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浙教版九年级上学期数学期末阶段练习
一．选择题（共15小题）
1．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴，
解得：AB＝4．
故选：C．
2．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（ ）
A．3.8米 B．5.4米 C．5.6米 D．6米
【思路点拔】设旗杆的高度约为hm，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h的值即可．
【解答】解：设旗杆的高度约为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得：h＝5.4（米）．
故选：B．
3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B＝40°，则∠OAC＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【思路点拔】连接CO，根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠B＝80°，进而得出∠OAC的度数．
【解答】解：连接CO，
∵∠B＝40°，
∴∠AOC＝2∠B＝80°，
∴∠OAC＝（180°﹣80°）÷2＝50°．
故选：B．
4．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
【思路点拔】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
【解答】解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，则AO＝AB，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
5．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．1500（1+x）2＝4250
B．1500（1+2x）＝4250
C．1500+1500x+1500x2＝4250
D．1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500
【思路点拔】如果设投入经费的年平均增长率为x，根据2017年投入1500万元，得出2018年投入1500（1+x）万元，2019年投入1500（1+x）2万元，然后根据三年共投入4250万元可得出方程．
【解答】解：设2017﹣2019年投入经费的年平均增长率为x，则2018年投入1500（1+x）万元，2019年投入1500（1+x）2万元，
根据题意得1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500．
故选：D．
6．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．5：3 B．25：9 C．3：5 D．9：25
【思路点拔】根据相似三角形的性质：对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴两三角形的相似比为：5：3，
则△ABC与△A'B'C'的面积比是：25：9．
故选：B．
7．如图，半径为6的⊙A经过原点O和点C（0，4），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin∠OBC＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】设⊙A交x轴于D，连接CD，则CD是直径，根据正切的定义求出sin∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代换即可．
【解答】解：设⊙A交x轴于D，连接CD，则CD是直径，
在Rt△OCD中，CD＝12，OC＝4，
sin∠CDO，
由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，
则sin∠OBC，
故选：A．
8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
【思路点拔】先根据∠1＝∠2得出∠BAC＝∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE．
A、∵∠B＝∠D，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、∵，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、∵∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、∵，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
故选：D．
9．下列说法：
①三点确定一个圆；
②圆中最长弦是直径；
③长度相等的弧是等弧；
④三角形只有一个外接圆．
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．
【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
②圆中最长弦是直径，是真命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
④三角形只有一个外接圆，是真命题；
故选：C．
10．如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【思路点拔】先利用圆的内接四边形的性质计算出∠C＝67.5°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC＝45°，连接OB、OC，如图，根据圆周角定理得到∠BOC＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质求出BC即可．
【解答】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣112.5°＝67.5°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°，
∴∠BAC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BCOB＝2．
故选：C．
11．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【思路点拔】由点D是△ABC的内心，得∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，由EF∥BC得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，则∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，即可证明DE＝BE，DF＝CF，进而推导出AB+AC＝AE+AF+EF＝9，则AB+AC+BC＝9+8＝17，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点D是△ABC的内心，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴EF经过点D，且EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∵△AEF的周长为9，
∴AB+AC＝AE+BE+AF+CF＝AE+DE+AF+DF＝AE+AF+EF＝9，
∵BC＝8，
∴AB+AC+BC＝9+8＝17，
∴△ABC的周长是17，
故选：B．
12．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】设AD＝2k，则DB＝3k，根据等边三角形的性质可得∠FDB＝∠AED，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：设AD＝2k，则DB＝3k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，
