浙教版数学七上考点突破训练：有理数的乘除运算
一、有理数的乘法运算
1．（2019七上·越城月考）四个互不相等的整数的积为49，则它们的和为（ ）
A．0 B．8 C．16 D．8或1
2．（2023七上·鄞州月考） 7个有理数相乘的积是负数，那么其中负因数的个数最多有（ ）
A．种可能 B．种可能 C．种可能 D．种可能
3．（2023七上·鄞州月考）法国的“小九九”从“一 一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算和的两个示例．若用法国的“小九九”计算，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2022七上·永嘉期中）如图，碳足迹标签是一种让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量的标示方式．规定一定条件下碳足迹数据的标示为距离碳排放量最近的一个偶数，例如，碳排放量为20.2克，碳足迹数据标示为20克；碳排放量为21.0克，碳足迹数据标示为20克或22克；碳排放量为21.6克，碳足迹数据标示为22克．已知一个产品的碳足迹数据标示为32克，若此产品的碳排放量减少为原来的80%，则此时该产品碳足迹数据的标示是（ ）
A．26克 B．24克或26克 C．25克或26克 D．24克或25
5．已知a,b的和，a,b的积及b的相反数均为负，则a,b,-a,a+b,b-a的大小关系是 ．（用“<”把它们连接起来）
6．（2023七上·越城月考）下列说法：①若ab＞0，则a＞0，b＞0；②若ab＜0，则a＜0，b＜0；③若ab＝0，则a或b至少有一个为0；④若ab＞0，且a＋b＜0，则a＜0，b＜0.其中正确的有 .
7．（2023七上·鄞州月考）数学活动课上，王老师在张卡片上写了个不同的数：
如果从中任意抽取张，使这张卡片上的数之积最小，最小的积为 ；使这张卡片上的数字之积最大，最大的积为 ．
8．（2024七上·南浔期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ．
9．
（1） 计算：
（2）计算：×(-9)．下面是两位同学的解法：
小方：原式=×9==
小杨：原式=(19+×(-9)=-19×9-×9=
①两位同学的解法中，谁的解法较好？
②请你写出另一种更好的解法．
10．（2023七上·鄞州月考）在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学，照这样的方法直到全班名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师你知道最后的结果吗？
二、有理数的除法运算
11．（2024七上·玉林期中）已知，且，则的值为（ ）
A．0 B．或1 C．2或 D．0或
12．若a+b＜0，且＜0，则（ ）
A．a，b异号且负数的绝对值大 B．a，b异号且正数的绝对值大
C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
13．已知：ab≠0，且M=，当a、b取不同的值时，M有（ ）
A．唯一确定的值 B．2种不同的取值
C．3种不同的取值 D．4种不同的取值
14．下列计算正确的是（ ）
A．0÷(-3)= B．()÷()=-5
C．1÷()=-9 D．÷(-3)=- 9
15．（2024七上·新宁期末）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，，有以下结论：①；②；③；④，则所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
16．（2023七上·鄞州月考）定义：是不为的有理数，我们把称为的差倒数如：的差倒数是，的差倒数是已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ．
17．（2024七上·北京市月考）如图所示，在数轴上有、、三个点，请回答下列问题：
（1）若将点沿数轴向左移动个单位长度，则、、三个点所表示的数谁最小？
（2）移动、、三个点中的两个点，使三个点所表示的数相同？请你描述一种移动方法；
（3）若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，点与点重合，则点表示的数是 ；
（4）若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则点表示的数是 ，点表示的数是 ．
18．（2021七上·滨州月考）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝ ×（﹣30）﹣ ×（﹣30）+ ×（﹣30）﹣ ×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ．
19．（2023七上·通川期末）（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ， .
（2）（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算此处不用作答）
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 ； .
（3）算一算：.
