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5.4一次函数的图象七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：根据一次函数的解析式判断其经过的象限
【经典例题1】正比例函数的图象经过的象限有（ ）
A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二，三象限 D．二，三，四象限
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图像，当时，正比例函数的图象经过第二、四象限；当时，正比例函数的图象经过第一、三象限．
根据一次函数图像的性质即可解答．
【详解】解：∵在正比例函数中，，
∴图象经过第一、三象限．
故选：A．
【变式训练1-1】对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点 B．值随着值增大而减小
C．它的图象经过第二象限 D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，当时，，
∴它的图象不经过点，故选项说法错误，不合题意；
、∵，
∴值随着值增大而增大，故选项说法错误，不合题意；
、∵，，
∴它的图象经过一、三、四象限，故选项说法错误，不合题意；
、当时，，
∵值随着值增大而增大，
∴当时，，故选项说法正确，符合题意；
故选：．
【变式训练1-2】关于直线l： ，下列说法不正确的是（ ）
A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限
C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．
对于A，C两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断B、D的正误．
【详解】解：A、当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意；
B、当时，经过第一、二、三象限，故B不正确，符合题意；
C、当时，，即经过定点，故C正确，不符合题意；
D、当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-3】关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据一次函数图象与系数的关系可对进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征可对进行判断，根据一次函数的性质可对、进行判断．
【详解】解：A、∵一次函数，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，故选项错误，不符合题意；
B、当，则图象与轴交于点，故选项错误，不符合题意；
C、由得函数值随自变量的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
D、当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-4】下列关于一次函数的结论，错误的是（ ）
A．图象经过点 B．函数值随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点 D．图象经过第二、三、四象限
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据可得一次函数图象经过第一、二、四象限，把点代入计算，函数的增减性进行判定即可求解．
【详解】解：一次函数解析式为，
∴，
A、当时，，即图象经过点，该选项正确，不符合题意；
B、函数值随x的增大而减小，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，即图象与y轴交于点，该选项正确，不符合题意；
D、一次函数图象经过第一、二、四象限，故原选项错误，符合题意；
故选：D ．
【变式训练1-5】下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，根据一次函数的增减性可判断；令解方程可判断；根据一次函数的增减性和与轴的交点可判断和，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴当值增大时，的值随着增大而减小，故选项不正确，不符合题意；
、∵当时，，
∴函数图象与轴的交点坐标为，故选项不正确，不符合题意；
、∵的值随着增大而减小，函数图象与轴的交点坐标为，
∴当时，，故选项不正确，不符合题意；
、∵的值随着增大而减小，函数图象与轴的交点坐标为，
∴图象经过第二、三、四象限，故选项正确，符合题意；
故选：．
题型二：根据函数经过的象限求参数的取值范围
【经典例题2】函数的图象在第一、二、四象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质及解一元一次不等式组，根据函数与系数的关系得到，解不等式组即可得出答案
【详解】函数的图象在第一、二、四象限，
，
解得，
故答案为：C．
【变式训练2-1】已知一次函数，随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和解一元一次不等式组，根据题意列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，
∴，
∴．
故选：D．
【变式训练2-2】一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和系数的关系以及增减性是解题关键．根据一次函数图象经过的象限，得出，再利用一次函数的增减性，即可判断出函数值的大小．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
随的增大而减小，
，
，
故选：A．
【变式训练2-3】已知一次函数的图象不经过第二象限，则下列说法中正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象不经过第二象限得出，，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，，
∴，，
故选：D．
【变式训练2-4】若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，解不等式，根据一次函数不经过第二象限可得，由此即可求解．
【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限，
∴，
解得，，
故选：A ．
【变式训练2-5】若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握直线所在的位置与、的符号之间的关系是解题的关键：时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
根据函数图象所经过的象限列出不等式组，求出的取值范围即可．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，
解得：，
故选：．
题型三：画一次函数图像
【经典例题3】在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点．
(1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象；
(2)直接写出两点的坐标．
【答案】(1)图象见详解；
(2)．
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用两点法画出函数的图像即可；
（2）根据图像即可求得．
【详解】（1）解：当时，
当时，，，
过点作直线，
画出函数图像如图；
（2）解：对于，当时，；
对于，当时，；
∴．
【变式训练3-1】已知一次函数．
(1)将下列表格补充完整 ，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x … 0 1 …
… 0 …
(2)当函数值y为10时，自变量x的值为______．
【答案】(1)
见解析
(2)3
【分析】本题考查一次函数的图象，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象．
（1）直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象；
（2）令，求解即可．
【详解】（1）解：时，，
解得：，
时，，
时，，
补充表格如下：
x … 0 1 …
… 0 4 6 …
画出函数图象如下.
