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5.2函数八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：函数的概念（图像法）
【经典例题1】下列曲线中，能表示是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练1-1】下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：函数的概念（解析式法）
【经典例题2】下列说法正确的是（ ）
A．变量，满足，则是的函数
B．变量，满足，则是的函数
C．变量，满足，则是的函数
D．在中，是常量，，是自变量，是的函数
【变式训练2-1】下列等式中，①，②，③，④其中函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-2】下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】下列式子中，y是x的函数关系的有 个．
①；②；③；④；
【变式训练2-4】下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号）
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
【变式训练2-5】①；②；③；④； ⑤；⑥．
题型三：函数解析式
【经典例题3】周长的等腰三角形，其底边长与腰长的函数关系式为 ．(要求写出自变量取值范围)
【变式训练3-1】一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为，则s与t的关系式为 ．
【变式训练3-2】某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量与售价y（元）之间的关系如下表：
质量 1 2 3 4
售价元
则y与x的关系式为 ，若卖出苹果，售价为 元．
【变式训练3-3】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系：
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
那么弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为 ．
【变式训练3-4】银行存款，一年定期年利率为r，取款时还要上交的利息税，某人存一年定期x元，到期后所得本金与利息之和为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-5】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米）
(1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
(2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围）
(3)当时，是多少？当时，是多少？
题型四：求自变量的取值范围
【经典例题4】函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【变式训练4-2】函数中，自变量x的取值范围是 ．
【变式训练4-3】在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ．
【变式训练4-4】要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ．
【变式训练4-5】如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为．
(1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围；
(2)当时，求此时两正方形的面积和S．
题型五：函数图像的识别
【经典例题5】用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】在某次救援活动中，我军某部奉命前往灾区，途中遇到塌方路段，经过一段时间的清障，该部加速前进，最后到达救灾地点．则该部行进路程y 与行进时间x 的函数关系的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练5-2】用不同大小的橡皮泥捏同样高的圆柱体，下面符合圆柱体的体积和底面积的关系的图像是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式训练5-3】星期一早上，小明从家里出发匀速地步行去学校上学，他走了一半的路程后，发现快迟到了，于是他又加快速度匀速地跑步到学校，结果按时到达了学校．在这个过程中，小明与学校的距离y（米）与他步行的时间x（分钟）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：从函数图像中获取信息
【经典例题6】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【变式训练6-1】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③甲车的速度为；④乙车的速度为．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练6-2】在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为；②小明从B地到C地的速度是；③小明出发后到达C地；④小明距B地时所用的时间是．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练6-3】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，下面情境草图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系”，根据图中给出的信息，可得以下结论：
①兔子和乌龟赛跑的全过程是1500米；
②兔子在起初每分钟跑350米，乌龟每分钟爬30米；
③乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子；
④兔子醒来后，若以400米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，可知兔子睡觉用了48分钟．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练6-4】车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计
(1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米．
(2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？
(3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象．
【变式训练6-5】已知A、B两城由笔直的铁路连接，动车甲从A向B匀速前行，同时动车乙从B向A匀速前行，到达目的地时停止，其中动车乙速度较快，设甲乙两车相距，甲行驶的时间为，y关于t的函数图象如图所示．
(1)填空：动车甲的速度为 ，动车乙的速度为 ；
(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义：
(3)两车何时相距？
题型七：用描点法画函数图像
【经典例题7】小红根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．如图是小红的探 究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 k …
根据函数的解析式和表中的数据，可计算 ；
(2)描点并画出该函数的图象；
(3)①根据函数图象，写出函数图象的两条性质： ；
② 若关于x的方 程有两个实数解 ，则 n的取值范围是 ．
【变式训练7-1】在平面直角坐标系中画出的图像
解：列表（将下表填写完整）
描点
连线
【变式训练7-2】有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
下面是小艺的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
x … 1 2 …
y … 2 …
补全表格中的数据
(3)并画出该函数的图象．
【变式训练7-3】电动汽车续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标．高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关，某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310
则自变量是______，因变量是______．
(2)如果设速度为，续航里程为，请在下图中画出变量关系的图象：
(3)结合画出的图象，下列说法正确的有______；
①y随的增大而减小；
②当汽车的速度在千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
(4)若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内．
【变式训练7-4】某数学学习小组在研究函数时，对函数的图像和性质进行了探究．探究过程如下：
x … 0 1 3 4 5 6 …
y … m 0 n 5 3 2 …
(1)x与y的几组对应值如上表，其中______，______；
(2)在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像；
(3)观察图像，我们可以认为函数的图像可由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到；
(4)根据函数图像，当时，自变量x的取值范围为______．
【变式训练7-5】某同学根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整∶
(1)填表
x … …
y … …
(2)根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图像．
题型八：函数图像中的动点问题
【经典例题8】如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【变式训练8-1】如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-3】如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【变式训练8-4】如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-5】如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（ ）
A．5 B．8 C． D．12
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5.2函数八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：函数的概念（图像法）
【经典例题1】下列曲线中，能表示是的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键.
