一线三等角全等模型——浙教版数学八上知识点训练
一、选择题
1．（2024八上·永年期末） 如图， 点 在线段 上， 且 ， 下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC和Rt△CDE（HL），
∴∠A＝∠ECD，BC＝DE，
∴A、D不符合题意，B符合题意；
∵∠A＋∠ACB＝90°，
∴∠ECD＋∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180° （∠ECD＋∠ACB）＝90°，
∴C不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证出Rt△ABC和Rt△CDE，再利用全等三角形的性质可得∠A＝∠ECD，BC＝DE，再逐项分析判断即可.
2．（全等三角形的判定与性质+++++ ）已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AB=CE，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
【答案】D
【知识点】同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△CED中
，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C正确，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，
故选D．
【分析】根据HL证Rt△ABC≌Rt△CED，根据全等三角形的性质即可求出答案．
3．（2024·深圳模拟）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒 AB，BC，CD，DE 在桌面上摆成如图 所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE=10，则点B，D到直线AE的距离之和为（ ）
A．5 B．2 C．5 D．10
【答案】A
【知识点】同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥AC，DG⊥AE于点F、G，
∵BA=BC=CD=DE，
∴CF=AC，CG=CE，
∵∠BCF+∠DCG=90，∠DCG+∠CDG=90，
∴∠BCF=∠CDG，
而CB=CD，∠BFC=∠CGD=90，
∴△BCF≌△CDG（AAS），
∴BF=CG，FC=DG，
∴BF+DG=CG+CF=(AC+CE)=AE=5，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形三线合一，可得F、G为AC和CE的中点，同时一线三垂直可得△BCF≌△CDG，由全等三角形的对应边相等得BF=CG，FC=DG，从而可得B、D到直线AE的距离之和.
二、填空题
4．（2024·浙江模拟）如图，在Rt中，，以其三边为边向外作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，点G，N到直线DE的距离之和为9，则AB的长为 ；若点到直线DE的距离为4，连结GN，则GN的长为 .
【答案】3；
【知识点】完全平方公式及运用；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：第一空，如下图，延长AB分别交HN、GI于点J、K，过点C作CL⊥AB，垂足为点L，
依题意，GI⊥DE，NH⊥DE，且四边形ABDE是正方形，
∴∠ABD=∠BDE=∠AED=90°，AB=AD=BD，
∴∠ABD=∠KBD=∠BDI=∠I=90°，
∴四边形BDIK是矩形，
∴KI=BD=AB，
同理，四边形AJHE是矩形，HJ=AE=AB，
∴∠BKG=∠BLC=90°，
又∵四边形BCFG是正方形，
∴BC=BG，∠CBG=90°，
又∵∠CBL+∠GBK=∠BCL+∠CBL=90°，
∴∠BCL=∠GBK，
∴△BCL≌△GBK(AAS)，
∴GK=BL，
同理可证△ACL≌△NAJ(AAS)，AL=NJ，
∴NJ+GK=AL+BL=AB，
∴HH+GI=(NJ+JH)+(GK+KI)=3AB=9，
∴AB=3，
第二空，如下图，过点C作CS⊥DE交AB于点T，垂足为点S，连接CN，CG，
∵∠EST=∠DEA=∠BAE=90°，
∴四边形AEST是矩形，
∴CT⊥AB，
∴TS=AE=AB=3，
又∵CS=CT+TS=4，
∴CT=1，
又∵四边形BCFG是正方形，
∴∠BCG=45°，，
同理∠ACN=45°，，
又∵∠ACB=90°，
∴∠NCA+∠ACG=180°，，，
即
∴N、C、G三点共线，.
∴NG=NC+CG=.
故答案为：3；.
【分析】第一空：由目标AB线段与已知条件中线段和取得联系，利用正方形的性质作垂线构造一线三垂直全等，进而利用全等的性质进行等量代换推理即可得出目标线段与已知线段的关系，进而求解；
第二空：在（1）的基础上，结合已知条件，同理作垂，分析条件转移△ABC，即其存在的勾股定理关系及其面积均为已知条件，利用特殊角分析目标线段，即可以转化为△ABC两直角边之和，故在已知条件△ABC中利用完全平方公式直接转换勾股关系求出即可.