20．（【导学精练】初中数学七年级上册专题2.5.有理数的乘方）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：
（1）一粒大米重约多少克？
（2）按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；
（3）若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；
（4）经过以上计算，你有何感想和建议？
三、有理数的乘除混合运算
21．（2019七上·洪泽期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
22．（2021七上·温州期中）若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6，……，则 的值为（ ）
A． B．99！ C．9900 D． 2！
23．（2021七上·余杭月考）下列变形不正确的是（ ）
A．5×(－6)＝(－6)×5
B．[4×(－5)] ×(－10)＝4×[ (－5)×(－10) ]
C．[(－)＋ ]×(－12)＝(－)×(－12) ＋ ×(－12)
D．(－8)× ×(－1)× ＝(－8× ×1× )
24．（2023七上·台江开学考）下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024七上·新都开学考）在直径为8分米的圆形钢板上截取一个最大的正方形，这个正方形的面积是 平方分米．
26．（人教版七年级数学上册 第一章有理数 单元检测b卷）两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是 ．
27．（2023七上·和平期中）如下图所示，对于任意正整数，若为奇数则乘3再加1，若为偶数则除以2，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数．在1937年提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数，路径长为，当时，的所有可能值有 个，其中最小值为 ．
28．（2023七上·北京市期中） 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
北京市居民用水阶梯水价表
某户居民从2015年1月1日至4月30日，累积用水200立方米，则这户居民4个月共需缴纳水费 元．
29．（2018-2019学年数学苏科版七年级上册《第2章有理数》单元测试卷）阅读后回答问题：
计算（﹣ ）÷（﹣15）×（﹣ ）
解：原式=﹣ ÷[（﹣15）×（﹣ ）]①
=﹣ ÷1②
=﹣ ③
（1）上述的解法是否正确？答：
若有错误，在哪一步？答： （填代号）
错误的原因是：
（2）这个计算题的正确答案应该是： ．
30．（2024七上·长沙期末）上午9点，我海军驱逐舰发现有不明舰艇在我国专属经济区内活动，我军驱逐舰立即以每小时35海里的速度前往识别．上午9点30分发现不明舰艇为某国舰艇在从事非法活动，于是立即发出驱离警告，此时某国舰艇距我海军驱逐舰11海里并开始逃跑，逃跑的速度是每小时25海里，我海军驱逐舰仍以原来的速度紧追．在距某国舰艇1海里的时候第二次发出驱离警告，90分钟后某国舰艇驶出了我国专属经济区．
（1）我海军驱逐舰从发现不明舰艇到第一次发出驱离警告，航行了多少海里？
（2）某国舰艇从逃跑至驶出我国专属经济区共经历了多长时间？
（3）我海军驱逐舰从发现不明舰艇到第二次发出驱离警告共航行了多少海里？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（-1）×（-7）×1×7=49.
所以这四个数字为-1，-7，1，7.
-1+1+（-7）+7=0.
故答案为：A.
【分析】根据有理数乘法法则的逆用将49分解为 四个互不相等的整数的积 ，进而根据有理数的加法法则就可算出这4个因数的和.
2．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵7个有理数相乘的积是负数，
∴负数的个数为奇数，
即负数的个数为：1，3，5，7，
∴其中负因数的个数最多有4种可能，
故答案为：C.
【分析】根据几个有理数的乘积为负，得到负数的个数为奇数，进而即可求解.
3．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由题意得到：左手等于第一个数减去5，右手等于第二个数减去5，
∴计算，左手：右手：
∴左、右手依次伸出手指的个数是2，4，
故答案为：C.
【分析】根据题意得到：左手等于第一个数减去5，右手等于第二个数减去5，据此即可求解.
4．【答案】B
【知识点】定义新运算；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：∵足迹数据为32克，
∴31＜碳排放量＜33，
∴减少80%后排放量为24.8＜碳排放量＜26.4，
∴足迹为24或26.
故答案为：B.
【分析】先阅读题意可得足迹数为排放量最近的偶数，因此要求足迹数，先求出排放量即可；足迹32可得排放量范围31~33，可以求出排放量的80%是24.8~26.4，相距最近的偶数为24或者26.
5．【答案】a
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则
【解析】【解答】因为ab<0，所以a,b异号，又因为b的相反数为负数，所以b为正数，a为负数，又因为a+b<0，所以，所以a【分析】从选项中可知比较 ab,bc的大小即可．
6．【答案】③④
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解： ①若ab＞0，则a＞0，b＞0 或a＜0，b＜0，①错误；
②若ab＜0，则a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，②错误；
③若ab＝0，则a或b至少有一个为0，③正确；
④若ab＞0，则a＞0，b＞0 或a＜0，b＜0. 又a＋b＜0，则a＜0，b＜0，④正确.