根据函数的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数；
对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数；
故选：C．
【变式训练1-1】下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【详解】
解：A、 表示y不是x的函数，该选项不符合题意的；
B、 表示y是x的函数，该选项是符合题意的；
C、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的；
D、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的；
故选：B．
【变式训练1-2】下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，判断解答即可．
本题考查了函数的定义的理解，正确理解定义中的一一对应原则是解题的关键．
【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
故A不符合题意；
B、满足对于x的每一个取值，y有唯一一个值与之对应关系，
故B不符合题意；
C、满足对于x的每一个取值，y都有两个值与之对应关系，
故C符合题意；
D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
故D不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查函数的概念，在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【详解】解：A．对于任意的，都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
B．对于任意的，都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
C．对于任意的，可能有两个及以上值与之对应，故本选项符合题意；
D．对于任意的，都有唯一的值与之对应，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-4】下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断．
【详解】解：、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数．
故选：C
【变式训练1-5】下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数的概念，对应两个变量x、y，对于每个x的值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数，据此求解即可．
【详解】解：A、对于每个x的值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数，符合题意；
B、对于每个x的值，y不都有唯一的值与之对应，则y不是x的函数，不符合题意；
C、对于每个x的值，y不都有唯一的值与之对应，则y不是x的函数，不符合题意；
D、对于每个x的值，y不都有唯一的值与之对应，则y不是x的函数，不符合题意；
故选：A．
题型二：函数的概念（解析式法）
【经典例题2】下列说法正确的是（ ）
A．变量，满足，则是的函数
B．变量，满足，则是的函数
C．变量，满足，则是的函数
D．在中，是常量，，是自变量，是的函数
【答案】B
【分析】根据函数的定义解答即可．
本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量．
【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误；
B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确；
C．与不是唯一的值对应，故选项错误；
D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误．
故选B．
【变式训练2-1】下列等式中，①，②，③，④其中函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数的定义， 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．关键是掌握函数的定义．
【详解】解：①，是函数，
②，是函数，
③，是函数，
④，是函数，
综上①②②④是函数，
故选：D．
【变式训练2-2】下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数概念；
对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；据此逐一进行判断即可．
【详解】解：A.对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数；
B.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
C.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
D.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
故选：A．
【变式训练2-3】下列式子中，y是x的函数关系的有 个．
①；②；③；④；
【答案】3
【解析】略
【变式训练2-4】下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号）
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
【答案】②③
【解析】略
【变式训练2-5】①；②；③；④； ⑤；⑥．
【答案】②③
【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数，
故答案为：②③．
题型三：函数解析式
【经典例题3】周长的等腰三角形，其底边长与腰长的函数关系式为 ．(要求写出自变量取值范围)
【答案】
【分析】本题考查了函数关系式，根据周长等于三边之和可得出和的关系式，再由三边关系可得出的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
，
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：，，
，
故答案为．
【变式训练3-1】一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为，则s与t的关系式为 ．