5．如图，点D，C，E在直线上，点A，B在的同侧，，若，，则CE的长为 .
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
.
故答案为：8.
【分析】作，，通过SAS判定，再利用等腰三角形的性质求得CF的长度，进而通过勾股定理计算出CG的长度，即可求得CE的长.
6．（2024·成都一诊）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过B、C两点分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，点F．若点F为AE中点，BE＝2，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，AB＝AC，
，
∴且
∴
∴ AF=BE=2
∵ 点F为AE中点，
∴ AE=2AF=4
在Rt△ABE中，=
在Rt△ABC中，
故答案为.
【分析】根据一线三垂直得出，从而得出AF=BE=2，再根据点F为AE中点，求出
AE的长，根据勾股定理求出AB，从而求出BC.
7．（2023八上·温州期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
【答案】36
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得，，，，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
则两堵木墙之间的距离为，
故答案为：36．
【分析】根据题意可得，，，，根据一线三等角模型证明，利用全等三角形的性质得，，由线段的和差运算，代数求解即可.
三、解答题
8．（2024七下·贵阳期中）如图所示，为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，在P处仰望旗杆顶C和楼顶A，两条视线的夹角正好为90°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等，都等于8 m，量得旗杆与楼之间的距离DB为33 m，求楼高AB.
【答案】解：由题意，得∠CDP=∠PBA=∠APC=90°，
所以∠DCP+∠CPD=∠BPA+∠CPD=90°.
则∠DCP=∠BPA.
在△CPD和△PAB中，
因为∠CDP=∠PBA，CD=PB，∠DCP=∠BPA，
所以△CPD≌△PAB(ASA).所以PD=AB.
因为DB=33 m，PB=8 m，所以AB=PD=33-8=25(m).
故楼高AB是25 m.
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据条件分析等角，结合几何直观进一步证得全等后，利用全等性质进行求边即可.
9．（2024·南充模拟） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
【答案】证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，即可求出答案.
10．（2023八上·杭州期中）如图，这是某市工业开发区设计图纸的局部平面图，直线AB是一条河流，河旁边建有一个工厂P，点O，E在直线AB上，O是工厂P的进水口，E是污水净化后的出水口，且PE⊥AB，现计划在河旁边工厂P的同侧再建一座工厂Q，设计要求是：工厂Q也从点O处引水，OQ⊥OP，OQ=OP，污水净化后的排污出口为AB上的点F处，且FQ⊥AB.
（1） 请根据设计要求把图形补充完整(不需要尺规作图）。
（2） 已知QF=350米，PE=150米，求两个出水口E，F之间的距离（不计河的宽度）.
【答案】（1）解：作图如下，
（2）解：∵PE⊥AB，QF⊥AB，PO⊥OQ，
∴∠PEO=∠PFO=∠POQ=90°
∴∠POE+∠QOF=90°，∠Q+∠QOF=90°，
∴∠POE=∠Q.
∵PO=OQ，
∴△PEO≌△OFQ (AAS)，
∴PE=OF=150米，EO=QF=350米，
∴EF=OE+OF=500米。
【知识点】余角、补角及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）按要求 OQ⊥OP，OQ=OP ， FQ⊥AB 画出即可；
（2）根据同角的余角相等可知∠POE=∠Q，从而证明△PEO≌△OFQ (AAS)，再将对应线段长度带入可以得到PE=OF=150米，EO=QF=350米，即可求出EF的长度.
11．如图①，P是线段AB上与点A，B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线.如图②，在Rt△APC 中，∠A=90°，AC>AP，延长AP 至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD.将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于点E，连结CE并延长交PD的延长线于点F，连结BF.请确定△PCF的形状，并说明理由。
【答案】解：如图，作，
，
，
四边形ABNC是矩形，
，
四边形ABNC是正方形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形.
