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5.3一次函数七大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列函数中，哪个是一次函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义对每个选项进行分析即可．
【详解】解：A．函数是反比例函数，不是一次函数，不符合题意；
B．函数是一次函数，符合题意；
C．函数是二次函数，不符合题意；
D．函数不是一次函数，不符合题意，
故选：B．
2．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义（一般地，形如的函数，其中是常数，且，叫作正比例函数）是解题关键．根据正比例函数的定义可得且，即可求解．
【详解】解：函数是正比例函数，
且，
解得：，
故选：C．
3．若点在正比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数值的计算，根据题意，把点坐标代入计算即可求解．
【详解】解：点在正比例函数的图象上，
∴，
故选：A ．
4．下列各点中，函数的图象一定经过的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，在一次函数图象上的点一定满足其函数解析式，据此分别把四个坐标中的横坐标代入一次函数解析式求出对应的纵坐标即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，；当时，；当时，；当时，；
∴函数的图象一定经过的是，
故选：C．
5．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ）
A．圆的面积随半径的变化而变化
B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化
C．正方形的周长随边长的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．
分别写出各选项的解析式，逐一判断即可．
【详解】解：A. ，与成正比，故选项不符合题意；
B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
C. ，是正比例函数关系，故选项符合题意；
D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意；
故选：．
6．已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点坐标的求解及整式的化简，熟练掌握一次函数点的求法及整式的计算法则是解决本题的关键．根据题意将A，B两点代入一次函数解析式化简得到的关系式即可得解．
【详解】解：将点代入得：
，
解得：，
则即，
故选：A．
7．某商家为减少商品的积压，通过电商平台采取降价销售的策略，商品原售价480元/件， 随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化如下表所示：
降价/元 … 5 10 15 20 25 30 35 …
日销量/件 … 160 180 200 220 240 260 280 …
下列说法不正确的是（ ）
A．当降价10元时，日销量为180件 B．每降价5元，日销量增加20件
C．当售价为420元，估计日销量为400件 D．估计降价之前的日销量为140件
【答案】C
【分析】根据图表，可得A、B、D正确，以此计算出售价为420元时的日销量，即可判断C，
本题考查了，自变量与因变量，解题的关键是：从表中正确获取信息．
【详解】解：由表可得：当降价10元时，日销量为180件，故A正确，不符合题意，
每降价5元，日销量增加20件，故B正确，不符合题意，
当售价为480元，日销量为：（件），故D正确，不符合题意，
当售价为420元，降价了（元），日销量为：（件），故C错误，符合题意，
故选：C．
8．若直线过经过点和，且，则b的值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一元一次不等式组的解法，根据题意列方程组得到，由于，于是得到，即可得到结论．
【详解】解：依题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴只有D符合题意；
故选D．
9．已知直线经过，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案．
【详解】解：∵直线经过，
∴，
∴，
∴可化为，
整理得，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式．
10．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在原点上，在轴上，，为边的中点，将等边向右平移，当点落在直线：上时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过作轴于，根据等边三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，求出点的纵坐标，根据平移的性质得出平移后点的纵坐标不变，把点的纵坐标代入，求出即可．
【详解】解：过作轴于，
是等边三角形，，
，
，
，
由勾股定理得：，
为的中点，
点的纵坐标是，
当将等边向右平移，当点落在直线上时，点的纵坐标还是，
把代入得：，
解得：，
即点的坐标是，
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，等边三角形的性质和勾股定理等知识点，能求出点的纵坐标是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知一次函数．无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确对函数解析式进行变形成为解题的关键．
解析式变形为，由此即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
令，则．
∴一次函数图象过定点．
故答案为：．
12．已知的正比例函数，则 ，
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1是解决问题得关键．
根据正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1，即可求解．
【详解】解；由正比例函数的定义可得：，，
解得；．
∴，
故答案为：，，
13．若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据直线过点，得出，把代入方程，整理得出，根据，得出，求出x的值即可．
【详解】解：∵直线过点，
∴，
把代入得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ．
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握表格表示变量间的关系，正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，由函数值求自变量的值，是解决此题的关键．
设，将数对代入，求得，得到，当时，可求得．
【详解】设，
将代入，
得，
解得，
∴，
当时，
，
解得，
∴注满水池所需的时间是．
故答案为：．
15．已知点在直线上，若，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查一次函数的定义及不等式，利用消元思想，把n用m表示出来，然后根据，得到关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ．
【答案】或
【详解】解：在中，，点的坐标为．分两种情况：①若将沿轴向右平移两个单位长度，可得点的坐标为，设正比例函数的解析式为，则，故；②若将沿轴向左平移两个单位长度，可得点的坐标为，设正比例函数的解析式为，则，故．综上可得图象经过点的正比例函数的解析式为或．
17．新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，取x值求一次函数图形上点的坐标，再根据新定义进行判断即可．
【详解】解：把代入得，，
∵点到坐标轴的距离是，
∴点是直线上的等距离点，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查新定义、点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值，理解新定义，求一次函数图象上点的坐标是解题的关键．
18．如图，点在直线的图象上，它们的横坐标分别为，，，，，，分别过这些点作轴、轴的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，把代入，求出对应的纵坐标，即可求出每个三角形的面积，进而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
∴每个三角形的面积为，
∴图中阴影部分的面积之和为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知与成正比例，且当时，．
(1)求与的函数表达式；
(2)若点在该函数图象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点．
（1）根据正比例函数的定义设出函数表达式，再把，代入求出的值即可；
（2）把点代入（1）中的函数解析式，求出的值即可．
【详解】（1）解：设与的函数表达式为，
把，代入，得：
，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：由（1）可知，与的函数表达式为，
把点代入，得：
，
解得：．
20．已知与的关系如下表．
0 1 2 3
15 10 5 0
(1)根据上表写出与的关系式，并判断是否为的正比例函数；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)，是的正比例函数；
