∴； 故③正确；
④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠DBB'=∠BAC=72°，
∴△BB'D∽△ABC
∴.故④正确.
综上可知： ①②③④ 都正确.
故答案为：A.
【分析】先求出点B旋转的角度，再利用弧长公式求解，即可判断①；易求∠B'AB=∠ABC=36°，可得，据此判断②；利用角度可得∠DC'B=∠ABC=36°，可得，据此判断③，利用“AA”证△BB'D∽△ABC，可得，据此判断④.
3．（2024·广西） 如图， 边长为 5 的正方形 分别为各边中点. 连接 ， 交点分别为 ， 那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD边长为5，
∴AB=BC=BD=AD=5.∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，AD//BC.
∵G，F分别为CD，CB边中点，
∴，
∴△ADG≌△DCF（SAS）.
∴∠AGD=∠DFC.
∵∠DQA=∠AGD+∠CDF=∠DFC+∠CDF=90°=∠MQP.
同理可证：∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形MNPQ是矩形.
又∵∠DQA=∠QPN=90°，
∴AG//CE.
∴△DQG∽△DPC，
∴.
∴QP=DQ.
∵CD=5，，
∴.
∵∠PDC=∠CDF，∠DPC=∠DCF=90°，
∴△DPC∽△DCF，
∴.
∴.
∴
同理可证：.
所以四边形MNPQ的面积为
∴答案为：C.
.
【分析】通过正方形的性质和中点定义可证得△ADG≌△DCF，于是有∠AGD=∠DFC，再利用直角三角形性质可得∠DQA=90°=∠MQP. 同理可得∠QPN=∠PNM=90°，即可证明四边形MNPQ是矩形. 证明△DQG∽△DPC，可得DQ=PQ；证明△DPC∽△DCF，勾股定理求出DF长，即可求得DP和QP的长；同理可得QM的长，根据矩形的面积公式即可得到四边形 的面积.
4．（2024八下·海曙期末）如图， 中 ，分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点，连结 ，若要知道 的值，只需知道下列哪个值（ ）
A． 的面积 B． 的面积
C．线段 的长 D．线段 的长
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连，，
∵ 和都为等边三角形， M、N 分别是， 的中点，
∴，，， ，
∴，，
在和中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴若要知道的值，只需知道线段的值就可以了，
故答案为：D．
【分析】如图，连AM，AN，利用等边三角形的三线合一可得∠BAM=30°，∠CAN=30°，AM⊥BE及AN⊥CD，由含30°角直角三角形性质得，，进而在Rt△ABM与Rt△ACN中，分别利用勾股定理表示出AN\M、AN，从而可得，然后推出∠MAN=∠BAD，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证出△AMN∽△ABD，进而利用相似三角形的对应边成比例即可得解，
5．（2024·杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论正确的是（ ）
A．OA2＝OE OP B．OQ2＝OA OF
C．若BP＝1，则OE＝2 D．若BP＝1，则
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°，BC=AB=AD，
又BP=CQ，
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴∠ADP=∠BAQ，∠P=∠Q，
又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，
∴∠DAQ+∠ADP=90°，
即∠AOD=90°，
∴AQ⊥DP，
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2=OD OP，
在△ABE中 ，AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE·OP，A不符合题意；
∵AQ⊥DP，
∴∠DAO+∠ADO=∠ADO+∠FDO=90°，
∴∠DAO=∠FDO，
∴△DAO∽△FDO，
∴，
∴OD2=OA·OF，B不符合题意；
∵BP=1，BC=AB=AD=3，
∴AP=4，
在Rt△ADP中，，
∵∠EBP=∠DAB=90°，∠P=∠P，
∴△PBE∽△PAD，
∴，
∴，
∴，
∵∠DAP=∠QOE=90°，∠P=∠Q，
∴△QOE∽△PAD，
∴，
∴，，C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°，BC=AB=AD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠ADP=∠BAQ，∠P=∠Q，推得AQ⊥DP，根据等角的余角相等可得∠DAO=∠P，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得AO2=OD·OP，即可判断A选项、根据根据等角的余角相等可得∠DAO=∠FDO，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得OD2=OA·OF，即可判断B选项、根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得DP=5，根据根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求出，，根据根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求出，，即可判断C和D选项.
6．（2024八下·莱芜期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．有下列结论：
①已知是比例三角形，，，那么；
②在中，点在上，且，，那么是比例三角形；
③如图，在四边形中，已知，BD平分，，，那么是比例三角形；
④已知直线与轴、轴交于点，点，那么是比例三角形．
其中，正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①根据比例三角形的定义，则有三种情况AB2=BC AC，BC2=AB AC，AC2=BC AB，
故AC有三种结果，
故①错误；
②∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACD，
∴，
∴AD BC=AB BD，
∵AD=BC，
∴BC2=AB BD，
∴△ABC是比例三角形，
故②正确；
③∵AD∥BC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，∠CAD=∠ACB，∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
又∵AB⊥AC，AD⊥CD，
即∠BAC=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△DCA，
∴，
∴AC2=BC AD，
∴AC2=BC AB，
∴△ABC是比例三角形，
故③正确；
④直线
与x轴、y轴交于点A、B，
当x=0时，，当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），B（0，），在Rt△ABO中，，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3+3=6，
AC2=6×6=36，
AB BC=6×6=36，
∴AC2=AB BC，
∴△ABC是比例三角形，
故④正确，
∴正确的个数是3个，
故选：B．
【分析】①根据比例三角形的定义，则三种情况AB2=BC AC，BC2=AB AC，AC2=BC AB，进而判断；
②先证明△ABD∽△ACD，得出，根据AD=BC，变形即可判断；
③AD∥BC，BD平分∠ABC，推出对应角相等，进而推出AB=AD，△ABC∽△DCA，对应线段成比例，变形进而判断；
④分别求出点A、B，C的坐标进而推出△ABC是等边三角形，进而判断即可．
7．（2024·浙江模拟）【情境】如图是某数学项目学习小组设计的“鱼跃龙门”徽章图案，已知A，B，C，D，E是圆的5个等分点，连结BD，CE交于点.设鱼头部分的四边形ABFE的面积为，鱼尾部分的的面积为.
【问知】设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE，BC，DE，
∵ A，B，C，D，E是圆的5个等分点，
∴AB=BC=CD=DE=AE，
∴五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
又∵，
∴∠DBE=∠DEC=∠BEC=∠ABE=∠AEB=∠DCE=36°，
∴AB∥CE，AE∥BD，BE∥CD，
∴四边形ABFE是菱形，
∴，
又∵∠BED=∠BEC+∠CED=72°，∠BDE=180°-∠DBE-∠BED=72°，
∴DE=EF=BF，
设DF=a，BF=b，则DE=BF=b，BD=BF+DF=a+b，
又∵∠EDF=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
∴，即，解得，
又∵a，b均为正数，
∴，
同理，△BEF∽△DFC，
∴，
又∵，
∴n=，
故答案为：B.
