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5.4一次函数的图象八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
【经典例题1】点和都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．大小关系无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据一次函数的增减性即可作出判断．
【详解】解：∵中，
∴y随x的增大而减小，
∵，即，
∴，
故选：A．
【变式训练1-1】已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，根据解析式可得y随x增大而减小，再由，即可得到．
【详解】解：
∵在中，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
【变式训练1-2】一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题．
【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，
∴当时，一次函数过，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
当时，一次函数过，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
∴只有D选项符合题意．
故选：D．
【变式训练1-3】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象与方程组的解的问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，画出图象并分析是解题的关键．求出恒过，作出函数的图象，通过数形结合，观察图象和函数式进行作答．
【详解】解：∵可化简为，
无论取何值，恒过，
该函数图象随值不同绕旋转，
作出函数的图象如下：
当与平行时，可得，
此时，
当过点时，可得，
解得：，
此时，
如图可得：当时，的图像与函数的图象有两个交点，即关于，的二元一次方程有两组解．
故选：C．
【变式训练1-4】已知点，是一次函数图象上两点，且满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，一次函数的性质，先解，再根据一次函数的性质可得，再建立不等式解题即可；
【详解】解：∵，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴，，
∵点，是一次函数图象上两点，，
∴，
∴，
解得：；
故选B
【变式训练1-5】我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将，两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题．
【详解】解：将，两点坐标分别代入一次函数解析式得，
，
两式相减得， ，
所以，
因为，
所以，
则，
所以，
则．
故选：A．
题型二：比较一次函数值大小
【经典例题2】已知点都在一次函数的图象上，且，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为一次函数的，得出随的增大而减小，结合，得出，据此即可作答．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．
【详解】解：依题意，一次函数的，
随的增大而减小，
，
．
故选：A．
【变式训练2-1】已知是一次函数图象上的两点，下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，由可得随的增大而减小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴随的增大而减小，
当时，，故正确，
故选：．
【变式训练2-2】点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由得到随的增大而减小，由即可求解．
【详解】解：一次函数的，
随的增大而减小，
，点，在一次函数的图象上，
，
故选：A．
【变式训练2-3】已知一次函数的图像经过三个点、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，即：当时，y的值随着x的值增大而减小；当时，y的值随着x的值增大而增大，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
根据，可得y的值随着x的值增大而减小，然后进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴y的值随着x的值增大而减小，
∵，
∴．
【变式训练2-4】已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数解析式得到随的增大而增大，即可判断与的大小．
【详解】解：一次函数的图象经过点，，
又，，
，
故答案为：．
【变式训练2-5】已知点，都在直线上，则、大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据已知函数的解析式得出y随x的增大而减小，再比较即可．
【详解】解：∵，
∴随x的增大而减小，
又∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-6】若点A、B：（﹣2，y1）、（﹣1，y2）都在直线y＝kx+b上，且直线y＝kx+b和直线y＝﹣2x+5平行，则y1 y2（填＞，＜，＝）．
【答案】＞
【分析】根据两直线平行值相等，再根据，一次函数随的增大而减小即可解答
【详解】直线与平行
直线随的增大而减小
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握两直线平行值相等及一次函数的图像及其性质是解题关键．
题型三：一次函数的位置关系（平行）
【经典例题3】已知直线与直线平行，若点、、都在直线上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，比较一次函数值的大小，先根据平行的两直线一次项系数相同得到，进而得到在中，y随x增大而增大，再由，即可得到．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，
∴，
∴在中，y随x增大而增大，
∵点、、都在直线上，且，
∴，
故选：B．
【变式训练3-1】已知直线与直线平行，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直线与直线平行，有k=1，将A、B、C代回比较即可．
【详解】直线与直线平行，
，
，故B正确，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的解析式之间的关系，知道两直线平行，k值相等是解题关键．
【变式训练3-2】关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与直线平行
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象一定经过点
D．若点和点在直线上，则
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据的系数大小可判断A选项；根据了一次函数的图象与性质可判断B和D选项，将代入求解即可判断C选项，从而解题．
【详解】解：A、与中的系数不同，
与不平行，故本选项错误，不符合题意；
B、的图象是随的增大而增大的，与轴的交点是，图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意；
C、将代入得，即过点，故本选项错误，不符合题意；