故答案为：③④.
【分析】根据有理数的乘法法则：同号得正，异号得负即可判断.
7．【答案】-80；120
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）抽取-8，5，2时，乘积最小，积为：
（2）抽取-8，5，-3时，乘积最大，积为：
故答案为：.
【分析】根据有理数的乘法法则可知，几个因数相乘，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶数个负因数时，积为正数，所以要使积最小，就要选一个负数，和两个正数，且这三个数的绝对值要尽可能大，要使积最大，就选两个负数或没有负数，这三个数绝对值尽可能大.，据此即可求解.
8．【答案】615、645、675
【知识点】有理数的乘法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
∴ b=6，b-1=5，
当a=1时，相乘结果为615，
当a=3时，相乘结果为645，
当a=5时，相乘结果为675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据铺地面的方法画出每个位置的数，求出b，将a分情况讨论即可.
9．【答案】（1）原式=
=
=-2+1+=-3
（2）①小杨的解法较好．
②×(-9)=(20-)×(-9)=20×(-9)- ×(-9)=-179.5
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律计算即可；
（2）①小杨的解法较好．
②将原式化为(20-)×(-9)，再利用乘法分配律计算即可.
10．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【分析】根据题干：将这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学，按照这样的方法直到全班名同学全部传完，列式计算即可.
11．【答案】B
【知识点】有理数的除法法则；化简含绝对值有理数；求代数式的值-整体代入求值
12．【答案】A
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：∵＜0，
∴a、b异号，
又∵a+b＜0，
∴负数的绝对值较大．
故选A．
【分析】根据有理数的除法法则确定a和b是异号，然后根据加法法则即可确定．
13．【答案】B
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：当a＞0，b＞0时，M=1+1+1=3；
当a＜0，b＜0时，M=﹣1+（﹣1）+1=﹣1；
a＞0，b＜0时，M=1﹣1﹣1=﹣1；
当a＜0，b＞0时，M=﹣1+1﹣1=﹣1．
故选：B．
【分析】分为a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0四种情况化简计算即可
14．【答案】C
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：A、原式=0，不符合题意；
B、原式==5， 不符合题意；
C、原式=1×（-9）=-9，符合题意；
D、原式=，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的除法法则计算即可求解.
15．【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：①∵a＞0，a＋b＜0，
∴b＜0，故①正确；
②∵a＞0，b＜0，
∴b a＜0，故②错误；
③∵a＋b＜0，a＞0，b＜0，
∴| a|＜ b，故③错误；
④，故④正确．
综上可得①④正确．
故答案为：A．
【分析】结合数轴及判断出a、b的正负和大小，再逐项分析判断即可.
16．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数的除法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴三个为一个周期，
∵
∴
故答案为：.
【分析】计算前四个式子，结果为：，三个为一个周期，据此求解即可.
17．【答案】（1）点表示的数最小
（2）点不动，把点沿数轴向左移动个单位长度，点沿数轴向左移动个单位长度，此时三个点所表示的数相同（答案不唯一）
（3）
（4）；
【知识点】有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
18．【答案】解：原式的倒数是：
，
故原式 ．
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【分析】利用材料的计算方法，利用有理数的除法先求原式的倒数，再计算原式的值即可。
19．【答案】（1）；9
（2）；
（3）解：
【知识点】有理数的除法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：（1），
；
（2）；
；
【分析】（1）根据定义的新运算可得，，然后根据有理数的除法法则进行计算；
（2）根据定义的新运算可得，，然后根据有理数的除法法则进行计算；
（3）根据定义的新运算可将原式变形为-81÷(-27)×16-÷，然后计算乘除法，再计算减法即可.
