旋转全等模型——浙教版数学八上知识点训练
一、选择题
1．（2023九上·湖北月考）如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AB=AD
∴∠ADB=∠B=40°
∵∠ADB+∠B+∠BAD=180°
∴∠BAD=180°-40°-40°=100°
故答案为：D.
【分析】先利用旋转的性质可得△ABC≌△ADE，再利用全等三角形的性质可得∠ADB=∠B=40°，再结合∠ADB+∠B+∠BAD=180°，利用角的运算求出∠BAD=180°-40°-40°=100°即可.
2．（2024八下·揭西月考）如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型
3．（2023九上·达州经济开发期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】旋转全等模型
4．（2023九上·青铜峡期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】旋转全等模型
5．（2023九上·安次期中）如图，在中，，D，E是斜边上上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，即，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
， ，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵、，
∴，④正确；
故答案为：C
【分析】①根据旋转的性质得，，，由知，即可判断①；
②由°、知，继而可得，可判断②；
③由、，根据可判断③；
④根据可判断④．
6．（2023八下·武汉月考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；正方形的性质；旋转全等模型
二、填空题
7．（2024八下·崇川月考）如图，含有的直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则 ．
【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质；旋转全等模型
8．（2023九上·大埔开学考）如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE，其中正确的是 (写出正确结论的序号)
【答案】①②⑤
【知识点】旋转全等模型
9．（2024·西安模拟）如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝ ．
【答案】6
【知识点】正方形的判定与性质；旋转全等模型
10．（2024八下·大邑期末）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝ ．
【答案】3
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；旋转全等模型
11．（2024八下·沈阳期中）如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；旋转全等模型；等腰三角形的概念
12．（2024九下·南岗模拟）在中，，，在在边上（不与点、重合），连接，将线段绕点旋转得到线段，连接．作交于点，若，，则线段的长为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；旋转全等模型
13．（2023八下·兴宁期中）△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为 ．
【答案】．
【知识点】最简二次根式；等边三角形的性质；勾股定理；旋转全等模型
三、解答题
14．（2024八下·保定期末）【操作发现】如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上的一点，∠DCE=30°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CF，连接 AF、EF． 请直接 写出下列结果：
① ∠EAF的度数为__________；
② DE与EF之间的数量关系为__________；
【类比探究】如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点 D 为 AB 边上的一点∠DCE=45°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 AF、EF．
①则∠EAF的度数为__________；
② 线段 AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；
【实际应用】如图 3，△ABC 是一个三角形的余料．小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在边 BC 上取了 D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样 CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比．
【答案】【操作发现】①120°，②DE=EF
【类比探究】①90°，②AE2+DB2=DE2
【实际应用】1：：2
【知识点】旋转全等模型
15．（2024·从江模拟）
（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系 是 ▲ ，位置关系是 ▲ ；
（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；
（3）拓展延伸：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=13，CF=5，请直接写出AF2的长．
【答案】（1）解：BD＝CE；BD⊥CE.
在Rt中， AB=AC，
∴.
由旋转的性质，得.
，即.
∴△ABD≌△ACE（SAS）
，
即.
故答案为：BD＝CE；BD⊥CE.
（2）解：.证明如下：
∵ Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∴得，
，即.
在和中，
.
（3）.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（3）将AF绕点逆时针旋转得到AG，连接CG，FG，如图所示：
则和△ABC都是等腰直角三角形.
∴AB=AC，AF=AG，∠BAC=∠FAG，∠AFG=45°
∴∠BAF=∠CAG，
∴，
.
在Rt中，.
是等腰直角三角形，
.
故答案为：
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得；根据∠BAC=90°和旋转可证得AE=AD，，于是可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得，通过角的和差运算即可得到结论.
（2）证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ACE=∠B=45°，于是可得∠BCE=90°=∠DCE，在Rt△ECD中利用勾股定理得再根据等腰直角三角形的性质可得，即可得到结论.
（3）将AF绕点逆时针旋转得到AG，连接CG，FG，证明可得CG=BF=13；证明△CGF是直角三角形，可利用勾股定理求出GF的长，再在Rt中利用勾股定理即可求出AF的长.