【答案】
【分析】此题考查了列函数解析式．根据路程等于速度乘以时间即可得到答案．
【详解】解：∵一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为，
∴s与t的关系式为，
故答案为：
【变式训练3-2】某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量与售价y（元）之间的关系如下表：
质量 1 2 3 4
售价元
则y与x的关系式为 ，若卖出苹果，售价为 元．
【答案】 12.1
【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表中所给信息中推理出x与y的关系，推理时要注意寻找规律．再代入求值．
根据表中所给信息，判断出卖出1千克苹果元，每增加1千克增加1.2元，列出函数关系式即可；再代入已知量，可求未知量．
【详解】由表中信息可知，卖出1千克苹果元，每增加1千克增加1.2元，
所以，卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）之间的关系是：．
当时，．
故答案为：， 12.1．
【变式训练3-3】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面关系：
x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
那么弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列函数关系式以及函数的表示方法，观察表格可发现随着x每增加1，y增加量0.5，0.5为常量，12也为常量，故可求出弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式．
【详解】解：由表可知，弹簧原长，每挂上的重物，弹簧伸长，
则弹簧总长与所挂物体质量之间的关系式为，
故答案为：．
【变式训练3-4】银行存款，一年定期年利率为r，取款时还要上交的利息税，某人存一年定期x元，到期后所得本金与利息之和为y元，则y与x之间的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查列函数关系式，根据本息和=本金+利息=本金+本金×利率即可得出
【详解】解：根据题意得：，
故选：C
【变式训练3-5】一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米）
(1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
(2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围）
(3)当时，是多少？当时，是多少？
【答案】(1)行驶路程，剩油量
(2)
(3)42，40
【分析】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识．
（1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案；
（2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式；
（3）分别令，及代入即可得出答案．
【详解】（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量，
故答案为：行驶路程，剩油量；
（2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得：，
由题意可得，
∴，解得
故答案为：；
（3）当时，；
当时，，解得；
故答案为：42，40．
题型四：求自变量的取值范围
【经典例题4】函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解．
【详解】解：根据题意得：，
即．
故选：
【变式训练4-1】在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据分式有意义，分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【变式训练4-2】函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据题意，得，根据负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件解答即可．
本题考查了负整数指数幂，分式有意义的条件，零指数幂的条件，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故自变量x的取值范围是且．
故答案为：且．
【变式训练4-3】在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ．
【答案】
【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可．
【详解】∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，
∴，整理得，
由等腰三角形可得，
∴，解得，
∴关于的函数解析式为，定义域为，
故答案为：，．
【变式训练4-4】要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出河道剩水量（立方米）和水泵抽水时间（小时）的函数关系式，然后再令求出的值，即可写出的取值范围．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
【详解】解：由题意可得，
，
当时，，可得，
的取值范围为，
故答案为：，．
【变式训练4-5】如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为．
(1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围；
(2)当时，求此时两正方形的面积和S．
【答案】(1)
(2)10
【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算．
（1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果；
（2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：．
自变量x的取值范围是．
（2）解：当时，．
∴当时，此时两正方形的面积和S为10．
题型五：函数图像的识别
【经典例题5】用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗即可得出答案．