20．【答案】（1）解：（克），
答：粒大米重约克；
（2）解：（千克），
答：一年大约能节约大米千克
（3）解：（元），
答：卖得人民币元．
（4）解：一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大得惊人．所以提倡节约，杜绝浪费﹐我们要行动起来．（合理即可）
【知识点】有理数除法的实际应用；科学记数法表示数的乘法
【解析】【分析】（1）根据题意用10÷500即可求解；
（2）根据有理数的乘法结合科学记数法（科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同）即可求解；
（3）根据有理数的乘方结合科学记数法（科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同）即可求解；
（4）根据题意言之有理即可求解。
21．【答案】A
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]＝9× ＝1.
故答案为：A.
【分析】根据新定义列出算式9×[（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得.
22．【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据 1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6 ，可知100！=100×99×98××1；98！=99×98××1；由此可得答案.
23．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、 5×(－6)＝(－6)×5 ，正确；
B、 [4×(－5)] ×(－10)＝4×[ (－5)×(－10) ] ，正确；
C、 [(－ )＋ ]×(－12)＝(－ )×(－12) ＋ ×(－12) ，正确；
D、(－8)× ×(－1)× ＝8× ×1× ，错误；
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘法法则对ABD分别判断；根据乘法的分配律对C作判.
24．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、9÷6×2=；
B、18÷3×2=12≠6；
C、；
D、，
∴B图的规律和其它图的规律不一样.
故答案为：B.
【分析】根据图形中的数字找出规律：右边的数除以左边的数再乘以2等于上边的数，从而得出结论．
25．【答案】32
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：如下图：在直径为8分米的圆形钢板上截取一个最大的正方形，
则正方形的对角线等于这个圆的直径8，
∴正方形的面积为：平方分米
故答案为：32．
【分析】根据题意可知正方形的对角线等于这个圆的直径8，正方形的对角线把正方形分割4个一样的直角三角形，用三角形的面积×4即可得到正方形的面积．
26．【答案】105cm
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：①如果将两根细木条重叠摆放，则130÷2﹣80÷2=25cm；
②如果将两根细木条相接摆放，则130÷2+80÷2=105cm
故答案为：105cm
【分析】根据题目条件可得两种摆放条件：①两根木棍将一端重叠摆放；②两根木棍相接摆放。根据两种不同的摆放情况，计算两根木棍之间中点的距离。
27．【答案】4；3
【知识点】数学思想；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】当输出结果为1时，路径的长为7，
倒推可得：
n的所有可能的值有4个，分别为3，20，21，128，最小的是3.
【分析】采用倒推方法，将所有可能的路径找到即可.
28．【答案】970
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】根据题意得：
所以这户居民4个月共需缴纳水费970元．
【分析】根据题意把190分为两段：180+10，再根据表格数据第一阶梯与第二阶梯的水价计算出总水费即可.
29．【答案】（1）不正确；①；运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行
（2）
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1）答：不正确
若有错误，在哪一步？答：①（填代号）
错误的原因是：运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行；
（ 2 ）原式=﹣ ÷（﹣15）×（﹣ ）
=﹣ × ×
= ，
这个计算题的正确答案应该是： ．
故答案为：
【分析】（1）含有乘除运算的依次计算，依次此题的解法错误；不能利用乘法分配律计算，可得出错误在①，可解答。
（2）先将除法转化为乘法，再约分计算。
30．【答案】（1）解：分钟，
海里；
（2）解：小时，
小时；
（3）解：海里．
【知识点】有理数的乘除混合运算；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1） 分钟，海里，
答：航行了17.5海里；
（2） 小时，小时，
答：某国舰艇从逃跑至驶出我国专属经济区共经历了2.5小时；
（3） 海里．
答：我海军驱逐舰从发现不明舰艇到第二次发出驱离警告共航行了52.5海里，
故答案为：17.5；2.5；52.5.
【分析】（1）先求出从发现到发出警告的时间，再利用“路程=速度×时间”列出算式求解即可；
（2）先求出从逃跑到第二次警告的时间，再加上第一次的时间列出算式求解即可；
（3）利用“总路程=第一次路程+第二次路程”列出算式求解即可.
1 / 1浙教版数学七上考点突破训练：有理数的乘除运算
一、有理数的乘法运算
1．（2019七上·越城月考）四个互不相等的整数的积为49，则它们的和为（ ）
A．0 B．8 C．16 D．8或1
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（-1）×（-7）×1×7=49.