【知识点】翻折全等-公共边模型；同侧一线三垂直全等模型；半角模型
【解析】【分析】作，可证得四边形ABNC是正方形，再利用全等三角形的性质证得，，然后通过HL判断得到，进而求得是等腰直角三角形.
12．（2024八上·廉江月考）综合与实贱
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，中，，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为E、F.求证：.
（1）独立思考：请证明王老师提出的问题.
（2）实践探究：王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答.
如图2，中，，，点D是BC上一点，，于E，求证：.问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
如图3，中，，，点D为BC上一点，，过点A作，且，连接BM.若，请直接写出AG的值为 .
【答案】（1）证明：∵，∴∠1+∠2=90°
∵，，∴，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，
又∵，，∴，∴，，
∵，∴.
（2）证明：过B作，
由（1）可知∴，
∵，，∴，∴.
（3）1
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，
由（1）得，△AEC≌△BFA，
∴BF=AE=AM，∠BFG=∠MAG=90°，AF=CE=2，
又∵∠AGM=∠FGB，
∴△MAG≌△BFG(AAS)，
∴AG=FG=.
【分析】（1）根据已知条件及几何直观，易猜想，由已知三垂直条件，进而推得除已知直角外的一组同角余角相等，从而得证目标两三角形全等，利用全等的性质进行等量代换得出线段和差关系；
（2）在(1)中基础上，结合等腰BA=BD，易联想构造三线合一得出(1)中全等，并利用全等性质及等腰性质得证（2）中结论；
（3）同理构造全等，进而利用全等性质及（3）中条件的猜想并证明△MAG≌△BFG，从而利用全等性质推出目标线段的长度.
13．（2024八下·电白期中）综合运用：
（1）【模型建立】如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：．
（2）【模型应用】如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式；
【答案】（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AD⊥ED于点D，BE⊥ED于点E，
∴∠BEC＝∠CDA＝∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，
∵BC＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）解：如图，作BF⊥AB交直线l2于点F，作FE⊥y轴于点E，
∵∠BEF＝∠AOB＝∠BAF＝90°，
∴∠EBF＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，
由旋转得∠BAF＝45°，
∴∠BFA＝∠BAF＝45°，
∴BF＝AB，
∴△BEF≌△AOB（AAS），
直线y＝2x+4，当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2；
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴EB＝OA＝2，EF＝OB＝6，
∴OE＝OB+EB＝6，∴F（﹣4，6），
设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），F（﹣4，6）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣3x﹣6．
【知识点】一次函数图象与几何变换；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)一线三角的全等模型，通过垂直关系得相等的角度为全等提供了条件；
(2)通过(1)中示例，直接构造(1)中的模型”一线三角“，利用全等关系求出点的坐标，进而求得直线解析式；
14．（2024八下·沈阳月考）【概念建构】
在中，，直线MN经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线MN在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线MN在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即．
（1）【概念应用】
如图3，在中，于点M，，E是BC边上的点，，，连接AD，BD，若，求BD的长．
小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．
（2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．
如图5，在中，，D是AB边上一点，，DE交BC于点N，延长EB，CD交于点F，猜想DB，DF，CN之间的数量关系，并说明理由．
（3）【学以数用】
如图6，，和是等腰直角三角形，，，直接写出和的面积和．
（4）【拓展延伸】
如图7，在中，，点D在AB边上，过B作交CD延长线于点E，延长EB至点F，连接CF，使，连接AF交CD于点G，若，直接写出的面积．
【答案】（1）解：
，
，
，
，
，又，
，
在中，，得，
，
在中，，得；
（2）解：．
理由：如图2，过点E作交AB延长线于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在中，有．
（3）解：3
（4）解：
【知识点】三角形的综合；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）
过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，
∴AK//DH，
∵AD//BC，
∴KH=AD=2，
∵BC =5，
∴BK+CH=5-2=3，
∵和是等腰直角三角形，∠EAB=∠FDC=90°，
∴，
∴EQ=BK，FG =CH，
∴和的面积和为：
；
（4）
过点A作AH⊥CD于点H，如图，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=∠BCF+∠BFC，∠ABE=∠BCF，
∴∠BFC=∠ABC=45°，BE⊥CD于点E，
∴∠CEF=90°，
∴，
∵AH⊥CD于H，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH=∠BCE，
∵∠AHC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴，
∴AH=CE，，
∴AH=EF，
∵∠AHG=∠FEG，∠AGH=∠FGE，
∴，
∴GH=GE，
∵，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）证明，得到，在中，根据勾股定理求出ME的长，即，在中，根据勾股定理即可求出BD的长；
（2）过点E作交AB延长线于点G，证明，得到，再证明，即CN=EF，根据即可求解；
（3）过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，证明，得到EQ=BK，FG =CH，根据三角形面积公式即可求出和的面积和；
（4）过点A作AH⊥CD于点H，证明，得到AH=CE，，证明，得到GH=GE，进而即可求出的面积．
15．（2024七下·沈阳期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型.