（2）解：，
解得：．
【变式训练3-2】在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格：
… 1 2 …
… 4 3 3 0 …
(1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______；
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象；
(3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据当时，或1，得到和有一个点不在该函数图象上，再根据待定系数法求出一次函数的解析式，求出当时x的值，即可得到答案；
（2）根据描点法进行画图即可；
（3）根据斜率相同，两直线平行，即可得到答案．
【详解】（1）解：由表格可知，当时，或1，
∴和有一个点不在该函数图象上，和在该函数图象上，
设一次函数的解析式为，
则，
解得：，，
∴一次函数的解析式为，
当时，，解得，
∴点不在该图象上，
故答案为：；
（2）解：一次函数的图象如下所示，
（3）解：∵当一次函数斜率相同时，两直线平行，一次函数的解析式为
∴正比例函数的解析式为：．
【点睛】本题考查求一次函数的解析、描点法画一次函数的图象和一次函数图象的性质，解题的关键是求出一次函数的解析式．
【变式训练3-3】已知，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)画出该函数图象．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．
（1）代入求出的值，以及求出的值即可得到答案；
（2）描点，连线，画出图形．
【详解】（1）解：令，则，
点A的坐标为
令，则，
点B的坐标为
（2）解：如图：
【变式训练3-4】已知一次函数的图象不经过第四象限．
(1)求的取值范围；
(2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围．
【答案】(1)的取值范围是
(2)图见详解
(3)的取值范围是
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意不等式组即可求解；
（2）根据，求出一次函数解析式，然后画函数图像即可．
（3）将和分别代入中，分别求出的值，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象不经过第四象限，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
（2）解：当时，一次函数解析式为
即，
在图上画上该函数的图象如下：
（3）解：将和分别代入中，
可分别得出和，
∴当时，的取值范围．
题型四：一次函数的平移
【经典例题4】一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，难度不大，要注意上下平移后k值不变．根据平移的规律 “上加下减，左加右减”进行解答即可．
【详解】解：一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位，
所得图象的函数解析式为：，
故选：B．
【变式训练4-1】将一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，平移后的函数图象经过点，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式，然后代入点根据待定系数法即可求得．
【详解】解：一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，则函数解析式变成：，
∵平移后的函数图象经过点，
∴，
解得：．
故选：B．
【变式训练4-2】将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为；
故答案为：．
【变式训练4-3】将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标的平移、直线与坐标x轴的交点问题等知识点，掌握平移规律“纵坐标向上平移加，向下平移减”是解题的关键．
先根据坐标的平移规律求得函数解析式，然后求得平移后的直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】解：直线向上平移2个单位长度，所得直线为：，
令，解得：，
∴平移后的直线与x轴的交点坐标为：．
故答案为：．
【变式训练4-4】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的平移，正比例函数的定义，根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”可得平移后的函数图形，再根据正比例函数的定义及一般式“”即可求解．
【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度后的函数解析式为，
∵平移后得到一个正比例函数的图象，
∴，
解得，，
故答案为： ．
【变式训练4-5】在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握解析式的“左加右减，上加下减”平移规律是解题的关键．
将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，相当于是把直线向下平移2个单位，据此求解即可．
【详解】解：由题意，可知本题是求把直线向下平移2个单位后的解析式，
则所求解析式为，即．
故答案为：．
题型五：判断一次函数的增减性
【经典例题5】点，点是一次函数图像的两个点，且，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的性质；由于一次函数，可知y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵一次函数中，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
【变式训练5-1】已知一次函数，经过点和点且，，当，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的性质的运用，根据一次函数中，的符号决定图象的位置进行判定即可求解．
【详解】解：一次函数中，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，且时，，
∵，
∴，
故选： B．
【变式训练5-2】一次函数上有两点，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解：∵在一次函数中，，
∴y随x增大而增大，
∵点，在一次函数的图象上，且，
∴，
故选：C．
【变式训练5-3】若一次函数不经过第三象限，则下列说法正确的是（ ）
A．，随的增大而减小 B．，随的增大而减小
C．，随的增大而增大 D．，随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由一次函数不经过第三象限，可得，，进而由一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数不经过第三象限，
∴，，
∴随的增大而减小，
∴，随的增大而减小，
故选：．
【变式训练5-4】已知点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性分析判断即可．
【详解】解：对于直线，，
∴y随x的增大而减小，
∵点都在直线上，且，
∴，
故选：C．
【变式训练5-5】在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及利用一次函数增减性比较函数值大小，先由确定一次函数的增减性，由增减性直接比较即可得到答案，熟记一次函数增减性是解决问题的关键．
【详解】解：一次函数的，
随的增大而减小，
点，在函数的图象上，，
，
故选：A．
【变式训练5-6】已知点在一次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式得到y随x增大而减小，再由，即可得到．
【详解】解：∵在中，，
∴y随x增大而减小，
∵点在一次函数的图象上，，
∴，
故选：A．
题型六：根据函数的增减性求参数
【经典例题6】已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
由且，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质可得出求解即可．
【详解】解：∵点、点在一次函数图象上，，，