所以这四个数字为-1，-7，1，7.
-1+1+（-7）+7=0.
故答案为：A.
【分析】根据有理数乘法法则的逆用将49分解为 四个互不相等的整数的积 ，进而根据有理数的加法法则就可算出这4个因数的和.
2．（2023七上·鄞州月考） 7个有理数相乘的积是负数，那么其中负因数的个数最多有（ ）
A．种可能 B．种可能 C．种可能 D．种可能
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵7个有理数相乘的积是负数，
∴负数的个数为奇数，
即负数的个数为：1，3，5，7，
∴其中负因数的个数最多有4种可能，
故答案为：C.
【分析】根据几个有理数的乘积为负，得到负数的个数为奇数，进而即可求解.
3．（2023七上·鄞州月考）法国的“小九九”从“一 一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算和的两个示例．若用法国的“小九九”计算，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由题意得到：左手等于第一个数减去5，右手等于第二个数减去5，
∴计算，左手：右手：
∴左、右手依次伸出手指的个数是2，4，
故答案为：C.
【分析】根据题意得到：左手等于第一个数减去5，右手等于第二个数减去5，据此即可求解.
4．（2022七上·永嘉期中）如图，碳足迹标签是一种让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量的标示方式．规定一定条件下碳足迹数据的标示为距离碳排放量最近的一个偶数，例如，碳排放量为20.2克，碳足迹数据标示为20克；碳排放量为21.0克，碳足迹数据标示为20克或22克；碳排放量为21.6克，碳足迹数据标示为22克．已知一个产品的碳足迹数据标示为32克，若此产品的碳排放量减少为原来的80%，则此时该产品碳足迹数据的标示是（ ）
A．26克 B．24克或26克 C．25克或26克 D．24克或25
【答案】B
【知识点】定义新运算；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：∵足迹数据为32克，
∴31＜碳排放量＜33，
∴减少80%后排放量为24.8＜碳排放量＜26.4，
∴足迹为24或26.
故答案为：B.
【分析】先阅读题意可得足迹数为排放量最近的偶数，因此要求足迹数，先求出排放量即可；足迹32可得排放量范围31~33，可以求出排放量的80%是24.8~26.4，相距最近的偶数为24或者26.
5．已知a,b的和，a,b的积及b的相反数均为负，则a,b,-a,a+b,b-a的大小关系是 ．（用“<”把它们连接起来）
【答案】a【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则
【解析】【解答】因为ab<0，所以a,b异号，又因为b的相反数为负数，所以b为正数，a为负数，又因为a+b<0，所以，所以a【分析】从选项中可知比较 ab,bc的大小即可．
6．（2023七上·越城月考）下列说法：①若ab＞0，则a＞0，b＞0；②若ab＜0，则a＜0，b＜0；③若ab＝0，则a或b至少有一个为0；④若ab＞0，且a＋b＜0，则a＜0，b＜0.其中正确的有 .
【答案】③④
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解： ①若ab＞0，则a＞0，b＞0 或a＜0，b＜0，①错误；
②若ab＜0，则a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，②错误；
③若ab＝0，则a或b至少有一个为0，③正确；
④若ab＞0，则a＞0，b＞0 或a＜0，b＜0. 又a＋b＜0，则a＜0，b＜0，④正确.
故答案为：③④.
【分析】根据有理数的乘法法则：同号得正，异号得负即可判断.
7．（2023七上·鄞州月考）数学活动课上，王老师在张卡片上写了个不同的数：
如果从中任意抽取张，使这张卡片上的数之积最小，最小的积为 ；使这张卡片上的数字之积最大，最大的积为 ．
【答案】-80；120
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）抽取-8，5，2时，乘积最小，积为：
（2）抽取-8，5，-3时，乘积最大，积为：
故答案为：.
【分析】根据有理数的乘法法则可知，几个因数相乘，当有奇数个负因数时，积为负数，当有偶数个负因数时，积为正数，所以要使积最小，就要选一个负数，和两个正数，且这三个数的绝对值要尽可能大，要使积最大，就选两个负数或没有负数，这三个数绝对值尽可能大.，据此即可求解.