∵∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
∵CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k，
∴△AED与△BDF的相似比为7：8，
∴CE：CF＝DE：DF＝7：8，
故选：A．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，P是矩形上方一个动点．且满足∠APB＝90°，连接DP，则DP的最大值是（ ）
A．22 B．4 C．2 D．42
【思路点拔】由∠APB＝90°，可知点P在以AB为直径的圆上，作辅助圆O，确定当P、O、D共线时，PD最大，先根据勾股定理计算OD的长，OP就是半径OB的长，可得PD的长．
【解答】解：∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
取AB的中点为O，画半圆，
连接OP、OD，
如图1，△DPO中，OP+OD＞PD，
∴当P、O、D在同一直线上时，PD的长最大，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°，
∵AD＝2，AO＝2，
∴OD＝2，
∴PD＝OD+PO＝OD+OB＝22；
故选：A．
14．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拔】根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①；
由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②；
根据对角互补，进而判断③；
由△APB∽△NAB得，再结合△PAM∽△PBC便可判断④．
【解答】解：∵AP⊥BN，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∵∠PBA+∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝∠PBC，
∵∠PMA＝∠PCB，
∴△PAM∽△PBC，
故①正确；
∵△PAM∽△PBC，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，
故②正确；
∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
故③正确；
∵AP⊥BN，
∴∠APN＝∠APB＝90°，
∴∠PAN+∠ANB＝90°，
∵∠ANB+∠ABN＝90°，
∴∠PAN＝∠ABN，
∵∠APN＝∠BPA＝90°，
∴△PAN∽△PBA，
∴，
∵△PAM∽△PBC，
∴，
∴，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
故④正确；
故选：A．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【思路点拔】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；根据勾股定理求得A′D的长，即可求得PE+PD最小值．
【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；
∵矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，
∴A′D′＝BC＝3，DD′＝2DC＝4，AE′＝1，
∴A′D＝5，
∴DE′＝5﹣1＝4
∴PE+PD＝PE′+PD＝DE′＝4，
故选：C．
二．填空题（共12小题）
16．在比例尺是1：200000的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 9.2 千米．
【思路点拔】实际距离：图上距离＝比例尺．注意单位统一成千米．
【解答】解：设它们之间的实际距离约为x千米，
4.6cm＝0.000046km
则1：200000＝0.000046：x，
解得x＝9.2，
故答案为：9.2．
17．△ABC的三边长分别为7、6、2，△DEF的两边分别为1、3，要使△ABC∽△DEF，则△DEF的第三边长为 3.5 ．
【思路点拔】由△ABC的三边长分别为7、6、2，△DEF的两边分别为1、3，要使△ABC∽△DEF，可得相似比为2，继而求得答案．
【解答】解：∵要使△ABC∽△DEF，需，
∵△ABC的三边长分别为7、6、2，△DEF的两边分别为1、3，
∴△DEF的两边1、3分别与△ABC的两边2，6是对应边，
∴△DEF的第三边长为：73.5．
故答案为：3.5．
18．若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是 π cm2．（结果保留π）
【思路点拔】利用扇形面积公式直接计算．
【解答】解：∵扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，
∴扇形的面积3π（cm2），
故答案为：π．
19．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在岸边顺次取点B，E，C，使得AB⊥BC，过点C作CD⊥BC交AE延长线于点D，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为 40 m．
【思路点拔】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴
解得：AB＝40，
故答案为：40．
20．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则 2 ．
【思路点拔】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答．
【解答】解：∵，
∴2，
∵l1∥l2∥l3，
∴2，
故答案为：2．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过 2或4 秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2．
【思路点拔】设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
【解答】解：设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8cm2，由题意得，
（6﹣x） 2x＝8，
x＝2或x＝4．
∴经过2秒或4秒时，△PBQ的面积为8cm2．
故答案为2或4．
22．如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是 ．
【思路点拔】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：连接OD，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝30°，
∴OD＝AD tanA＝2，OA4，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠OBD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴，即，
解得，CD，
故答案为：．
23．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则的值为 ．
【思路点拔】根据翻折的性质可得∠BAC＝∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA＝∠BAC，从而得到∠EAC＝∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF＝CF，再求出DF＝EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出，设DF＝3x，FC＝5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC＝∠EAC，AE＝AB＝CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF＝CF，
∴AE﹣AF＝CD﹣CF，
即DF＝EF，
∴，
又∵∠AFC＝∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴，