【分析】根据题意五等分点即可证得正五边形，即利用正多边形内角和推导各个特殊角，利用特殊角先证明目标四边形ABFE的形状，进而利用特殊四边形的性质规划后续算法，其次利用36°的特殊角得出相似，导出已知的正多边形各定比例的线段比值，最后利用特殊四边形转化为特殊三角形的相似边比的关系得出结果.
8．（2024八下·镇海区期中）如图，四边形与四边形都是正方形，与交于M点，延长交于N点，再连结，若A、B、E共线，A、D、G共线，M为中点，，则的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵M为CE的中点
∴EM=CM
又 ∵∠AME=∠DMC，∠EAM=∠CDM
∴△AEM≌△DCM(AAS)
∴AM=DM，AE=CD
∵AB=CD
∴ AB=AE
又 ∵AM||BC
∴△AEM~△BEC，
∴
∵
∴
∵ABCD和CEFG为正方形
CD=CB，CE=CG，∠BCD=∠MCG
∴∠BCD-∠MCD=∠MCG-∠MCG即∠BCE=∠DCG
∴△CBE≌△CDG(SAS)
∴，而，故；
，得
而
故
故CNG的面积为12.
【分析】由CE的中点M可得△AEM≌△DCM得A为BE的中点，由比例可得BCE的面积，由△CBE≌△CDG可得△CDG，△MCG的面积，通过与正方形面积关系得△CGN的面积，即可得△DNG的面积.
9．（2024·顺城模拟）如图，在中，，，，点E是边上一动点，过点E作交于点F，D为线段的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线．若射线经过点D，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；尺规作图的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设，
，
，
由尺规作图得平分，
，
，
，
，
，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即的长为．
故答案为：C．
【分析】设，利用勾股定理求得，则，由尺规作图得平分，然后根据平行线的性质结合角平分线的定义，证明，得到，然后根据相似三角形的判定证明，利用相似三角形的性质得，即，解方程可得到的长．
10．（2024·巴中模拟） 如图，点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】作轴，垂足为C，作轴，垂足为D，如图，
，
点A，B分别在反比例函数，的图象上，
设OA=x，则OB=2x，
在Rt AOB中，由勾股定理可得，
故答案为：D.
【分析】作轴，垂足为C，作轴，先证明利用相似三角形的性质得到再由三角形的面积求得设OA=x，则OB=2x，利用勾股定理求得AB的值，再根据三角函数的定义即可求解.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024·无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝ ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ．
【答案】2；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AQ=x，PQ=y，
∴当x=y时，AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA，
∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CM∥PQ，
∴∠CDA=∠QPA，
∴∠CDA=∠QAP，
∴CD=AC，
∵AC=2，
∴CD=2；
设ED=a，
∵AP=2ED，
∴AP=2a，
∵CM∥PQ，
∴，
∴，即，
∴，
又∵CM∥AB，
∴∠CDE=∠EAB，
∵∠CED=∠AEB，
∴，
∴，
∵AB=3，DE=a，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；.
【分析】根据题意，得AQ=PQ，从而根据”等边对等角“得∠QAP=∠QPA，利用平行线的传递性得CM∥PQ，从而有∠CDA=∠QPA，进而证出∠CDA=∠QAP，根据”等角对等边“得CD=AC=2；
设ED=a，得AP=2a，由”CM∥PQ“证得，根据相似三角形对应边成比例的性质得，从而求出，由”8字相似模型“易证，从而根据相似三角形的性质得，有，进而求出，最后计算即可求解.
12．（2024·从江模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，是CD边上一点，连接BE，在BE上取一点，使，过点作交CD于点，若，时，则 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在BC上取点K， 使BK =CE， 连接AK交BE于H， 如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= BC， ∠ABK =∠BCE=90°，
∵BK=CE，
∴△ABK≌△BCE(SAS)，
∴∠BAK =∠CBE， BK=CE，AK=BE，
∵∠BAF=2∠CBE，
∴∠BAF=2∠BAK，
∴∠BAH=∠FAH，
∵∠BAK+∠AKB=90°，
∴∠CBE+∠AKB=90°，
∴∠AHB=90°=∠AHF，
∵AH =AH，
∴△ABH≌△AFH(ASA)，
∴BH =FH，
∵∠ABH=∠CEF，
∠AHB=∠GFE=90°，
∴△GEF∽△ABH，
∴BH=3EF，
设 则BH=3x=FH，
∴BE =7x= AK，
设 则
解得
故答案为：.
【分析】在BC上取点K， 使BK=CE， 连接AK交BE于H，根据SAS证明△ABK≌△BCE，可得∠BAK=∠CBE， BK=CE， AK=BE， 又∠BAF=2∠CBE， 可知∠BAH=∠FAH， 从而根据ASA证△ABH≌△AFH，可得BH= FH，由△GEF∽△ABH， 得 设， 则BH=3x=FH，BE=7x= AK， 可得 根据2S△ABK = AB·BK = AK·BH， 得 可解得
13．（2024·绥化） 如图， 已知点 ， 在平行四边形 中， 它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ， 且 ， 则 .
【答案】-15
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵
∴AO=7，BE=10，OF=-14
在平行四边形 中，BC=AO=7
∴x=-24，即EB=24
∵DG∥BE
∴
∵
∴OG=6，DG=2.5
∴D点的坐标为（-6，2.5）
∵点D在 反比例函数 的图象 上
∴k=-2.5×6=-15
故答案为-15.
【分析】
通过作垂线构造出A型相似，利用相似三角形对应边成比例，得出点D的坐标，再根据待定系数法求出k值.
14．（2024·湖北）△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若AD＝DF＝2，则∠DBF＝ ，FG＝ ．
【答案】30°；
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，，
∴，，
又∵∠DEF=∠DBF+∠EFB，
∴
∴，，
过点C作交的延长线于点，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
【分析】先根据等边三角形的判定与性质得到，，进而得到，，，过点C作交的延长线于点，根据含30°角的直角三角形的性质得到HC，进而根据勾股定理即可求出FH，再根据平行线的判定证明，从而根据相似三角形的判定与性质证明即可求出FG，从而即可求解。
15．（2024九下·光明模拟）如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，于，
∵∠DCE=90°
∴四边形是矩形，
平分，
，
矩形是正方形，
设，则，
，
，
，即，
解得：，
，
在Rt△DFN中，，
故答案为：．
【分析】本题先证明四边形是矩形，再根据角平分线性质定理，得出，从而矩形是正方形，设，根据预备定理证明：，根据对应边成比例，列出比例式，求出FN，DN的值，再根据勾股定理，求出DF即可.