【详解】解：根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗，
故选：A．
【变式训练5-1】在某次救援活动中，我军某部奉命前往灾区，途中遇到塌方路段，经过一段时间的清障，该部加速前进，最后到达救灾地点．则该部行进路程y 与行进时间x 的函数关系的大致图象是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，根据行驶的状态是：匀速行进—中途停下—加快速度、匀速行进，即可得出答案．
【详解】解：依题意，行驶速度为开始匀速行进，然后中途停下，速度为0，最后加快速度、匀速行进．时间与路程的函数图象应由三条线段组成，即平缓，平，陡．
故选： D．
【变式训练5-2】用不同大小的橡皮泥捏同样高的圆柱体，下面符合圆柱体的体积和底面积的关系的图像是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆柱的体积公式及应用，正比例的意义及应用,根据圆柱的体积公式：当高一定时，圆柱的体积和底面积成正比例，正比例的图像是一条直线，据此解答．
【详解】解：当高一定时，圆柱的体积和底面积成正比例，由此可知，B图像符合圆柱体的体积和底面积的关系，
故选：B
【变式训练5-3】星期一早上，小明从家里出发匀速地步行去学校上学，他走了一半的路程后，发现快迟到了，于是他又加快速度匀速地跑步到学校，结果按时到达了学校．在这个过程中，小明与学校的距离y（米）与他步行的时间x（分钟）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和各个选项中函数图象可以判断哪个选项是正确的，本题得以解决．
【详解】解：由题意可知，小明从家里出发匀速地步行去学校上学，故选项A、B错误，
他走了一半的路程后，发现快迟到了，于是他又加快速度匀速地跑步到学校，结果按时到达了学校，故选项D错误．
故选：C．
【变式训练5-4】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化．
【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型．
故选：C．
题型六：从函数图像中获取信息
【经典例题6】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距；②甲出发后到达C村；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息，观察图像可解答①；由图像可得运动过程，进而判断②；根据甲在比乙多行驶了，可判断③；最后分：两人相遇后，甲未到达C村，和甲已到达C村时两种情况，求出时间即可．
【详解】由图像可知，当时，，
所以A，B两村相距．
所以①正确；
由图像可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达了C村，之后两人之间的距离开始减小，最后相遇在C村．
所以②正确；
甲每小时比乙多骑行的路程为．
所以③正确；
乙的速度为，甲的速度是．
当两人相遇后，甲未到达C村时，，
当两人相遇后，甲已到达C村时，．
综上所述，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④正确．
综上正确的有①②③④．
故选：D．
【变式训练6-1】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③甲车的速度为；④乙车的速度为．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象的应用，从函数图象上获取所需信息是解题的关键．观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车的速度可判断③④．
【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；
由函数图象可知甲、乙到达B地用时分别为：5小时和3小时，则甲车的速度为；乙车的速度为，故③正确，④错误．
综上，正确的有3个．
故选C．
【变式训练6-2】在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为；②小明从B地到C地的速度是；③小明出发后到达C地；④小明距B地时所用的时间是．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了从函数图像中获取信息．纵坐标代表距B 地的距离，横坐标代表时间，小明一开始在A地，即A地距B 地的距离为，用时；到期间距离B 地，即此时小明在B 地；按原速跑步到达C地后，距离B 地，据可判断①；根据速度等于路程除以时间即可判断②③④．
【详解】解：①A地到达C地的距离为：，原说法正确，
②小明原速度为：，原说法正确；
③小明到达C 地实际用时为：，原说法正确；
④小明距 B 地时所用的时间为：，原说法错误，
∴说法正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【变式训练6-3】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，下面情境草图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系”，根据图中给出的信息，可得以下结论：
①兔子和乌龟赛跑的全过程是1500米；
②兔子在起初每分钟跑350米，乌龟每分钟爬30米；
③乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子；
④兔子醒来后，若以400米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，可知兔子睡觉用了48分钟．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查函数图像，结合题意弄清函数图象中每个点的实际意义是解题的关键．
利用乌龟始终运动，中间没有停留，而兔子中间有休息的时刻，即可得出折线OABC的意义和全程的距离，根据图象中点A、D实际意义可得速度；根据700米时相遇可得乌龟追上兔子的时间，利用兔子的速度，求出兔子走完全程的时间，可得兔子睡觉用了47分钟．
【详解】解：①∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻，
∴折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的全过程为1500米；故①正确，
②结合图象得出：兔子在起初每分钟跑（米），
乌龟每分钟爬（米）．故②正确，
乌龟追上兔子用的时间为分钟