（1）【问题发现】
如图2，已知，△ABC中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F.求证：；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出EF，AE，BF之间的数量系 ；
（3）【问题提出】
在（2）的条件下，若，，则△BFC的面积为 .
（4）如图4，四边形ABCD中，，△ACD面积为18且CD的长为9，则△BCD的面积为 .
【答案】（1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEF=∠BFE=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=90°，
∴∠EAC=∠BCF，
在Rt△ACE和Rt△CBF中，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（AAS）
∴AE=CF，CE=BF，
∴EF=CE+CF=AE+BF；
（2）
（3）
（4）
【知识点】等腰直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；一线三等角全等模型（钝角）
1 / 1一线三等角全等模型——浙教版数学八上知识点训练
一、选择题
1．（2024八上·永年期末） 如图， 点 在线段 上， 且 ， 下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（全等三角形的判定与性质+++++ ）已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AB=CE，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
3．（2024·深圳模拟）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒 AB，BC，CD，DE 在桌面上摆成如图 所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，BC⊥CD，若AE=10，则点B，D到直线AE的距离之和为（ ）
A．5 B．2 C．5 D．10
二、填空题
4．（2024·浙江模拟）如图，在Rt中，，以其三边为边向外作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，点G，N到直线DE的距离之和为9，则AB的长为 ；若点到直线DE的距离为4，连结GN，则GN的长为 .
5．如图，点D，C，E在直线上，点A，B在的同侧，，若，，则CE的长为 .
6．（2024·成都一诊）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过B、C两点分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，点F．若点F为AE中点，BE＝2，则BC的长为 ．
7．（2023八上·温州期中）小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
三、解答题
8．（2024七下·贵阳期中）如图所示，为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，在P处仰望旗杆顶C和楼顶A，两条视线的夹角正好为90°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等，都等于8 m，量得旗杆与楼之间的距离DB为33 m，求楼高AB.
9．（2024·南充模拟） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
10．（2023八上·杭州期中）如图，这是某市工业开发区设计图纸的局部平面图，直线AB是一条河流，河旁边建有一个工厂P，点O，E在直线AB上，O是工厂P的进水口，E是污水净化后的出水口，且PE⊥AB，现计划在河旁边工厂P的同侧再建一座工厂Q，设计要求是：工厂Q也从点O处引水，OQ⊥OP，OQ=OP，污水净化后的排污出口为AB上的点F处，且FQ⊥AB.
（1） 请根据设计要求把图形补充完整(不需要尺规作图）。
（2） 已知QF=350米，PE=150米，求两个出水口E，F之间的距离（不计河的宽度）.
11．如图①，P是线段AB上与点A，B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线.如图②，在Rt△APC 中，∠A=90°，AC>AP，延长AP 至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD.将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于点E，连结CE并延长交PD的延长线于点F，连结BF.请确定△PCF的形状，并说明理由。
12．（2024八上·廉江月考）综合与实贱
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，中，，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为E、F.求证：.