8．（2024七上·南浔期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ．
【答案】615、645、675
【知识点】有理数的乘法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得图形：
∴ b=6，b-1=5，
当a=1时，相乘结果为615，
当a=3时，相乘结果为645，
当a=5时，相乘结果为675，
故答案为：615或645或675.
【分析】根据铺地面的方法画出每个位置的数，求出b，将a分情况讨论即可.
9．
（1） 计算：
（2）计算：×(-9)．下面是两位同学的解法：
小方：原式=×9==
小杨：原式=(19+×(-9)=-19×9-×9=
①两位同学的解法中，谁的解法较好？
②请你写出另一种更好的解法．
【答案】（1）原式=
=
=-2+1+=-3
（2）①小杨的解法较好．
②×(-9)=(20-)×(-9)=20×(-9)- ×(-9)=-179.5
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律计算即可；
（2）①小杨的解法较好．
②将原式化为(20-)×(-9)，再利用乘法分配律计算即可.
10．（2023七上·鄞州月考）在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学，照这样的方法直到全班名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师你知道最后的结果吗？
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【分析】根据题干：将这个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四名同学，按照这样的方法直到全班名同学全部传完，列式计算即可.
二、有理数的除法运算
11．（2024七上·玉林期中）已知，且，则的值为（ ）
A．0 B．或1 C．2或 D．0或
【答案】B
【知识点】有理数的除法法则；化简含绝对值有理数；求代数式的值-整体代入求值
12．若a+b＜0，且＜0，则（ ）
A．a，b异号且负数的绝对值大 B．a，b异号且正数的绝对值大
C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【答案】A
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：∵＜0，
∴a、b异号，
又∵a+b＜0，
∴负数的绝对值较大．
故选A．
【分析】根据有理数的除法法则确定a和b是异号，然后根据加法法则即可确定．
13．已知：ab≠0，且M=，当a、b取不同的值时，M有（ ）
A．唯一确定的值 B．2种不同的取值
C．3种不同的取值 D．4种不同的取值
【答案】B
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：当a＞0，b＞0时，M=1+1+1=3；
当a＜0，b＜0时，M=﹣1+（﹣1）+1=﹣1；
a＞0，b＜0时，M=1﹣1﹣1=﹣1；
当a＜0，b＞0时，M=﹣1+1﹣1=﹣1．
故选：B．
【分析】分为a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0四种情况化简计算即可
14．下列计算正确的是（ ）
A．0÷(-3)= B．()÷()=-5
C．1÷()=-9 D．÷(-3)=- 9
【答案】C
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：A、原式=0，不符合题意；
B、原式==5， 不符合题意；
C、原式=1×（-9）=-9，符合题意；
D、原式=，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的除法法则计算即可求解.
15．（2024七上·新宁期末）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，，有以下结论：①；②；③；④，则所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：①∵a＞0，a＋b＜0，
∴b＜0，故①正确；
②∵a＞0，b＜0，
∴b a＜0，故②错误；
③∵a＋b＜0，a＞0，b＜0，
∴| a|＜ b，故③错误；
④，故④正确．
综上可得①④正确．
故答案为：A．
【分析】结合数轴及判断出a、b的正负和大小，再逐项分析判断即可.
16．（2023七上·鄞州月考）定义：是不为的有理数，我们把称为的差倒数如：的差倒数是，的差倒数是已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，以此类推，则 ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数的除法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴三个为一个周期，
∵
∴
故答案为：.
【分析】计算前四个式子，结果为：，三个为一个周期，据此求解即可.
17．（2024七上·北京市月考）如图所示，在数轴上有、、三个点，请回答下列问题：
（1）若将点沿数轴向左移动个单位长度，则、、三个点所表示的数谁最小？
（2）移动、、三个点中的两个点，使三个点所表示的数相同？请你描述一种移动方法；
（3）若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，点与点重合，则点表示的数是 ；
（4）若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则点表示的数是 ，点表示的数是 ．
【答案】（1）点表示的数最小
（2）点不动，把点沿数轴向左移动个单位长度，点沿数轴向左移动个单位长度，此时三个点所表示的数相同（答案不唯一）
（3）
（4）；
【知识点】有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
18．（2021七上·滨州月考）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝ ×（﹣30）﹣ ×（﹣30）+ ×（﹣30）﹣ ×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ．
【答案】解：原式的倒数是：
，
故原式 ．
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【分析】利用材料的计算方法，利用有理数的除法先求原式的倒数，再计算原式的值即可。
19．（2023七上·通川期末）（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”.