16．（2024八下·织金期末）一发现探究
在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）【发现问题】如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ；
（2）【探究猜想】如图，如果点为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由请仅以图所示的位置关系加以证明或说明；
（3）【拓展应用】如图，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】（1）PC=QB
（2）解：结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，，
，
，
，
≌，
；
（3）解：线段长度最小值是．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）∵ 连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，
∴AP=AQ，∠BAC=∠QAP，
∴∠PAC=∠QAB，
在△APC和△AQB中，
∴△APC≌△AQB（SAS）
∴PC=QB.
故答案为：PC=QB.
（3）解：在上取一点，使，连接，过点作于，如图，
∵在中，，，
，∠BAC=60°，
.
在中，，，
，
由线段绕点顺时针方向旋转，得到线段 ，
∴，，
，
≌，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是BC上的动点，
根据垂线段最短，当点和点重合时，最小，
即：点与点重合时，最小，最小值为EF=1.
故线段长度最小值是．
故答案为：线段长度最小值是．
【分析】（1）根据旋转可得AP=AQ，∠BAC=∠QAP，也即∠PAC=∠QAB.证明△APC≌△AQB，即可得到结论.
（2）由旋转知，，，先证明∠BAQ=∠CAP，再证明，即可得到结论.
（3）在上取一点，使，连接，过点作于，由含30°角的直角三角形的性质得AB=4，∠BAC=60°，于是有BE=2，.证明△CAQ≌△EAP，可得CQ=PE.由于点E是直线CB外一定点，故当点和点重合时，最小，最小为EF=1.据此即可确定CQ的最小值.
1 / 1旋转全等模型——浙教版数学八上知识点训练
一、选择题
1．（2023九上·湖北月考）如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
2．（2024八下·揭西月考）如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．（2023九上·达州经济开发期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
4．（2023九上·青铜峡期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
5．（2023九上·安次期中）如图，在中，，D，E是斜边上上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023八下·武汉月考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
7．（2024八下·崇川月考）如图，含有的直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则 ．
8．（2023九上·大埔开学考）如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE，其中正确的是 (写出正确结论的序号)
9．（2024·西安模拟）如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝ ．
10．（2024八下·大邑期末）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，把边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得AD，把边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝5，EN＝2，则DM＝ ．
11．（2024八下·沈阳期中）如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 ．
12．（2024九下·南岗模拟）在中，，，在在边上（不与点、重合），连接，将线段绕点旋转得到线段，连接．作交于点，若，，则线段的长为 ．
13．（2023八下·兴宁期中）△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为 ．
三、解答题
14．（2024八下·保定期末）【操作发现】如图 1，△ABC 为等边三角形，点 D 为 AB 边上的一点，∠DCE=30°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CF，连接 AF、EF． 请直接 写出下列结果：
① ∠EAF的度数为__________；
② DE与EF之间的数量关系为__________；
【类比探究】如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点 D 为 AB 边上的一点∠DCE=45°，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CF，连接 AF、EF．
①则∠EAF的度数为__________；
② 线段 AE，ED，DB 之间有什么数量关系？请说明理由；
【实际应用】如图 3，△ABC 是一个三角形的余料．小张同学量得∠ACB=120°，AC=BC， 他在边 BC 上取了 D、E 两点，并量得∠BCD=15°、∠DCE=60°，这样 CD、CE 将△ABC 分成三个小三角形，请求△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角形的面积之比．
15．（2024·从江模拟）
（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系 是 ▲ ，位置关系是 ▲ ；
（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；
（3）拓展延伸：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45°．若BF=13，CF=5，请直接写出AF2的长．
16．（2024八下·织金期末）一发现探究
在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）【发现问题】如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ；
（2）【探究猜想】如图，如果点为平面内任意一点前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由请仅以图所示的位置关系加以证明或说明；
（3）【拓展应用】如图，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AB=AD
∴∠ADB=∠B=40°
∵∠ADB+∠B+∠BAD=180°
∴∠BAD=180°-40°-40°=100°
故答案为：D.