16．（2024·成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接.若，，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接EC，过点E作EF⊥CD于点F，
设BD=x，则BC=BD+CD=x+2，
∵CE=ED，EF⊥CD，
∴CF=DF=CD=1，
∴BF=BD+FD=x+1，
∵△ACD中，∠ACD=90°，点E是AD的中点，
∴AE=CE=ED，
∴∠EAC=∠ACE，∠ECD=∠EDC，
∴∠CED=2∠CAD，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BEC=∠EDC，
又∵∠ECD=∠BCE，
∴△BEC∽△EDC，
∴，∠CED=∠CBE，
∴CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4；
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠CAE，
∴∠CAB=∠CED=∠CBE，
∵∠ACB=∠BFE=90°，
∴△ABC∽△BEF，
∴，
在△ACD中点E是AD的中点，点F是CD的中点，
∴AC=2EF，
∴
∴2EF2=(x+1)(x+2)
∵在Rt△CEF中，EF2=CE2-CF2， ∴ (x+1)(x+2)2=2x-4-12
解得，（不符合题意，舍去）
.
故答案为：.
【分析】 连接EC，过点E作EF⊥CD于点F，设BD=x，则BC=BD+CD=x+2，由等腰三角形的三线合一得CF=DF= CD=1，则BF=x+1；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE=CE=ED，由等边对等角推出∠BEC=∠EDC，结合公共角∠ECD=∠BCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BEC∽△EDC，由相似三角形对应边成比例得CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4；由相似三角形对应角相等得∠CED=∠CBE，由角平分线定义、三角形外角性质及等量代换得∠CAB=∠CED=∠CBE，结合∠ACB=∠BFE=90°，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△BEF，由相似三角形对应边成比例得， 由三角形中位线定理得AC=2EF，则可得2EF2=(x+1)(x+2)，进而在Rt△CEF中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
三、解答题（本题共8小题，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题9分，第21题6分，第22题9分，第23题6分，第24题9分，共66分）
17．（2024八下·海曙期末）如图1，点是正方形内一点，，
（1）填表∶
的度数
的度数
（2）若，求的值；
（3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长．
【答案】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
当时，
∴，，，
∴；
当时，
∴，，，
∴；
填表如下：
的度数
的度数
（2）解：如图所示，过点B作的垂线交延长线于点E，
由（1）得．
∵，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，，
∴；
（3）解：连接，
由（1）得．
∴，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得CB=CD，∠BCD=90°，结合已知推出CP=CD，从而利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可；
（2）过B作AP的垂线交AP延长线于E，构造等腰直角△BPE，由同角的余角相等得∠BAE=∠ADP，通过AAS证明ADP≌△BAE，由全等三角形的对应边相等得PD=AE=AP+PE=2y，即可求的值；
（3）连接DB、DM，由等腰三角形的三线合一证得CM是线段PD的垂直平分线，推出△MPD是等腰直角三角形，再由两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似判断出△PDB∽△MDA，由相似三角形对应边成比例得到，据此求解即可．
18．（2024九下·武昌月考）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）请在BC上方找到点A，使△ABC是一个以BC为斜边的等腰直角三角形
（2）请在线段BC上找一点D使BD=2CD
（3）已知E，F分别为AB，AC上两动点，且AE=AF，为探究E点在何处时DE+DF最小，请你完成如下步骤：①将点D绕A点逆时针旋转90°得D'，并连接DD'交AC于F；②再在AB上找到点E使AE=AF即可确定E点位置
【答案】（1）解：如图，由正方形格点，即∠GBC=∠BCH=45°，延长BG交CH于点A即可；
（2）解：如图，取CN=1，BM=2CN=2，
∵BM∥CN，
∴∠DBM=∠DCN，∠BMD=∠DNC，
∴△BDM∽△CDN，
∴，即BD=2CD，
（3）解：如图
同理，将线段BC逆时针旋转90°得B'C，由（2）同理，
△B'D'P∽△CD'Q，
∴CD'=2B'D，
∴△ACD≌△AB'D，故可将D'视作点D绕点A逆时针旋转90°所得，完成步骤①；
取BC中点I，
∴AI是△ABC的一条对称轴，连接BF交AI于一点，连接该点与点C交AB于点E，
易证AE=AF，完成第②步；
【知识点】轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用格点的45度角连线并延长交于点A即可；
（2）取格点利用平行相似构造以BD和CD为边的2：1相似三角形即可；
（3）第一步：作等腰直角△AB'C，同理构造△B'D'P∽△CD'Q得D'点，连接DD'得点F；
第二步：利用平行四边形的性质取BC中点得△ABC对称轴AI，利用轴对称性质交叉连线得E点.
19．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长．
【答案】（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．（答案不唯一）
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，得出，从而根据 邻余四边形定义，即可得出结论；
（2）利用方格纸的特点、正方形的性质及根据邻余四边形的定义画出符合条件的四边形即可，答案不唯一；
（3）利用等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=BD，由直角三角形斜边中线的性质得出DM=EM=FM，由等边对等角得∠BDQ=∠CEN，∠B=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△DBQ∽△ECN，再由相似三角形的对应边成比例，列出比例式解出CN长，即可解答．
（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
20．（2024九下·双流月考）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）是轴上一点，且，求点的坐标；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，
反比例函数，
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，即，
将、两点代入一次函数中，
得，，
解得：，，
一次函数；
（2）解：
设，即，
对于一次函数，令，则，即，
，，，
，
解得：，
或；
（3）存在，点的坐标为，，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设，过作轴，交轴于点，，
，
，即，
，
，
，
，即，
对于一次函数，令，则，即，
，
解得：，
，
设，过作轴，交轴于点，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
解得：，
，
设，过作轴，交轴于点，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
解得：，
，
，
设，过作轴，交轴于点，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
解得：，
，
综上，点的坐标为，，或．
【分析】根据点A的坐标可得出反比例函数表达式，进一步可求得点B的坐标，再根据点A和点B的坐标求得一次函数的表达式即可；
设，即，对于一次函数，令，求得点坐标，根据可得，解得的值，即得点的坐标；
分四种情况讨论：①点N在x轴上，且∠ABN=90°时，设，过作轴，交轴于点，根据，然后根据相似三角形的性质，即可求得b=9，即可得出点N（9，0）；②点N在y轴上，且∠ABN=90°时，设，过作轴，交轴于点，根据，然后根据相似三角形的性质，即可求得c=，即可得出点N（0，）；③点N在x轴上，且∠BAN=90°时，设，过作轴，交轴于点，通过证明，然后根据相似三角形的性质，即可求得d=-6，即可得出点N（-6，0）；④N在y轴上，且∠BAN=90°时，设，过作轴，交轴于点，通过证明，然后根据相似三角形的性质，即可求得e=-3，即可得出点N（0，-3）；综上即可得出存在符合条件的点N，点N的坐标为：，，或．
21．（2024九上·瑞安开学考）问题情景：如图直角中，，，，求的长？
解题思路：把的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长至，使得，过作，交于点，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得
方法二：作的中垂线交于点，连接，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设，，，，得，，则．
其他方法……
迁移应用解决新问题：如图直角中，，，，求的长，写出你的解答过程．
【答案】解： （方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，如图：
∵=15°，∠C=90°，DM⊥AB于点M，
∴CD=MD
∵=15°，
∴∠CAB=30°.