（1）独立思考：请证明王老师提出的问题.
（2）实践探究：王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答.
如图2，中，，，点D是BC上一点，，于E，求证：.问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
如图3，中，，，点D为BC上一点，，过点A作，且，连接BM.若，请直接写出AG的值为 .
13．（2024八下·电白期中）综合运用：
（1）【模型建立】如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：．
（2）【模型应用】如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式；
14．（2024八下·沈阳月考）【概念建构】
在中，，直线MN经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线MN在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线MN在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即．
（1）【概念应用】
如图3，在中，于点M，，E是BC边上的点，，，连接AD，BD，若，求BD的长．
小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了BD．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程．
（2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．
如图5，在中，，D是AB边上一点，，DE交BC于点N，延长EB，CD交于点F，猜想DB，DF，CN之间的数量关系，并说明理由．
（3）【学以数用】
如图6，，和是等腰直角三角形，，，直接写出和的面积和．
（4）【拓展延伸】
如图7，在中，，点D在AB边上，过B作交CD延长线于点E，延长EB至点F，连接CF，使，连接AF交CD于点G，若，直接写出的面积．
15．（2024七下·沈阳期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型.
（1）【问题发现】
如图2，已知，△ABC中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F.求证：；
（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出EF，AE，BF之间的数量系 ；
（3）【问题提出】
在（2）的条件下，若，，则△BFC的面积为 .
（4）如图4，四边形ABCD中，，△ACD面积为18且CD的长为9，则△BCD的面积为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC和Rt△CDE（HL），
∴∠A＝∠ECD，BC＝DE，
∴A、D不符合题意，B符合题意；
∵∠A＋∠ACB＝90°，
∴∠ECD＋∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180° （∠ECD＋∠ACB）＝90°，
∴C不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先利用“HL”证出Rt△ABC和Rt△CDE，再利用全等三角形的性质可得∠A＝∠ECD，BC＝DE，再逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△CED中
，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C正确，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，
故选D．
【分析】根据HL证Rt△ABC≌Rt△CED，根据全等三角形的性质即可求出答案．
3．【答案】A
【知识点】同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥AC，DG⊥AE于点F、G，
∵BA=BC=CD=DE，
∴CF=AC，CG=CE，
∵∠BCF+∠DCG=90，∠DCG+∠CDG=90，
∴∠BCF=∠CDG，
而CB=CD，∠BFC=∠CGD=90，
∴△BCF≌△CDG（AAS），
∴BF=CG，FC=DG，
∴BF+DG=CG+CF=(AC+CE)=AE=5，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形三线合一，可得F、G为AC和CE的中点，同时一线三垂直可得△BCF≌△CDG，由全等三角形的对应边相等得BF=CG，FC=DG，从而可得B、D到直线AE的距离之和.
4．【答案】3；
【知识点】完全平方公式及运用；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：第一空，如下图，延长AB分别交HN、GI于点J、K，过点C作CL⊥AB，垂足为点L，
依题意，GI⊥DE，NH⊥DE，且四边形ABDE是正方形，
∴∠ABD=∠BDE=∠AED=90°，AB=AD=BD，
∴∠ABD=∠KBD=∠BDI=∠I=90°，
∴四边形BDIK是矩形，
∴KI=BD=AB，
同理，四边形AJHE是矩形，HJ=AE=AB，
∴∠BKG=∠BLC=90°，
又∵四边形BCFG是正方形，
∴BC=BG，∠CBG=90°，
又∵∠CBL+∠GBK=∠BCL+∠CBL=90°，
∴∠BCL=∠GBK，
∴△BCL≌△GBK(AAS)，
∴GK=BL，
同理可证△ACL≌△NAJ(AAS)，AL=NJ，
∴NJ+GK=AL+BL=AB，
∴HH+GI=(NJ+JH)+(GK+KI)=3AB=9，
∴AB=3，
第二空，如下图，过点C作CS⊥DE交AB于点T，垂足为点S，连接CN，CG，
∵∠EST=∠DEA=∠BAE=90°，
∴四边形AEST是矩形，
∴CT⊥AB，
∴TS=AE=AB=3，
又∵CS=CT+TS=4，
∴CT=1，
又∵四边形BCFG是正方形，
∴∠BCG=45°，，
同理∠ACN=45°，，
又∵∠ACB=90°，
∴∠NCA+∠ACG=180°，，，
即
∴N、C、G三点共线，.