D、的图象是随的增大而增大的，，
，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练3-3】已知一个一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握“利用待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键．
设一次函数为根据两直线平行的性质先求解的值，再根据与函数的图象交y轴于同一点，求解的值，从而可得答案．
【详解】解：设一次函数为
一次函数的图象与直线平行，
∴一次函数为
由可得函数与轴的交点为
与函数的图象交y轴于同一点，
∴一次函数的解析式为：．
故选：C．
【变式训练3-4】关于一次函数的一些性质，下列说法正确的是（ ）
A．与y轴的交点为 B．随着x的增大而减小
C．与垂直 D．与平行．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与系数的关系，
根据一次函数的性质逐项判断即可得出答案．
【详解】∵一次函数，
∴当时，，
∴与y轴的交点为，故A选项错误；
∵一次函数中自变量系数为，
∴随着x的增大而增大，故B选项错误；
∵与x轴平行，与x轴不平行，
∴与不垂直，故C选项错误；
∵与中，自变量的系数，
∴与平行，故D选项错误．
故选：D．
【变式训练3-5】直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】C
【分析】此题考查了一次函数平移中两直线的位置关系，根据，，，
即可判定位置关系，解题的关键是正确理解直线平行时的值相等．
【详解】∵，，
∴直线与直线两直线平行，
故选：．
【变式训练3-6】已知直线与直线平行，且经过点，则b的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了两条平行线的性质、直线解析式的求法，由平行线的性质得出，再把点代入，求出b，即可得出结果．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，
把代入得：，
解得：，
故答案为：．
题型四：一次函数的位置关系（垂直）
【经典例题4】下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据若两直线垂直，则它们自变量系数的乘积等于，即可求解．
【详解】解：A、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
B、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
C、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
D、因为，所以与直线垂直，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了两直线垂直的问题，熟练掌握若两直线垂直，则它们自变量系数的乘积等于是解题的关键．
【变式训练4-1】若直线 y=kx+b与直线y=-2x+3相互垂直，则k= .
【答案】.
【分析】根据两直线垂直，解答即可．
【详解】解：∵直线 y=kx+b与直线y=-2x+3相互垂直，
∴ ，
解之得：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是两直线的位置关系，如果两直线垂直，那么.
【变式训练4-2】直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式．
【答案】直线解析式为．
【分析】此题考查了一次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，由得：，根据题意画出图象，当时，，当时，，得到，，再根据等腰直角三角形的性质与判定得出，求出，最后根据待定系数法求解析式即可，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】解：由得：，
∴图象如图，
当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为．
【变式训练4-3】阅读理解：已知两直线，L1：y＝k1x+b1，L2：y＝k2x+b2，
若L1⊥L2，则有k1 k2＝﹣1，根据以上结论解答下列各题：
（1）已知直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣1垂直，求k的值；
（2）若一条直线经过A（2，3），且与y＝﹣x+3垂直，求这条直线所对应的一次函数的关系式．
【答案】（1）-；（2）y=3x﹣3
【分析】（1）根据两直线互相垂直，两个函数的比例系数k的乘积是﹣1列方程求解即可；
（2）根据y=﹣x+3设出直线l1的解析式，然后将点A的坐标代入计算，从而得解．
【详解】（1）∵L1⊥L2，则有k1 k2=﹣1，
∴2k=﹣1，
∴k=﹣；
（2）∵过点A的直线与y=﹣x+3垂直，
∴设过点A的直线解析式为y=3x+b，
将点A（2，3）代入，得：6+b=3，
解得：b=﹣3，
所以过点A的直线解析式为y=3x﹣3．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，读懂题目信息，理解互相垂直的两直线的函数关系式的k的关系式是解题的关键．
题型五：一次函数规律探究
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标．
【详解】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，
∴，，，（n为自然数），
∵，
点的坐标为，即．
故选：C．
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，点坐标规律的探索；利用等腰直角三角形的性质求得，是解题的关键．
利用直线上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得，，由此归纳总结即可求得的坐标．
【详解】解：是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵ 是等 腰 直 角 三 角 形，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形．
∴
∴．
同理可得，
∴点的坐标是．
故选 A．
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解．
【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去，
∴与横坐标相同，与纵坐标相同，
∴当时，，
∴，
∴当时，，
，
同理可得：，，，，…
∴的横坐标为，
当时，，
∴点的横坐标．
故选：C．
【变式训练5-3】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与坐标规律，分别求出、、、、的坐标，找到对应的、、、、，得到规律，，再用这规律解决问题即可．
【详解】当时，有，解得，
，
四边形是正方形，
，
当时，解得，
∴，
同理可得出：，，，
对应的点，．，，
，，
点的坐标为．
故选：B．
【变式训练5-4】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律．
由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解．
【详解】解：在直线，
∴
，
，
设，，，，，
则有，
，
，
又∵，，，…都是等腰直角三角形，
，
，
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识．先求出、、的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
【详解】解：对于直线：，