∴∠B=180°－∠C－∠CAB=60°.
∴∠BDM=90°－∠B=30°，
∴DB=2MB，，.
设MB=x，则，，
∴
解得：，
∴.
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，如图：
∵EF是边AD的垂直平分线，交AC于点E，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠CED=2∠A=30°.
∵∠C=90°，
∴AE=DE=2CD，
设CD=x，则，，
∵AC=1，
∴，
解得：
即.
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，如图：
∴AM=MC，
∴∠A=∠ACM=15°，
∴∠CMP=2∠A=30°，
设CP=x，
∴MC=2CP=2x，，
∴.
∵∠A=∠A，∠ACD=∠APC=90°，
∴△ACD∽△APC，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，根据角平分线的性质得CD=MD，证明∠CAB=30°，设MB=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出BD，CD，以及，代入数据得到关于x的方程，求解即可；
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，根据线段垂直平分线的性质得AE=DE，求带∠CED=30°，设CD=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出CE，AE，根据AE+CE=1得关于x的方程，求解即可；
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，求得∠CMP=30°，设CP=x，表示出MC和MP，从而可得AP；证明△ACD∽△APC，利用相似三角形的性质即可求得CD的长.
22．（2023·黄冈）【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
（3）【拓展应用】
当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】（1）
（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，
当m=1时，DC=CE，CB=CA，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC=∠CBE.
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE.
【分析】（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，当m=1时，DC=CE，CB=CA，利用SAS证明△ACD≌△BCE，得到∠DAC=∠CBE，结合∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°可得∠ANB=90°，据此解答；
（2）由同角的余角相等可得∠DCA=∠ECB，由已知条件可得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△DCA∽△ECB，得到∠DAC=∠CBE，进而推出∠GAB+∠ABG=90°，则∠AGB=90°，据此解答；
（3）当点E在线段AD上时，连接BE，设AE=x，则AD=x+4，根据相似三角形的性质可得BE=AD=x+，根据解析（2）可知∠AEB=90°，利用勾股定理就可求出x的值，进而可得BE；当点D在线段AE上时，连接BE，同理进行求解.
23．（2021九上·莲湖期末）如图，在平行四边形 中， 是 上一点（不与点 重合）， ，过点 作 ，交 于点 ，连接 .
（1）求证：四边形 是矩形.
（2）当 时，求 和 的长.
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
，
∴平行四边形 是矩形.
（2）解：∵四边形 是矩形，
，
在 和 中，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
的长为4，
∴四边形 是矩形， ，
，
，
即 ，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，结合已知可证得∠AQP+∠APQ=90°，再利用三角形的内角和为180°，可求出∠A的度数，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论；
（2）利用矩形的性质得∠D=∠CPQ=90°，利用HL可得到△CDQ≌△CPQ，利用全等三角形的性质可证得DQ=PQ，设AQ=x，可表示出PQ的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AQ的长；再证明△QAP∽△PBC，利用相似三角形的对应边成比例可求出PB的长，然后利用勾股定理分别求出PC，CQ的长.
24．（2024·扬州）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
（1）如图，若，，求点与点之间的距离；
（2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
（3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】（1）解：设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，则，
解得：或，
或；
（2）设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
当时，有最大，最大值为；
（3）
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的应用；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）∵点是的中点，
∴CH=2OM
∴=CH+BH
如图，点H在正方形对角线HF上运动，作点B关于FH的对称点B’连接CB’交FH为点H’
∴CH+BH=CH+B'H
∴当C，H，B'三点共线时，=CH+BH=CH+B'H=B'C最小
过点C作CQ⊥B'F，垂足为Q
∵∠BFH=∠B'FH=45°
∴BF=CQ=B'Q=22
∴B'Q=B'F-FQ=22-2=20
在Rt△B‘CQ中，
因此：
的最小值为
故答案为.
【分析】(1)设，则，根据一线三垂直，得出，再根据对应边成比例，得出：，代入数值，求出x的值即可
（2）同（1）得：，即：，推出：得出：HE是x的二次函数，根据二次函数的最值，求出HE的最大值
（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出CH=2OM，将转化为CH+BH，再根据将军饮马得出的最小值为B'C，最后根据勾股定理：即可.
1 / 1浙教版数学九上第4章 相似三角形 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·江岸期末）1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线.如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·赤峰）如图，中，，.将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点.若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④.其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
3．（2024·广西） 如图， 边长为 5 的正方形 分别为各边中点. 连接 ， 交点分别为 ， 那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
4．（2024八下·海曙期末）如图， 中 ，分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点，连结 ，若要知道 的值，只需知道下列哪个值（ ）
A． 的面积 B． 的面积
C．线段 的长 D．线段 的长
5．（2024·杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论正确的是（ ）
A．OA2＝OE OP B．OQ2＝OA OF
C．若BP＝1，则OE＝2 D．若BP＝1，则
6．（2024八下·莱芜期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．有下列结论：
①已知是比例三角形，，，那么；
②在中，点在上，且，，那么是比例三角形；
③如图，在四边形中，已知，BD平分，，，那么是比例三角形；
④已知直线与轴、轴交于点，点，那么是比例三角形．
其中，正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江模拟）【情境】如图是某数学项目学习小组设计的“鱼跃龙门”徽章图案，已知A，B，C，D，E是圆的5个等分点，连结BD，CE交于点.设鱼头部分的四边形ABFE的面积为，鱼尾部分的的面积为.