∴y随x的增大而减小，
∴，解得：，
∴m的取值范围是．
故选A．
【变式训练6-1】已知点，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握点与解析式的关系是解题的关键．将，代入函数，求出，再表示出，由即可求解．
【详解】点，是一次函数图象上不同的两个点，
，
，
，
，
即，
，
故选：D．
【变式训练6-2】若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的增减性，根据正比例函数的增减性判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵当时，，
∴随的增大而增大，
∴，
解得：，
故选：C．
【变式训练6-3】已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为
【答案】6或/或6
【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，；据此利用待定系数法求解即可．
【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大，
∴当时，，
∴，
解得，
当时，一次函数y随x增大而减小，
∴当时，，
∴，
解得，符合题意．
综上可知，m的值为6或．
故答案为：6或．
【变式训练6-4】已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ．
【答案】2或/或2
【分析】由与的范围，确定出点坐标，代入一次函数解析式求出与的值，即可确定出所求．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【详解】解：当时，随的增大而增大，
∵当时，，
一次函数图象上的点坐标为和，
代入得：，
②①得：，
解得：，
把代入①得：，
此时；
当时，随的增大而减小，
一次函数图象上的点坐标为和，
代入得：，
解得：，
此时，
故答案为：2或．
【变式训练6-5】反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ．
【答案】或
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．此题考查反比例函数的增减性：当>时，在每个象限内随的增大而减小，当时，在每个象限内随的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
【详解】解：当>时，在每个象限内随的增大而减小，
∴设时，则当时，，
∴，
解得，
∴；
当时，在每个象限内随的增大而增大，
∴设时，则当时，，
∴，
解得，
∴；
∴或，
故答案为：或．
【变式训练6-6】已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数的性质，分两种情况进行分析：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果．
【详解】解：当时，y随x的增大而增大，
∵当时，，
∴当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴；
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，
解得,，
∴；
故答案为：或．
题型七：定义新运算
【经典例题7】定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象及性质．取连，取点P，轴轴，垂直分别为，可得均为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形进而得，继而得到线上的点为“成双点”，线上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解．
【详解】解：取连，取点P，轴轴，垂直分别为，
∵，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点是“成双点”，即线上的点为“成双点”，同理线上的点为“成双点”，
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，
∵一次函数的图象l经过点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为，
当一次函数的图象经过点E时，
∴，解得：，
当一次函数的图象经过点G时，
∴，解得：，
∴k的取值范围：，
故选：D．
【变式训练7-1】对于实数a,b，定义符号，其意义为：当时，，当时，，例如：，，若关于x的函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据定义分情况列出不等式：①当时，；②当时，，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解】解：由题意得：
①当，即时，，
，y随x的增大而减小，
当时，y取得最大值3；
②当，即时，，
，y随x的增大而增大，
当时，．
综上可知，函数的最大值为3．
故选：C．
【变式训练7-2】定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0.5 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了新定义、一次函数的图象及性质．
根据定义分情况列出不等式：①当时，；②当时，，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解】①当，即时，，
∵，y随x的增大而减小，
∴当，y有最大值，为；
②当，即时，，
∵，y随x的增大而增大，
∴当，．
综上所述，，即y的最大值为3．
故选：C
【变式训练7-3】对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．理解题意，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知当时，；当时，；由边界值的定义可求函数的边界值；由（，）边界值是5，，函数的最大值是5，可知当时，；可求，当时，；则，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，；
∴由边界值的定义可知，函数的边界值为3；
∵（，）边界值是5，，函数的最大值是5，
∴当时，；
解得，，
当时，；
∴，
解得，，
故答案为：3，．
【变式训练7-4】定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为 ；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设为，可得为，又与重合，进而建立方程计算可以得解；依据题意，和的面积相等，画出图象可得在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于，故所在直线为或，进而可设为或，则为或，又在上，求出即可得解．
【详解】解：由题意，设为，
为．
又与重合，
．
．
．
如图，和的面积相等，
在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于．
所在直线为或．
故可设为或．
为或．
又在上，
或．
或．
或．
故答案为：；或．
【变式训练7-5】定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点．
例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是．
(1)则点的变换点的坐标是 ；
(2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标．
(3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)k的取值范围为
【分析】本题考查了一次函数的图象，由函数值求自变量，点坐标等知识．理解题意，数形结合是解题的关键．
（1）由，可得进而可求结果；
（2）设，当时，，可求，进而可得，则；当时，，可求，进而可得，则；
（3）由题意知，上的点的变换点的图象如图所示，当时，，则，当时，，则，当时，，可求，当时，，可求，由变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，数形结合作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴点的变换点的坐标是；
故答案为：；
（2）解：设，
当时，，
解得，，
∴，