令，则；令，则；
∴，
∴，
，，
∴，，，
，，，
∴的横坐标为．
故答案为：．
题型六：待定系数法求一次函数解析式
【经典例题6】已知一次函数（k为常数，）的图象经过点和两点．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)当时，求自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出答案；
（2）求出当时，的值，再结合一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵一次函数（为常数，且）的图象经过和两点，
∴，
解得：，
∴该一次函数的表达式为；
（2）解：在中，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
对于，随的增大而增大，
∴当时，自变量的取值范围为．
【变式训练6-1】如图，已知点、点．
(1)求直线所对应的函数表达式；
(2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值，点到坐标轴的距离：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值得到点P的纵坐标为6或，再求出一次函数值分别为6和时自变量的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设直线解析式为，
把、代入中得：，
∴，
∴直线解析式为；
（2）解：∵点P到x轴的距离等于6，
∴点P的纵坐标的绝对值为6，
∴点P的纵坐标为6或，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或．
【变式训练6-2】一次函数的图象经过点，且截距为2．
(1)求，的值．
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质以及一次函数解析式求解，需要熟练掌握并灵活运用．
（1）根据过点，且截距为2列方程组即可求解；
（2）把代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，且截距为2．
∴，
解得．
（2）解：由（1）得一次函数的表达式为，
当时，．
【变式训练6-3】已知与成正比例，且当时，．
(1)求与之间的函数表达式．
(2)若点在这个函数的图象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解；
（2）将点代入（1）中所求的函数的解析式求a的值．
【详解】（1）解：∵与成正比例，
∴设，
∵当，，
∴，
解得，
∴，即；
（2）解：点在函数的图象上，
∴，
解得：．
【变式训练6-4】已知一次函数的图像经过，两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式为
(2)
【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式以及图像与坐标轴围成的三角形面积求法，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）设函数解析式为，将，两点代入可得出和的值，进而可得出函数解析式；
（2）求出一次函数的图像与坐标轴的交点坐标，即可求出所围成的三角形面积．
【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为，
将，代入得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：当时，，
解得：，
该一次函数图像与轴交于点，
当时，，
该一次函数图像与轴交于点，
此函数图像与轴、轴围成的三角形的面积为．
【变式训练6-5】已知关于x的一次函数．
(1)若该函数图象向上平移2个单位后过点，求m的值；
(2)若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据一次函数的平移求出平移后的函数解析式为，然后把求解即可；
（2）根据函数图象的性质得到一元一元不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：一次函数图象向上平移2个单位得，
将代入得：，
解得；
（2）解：由题意得：，解得：，
的取值范围是．
题型七：一次函数图像的判断
【经典例题7】在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象，依据正比例函数的图象从左往右下降，则，进而得到一次函数的图象与轴交于负半轴，故A选项正确．
【详解】解：A、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故A选项符合题意；
B、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象应该与轴交于负半轴，故B选项不符合题意；
C、若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数 的图象与应该轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项不符合题意；
D、正比例函数的图象应该要过原点，明显D选项不符合题意．
故选：A．
【变式训练7-1】已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点．
联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案．
【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为，
选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意；
而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意；
选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意；
选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意；
故选：．
【变式训练7-2】已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决．
【详解】解：A、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线中，，中，，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
C、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练7-3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴函数图象与y轴的正半轴相交．
故选B．
【变式训练7-4】如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符合要求．
【详解】解：A、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故A选项错误，不符合题意．
B、若经过第一、二、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故B选项错误，不符合题意．
C、若经过第一、三、四象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、四象限，故C选项正确，符合题意．