【问知】设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·镇海区期中）如图，四边形与四边形都是正方形，与交于M点，延长交于N点，再连结，若A、B、E共线，A、D、G共线，M为中点，，则的面积为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．（2024·顺城模拟）如图，在中，，，，点E是边上一动点，过点E作交于点F，D为线段的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线．若射线经过点D，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·巴中模拟） 如图，点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024·无锡）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ＝x，PQ＝y．当x＝y时，CD＝ ；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为 ．
12．（2024·从江模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，是CD边上一点，连接BE，在BE上取一点，使，过点作交CD于点，若，时，则 .
13．（2024·绥化） 如图， 已知点 ， 在平行四边形 中， 它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ， 且 ， 则 .
14．（2024·湖北）△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若AD＝DF＝2，则∠DBF＝ ，FG＝ ．
15．（2024九下·光明模拟）如图，正方形中，，点在的延长线上，且．连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为 ．
16．（2024·成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接.若，，则 .
三、解答题（本题共8小题，第17题9分，第18题9分，第19题9分，第20题9分，第21题6分，第22题9分，第23题6分，第24题9分，共66分）
17．（2024八下·海曙期末）如图1，点是正方形内一点，，
（1）填表∶
的度数
的度数
（2）若，求的值；
（3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长．
18．（2024九下·武昌月考）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）请在BC上方找到点A，使△ABC是一个以BC为斜边的等腰直角三角形
（2）请在线段BC上找一点D使BD=2CD
（3）已知E，F分别为AB，AC上两动点，且AE=AF，为探究E点在何处时DE+DF最小，请你完成如下步骤：①将点D绕A点逆时针旋转90°得D'，并连接DD'交AC于F；②再在AB上找到点E使AE=AF即可确定E点位置
19．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长．
20．（2024九下·双流月考）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）是轴上一点，且，求点的坐标；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？直接写出点的坐标．
21．（2024九上·瑞安开学考）问题情景：如图直角中，，，，求的长？
解题思路：把的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长至，使得，过作，交于点，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得
方法二：作的中垂线交于点，连接，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设，，，，得，，则．
其他方法……
迁移应用解决新问题：如图直角中，，，，求的长，写出你的解答过程．
22．（2023·黄冈）【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
（3）【拓展应用】
当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
23．（2021九上·莲湖期末）如图，在平行四边形 中， 是 上一点（不与点 重合）， ，过点 作 ，交 于点 ，连接 .
（1）求证：四边形 是矩形.
（2）当 时，求 和 的长.
24．（2024·扬州）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
（1）如图，若，，求点与点之间的距离；
（2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
（3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；三角形的重心及应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，如图所示：
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
将点A（2，4），B（6，0）代入y=mx+n，得：，解得
∴直线AB的解析式为：y=-x+6，
∴直线OD的解析式为：y=x，
∵点A（2，4），
∴点M的横坐标为2，
对于y=x，当x=2时，y=2，
∴点M（2，2），
∵点O（0，0），A（2，4），B（6，0），点F，E分别为AB，OB的中点，
∴点F（4，2），点E（3，0），
设直线OF的解析式为：y=cx，
将点F（4，2）代入y=cx，得：4c=2，解得：c=，∴直线OF的解析式为： y=x，
设直线AE的解析式为：y=px+q，
将点A（2，4），点E（3，0）代入y=px+q， 得，解得，
∴直线AE的解析式为：y=-4x+12，
解方程组，得∴点N的坐标为 （，），
设直线MN的解析式为：y=kx+b，
将点M（2，2），N（，） 代入y=kx+b，得，解得，
∴直线MN的解析式为：y=-x+4，
即△OAB的欧拉线的解析式为：y=-x+4．
故答案为：C．
【分析】作△ABC的高AC，OD交于点M，作△ABC的中线AE、OF交于点N，则直线MN为欧拉线，先求出直线AB的解析式为：y=-x+6，进而得直线OD的解析式为y=x，由此可求出点M（2，2），再分别求出点F（4，2），点E（3，0），进而再求出直线OF的解析式为y=x，直线AE的解析式为：y=-4x+12，由此可得点N（，），由此即可求出即△OAB的欧拉线的解析式。
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°-2∠C=36°
由旋转的性质得：∠AB'C'=∠ABC=36°，∠B'AC'=∠BAC=∠AC'B'=∠C=∠ADC=72°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C=72°，
∴∠C'AC=36°，
∴∠C'AC=∠BAC'=36°，
∴∠B'AB=72°-36°=36°，
由旋转得AB=AB'，
∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-36°）=72°，
① 点B在旋转过程中经过的路径长是，故正确；
②∠B'AB=∠ABC=36°，
∴，故②正确；
③∵∠DC'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=36°，
∴∠DC'B=∠ABC，
∴； 故③正确；
④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠DBB'=∠BAC=72°，
∴△BB'D∽△ABC
∴.故④正确.
综上可知： ①②③④ 都正确.
故答案为：A.
【分析】先求出点B旋转的角度，再利用弧长公式求解，即可判断①；易求∠B'AB=∠ABC=36°，可得，据此判断②；利用角度可得∠DC'B=∠ABC=36°，可得，据此判断③，利用“AA”证△BB'D∽△ABC，可得，据此判断④.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD边长为5，
∴AB=BC=BD=AD=5.∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，AD//BC.
∵G，F分别为CD，CB边中点，
∴，
∴△ADG≌△DCF（SAS）.
∴∠AGD=∠DFC.
∵∠DQA=∠AGD+∠CDF=∠DFC+∠CDF=90°=∠MQP.
同理可证：∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形MNPQ是矩形.
又∵∠DQA=∠QPN=90°，
∴AG//CE.
∴△DQG∽△DPC，
∴.
∴QP=DQ.
∵CD=5，，
∴.
∵∠PDC=∠CDF，∠DPC=∠DCF=90°，
∴△DPC∽△DCF，
∴.
∴.
∴
同理可证：.
所以四边形MNPQ的面积为
∴答案为：C.
.
【分析】通过正方形的性质和中点定义可证得△ADG≌△DCF，于是有∠AGD=∠DFC，再利用直角三角形性质可得∠DQA=90°=∠MQP. 同理可得∠QPN=∠PNM=90°，即可证明四边形MNPQ是矩形. 证明△DQG∽△DPC，可得DQ=PQ；证明△DPC∽△DCF，勾股定理求出DF长，即可求得DP和QP的长；同理可得QM的长，根据矩形的面积公式即可得到四边形 的面积.