设DF＝3x，FC＝5x，则AF＝5x，
在Rt△ADF中，AD4x，
又∵AB＝CD＝DF+FC＝3x+5x＝8x，
∴．
故答案为：．
24．如图，A、B、C在⊙O上，OA，OB是圆的半径，连接AB，BC，AC．若∠ABO＝55°，则∠ACB的度数是 35° ．
【思路点拔】利用等腰三角形的性质求出∠AOB，再利用圆周角定理解决问题即可．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣2×55°＝70°，
∴∠ACB∠AOB＝35°，
故答案为：35°．
25．如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交圆O于点C，D是优弧AC上一点，连接AD、CD．若∠ABO＝40°．则∠D的大小是 25° ．
【思路点拔】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余计算出∠AOB＝50°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．
【解答】解：∵直线l是⊙O的切线，点A为切点，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝50°，
∴∠D∠AOB＝25°．
故答案为：25°．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，直线l经过点C，且l∥AB，P为直线l上一个动点，若AC＝4，BC＝3，以点P，A，C为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝ 3.2或5 ．
【思路点拔】先利用勾股定理求出AB的长，若△ABC与△PAC相似，则PC可以和AB对应也可以AC对应，所以要分两种情况分别讨论，求出PC的值即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∵l∥AB，
∴∠ACP＝∠A，
当以点P，A，C为顶点的三角形与△ABC相似，
∴或，
∴或，
解得：PC＝5或3.2．
综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC＝3.2或5．
故答案为：3.2或5．
27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 π ．
【思路点拔】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到ABBC＝4，则OCAB＝2，OPAB＝2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO＝90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点与A点重合时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF＝OC＝2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．
【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，
∴ABBC＝4，
∴OCAB＝2，OPAB＝2，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点与A点重合时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长 2π π．
解法二：取OC的中点D，连接DM，
因为线段DM为三角形COP的中位线，DM等于PO的一半，
所以动点M到定点D的距离为定长，
所以动点M的运动路径是以定点D为圆心，以为定长的半圆．
所以点M运动的路径长 2π π．
故答案为π．
三．解答题（共2小题）
28．如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在△ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果△APC是等腰三角形，且△ABC与△APD相似，则我们称△APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若△APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 45° ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知Rt△APC，若Rt△APC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，△ABC与△APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．
【思路点拔】（1）根据平行四边形的性质、“等腰邻相似三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC即为所求；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图2中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45°
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AP＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA，
在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°，
∴3∠PCA＝135°
∴∠PCA＝45°．
故答案为45°．
（2）如图3中，
在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠BAC＝∠DPC，
∵∠BCA＝∠D，
∴△CBA∽△DCP，
∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，
（3）由题意△APC是等腰直角三角形，
∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似，
∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形；
如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD．
如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD．
当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意；
如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似．
综上所述，满足条件的BD的长度为或．
29．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B（或∠BCD＝∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4．试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB＝5，AC＝4．若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．
（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A（0，2），B（0，﹣3），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．只要证明△ACD∽△ABC即可解决问题；
（2）只要证明CD⊥AB即可解决问题；
（3）如图③中，存在．有2种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分2种情形求解即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．
理由：如图①中，
∵D是AB中点，AB＝4，
∴AD＝DB＝2，
∵AC2＝（2）2＝8，AD AB＝8，
∴AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”，
（2）如图②中，
