【提升版】浙教版数学九上4.3 相似三角形 同步练习
一、选择题
1．如图，若，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，故A、B不符合题意；
，
，故C不符合题意；
，
，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】相似三角形的对应边成比例.
2．（2024九上·简阳期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】，
，，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质得到结合已知条件利用角的和差关系即可求解.
3．（2024·广东模拟）如图，在钝角三角形ABC中，AB=4cm，AC=10cm，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（ ）
A．2.2s或4.5s B．4.2s C．3s D．2.2s或4.2s
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD=t (cm)，CE=2t (cm)，AE=AC-CE= (10-2t)(cm)，
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得t≈2.2；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得t≈4.2
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.2s或4.2s.
故答案为：D.
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应；根据相似三角形的对应边成比例建立方程分别作答.
4．已知△ABC∽△A'B'C'，AB=5，A'B'=3，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： ∵△ABC∽△A'B'C'，
∴
∵ AB=5，A'B'=3
∴.
故答案为：B.
【分析】相似三角形的对应边成比例，据此解答即可.
5．（2024九下·广水月考） 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵蜡烛通过小孔成像后，构成的两个三角形相似
∴
∴ 蜡烛火焰的高度 =9×=6cm
故答案为：C.
【分析】根据三角形相似的性质，列比例式，计算即可.
6．（2023九上·顺德期中）已知与相似，，，，，则DE的长不可能是（ ）
A．3 B．4.5 C．9 D．9.6
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当时，
∴，即，
则；
当时，
∴，即，
则；
当时，
∴，即，
则；
故答案为：D.
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论．
二、填空题
7．（2023九上·金塔期中）已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：2，若A′B′＝10，则AB等于 ．
【答案】15
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：2，A′B′＝10，
∴AB=15，
故答案为：15
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
8．（2023九上·南京月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝ cm．
【答案】2或3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①若∠APD=∠PCB时，△APD~△BCP，得，
设AP=x，则PB=5-x，
∴，
解得x=2或3；
②若∠APD=∠BPC时，△APD~△BPC，得，
即有，
解得x=3；
综上所述，AP=2cm或3cm；
故答案为：2或3.
【分析】分别讨论∠APD=∠PCB和∠APD=∠BPC的两种情形，根据相似三角形对应边成比例分别求出对应的PA的长即可.
9．如图所示，在△PAB中，M，N是AB上的两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB=
【答案】120°
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△BPM∽△PAN ，
∴∠BPM=∠A，∠APN=∠B，
∵ △PMN是等边三角形，
∴∠NPM=∠PNM=60°，
∴∠PNM=∠A+∠APN=∠BPM+∠APN=60°，
∴ ∠APB= ∠NPM+∠BPM+∠APN=60°+60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】由相似三角形的性质可得∠BPM=∠A，∠APN=∠B，由等边三角形的性质可得∠NPM=∠PNM=60°，利用三角形外角的性质可求∠PNM=∠A+∠APN=∠BPM+∠APN=60°，根据∠APB= ∠NPM+∠BPM+∠APN即可求解.
10．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4，x，那么x的值为 .
【答案】或5
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ①若6和8都是直角边，
∴斜边是10，
则，
即x=5，
②若6是直角边，8是斜边，
∴另一条直角边为，
则，
即，
故答案为：或5
【分析】根据题意分类讨论：①若6和8都是直角边，②若6是直角边，8是斜边，进而运用勾股定理结合相似三角形的性质解分式方程即可求解。
三、解答题
11．已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC的最短边长为6cm，最长边长为18cm，△A'B'C'的最长边长为6cm．求△A'B'C'的最短边的长．
【答案】解： 设△A'B'C'的最短边的长xcm，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴6：x=18：6，
解得x=2cm.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例，对应角相等进行解答即可.
12．一个钢筋三角形架子的三边长分别是40cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角形架子，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为其余的两边．有几种不同的截法？
【答案】解：有两种．由三角形的三边关系得，不能截30cm长的钢筋，
设所做三角形其余两边长分别为x(cm)，y(cm)，
则，或，或，
解之得x=10且y=25，或x=12且y=36，或x=90且y=75，
经30＜x+y≤50验证，
第三种情况不合题意，故有两种不同的截法.
【知识点】三角形三边关系；相似三角形的性质
【解析】【分析】先由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，确定不能截30cm长的钢筋，只能截 50cm的钢筋，然后设所做三角形其余两边长分别为x(cm)，y(cm)，根据两边之和大于第三边和题意 (允许有余料)以及相似三角形的性质得到x+y应满足的不等式，和x，y应满足的比例式，利用比例的性质解得x，y的值，再经30＜x+y≤50验证舍去不符合的情况即可得到答案.
13．如图所示.AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=62°，且.求：
（1）的度数.
（2）CD的长.
【答案】（1）解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B=∠CAD=36°，∠D=∠BAC=62°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=36°+62°=98°.
（2）解：∵△ABC∽△DAC，
∴
∴
解之：
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的对应角相等，可求出∠BAC、∠CAD的度数，再利用∠BAD=∠BAC+∠CAD，代入计算求出∠BAD的度数.
（2）利用相似三角形的对应边成比例可证得，代入计算求出CD的长.