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连，，
∵ 和都为等边三角形， M、N 分别是， 的中点，
∴，，， ，
∴，，
在和中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴若要知道的值，只需知道线段的值就可以了，
故答案为：D．
【分析】如图，连AM，AN，利用等边三角形的三线合一可得∠BAM=30°，∠CAN=30°，AM⊥BE及AN⊥CD，由含30°角直角三角形性质得，，进而在Rt△ABM与Rt△ACN中，分别利用勾股定理表示出AN\M、AN，从而可得，然后推出∠MAN=∠BAD，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证出△AMN∽△ABD，进而利用相似三角形的对应边成比例即可得解，
5．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°，BC=AB=AD，
又BP=CQ，
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴∠ADP=∠BAQ，∠P=∠Q，
又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，
∴∠DAQ+∠ADP=90°，
即∠AOD=90°，
∴AQ⊥DP，
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2=OD OP，
在△ABE中 ，AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE·OP，A不符合题意；
∵AQ⊥DP，
∴∠DAO+∠ADO=∠ADO+∠FDO=90°，
∴∠DAO=∠FDO，
∴△DAO∽△FDO，
∴，
∴OD2=OA·OF，B不符合题意；
∵BP=1，BC=AB=AD=3，
∴AP=4，
在Rt△ADP中，，
∵∠EBP=∠DAB=90°，∠P=∠P，
∴△PBE∽△PAD，
∴，
∴，
∴，
∵∠DAP=∠QOE=90°，∠P=∠Q，
∴△QOE∽△PAD，
∴，
∴，，C不符合题意；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°，BC=AB=AD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠ADP=∠BAQ，∠P=∠Q，推得AQ⊥DP，根据等角的余角相等可得∠DAO=∠P，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得AO2=OD·OP，即可判断A选项、根据根据等角的余角相等可得∠DAO=∠FDO，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可得OD2=OA·OF，即可判断B选项、根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得DP=5，根据根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求出，，根据根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求出，，即可判断C和D选项.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①根据比例三角形的定义，则有三种情况AB2=BC AC，BC2=AB AC，AC2=BC AB，
故AC有三种结果，
故①错误；
②∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACD，
∴，
∴AD BC=AB BD，
∵AD=BC，
∴BC2=AB BD，
∴△ABC是比例三角形，
故②正确；
③∵AD∥BC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，∠CAD=∠ACB，∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
又∵AB⊥AC，AD⊥CD，
即∠BAC=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△DCA，
∴，
∴AC2=BC AD，
∴AC2=BC AB，
∴△ABC是比例三角形，
故③正确；
④直线
与x轴、y轴交于点A、B，
当x=0时，，当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），B（0，），在Rt△ABO中，，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3+3=6，
AC2=6×6=36，
AB BC=6×6=36，
∴AC2=AB BC，
∴△ABC是比例三角形，
故④正确，
∴正确的个数是3个，
故选：B．
【分析】①根据比例三角形的定义，则三种情况AB2=BC AC，BC2=AB AC，AC2=BC AB，进而判断；
②先证明△ABD∽△ACD，得出，根据AD=BC，变形即可判断；
③AD∥BC，BD平分∠ABC，推出对应角相等，进而推出AB=AD，△ABC∽△DCA，对应线段成比例，变形进而判断；
④分别求出点A、B，C的坐标进而推出△ABC是等边三角形，进而判断即可．
7．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE，BC，DE，
∵ A，B，C，D，E是圆的5个等分点，
∴AB=BC=CD=DE=AE，
∴五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
又∵，
∴∠DBE=∠DEC=∠BEC=∠ABE=∠AEB=∠DCE=36°，
∴AB∥CE，AE∥BD，BE∥CD，
∴四边形ABFE是菱形，
∴，
又∵∠BED=∠BEC+∠CED=72°，∠BDE=180°-∠DBE-∠BED=72°，
∴DE=EF=BF，
设DF=a，BF=b，则DE=BF=b，BD=BF+DF=a+b，
又∵∠EDF=∠BDE，
∴△DEF∽△DBE，
∴，即，解得，
又∵a，b均为正数，
∴，
同理，△BEF∽△DFC，
∴，
又∵，
∴n=，
故答案为：B.
【分析】根据题意五等分点即可证得正五边形，即利用正多边形内角和推导各个特殊角，利用特殊角先证明目标四边形ABFE的形状，进而利用特殊四边形的性质规划后续算法，其次利用36°的特殊角得出相似，导出已知的正多边形各定比例的线段比值，最后利用特殊四边形转化为特殊三角形的相似边比的关系得出结果.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵M为CE的中点
∴EM=CM
又 ∵∠AME=∠DMC，∠EAM=∠CDM
∴△AEM≌△DCM(AAS)
∴AM=DM，AE=CD
∵AB=CD
∴ AB=AE
又 ∵AM||BC
∴△AEM~△BEC，
∴
∵
∴
∵ABCD和CEFG为正方形
CD=CB，CE=CG，∠BCD=∠MCG
∴∠BCD-∠MCD=∠MCG-∠MCG即∠BCE=∠DCG
∴△CBE≌△CDG(SAS)
∴，而，故；
，得
而
故
故CNG的面积为12.
【分析】由CE的中点M可得△AEM≌△DCM得A为BE的中点，由比例可得BCE的面积，由△CBE≌△CDG可得△CDG，△MCG的面积，通过与正方形面积关系得△CGN的面积，即可得△DNG的面积.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；尺规作图的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设，
，
，
由尺规作图得平分，
，
，
，
，
，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即的长为．
故答案为：C．
【分析】设，利用勾股定理求得，则，由尺规作图得平分，然后根据平行线的性质结合角平分线的定义，证明，得到，然后根据相似三角形的判定证明，利用相似三角形的性质得，即，解方程可得到的长．
10．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】作轴，垂足为C，作轴，垂足为D，如图，
，
点A，B分别在反比例函数，的图象上，
设OA=x，则OB=2x，
在Rt AOB中，由勾股定理可得，
故答案为：D.
【分析】作轴，垂足为C，作轴，先证明利用相似三角形的性质得到再由三角形的面积求得设OA=x，则OB=2x，利用勾股定理求得AB的值，再根据三角函数的定义即可求解.
11．【答案】2；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AQ=x，PQ=y，
∴当x=y时，AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA，
∵CM∥AB，PQ∥AB，
∴CM∥PQ，
∴∠CDA=∠QPA，
∴∠CDA=∠QAP，
∴CD=AC，
∵AC=2，
∴CD=2；
设ED=a，
∵AP=2ED，
∴AP=2a，
∵CM∥PQ，
∴，
∴，即，
∴，
又∵CM∥AB，
∴∠CDE=∠EAB，
∵∠CED=∠AEB，
∴，
∴，
∵AB=3，DE=a，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；.