(2)40．
【分析】（1）根据正比例函数的定义，计算验证中的k值，是否是相同的定值，不同，则不是．
（2）根据解析式求函数值即可．熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
是的正比例函数．
（2）当时，，
的值为40．
21．一次函数的图象经过点．
(1)在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
(2)求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）求得一次函数的图象与坐标轴的交点坐标，描点连线，即可画出图象；
（2）把点代入函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：当时，；当时，，解得，
经过，两点画一条直线，
如图即是所画图象．
（2）解：将点代入，
得，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象的画法，一次函数图象上点的坐标特征．解题关键是理解点的坐标与函数表达式的关系．
22．运输化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运载化肥，装载了节火车车厢和10辆汽车．
(1)求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
(2)若有化肥吨，现用辆汽车，节火车共同运输，当时，估计这批化肥有多少吨？直接写出可能的范围___________；
【答案】(1)每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥；
(2)
【分析】（1）根据题意∶运输化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运载化肥，装载了节火车车厢和辆汽车，列出方程组即可得解；
（2）根据车辆数与化肥总量的关系列出一次函数，代入及即可得解
【详解】（1）解∶设每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥，根据题意得，
，
解得
答：每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥；
（2）解：∵每节火车车厢装吨化肥，每辆汽车平均装吨化肥，有化肥吨，现用辆汽车，节火车共同运输，
∴，
当时，，当时，，
∵中，随的增大而增大，
∴当时，，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及函数关系式是解题的关键．
23．某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
天数 1 1 2 4 1 1
(1)求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元．
①当时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．
【答案】(1)天；
(2)①元；②该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为0.2．
【分析】（1）当时，该种花需要进行作废处理，结合表中数据，符合条件的天数相加即可；
（2）①当时，代入函数表达式即可求解；
②当时，日利润y关于n的函数表达式为；当时，日利润为元，；即当时求得n的值，结合表中数据即可求得频率．
【详解】（1）解：当时，该种花需要进行作废处理，
则该种花作废处理情形的天数共有：（天）；
（2）①当时，日利润y关于n的函数表达式为，
当时，（元）；
②当时，日利润y关于n的函数表达式为；
当时，日利润为元，，
当时，
解得：，
由表可知的天数为2天，
则该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为0.2．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，一次函数求自变量和函数值，统计和频数；解题的关键是理清题意，正确求解．
24．已知一次函数，．
(1)若方程的解是正数，求的取值范围．
(2)若以、为坐标的点在已知的两个一次函数图象上，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到关于的不等式，解得即可；
（2）根据题意得到，①②即可求得，将原式分解因式得出原式，再将代入求出即可；
（3）通过恒等变形即可得到，从而求得，代入计算即可．
【详解】（1）解：的解是正数，
，
解得，
，
解得；
（2）以、为坐标的点在已知的两个一次函数图象上，
①②得，，
，
；
（3），，，
，
，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解一元一次不等式以及一元一次方程，因式分解的应用以及代数式求值问题等，考点较多．
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5.3一次函数七大题型（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列函数中，哪个是一次函数（ ）
A． B． C． D．
2．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若点在正比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
4．下列各点中，函数的图象一定经过的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ）
A．圆的面积随半径的变化而变化
B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化
C．正方形的周长随边长的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化
6．已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．某商家为减少商品的积压，通过电商平台采取降价销售的策略，商品原售价480元/件， 随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化如下表所示：
降价/元 … 5 10 15 20 25 30 35 …
日销量/件 … 160 180 200 220 240 260 280 …
下列说法不正确的是（ ）
A．当降价10元时，日销量为180件 B．每降价5元，日销量增加20件
C．当售价为420元，估计日销量为400件 D．估计降价之前的日销量为140件
8．若直线过经过点和，且，则b的值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知直线经过，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在原点上，在轴上，，为边的中点，将等边向右平移，当点落在直线：上时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知一次函数．无论k如何变化，该函数图象始终过定点 ．
12．已知的正比例函数，则 ，
13．若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为 ．
14．一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ．
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
15．已知点在直线上，若，则的取值范围是 ．
16．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ．
17．新定义：在平面直角坐标系中，到坐标轴的距离相等的点称为“等距离点”．例如：、都是等距离点．请写出直线上的等距离点 （写出一个即可）．
18．如图，点在直线的图象上，它们的横坐标分别为，，，，，，分别过这些点作轴、轴的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知与成正比例，且当时，．
(1)求与的函数表达式；
(2)若点在该函数图象上，求的值．
20．已知与的关系如下表．
0 1 2 3
15 10 5 0
(1)根据上表写出与的关系式，并判断是否为的正比例函数；
(2)当时，求的值．
21．一次函数的图象经过点．
(1)在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
(2)求a的值．
22．运输化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运载化肥，装载了节火车车厢和10辆汽车．
(1)求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
(2)若有化肥吨，现用辆汽车，节火车共同运输，当时，估计这批化肥有多少吨？直接写出可能的范围___________；
23．某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：
日需求量n
天数 1 1 2 4 1 1
(1)求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数；
(2)当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元．
①当时，间该花店这天的利润为多少元？
②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．
24．已知一次函数，．
(1)若方程的解是正数，求的取值范围．
(2)若以、为坐标的点在已知的两个一次函数图象上，求的值；
(3)若，求的值．
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