【分析】先利用旋转的性质可得△ABC≌△ADE，再利用全等三角形的性质可得∠ADB=∠B=40°，再结合∠ADB+∠B+∠BAD=180°，利用角的运算求出∠BAD=180°-40°-40°=100°即可.
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型
3．【答案】D
【知识点】旋转全等模型
4．【答案】C
【知识点】旋转全等模型
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，即，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，即，
在和中，
， ，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∵、，
∴，④正确；
故答案为：C
【分析】①根据旋转的性质得，，，由知，即可判断①；
②由°、知，继而可得，可判断②；
③由、，根据可判断③；
④根据可判断④．
6．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；正方形的性质；旋转全等模型
7．【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质；旋转全等模型
8．【答案】①②⑤
【知识点】旋转全等模型
9．【答案】6
【知识点】正方形的判定与性质；旋转全等模型
10．【答案】3
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；旋转全等模型
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质；旋转全等模型；等腰三角形的概念
12．【答案】或
【知识点】勾股定理；旋转全等模型
13．【答案】．
【知识点】最简二次根式；等边三角形的性质；勾股定理；旋转全等模型
14．【答案】【操作发现】①120°，②DE=EF
【类比探究】①90°，②AE2+DB2=DE2
【实际应用】1：：2
【知识点】旋转全等模型
15．【答案】（1）解：BD＝CE；BD⊥CE.
在Rt中， AB=AC，
∴.
由旋转的性质，得.
，即.
∴△ABD≌△ACE（SAS）
，
即.
故答案为：BD＝CE；BD⊥CE.
（2）解：.证明如下：
∵ Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，
∴得，
，即.
在和中，
.
（3）.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（3）将AF绕点逆时针旋转得到AG，连接CG，FG，如图所示：
则和△ABC都是等腰直角三角形.
∴AB=AC，AF=AG，∠BAC=∠FAG，∠AFG=45°
∴∠BAF=∠CAG，
∴，
.
在Rt中，.
是等腰直角三角形，
.
故答案为：
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得；根据∠BAC=90°和旋转可证得AE=AD，，于是可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得，通过角的和差运算即可得到结论.
（2）证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ACE=∠B=45°，于是可得∠BCE=90°=∠DCE，在Rt△ECD中利用勾股定理得再根据等腰直角三角形的性质可得，即可得到结论.
（3）将AF绕点逆时针旋转得到AG，连接CG，FG，证明可得CG=BF=13；证明△CGF是直角三角形，可利用勾股定理求出GF的长，再在Rt中利用勾股定理即可求出AF的长.
16．【答案】（1）PC=QB
（2）解：结论：仍然成立，
理由：由旋转知，，，
，
，
，
≌，
；
（3）解：线段长度最小值是．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）∵ 连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，
∴AP=AQ，∠BAC=∠QAP，
∴∠PAC=∠QAB，
在△APC和△AQB中，
∴△APC≌△AQB（SAS）
∴PC=QB.
故答案为：PC=QB.
（3）解：在上取一点，使，连接，过点作于，如图，
∵在中，，，
，∠BAC=60°，
.
在中，，，
，
由线段绕点顺时针方向旋转，得到线段 ，
∴，，
，
≌，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是BC上的动点，
根据垂线段最短，当点和点重合时，最小，
即：点与点重合时，最小，最小值为EF=1.
故线段长度最小值是．
故答案为：线段长度最小值是．
【分析】（1）根据旋转可得AP=AQ，∠BAC=∠QAP，也即∠PAC=∠QAB.证明△APC≌△AQB，即可得到结论.
（2）由旋转知，，，先证明∠BAQ=∠CAP，再证明，即可得到结论.
（3）在上取一点，使，连接，过点作于，由含30°角的直角三角形的性质得AB=4，∠BAC=60°，于是有BE=2，.证明△CAQ≌△EAP，可得CQ=PE.由于点E是直线CB外一定点，故当点和点重合时，最小，最小为EF=1.据此即可确定CQ的最小值.
1 / 1