（1）直接写出计算结果： ， .
（2）（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算此处不用作答）
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 ； .
（3）算一算：.
【答案】（1）；9
（2）；
（3）解：
【知识点】有理数的除法法则；定义新运算
【解析】【解答】解：（1），
；
（2）；
；
【分析】（1）根据定义的新运算可得，，然后根据有理数的除法法则进行计算；
（2）根据定义的新运算可得，，然后根据有理数的除法法则进行计算；
（3）根据定义的新运算可将原式变形为-81÷(-27)×16-÷，然后计算乘除法，再计算减法即可.
20．（【导学精练】初中数学七年级上册专题2.5.有理数的乘方）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：
（1）一粒大米重约多少克？
（2）按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）；
（3）若我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）；
（4）经过以上计算，你有何感想和建议？
【答案】（1）解：（克），
答：粒大米重约克；
（2）解：（千克），
答：一年大约能节约大米千克
（3）解：（元），
答：卖得人民币元．
（4）解：一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大得惊人．所以提倡节约，杜绝浪费﹐我们要行动起来．（合理即可）
【知识点】有理数除法的实际应用；科学记数法表示数的乘法
【解析】【分析】（1）根据题意用10÷500即可求解；
（2）根据有理数的乘法结合科学记数法（科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同）即可求解；
（3）根据有理数的乘方结合科学记数法（科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同）即可求解；
（4）根据题意言之有理即可求解。
三、有理数的乘除混合运算
21．（2019七上·洪泽期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]＝9× ＝1.
故答案为：A.
【分析】根据新定义列出算式9×[（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得.
22．（2021七上·温州期中）若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6，……，则 的值为（ ）
A． B．99！ C．9900 D． 2！
【答案】C
【知识点】定义新运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据 1!=1， 2!=2 1=2， 3!=3 2 1=6 ，可知100！=100×99×98××1；98！=99×98××1；由此可得答案.
23．（2021七上·余杭月考）下列变形不正确的是（ ）
A．5×(－6)＝(－6)×5
B．[4×(－5)] ×(－10)＝4×[ (－5)×(－10) ]
C．[(－)＋ ]×(－12)＝(－)×(－12) ＋ ×(－12)
D．(－8)× ×(－1)× ＝(－8× ×1× )
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、 5×(－6)＝(－6)×5 ，正确；
B、 [4×(－5)] ×(－10)＝4×[ (－5)×(－10) ] ，正确；
C、 [(－ )＋ ]×(－12)＝(－ )×(－12) ＋ ×(－12) ，正确；
D、(－8)× ×(－1)× ＝8× ×1× ，错误；
故答案为：D.
【分析】根据有理数的乘法法则对ABD分别判断；根据乘法的分配律对C作判.
24．（2023七上·台江开学考）下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、9÷6×2=；
B、18÷3×2=12≠6；
C、；
D、，
∴B图的规律和其它图的规律不一样.
故答案为：B.