【分析】根据题意，得AQ=PQ，从而根据”等边对等角“得∠QAP=∠QPA，利用平行线的传递性得CM∥PQ，从而有∠CDA=∠QPA，进而证出∠CDA=∠QAP，根据”等角对等边“得CD=AC=2；
设ED=a，得AP=2a，由”CM∥PQ“证得，根据相似三角形对应边成比例的性质得，从而求出，由”8字相似模型“易证，从而根据相似三角形的性质得，有，进而求出，最后计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在BC上取点K， 使BK =CE， 连接AK交BE于H， 如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= BC， ∠ABK =∠BCE=90°，
∵BK=CE，
∴△ABK≌△BCE(SAS)，
∴∠BAK =∠CBE， BK=CE，AK=BE，
∵∠BAF=2∠CBE，
∴∠BAF=2∠BAK，
∴∠BAH=∠FAH，
∵∠BAK+∠AKB=90°，
∴∠CBE+∠AKB=90°，
∴∠AHB=90°=∠AHF，
∵AH =AH，
∴△ABH≌△AFH(ASA)，
∴BH =FH，
∵∠ABH=∠CEF，
∠AHB=∠GFE=90°，
∴△GEF∽△ABH，
∴BH=3EF，
设 则BH=3x=FH，
∴BE =7x= AK，
设 则
解得
故答案为：.
【分析】在BC上取点K， 使BK=CE， 连接AK交BE于H，根据SAS证明△ABK≌△BCE，可得∠BAK=∠CBE， BK=CE， AK=BE， 又∠BAF=2∠CBE， 可知∠BAH=∠FAH， 从而根据ASA证△ABH≌△AFH，可得BH= FH，由△GEF∽△ABH， 得 设， 则BH=3x=FH，BE=7x= AK， 可得 根据2S△ABK = AB·BK = AK·BH， 得 可解得
13．【答案】-15
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵
∴AO=7，BE=10，OF=-14
在平行四边形 中，BC=AO=7
∴x=-24，即EB=24
∵DG∥BE
∴
∵
∴OG=6，DG=2.5
∴D点的坐标为（-6，2.5）
∵点D在 反比例函数 的图象 上
∴k=-2.5×6=-15
故答案为-15.
【分析】
通过作垂线构造出A型相似，利用相似三角形对应边成比例，得出点D的坐标，再根据待定系数法求出k值.
14．【答案】30°；
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵为等边三角形，，
∴，，
又∵∠DEF=∠DBF+∠EFB，
∴
∴，，
过点C作交的延长线于点，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
【分析】先根据等边三角形的判定与性质得到，，进而得到，，，过点C作交的延长线于点，根据含30°角的直角三角形的性质得到HC，进而根据勾股定理即可求出FH，再根据平行线的判定证明，从而根据相似三角形的判定与性质证明即可求出FG，从而即可求解。
15．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作于，于，
∵∠DCE=90°
∴四边形是矩形，
平分，
，
矩形是正方形，
设，则，
，
，
，即，
解得：，
，
在Rt△DFN中，，
故答案为：．
【分析】本题先证明四边形是矩形，再根据角平分线性质定理，得出，从而矩形是正方形，设，根据预备定理证明：，根据对应边成比例，列出比例式，求出FN，DN的值，再根据勾股定理，求出DF即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接EC，过点E作EF⊥CD于点F，
设BD=x，则BC=BD+CD=x+2，
∵CE=ED，EF⊥CD，
∴CF=DF=CD=1，
∴BF=BD+FD=x+1，
∵△ACD中，∠ACD=90°，点E是AD的中点，
∴AE=CE=ED，
∴∠EAC=∠ACE，∠ECD=∠EDC，
∴∠CED=2∠CAD，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BEC=∠EDC，
又∵∠ECD=∠BCE，
∴△BEC∽△EDC，
∴，∠CED=∠CBE，
∴CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4；
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠CAE，
∴∠CAB=∠CED=∠CBE，
∵∠ACB=∠BFE=90°，
∴△ABC∽△BEF，
∴，
在△ACD中点E是AD的中点，点F是CD的中点，
∴AC=2EF，
∴
∴2EF2=(x+1)(x+2)
∵在Rt△CEF中，EF2=CE2-CF2， ∴ (x+1)(x+2)2=2x-4-12
解得，（不符合题意，舍去）
.
故答案为：.
【分析】 连接EC，过点E作EF⊥CD于点F，设BD=x，则BC=BD+CD=x+2，由等腰三角形的三线合一得CF=DF= CD=1，则BF=x+1；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AE=CE=ED，由等边对等角推出∠BEC=∠EDC，结合公共角∠ECD=∠BCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BEC∽△EDC，由相似三角形对应边成比例得CE2=BC×CD=2(x+2)=2x+4；由相似三角形对应角相等得∠CED=∠CBE，由角平分线定义、三角形外角性质及等量代换得∠CAB=∠CED=∠CBE，结合∠ACB=∠BFE=90°，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△BEF，由相似三角形对应边成比例得， 由三角形中位线定理得AC=2EF，则可得2EF2=(x+1)(x+2)，进而在Rt△CEF中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
17．【答案】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
当时，
∴，，，
∴；
当时，
∴，，，
∴；
填表如下：
的度数
的度数
（2）解：如图所示，过点B作的垂线交延长线于点E，
由（1）得．
∵，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，，
∴；
（3）解：连接，
由（1）得．
∴，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得CB=CD，∠BCD=90°，结合已知推出CP=CD，从而利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可；
（2）过B作AP的垂线交AP延长线于E，构造等腰直角△BPE，由同角的余角相等得∠BAE=∠ADP，通过AAS证明ADP≌△BAE，由全等三角形的对应边相等得PD=AE=AP+PE=2y，即可求的值；
（3）连接DB、DM，由等腰三角形的三线合一证得CM是线段PD的垂直平分线，推出△MPD是等腰直角三角形，再由两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似判断出△PDB∽△MDA，由相似三角形对应边成比例得到，据此求解即可．
18．【答案】（1）解：如图，由正方形格点，即∠GBC=∠BCH=45°，延长BG交CH于点A即可；
（2）解：如图，取CN=1，BM=2CN=2，
∵BM∥CN，
∴∠DBM=∠DCN，∠BMD=∠DNC，
∴△BDM∽△CDN，
∴，即BD=2CD，
（3）解：如图
同理，将线段BC逆时针旋转90°得B'C，由（2）同理，
△B'D'P∽△CD'Q，
∴CD'=2B'D，
∴△ACD≌△AB'D，故可将D'视作点D绕点A逆时针旋转90°所得，完成步骤①；
取BC中点I，
∴AI是△ABC的一条对称轴，连接BF交AI于一点，连接该点与点C交AB于点E，
易证AE=AF，完成第②步；
【知识点】轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用格点的45度角连线并延长交于点A即可；
（2）取格点利用平行相似构造以BD和CD为边的2：1相似三角形即可；
（3）第一步：作等腰直角△AB'C，同理构造△B'D'P∽△CD'Q得D'点，连接DD'得点F；
第二步：利用平行四边形的性质取BC中点得△ABC对称轴AI，利用轴对称性质交叉连线得E点.