故③正确
∵兔子跑了700米用了2分钟，停下睡觉，
∴剩余800米，所用的时间为：（分钟），
∴兔子睡觉用了：（分钟），故④错误，
故选：B
【变式训练6-4】车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计
(1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米．
(2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？
(3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象．
【答案】(1)2；；
(2)千米小时
(3)见解析
【分析】本题考查了函数图象，路程和时间速度公式等．
（1）路程不变的过程就是休息的过程，结合函数图象可得出点至点之间骑车人骑了千米；
（2）根据路程等于速度乘以时间进行计算即可；
（3）计算出时，时客车与地的路程，利用两点法继而得到图象．
【详解】（1）解：通过图象可知骑行人休息了两次，共休息了2小时，点至点之间骑车人骑了千米，
故答案为：2；；；
（2）解：平均速度千米小时，
答：骑车人返回家时的平均速度是千米小时；
（3）解：9点时客车从出发，此时距离地千米，
时，客车到达地，千米，
时，客车又到达地，千米，
如图所示：
．
【变式训练6-5】已知A、B两城由笔直的铁路连接，动车甲从A向B匀速前行，同时动车乙从B向A匀速前行，到达目的地时停止，其中动车乙速度较快，设甲乙两车相距，甲行驶的时间为，y关于t的函数图象如图所示．
(1)填空：动车甲的速度为 ，动车乙的速度为 ；
(2)求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义：
(3)两车何时相距？
【答案】(1)
(2)的坐标为，实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为
(3)和相距
【分析】本题考查了函数应用中的相遇问题，从函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
（1）根据图中信息即可得到两车的速度；
（2）根据题意和图形即可得到点的坐标以及点表示的实际意义；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】（1）解：动车甲的速度，动车乙的速度，，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，点的横坐标为：，纵坐标为：，
即点的坐标为，
该点坐标表示的实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为；
（3）解：由题意可得，当相遇前相遇，此时的时间为：，
当相遇后相遇，此时的时间为：，
综上：在和相距．
题型七：用描点法画函数图像
【经典例题7】小红根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．如图是小红的探 究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 k …
根据函数的解析式和表中的数据，可计算 ；
(2)描点并画出该函数的图象；
(3)①根据函数图象，写出函数图象的两条性质： ；
② 若关于x的方 程有两个实数解 ，则 n的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①（ⅰ）的函数图象关于直线对称，（ⅱ）当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；
②
【分析】题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
（1）将代入得，计算求解即可；
（2）描点连线即可；
（3）①根据函数的图象即可得到结论；
②根据函数的图象，利用数形结合的思想即可得到结论．
【详解】（1）解：将代入得，
故答案为：；
（2）解：图象如下：
（3）①根据函数图象，（ⅰ）的函数图象关于直线对称，（ⅱ）当时，随增大而增大，当时，随增大而减小；
②由图象可知，当时，方程有一个实数解，
则当时，方程有两个实数解，
即：方程有两个实数解，的取值范围为．
【变式训练7-1】在平面直角坐标系中画出的图像
解：列表（将下表填写完整）
描点
连线
【答案】见解析
【分析】先取出一些数据，填表；然后根据一次函数的解析式画出图象即可．
本题考查了描点法画函数图象，熟练掌握图象的画法是解题的关键．
【详解】解：
【变式训练7-2】有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
下面是小艺的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
x … 1 2 …
y … 2 …
补全表格中的数据
(3)并画出该函数的图象．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了函数的图象，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
（1）根据分式的分母不为零求解即可；
（2）把，代入解析式即可求得；
（3）由图表在直角坐标系中描点，由坐标系中的点，用平滑的直线连接即可．
【详解】（1）解：∵
∴；
（2）当时，，
当时，，
列表如下：
x … 1 2 …
y … 2 …
（3）函数图象如图所示：
【变式训练7-3】电动汽车续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标．高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关，某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
速度（千米/小时） 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160
续航里程（千米） 100 340 460 530 580 560 500 430 380 310
则自变量是______，因变量是______．
(2)如果设速度为，续航里程为，请在下图中画出变量关系的图象：
(3)结合画出的图象，下列说法正确的有______；
①y随的增大而减小；
②当汽车的速度在千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
(4)若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内．
【答案】(1)续航里程，速度
(2)见详解
(3)②③
(4)40，100