∴NG=NC+CG=.
故答案为：3；.
【分析】第一空：由目标AB线段与已知条件中线段和取得联系，利用正方形的性质作垂线构造一线三垂直全等，进而利用全等的性质进行等量代换推理即可得出目标线段与已知线段的关系，进而求解；
第二空：在（1）的基础上，结合已知条件，同理作垂，分析条件转移△ABC，即其存在的勾股定理关系及其面积均为已知条件，利用特殊角分析目标线段，即可以转化为△ABC两直角边之和，故在已知条件△ABC中利用完全平方公式直接转换勾股关系求出即可.
5．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
.
故答案为：8.
【分析】作，，通过SAS判定，再利用等腰三角形的性质求得CF的长度，进而通过勾股定理计算出CG的长度，即可求得CE的长.
6．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，AB＝AC，
，
∴且
∴
∴ AF=BE=2
∵ 点F为AE中点，
∴ AE=2AF=4
在Rt△ABE中，=
在Rt△ABC中，
故答案为.
【分析】根据一线三垂直得出，从而得出AF=BE=2，再根据点F为AE中点，求出
AE的长，根据勾股定理求出AB，从而求出BC.
7．【答案】36
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得，，，，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
则两堵木墙之间的距离为，
故答案为：36．
【分析】根据题意可得，，，，根据一线三等角模型证明，利用全等三角形的性质得，，由线段的和差运算，代数求解即可.
8．【答案】解：由题意，得∠CDP=∠PBA=∠APC=90°，
所以∠DCP+∠CPD=∠BPA+∠CPD=90°.
则∠DCP=∠BPA.
在△CPD和△PAB中，
因为∠CDP=∠PBA，CD=PB，∠DCP=∠BPA，
所以△CPD≌△PAB(ASA).所以PD=AB.
因为DB=33 m，PB=8 m，所以AB=PD=33-8=25(m).
故楼高AB是25 m.
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据条件分析等角，结合几何直观进一步证得全等后，利用全等性质进行求边即可.
9．【答案】证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，即可求出答案.
10．【答案】（1）解：作图如下，
（2）解：∵PE⊥AB，QF⊥AB，PO⊥OQ，
∴∠PEO=∠PFO=∠POQ=90°
∴∠POE+∠QOF=90°，∠Q+∠QOF=90°，
∴∠POE=∠Q.
∵PO=OQ，
∴△PEO≌△OFQ (AAS)，
∴PE=OF=150米，EO=QF=350米，
∴EF=OE+OF=500米。
【知识点】余角、补角及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）按要求 OQ⊥OP，OQ=OP ， FQ⊥AB 画出即可；
（2）根据同角的余角相等可知∠POE=∠Q，从而证明△PEO≌△OFQ (AAS)，再将对应线段长度带入可以得到PE=OF=150米，EO=QF=350米，即可求出EF的长度.
11．【答案】解：如图，作，
，
，
四边形ABNC是矩形，
，
四边形ABNC是正方形，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形.
【知识点】翻折全等-公共边模型；同侧一线三垂直全等模型；半角模型
【解析】【分析】作，可证得四边形ABNC是正方形，再利用全等三角形的性质证得，，然后通过HL判断得到，进而求得是等腰直角三角形.
12．【答案】（1）证明：∵，∴∠1+∠2=90°
∵，，∴，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，
又∵，，∴，∴，，
∵，∴.
（2）证明：过B作，
由（1）可知∴，
∵，，∴，∴.