∴；
当时，
解得，，
∴，
∴；
综上，点M的坐标为或；
（3）解：由题意知，上的点的变换点的图象如图所示，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
∵变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，
∴由图象可知，，
∴k的取值范围为．
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5.4一次函数的图象七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：根据一次函数的解析式判断其经过的象限
【经典例题1】正比例函数的图象经过的象限有（ ）
A．一，三象限 B．二，四象限 C．一，二，三象限 D．二，三，四象限
【变式训练1-1】对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点 B．值随着值增大而减小
C．它的图象经过第二象限 D．当时，
【变式训练1-2】关于直线l： ，下列说法不正确的是（ ）
A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限
C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小
【变式训练1-3】关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
【变式训练1-4】下列关于一次函数的结论，错误的是（ ）
A．图象经过点 B．函数值随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点 D．图象经过第二、三、四象限
【变式训练1-5】下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限
题型二：根据函数经过的象限求参数的取值范围
【经典例题2】函数的图象在第一、二、四象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】已知一次函数，随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判定
【变式训练2-3】已知一次函数的图象不经过第二象限，则下列说法中正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式训练2-4】若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：画一次函数图像
【经典例题3】在平面直角坐标系中，直线的图象如图所示，它与直线的图象都经过，且两直线与轴分别交于两点．
(1)在如图的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象；
(2)直接写出两点的坐标．
【变式训练3-1】已知一次函数．
(1)将下列表格补充完整 ，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
x … 0 1 …
… 0 …
(2)当函数值y为10时，自变量x的值为______．
【变式训练3-2】在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格：
… 1 2 …
… 4 3 3 0 …
(1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______；
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象；
(3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行．
【变式训练3-3】已知，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)画出该函数图象．
【变式训练3-4】已知一次函数的图象不经过第四象限．
(1)求的取值范围；
(2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围．
题型四：一次函数的平移
【经典例题4】一次函数的图象沿y轴向下平移5个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】将一次函数（是常数且）的图象向上平移4个单位长度，平移后的函数图象经过点，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．或
【变式训练4-2】将直线向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ．
【变式训练4-3】将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ．
【变式训练4-4】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ．
【变式训练4-5】在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ．
题型五：判断一次函数的增减性
【经典例题5】点，点是一次函数图像的两个点，且，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】已知一次函数，经过点和点且，，当，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】一次函数上有两点，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式训练5-3】若一次函数不经过第三象限，则下列说法正确的是（ ）
A．，随的增大而减小 B．，随的增大而减小
C．，随的增大而增大 D．，随的增大而减小
【变式训练5-4】已知点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可
【变式训练5-6】已知点在一次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
题型六：根据函数的增减性求参数
【经典例题6】已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】已知点，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为
【变式训练6-4】已知一次函数（，为常数，），当时，，则的值为 ．
【变式训练6-5】反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则 ．
【变式训练6-6】已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为 ．
题型七：定义新运算
【经典例题7】定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】对于实数a,b，定义符号，其意义为：当时，，当时，，例如：，，若关于x的函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
【变式训练7-2】定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0.5 B．2 C．3 D．5
【变式训练7-3】对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为 ．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为 ．
【变式训练7-4】定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为 ；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为 ．
【变式训练7-5】定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点．
例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是．
(1)则点的变换点的坐标是 ；
(2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标．
(3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围．
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