【分析】本题考查函数的图象，用描点法作出函数的图象是本题的关键．
（1）速度为自变量，续航里程为因变量，据此作答即可；
（2）建立平面直角坐标系，根据表格中的数据描点，并将这些点用平滑的曲线连接起来；
（3）根据图象分别判断正误即可；
（4）由表格确定的取值范围即可．
【详解】（1）解：是的函数，
是自变量，是因变量，
设速度为，续航里程为，
故答案为：续航里程，速度．
（2）解：该函数的图象如图所示：
（3）解：由图象可知，随先增大后减小，
①不正确；
当汽车的速度在60千米小时左右时，汽车的续航里程最大，
②正确；
由图象可知，的值过大或过小，对应的值都会变小，即汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小，
③正确；
故答案为：②③．
（4）解：根据图象可知，当的值大约在40至100之间时，的值大于500，
故答案为：40，100．
【变式训练7-4】某数学学习小组在研究函数时，对函数的图像和性质进行了探究．探究过程如下：
x … 0 1 3 4 5 6 …
y … m 0 n 5 3 2 …
(1)x与y的几组对应值如上表，其中______，______；
(2)在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像；
(3)观察图像，我们可以认为函数的图像可由函数的图像向右平移______个单位，再向上平移______个单位得到；
(4)根据函数图像，当时，自变量x的取值范围为______．
【答案】(1)，
(2)见详解
(3)2，1
(4)或
【分析】（1）将和分别代入中即可求出m、n的值；
（2）利用描点法画出函数图像即可；
（3）根据函数的图像即可解答；
（4）根据函数的图像即可解答．
【详解】（1）解：由得，
当时，，
；
当时，，
．
故答案为：，．
（2）解：在平面直角坐标系中，描出上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像，如下图所示：
（3）解：由图像可知：函数的图像可由函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．
故答案为：2，1．
（4）解：由函数图像可知：当时，自变量x的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的图像与性质，理解题意，灵活运用所学知识，并熟练掌握数形结合法解决问题是解题的关键．
【变式训练7-5】某同学根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整∶
(1)填表
x … …
y … …
(2)根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图像．
【答案】(1)，，，2
(2)见解析
【分析】本题主要考查绝对值函数的性质，熟练掌握绝对值函数的性质是解题的关键．
（1）根据解析式代数求值即可；
（2）根据坐标进行描点画图即可．
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
填表如下：
x … …
y … …
（2）解：函数的图像如下：
题型八：函数图像中的动点问题
【经典例题8】如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值．
【详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合，，，
∵，点D为的中点，
∴当时，，
此时函数有最大值，则y 的最大值为3，
故选：B．
【变式训练8-1】如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象．勾股定理的应用，根据函数图象，可知点表示时的面积为24，可以求出、的长，从而可以解答本题．
【详解】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24，
，
，
，
根据勾股定理．
故选：C．
【变式训练8-2】如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，根据图象可知点在BC上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答，读懂图象，从函数图象中获取信息是解题的关键．
【详解】根据题意观察图象可得，
当点在上运动时，时，有最小值，
观察图象可得，的最小值为，
即时，，
又∵，
因点从点运动到点，根据函数的对称性可得，
∴的面积是，
故选：．
【变式训练8-3】如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，结合函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，则，0到4秒后点P从点B运动到点C，可得，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，
由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，
∴，0到4秒后点P从点B运动到点C，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练8-4】如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了动点图象问题，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系成为解题的关键．
当点P在点D时，设正方形的边长为，求出a的值；当点P在点C时，，解得，即可求解．
【详解】解：当点P在点D时，设正方形的边长为，
由题意可得：，
解得：；
当点P在点C时，即;
由题意可得：的面积，
解得：，
所以．
故选：C．
【变式训练8-5】如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（ ）
A．5 B．8 C． D．12
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据题意判断出转折点为点，由勾股定理求出 ，即可求解，熟练运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：点是从点出发的，为初始点，观察图象可知，时，，则，点从点沿向点移动的过程中，是不断增加的，而点从点沿向点移动的过程中，是不断減少的，
因此转折点为点，点运动到点时，即时，，此时，即．
在中，，由勾股定理，得，
解得：，
，
当为的中点时，，
的面积，
故选：D．
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