D、若经过第一、二、三象限的直线为，则，，所以直线经过第一、二、三象限，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【变式训练7-5】两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象与性质，假设其中一条直线是，由一次函数图象与性质得到的正负，从而得到另一条直线是否是的大致图象，逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】
解：A、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意；
B、若①是，则，则②可能是的图象，符合题意；
C、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意；
D、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意；
故选：B．
题型八：一次函数综合
【经典例题8】如图，直线l是一次函数的图象，且经过点和点．
(1)求直线l的表达式；
(2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)设点P在y轴上，若的面积为，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点．
（1）把点和点代入，求出k和b的值，即可解答；
（2）先求出当时x的值，得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式，即可解答；
（3）根据三角形的面积公式，得出，再进行分类讨论：当点P在点A上方时，当点P在点A上方时，即可解答．
【详解】（1）解：把点和点代入得：
，
解得：，
∴直线l的表达式为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵的面积为，
∴，
解得：，
当点P在点A上方时，，
当点P在点A上方时，，
综上：或．
【变式训练8-1】已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点
(1)求该一次函数的函数表达式；
(2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况；
(3)若一次函数图象上有两点、，，求的值；
【答案】(1)；
(2)随的增大而增大；
(3)．
【分析】此题考查两直线平行问题，关键是根据两直线平行的特点解答．
（1）根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k的值，把的坐标代入求得b，求出即可．
（2）根据一次函数的性质解答即可；
（3）联立方程组解答即可．
【详解】（1）因为一次函数的图象与直线平行，
所以；
又因为一次函数的图象与轴交于点；
所以有，即可得；
该一次函数的函数表达式为．
（2）∵中,∴随的增大而增大；
（3）因为点、在函数图象上，
所以有，
两式相减，得，
所以．
【变式训练8-2】已知函数．
(1)若函数的图象平行直线，求的值；
(2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了两直线相交与平行，一次函数的定义与性质，熟记平行直线的解析式的k值相等是解题的关键，
(1)根据互相平行的两条直线比例系数相等求出m的值即可；
(2)这个函数不经过原点，排除，时，根据一次函数的性质，时，y随着x的增大而减小，常数项不等于0，求出m的取值范围．
【详解】（1）函数的图象与直线平行，
，
解得；
（2）当函数的图象不经过原点，
即当时，，
∴，
这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，
，解得．
∴且，
即
【变式训练8-2】如图， ABC的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)作出 ABC向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标．
(2)已知与 ABC关于直线对称．若点的坐标为，画出直线并写出直线的函数表达式．
注：点，，及点，，分别是点，，按题中要求变换后对应得到的点．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质得到点、、的对应点、、的坐标，然后描点得到；
（2）根据题意可知直线垂直平分直线，连接交直线于点，求得点坐标，结合，得到点在直线上，即可得出解析式．
【详解】（1）解：将，，分别向左平移4个单位得到，，，依次连接得到，
如图所示，即为所求，
点的坐标为．
（2）解：，，与关于直线对称
直线垂直平分线段
连接交直线于点，不妨设点
那么有，
解得，
点的坐标为
连接，，根据网格性质可知
点在直线上
设直线的解析式为，代入
则，即
直线的函数解析式为
故如图所示，直线即为所求，
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平移变换，轴对称变换，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式训练8-3】如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B．
(1)直接写出 AOB的面积；
(2)若C为y轴上一点，且 ABC的面积是，求点C的坐标；
(3)若P是x轴上一点，且，求P的坐标．
【答案】(1)9
(2)点C的坐标为或
(3)点或
【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解；
（2）由三角形的面积公式可求解；
（3）由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】（1）解：直线与轴相交于点，与轴相交于点，
点，点，
，，
的面积；
（2）解：设点，
的面积是12，
，
，
，，
点坐标为或；
（3）解：，，
，
，
点或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
【变式训练8-4】在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称．
(1)求的值；
(2)将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了代数式求值、一次函数的图象与性质及一次函数的平移变换，运用数形结合的思想解决问题．
（1）根据题意求得，代入代数式即可求出答案；
（2）设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设直线平移后与射线的交点为D，过D作轴于点E，根据题意可知，，即将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据函数平移的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点关于原点对称，
∴，
∴；
（2）设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线为，
设直线平移后与射线的交点为D，
过D作轴于点E，
∵沿射线方向平移个单位，
∴，
∴，
∴将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度．
∴，
即．
【变式训练8-5】在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求的值；
(2)已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移规律等知识点，根据一次函数图象的平移规律得出k的值是解题关键．
（1）根据一次函数平移的性质得出一次函数解析式为，把代入求出b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）根据题意得出，结合，，得出，求出或，即可得出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∵一次函数经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知一次函数解析式为，