∵点D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，
当∠BCD＝∠A时，同法证明：CD⊥AB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，AC＝4，
∴BC3，
∵AB CDAC BC，
∴CD．
（3）如图③中，存在．有2种情形：
过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．
∵∠MAC＝∠AOC＝∠AHM＝90°，∠ACM＝45°，
∴∠AMC＝∠ACM＝45°，
∴AM＝AC，
∵∠MAH+∠CAO＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠MAH＝∠ACO，
∴△AHM≌△COA（AAS），
∴MH＝OA，OC＝AH，设C（a，0），
∵A（0，2），B（0，﹣3），
∴OA＝MH＝2，OB＝3．AB＝5，OC＝AH＝a，BH＝a﹣5，
∵MH∥OC，
∴，
∴，
解得a＝6或﹣1（舍弃），
经检验a＝6是分式方程的解，
∴C（6，0），OC＝6，
①当∠D1CA＝∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”．设D1（0，m），
∵∠D1CA＝∠ABC，∠CD1A＝∠CD1B，
∴△D1AC∽△D1CB，
∴CD12＝D1A D1B，
∴m2+62＝（m﹣2）（m+3），
解得m＝42，
∴D1（0，42）．
②当∠BCA＝∠CD2B时，点A是△BCD2的“理想点”．
易知：∠CD2O＝45°，
∴OD2＝OC＝6，
∴D2（0，6）．
综上所述，满足条件的点D坐标为（0，42）或（0，6）．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上学期数学期末阶段练习
一．选择题（共15小题）
1．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（ ）
A．3.8米 B．5.4米 C．5.6米 D．6米
3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B＝40°，则∠OAC＝（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
5．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A．1500（1+x）2＝4250
B．1500（1+2x）＝4250
C．1500+1500x+1500x2＝4250
D．1500（1+x）+1500（1+x）2＝4250﹣1500
6．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．5：3 B．25：9 C．3：5 D．9：25
7．如图，半径为6的⊙A经过原点O和点C（0，4），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则sin∠OBC＝（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．
9．下列说法：
①三点确定一个圆；
②圆中最长弦是直径；
③长度相等的弧是等弧；
④三角形只有一个外接圆．
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
11．如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
12．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，P是矩形上方一个动点．且满足∠APB＝90°，连接DP，则DP的最大值是（ ）
A．22 B．4 C．2 D．42
14．如图，在正方形ABCD中，N为边AD上一点，连接BN．过点A作AP⊥BN于点P，连接CP，M为边AB上一点，连接PM，∠PMA＝∠PCB，连接CM，有以下结论：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四点共圆；④AN＝AM．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画⊙A，E是圆⊙A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
二．填空题（共12小题）
16．在比例尺是1：200000的常州交通图上，文化宫广场与恐龙园之间的距离为4.6厘米，则它们之间的实际距离约为 千米．
17．△ABC的三边长分别为7、6、2，△DEF的两边分别为1、3，要使△ABC∽△DEF，则△DEF的第三边长为 ．
18．若扇形的半径为3cm，该扇形的弧长为，则此扇形的面积是 cm2．（结果保留π）
19．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在岸边顺次取点B，E，C，使得AB⊥BC，过点C作CD⊥BC交AE延长线于点D，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为 m．
20．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则 ．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2．
22．如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是 ．
23．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC＝3：5，则的值为 ．
24．如图，A、B、C在⊙O上，OA，OB是圆的半径，连接AB，BC，AC．若∠ABO＝55°，则∠ACB的度数是 ．
25．如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交圆O于点C，D是优弧AC上一点，连接AD、CD．若∠ABO＝40°．则∠D的大小是 ．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，直线l经过点C，且l∥AB，P为直线l上一个动点，若AC＝4，BC＝3，以点P，A，C为顶点的三角形与△ABC相似，则PC＝ ．
27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 ．
三．解答题（共2小题）
28．如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在△ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果△APC是等腰三角形，且△ABC与△APD相似，则我们称△APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”．
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若△APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ；
（2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由；
（3）已知Rt△APC，若Rt△APC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，△ABC与△APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值．
29．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B（或∠BCD＝∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4．试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB＝5，AC＝4．若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．
（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A（0，2），B（0，﹣3），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