19．【答案】（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．（答案不唯一）
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，得出，从而根据 邻余四边形定义，即可得出结论；
（2）利用方格纸的特点、正方形的性质及根据邻余四边形的定义画出符合条件的四边形即可，答案不唯一；
（3）利用等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=BD，由直角三角形斜边中线的性质得出DM=EM=FM，由等边对等角得∠BDQ=∠CEN，∠B=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△DBQ∽△ECN，再由相似三角形的对应边成比例，列出比例式解出CN长，即可解答．
（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
20．【答案】（1）解：
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，
反比例函数，
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，即，
将、两点代入一次函数中，
得，，
解得：，，
一次函数；
（2）解：
设，即，
对于一次函数，令，则，即，
，，，
，
解得：，
或；
（3）存在，点的坐标为，，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）设，过作轴，交轴于点，，
，
，即，
，
，
，
，即，
对于一次函数，令，则，即，
，
解得：，
，
设，过作轴，交轴于点，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
解得：，
，
设，过作轴，交轴于点，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
解得：，
，
，
设，过作轴，交轴于点，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
解得：，
，
综上，点的坐标为，，或．
【分析】根据点A的坐标可得出反比例函数表达式，进一步可求得点B的坐标，再根据点A和点B的坐标求得一次函数的表达式即可；
设，即，对于一次函数，令，求得点坐标，根据可得，解得的值，即得点的坐标；
分四种情况讨论：①点N在x轴上，且∠ABN=90°时，设，过作轴，交轴于点，根据，然后根据相似三角形的性质，即可求得b=9，即可得出点N（9，0）；②点N在y轴上，且∠ABN=90°时，设，过作轴，交轴于点，根据，然后根据相似三角形的性质，即可求得c=，即可得出点N（0，）；③点N在x轴上，且∠BAN=90°时，设，过作轴，交轴于点，通过证明，然后根据相似三角形的性质，即可求得d=-6，即可得出点N（-6，0）；④N在y轴上，且∠BAN=90°时，设，过作轴，交轴于点，通过证明，然后根据相似三角形的性质，即可求得e=-3，即可得出点N（0，-3）；综上即可得出存在符合条件的点N，点N的坐标为：，，或．
21．【答案】解： （方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，如图：
∵=15°，∠C=90°，DM⊥AB于点M，
∴CD=MD
∵=15°，
∴∠CAB=30°.
∴∠B=180°－∠C－∠CAB=60°.
∴∠BDM=90°－∠B=30°，
∴DB=2MB，，.
设MB=x，则，，
∴
解得：，
∴.
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，如图：
∵EF是边AD的垂直平分线，交AC于点E，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠CED=2∠A=30°.
∵∠C=90°，
∴AE=DE=2CD，
设CD=x，则，，
∵AC=1，
∴，
解得：
即.
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，如图：
∴AM=MC，
∴∠A=∠ACM=15°，
∴∠CMP=2∠A=30°，
设CP=x，
∴MC=2CP=2x，，
∴.
∵∠A=∠A，∠ACD=∠APC=90°，
∴△ACD∽△APC，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，根据角平分线的性质得CD=MD，证明∠CAB=30°，设MB=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出BD，CD，以及，代入数据得到关于x的方程，求解即可；
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，根据线段垂直平分线的性质得AE=DE，求带∠CED=30°，设CD=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出CE，AE，根据AE+CE=1得关于x的方程，求解即可；
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，求得∠CMP=30°，设CP=x，表示出MC和MP，从而可得AP；证明△ACD∽△APC，利用相似三角形的性质即可求得CD的长.
22．【答案】（1）
（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，
当m=1时，DC=CE，CB=CA，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC=∠CBE.
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AD⊥BE.
【分析】（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，当m=1时，DC=CE，CB=CA，利用SAS证明△ACD≌△BCE，得到∠DAC=∠CBE，结合∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°可得∠ANB=90°，据此解答；
（2）由同角的余角相等可得∠DCA=∠ECB，由已知条件可得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△DCA∽△ECB，得到∠DAC=∠CBE，进而推出∠GAB+∠ABG=90°，则∠AGB=90°，据此解答；
（3）当点E在线段AD上时，连接BE，设AE=x，则AD=x+4，根据相似三角形的性质可得BE=AD=x+，根据解析（2）可知∠AEB=90°，利用勾股定理就可求出x的值，进而可得BE；当点D在线段AE上时，连接BE，同理进行求解.
23．【答案】（1）证明： ，
，
，
，
，
∴平行四边形 是矩形.
（2）解：∵四边形 是矩形，
，
在 和 中，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
的长为4，
∴四边形 是矩形， ，
，
，
即 ，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，结合已知可证得∠AQP+∠APQ=90°，再利用三角形的内角和为180°，可求出∠A的度数，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论；
（2）利用矩形的性质得∠D=∠CPQ=90°，利用HL可得到△CDQ≌△CPQ，利用全等三角形的性质可证得DQ=PQ，设AQ=x，可表示出PQ的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AQ的长；再证明△QAP∽△PBC，利用相似三角形的对应边成比例可求出PB的长，然后利用勾股定理分别求出PC，CQ的长.
24．【答案】（1）解：设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，则，
解得：或，
或；
（2）设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
当时，有最大，最大值为；
（3）
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的应用；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）∵点是的中点，
∴CH=2OM
∴=CH+BH
如图，点H在正方形对角线HF上运动，作点B关于FH的对称点B’连接CB’交FH为点H’
∴CH+BH=CH+B'H
∴当C，H，B'三点共线时，=CH+BH=CH+B'H=B'C最小
过点C作CQ⊥B'F，垂足为Q
∵∠BFH=∠B'FH=45°
∴BF=CQ=B'Q=22
∴B'Q=B'F-FQ=22-2=20
在Rt△B‘CQ中，
因此：
的最小值为
故答案为.
【分析】(1)设，则，根据一线三垂直，得出，再根据对应边成比例，得出：，代入数值，求出x的值即可
（2）同（1）得：，即：，推出：得出：HE是x的二次函数，根据二次函数的最值，求出HE的最大值
（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出CH=2OM，将转化为CH+BH，再根据将军饮马得出的最小值为B'C，最后根据勾股定理：即可.
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