如图，∵是该一次函数图象上一点，
∴，
∵，，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或．
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5.4一次函数的图象八大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：根据一次函数增减性判断自变量的变化情况
【经典例题1】点和都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．大小关系无法确定
【变式训练1-1】已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】已知点，是一次函数图象上两点，且满足，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型二：比较一次函数值大小
【经典例题2】已知点都在一次函数的图象上，且，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】已知是一次函数图象上的两点，下列判断中正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【变式训练2-2】点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练2-3】已知一次函数的图像经过三个点、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】已知一次函数的图象经过点，，则 ．（填“”“”或“”）
【变式训练2-5】已知点，都在直线上，则、大小关系是 ．
【变式训练2-6】若点A、B：（﹣2，y1）、（﹣1，y2）都在直线y＝kx+b上，且直线y＝kx+b和直线y＝﹣2x+5平行，则y1 y2（填＞，＜，＝）．
题型三：一次函数的位置关系（平行）
【经典例题3】已知直线与直线平行，若点、、都在直线上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】已知直线与直线平行，若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象与直线平行
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象一定经过点
D．若点和点在直线上，则
【变式训练3-3】已知一个一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】关于一次函数的一些性质，下列说法正确的是（ ）
A．与y轴的交点为 B．随着x的增大而减小
C．与垂直 D．与平行．
【变式训练3-5】直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合
【变式训练3-6】已知直线与直线平行，且经过点，则b的值是 ．
题型四：一次函数的位置关系（垂直）
【经典例题4】下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】若直线 y=kx+b与直线y=-2x+3相互垂直，则k= .
【变式训练4-2】直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式．
【变式训练4-3】阅读理解：已知两直线，L1：y＝k1x+b1，L2：y＝k2x+b2，
若L1⊥L2，则有k1 k2＝﹣1，根据以上结论解答下列各题：
（1）已知直线y＝2x+1与直线y＝kx﹣1垂直，求k的值；
（2）若一条直线经过A（2，3），且与y＝﹣x+3垂直，求这条直线所对应的一次函数的关系式．
题型五：一次函数规律探究
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
题型六：待定系数法求一次函数解析式
【经典例题6】已知一次函数（k为常数，）的图象经过点和两点．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)当时，求自变量x的取值范围．
【变式训练6-1】如图，已知点、点．
(1)求直线所对应的函数表达式；
(2)在直线上有点P，满足点P到x轴的距离等于6，求点P的坐标．
【变式训练6-2】一次函数的图象经过点，且截距为2．
(1)求，的值．
(2)当时，求的值．
【变式训练6-3】已知与成正比例，且当时，．
(1)求与之间的函数表达式．
(2)若点在这个函数的图象上，求的值．
【变式训练6-4】已知一次函数的图像经过，两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积．
【变式训练6-5】已知关于x的一次函数．
(1)若该函数图象向上平移2个单位后过点，求m的值；
(2)若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围．
题型七：一次函数图像的判断
【经典例题7】在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】已知直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-4】如图，两个不同的一次函数与的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-5】两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：一次函数综合
【经典例题8】如图，直线l是一次函数的图象，且经过点和点．
(1)求直线l的表达式；
(2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)设点P在y轴上，若的面积为，求点P的坐标．
【变式训练8-1】已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点
(1)求该一次函数的函数表达式；
(2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况；
(3)若一次函数图象上有两点、，，求的值；
【变式训练8-2】已知函数．
(1)若函数的图象平行直线，求的值；
(2)若这个函数是不经过原点的一次函数，且随着的增大而减小，求的取值范围．
【变式训练8-2】如图， ABC的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)作出 ABC向左平移4个单位长度后得到的，并写出点的坐标．
(2)已知与 ABC关于直线对称．若点的坐标为，画出直线并写出直线的函数表达式．
注：点，，及点，，分别是点，，按题中要求变换后对应得到的点．
【变式训练8-3】如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B．
(1)直接写出 AOB的面积；
(2)若C为y轴上一点，且 ABC的面积是，求点C的坐标；
(3)若P是x轴上一点，且，求P的坐标．
【变式训练8-4】在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称．
(1)求的值；
(2)将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式．
【变式训练8-5】在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求的值；
(2)已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标．
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