1 / 1【提升版】浙教版数学九上4.3 相似三角形 同步练习
一、选择题
1．如图，若，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·简阳期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东模拟）如图，在钝角三角形ABC中，AB=4cm，AC=10cm，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（ ）
A．2.2s或4.5s B．4.2s C．3s D．2.2s或4.2s
4．已知△ABC∽△A'B'C'，AB=5，A'B'=3，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2024九下·广水月考） 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·顺德期中）已知与相似，，，，，则DE的长不可能是（ ）
A．3 B．4.5 C．9 D．9.6
二、填空题
7．（2023九上·金塔期中）已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：2，若A′B′＝10，则AB等于 ．
8．（2023九上·南京月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝ cm．
9．如图所示，在△PAB中，M，N是AB上的两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB=
10．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4，x，那么x的值为 .
三、解答题
11．已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC的最短边长为6cm，最长边长为18cm，△A'B'C'的最长边长为6cm．求△A'B'C'的最短边的长．
12．一个钢筋三角形架子的三边长分别是40cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角形架子，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为其余的两边．有几种不同的截法？
13．如图所示.AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=62°，且.求：
（1）的度数.
（2）CD的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，故A、B不符合题意；
，
，故C不符合题意；
，
，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】相似三角形的对应边成比例.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】，
，，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质得到结合已知条件利用角的和差关系即可求解.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD=t (cm)，CE=2t (cm)，AE=AC-CE= (10-2t)(cm)，
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得t≈2.2；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB，
∴，
即，
解得t≈4.2
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.2s或4.2s.
故答案为：D.
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应；根据相似三角形的对应边成比例建立方程分别作答.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： ∵△ABC∽△A'B'C'，
∴
∵ AB=5，A'B'=3
∴.
故答案为：B.
【分析】相似三角形的对应边成比例，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵蜡烛通过小孔成像后，构成的两个三角形相似
∴
∴ 蜡烛火焰的高度 =9×=6cm
故答案为：C.
【分析】根据三角形相似的性质，列比例式，计算即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当时，
∴，即，
则；
当时，
∴，即，
则；
当时，
∴，即，
则；
故答案为：D.
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论．
7．【答案】15
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：2，A′B′＝10，
∴AB=15，
故答案为：15
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
8．【答案】2或3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①若∠APD=∠PCB时，△APD~△BCP，得，
设AP=x，则PB=5-x，
∴，
解得x=2或3；
②若∠APD=∠BPC时，△APD~△BPC，得，
即有，
解得x=3；
综上所述，AP=2cm或3cm；
故答案为：2或3.
【分析】分别讨论∠APD=∠PCB和∠APD=∠BPC的两种情形，根据相似三角形对应边成比例分别求出对应的PA的长即可.
9．【答案】120°
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△BPM∽△PAN ，
∴∠BPM=∠A，∠APN=∠B，
∵ △PMN是等边三角形，
∴∠NPM=∠PNM=60°，
∴∠PNM=∠A+∠APN=∠BPM+∠APN=60°，
∴ ∠APB= ∠NPM+∠BPM+∠APN=60°+60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】由相似三角形的性质可得∠BPM=∠A，∠APN=∠B，由等边三角形的性质可得∠NPM=∠PNM=60°，利用三角形外角的性质可求∠PNM=∠A+∠APN=∠BPM+∠APN=60°，根据∠APB= ∠NPM+∠BPM+∠APN即可求解.
10．【答案】或5
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ①若6和8都是直角边，
∴斜边是10，
则，
即x=5，
②若6是直角边，8是斜边，
∴另一条直角边为，
则，
即，
故答案为：或5
【分析】根据题意分类讨论：①若6和8都是直角边，②若6是直角边，8是斜边，进而运用勾股定理结合相似三角形的性质解分式方程即可求解。
11．【答案】解： 设△A'B'C'的最短边的长xcm，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴6：x=18：6，
解得x=2cm.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例，对应角相等进行解答即可.
12．【答案】解：有两种．由三角形的三边关系得，不能截30cm长的钢筋，
设所做三角形其余两边长分别为x(cm)，y(cm)，
则，或，或，
解之得x=10且y=25，或x=12且y=36，或x=90且y=75，
经30＜x+y≤50验证，
第三种情况不合题意，故有两种不同的截法.
【知识点】三角形三边关系；相似三角形的性质
【解析】【分析】先由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，确定不能截30cm长的钢筋，只能截 50cm的钢筋，然后设所做三角形其余两边长分别为x(cm)，y(cm)，根据两边之和大于第三边和题意 (允许有余料)以及相似三角形的性质得到x+y应满足的不等式，和x，y应满足的比例式，利用比例的性质解得x，y的值，再经30＜x+y≤50验证舍去不符合的情况即可得到答案.
13．【答案】（1）解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B=∠CAD=36°，∠D=∠BAC=62°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=36°+62°=98°.
（2）解：∵△ABC∽△DAC，
∴
∴
解之：
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的对应角相等，可求出∠BAC、∠CAD的度数，再利用∠BAD=∠BAC+∠CAD，代入计算求出∠BAD的度数.
（2）利用相似三角形的对应边成比例可证得，代入计算求出CD的长.
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