【分析】根据图形中的数字找出规律：右边的数除以左边的数再乘以2等于上边的数，从而得出结论．
25．（2024七上·新都开学考）在直径为8分米的圆形钢板上截取一个最大的正方形，这个正方形的面积是 平方分米．
【答案】32
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：如下图：在直径为8分米的圆形钢板上截取一个最大的正方形，
则正方形的对角线等于这个圆的直径8，
∴正方形的面积为：平方分米
故答案为：32．
【分析】根据题意可知正方形的对角线等于这个圆的直径8，正方形的对角线把正方形分割4个一样的直角三角形，用三角形的面积×4即可得到正方形的面积．
26．（人教版七年级数学上册 第一章有理数 单元检测b卷）两根细木条，一根长80厘米，另一根长130厘米，将它们其中的一端重合，放在同一条直线上，此时两根细木条的中点间的距离是 ．
【答案】105cm
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：①如果将两根细木条重叠摆放，则130÷2﹣80÷2=25cm；
②如果将两根细木条相接摆放，则130÷2+80÷2=105cm
故答案为：105cm
【分析】根据题目条件可得两种摆放条件：①两根木棍将一端重叠摆放；②两根木棍相接摆放。根据两种不同的摆放情况，计算两根木棍之间中点的距离。
27．（2023七上·和平期中）如下图所示，对于任意正整数，若为奇数则乘3再加1，若为偶数则除以2，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数．在1937年提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．若输入数，路径长为，当时，的所有可能值有 个，其中最小值为 ．
【答案】4；3
【知识点】数学思想；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】当输出结果为1时，路径的长为7，
倒推可得：
n的所有可能的值有4个，分别为3，20，21，128，最小的是3.
【分析】采用倒推方法，将所有可能的路径找到即可.
28．（2023七上·北京市期中） 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表：
北京市居民用水阶梯水价表
某户居民从2015年1月1日至4月30日，累积用水200立方米，则这户居民4个月共需缴纳水费 元．
【答案】970
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】根据题意得：
所以这户居民4个月共需缴纳水费970元．
【分析】根据题意把190分为两段：180+10，再根据表格数据第一阶梯与第二阶梯的水价计算出总水费即可.
29．（2018-2019学年数学苏科版七年级上册《第2章有理数》单元测试卷）阅读后回答问题：
计算（﹣ ）÷（﹣15）×（﹣ ）
解：原式=﹣ ÷[（﹣15）×（﹣ ）]①
=﹣ ÷1②
=﹣ ③
（1）上述的解法是否正确？答：
若有错误，在哪一步？答： （填代号）
错误的原因是：
（2）这个计算题的正确答案应该是： ．
【答案】（1）不正确；①；运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行
（2）
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1）答：不正确
若有错误，在哪一步？答：①（填代号）
错误的原因是：运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行；
（ 2 ）原式=﹣ ÷（﹣15）×（﹣ ）
=﹣ × ×
= ，
这个计算题的正确答案应该是： ．
故答案为：
【分析】（1）含有乘除运算的依次计算，依次此题的解法错误；不能利用乘法分配律计算，可得出错误在①，可解答。
（2）先将除法转化为乘法，再约分计算。
30．（2024七上·长沙期末）上午9点，我海军驱逐舰发现有不明舰艇在我国专属经济区内活动，我军驱逐舰立即以每小时35海里的速度前往识别．上午9点30分发现不明舰艇为某国舰艇在从事非法活动，于是立即发出驱离警告，此时某国舰艇距我海军驱逐舰11海里并开始逃跑，逃跑的速度是每小时25海里，我海军驱逐舰仍以原来的速度紧追．在距某国舰艇1海里的时候第二次发出驱离警告，90分钟后某国舰艇驶出了我国专属经济区．
（1）我海军驱逐舰从发现不明舰艇到第一次发出驱离警告，航行了多少海里？
（2）某国舰艇从逃跑至驶出我国专属经济区共经历了多长时间？
（3）我海军驱逐舰从发现不明舰艇到第二次发出驱离警告共航行了多少海里？
【答案】（1）解：分钟，
海里；
（2）解：小时，
小时；
（3）解：海里．
【知识点】有理数的乘除混合运算；有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1） 分钟，海里，
答：航行了17.5海里；
（2） 小时，小时，
答：某国舰艇从逃跑至驶出我国专属经济区共经历了2.5小时；
（3） 海里．
答：我海军驱逐舰从发现不明舰艇到第二次发出驱离警告共航行了52.5海里，
故答案为：17.5；2.5；52.5.
【分析】（1）先求出从发现到发出警告的时间，再利用“路程=速度×时间”列出算式求解即可；
（2）先求出从逃跑到第二次警告的时间，再加上第一次的时间列出算式求解即可；
（3）利用“总路程=第一次路程+第二次路程”列出算式求解即可.
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