（3）1
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，
由（1）得，△AEC≌△BFA，
∴BF=AE=AM，∠BFG=∠MAG=90°，AF=CE=2，
又∵∠AGM=∠FGB，
∴△MAG≌△BFG(AAS)，
∴AG=FG=.
【分析】（1）根据已知条件及几何直观，易猜想，由已知三垂直条件，进而推得除已知直角外的一组同角余角相等，从而得证目标两三角形全等，利用全等的性质进行等量代换得出线段和差关系；
（2）在(1)中基础上，结合等腰BA=BD，易联想构造三线合一得出(1)中全等，并利用全等性质及等腰性质得证（2）中结论；
（3）同理构造全等，进而利用全等性质及（3）中条件的猜想并证明△MAG≌△BFG，从而利用全等性质推出目标线段的长度.
13．【答案】（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AD⊥ED于点D，BE⊥ED于点E，
∴∠BEC＝∠CDA＝∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD＝90°﹣∠ACD，
∵BC＝CA，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）解：如图，作BF⊥AB交直线l2于点F，作FE⊥y轴于点E，
∵∠BEF＝∠AOB＝∠BAF＝90°，
∴∠EBF＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，
由旋转得∠BAF＝45°，
∴∠BFA＝∠BAF＝45°，
∴BF＝AB，
∴△BEF≌△AOB（AAS），
直线y＝2x+4，当y＝0时，则2x+4＝0，
解得x＝﹣2；
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴EB＝OA＝2，EF＝OB＝6，
∴OE＝OB+EB＝6，∴F（﹣4，6），
设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），F（﹣4，6）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣3x﹣6．
【知识点】一次函数图象与几何变换；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)一线三角的全等模型，通过垂直关系得相等的角度为全等提供了条件；
(2)通过(1)中示例，直接构造(1)中的模型”一线三角“，利用全等关系求出点的坐标，进而求得直线解析式；
14．【答案】（1）解：
，
，
，
，
，又，
，
在中，，得，
，
在中，，得；
（2）解：．
理由：如图2，过点E作交AB延长线于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在中，有．
（3）解：3
（4）解：
【知识点】三角形的综合；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（3）
过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，
∴AK//DH，
∵AD//BC，
∴KH=AD=2，
∵BC =5，
∴BK+CH=5-2=3，
∵和是等腰直角三角形，∠EAB=∠FDC=90°，
∴，
∴EQ=BK，FG =CH，
∴和的面积和为：
；
（4）
过点A作AH⊥CD于点H，如图，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=∠BCF+∠BFC，∠ABE=∠BCF，
∴∠BFC=∠ABC=45°，BE⊥CD于点E，
∴∠CEF=90°，
∴，
∵AH⊥CD于H，
∴∠AHC=∠ACB=90°，
∴∠CAH=∠BCE，
∵∠AHC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴，
∴AH=CE，，
∴AH=EF，
∵∠AHG=∠FEG，∠AGH=∠FGE，
∴，
∴GH=GE，
∵，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）证明，得到，在中，根据勾股定理求出ME的长，即，在中，根据勾股定理即可求出BD的长；
（2）过点E作交AB延长线于点G，证明，得到，再证明，即CN=EF，根据即可求解；
（3）过E作EQ⊥DA交DA的延长线于Q，过F作FG⊥AD于G，过A作AK⊥BC于K，过D作DH⊥BC于H，证明，得到EQ=BK，FG =CH，根据三角形面积公式即可求出和的面积和；
（4）过点A作AH⊥CD于点H，证明，得到AH=CE，，证明，得到GH=GE，进而即可求出的面积．
15．【答案】（1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AEF=∠BFE=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠BCF=90°，
∴∠EAC=∠BCF，
在Rt△ACE和Rt△CBF中，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（AAS）
∴AE=CF，CE=BF，
∴EF=CE+CF=AE+BF；
（2）
（3）
（4）
【知识点】等腰直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-AAS；一线三等角全等模型（钝角）
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