倍长中线构造全等模型——浙教版数学八上知识点训练
一、选择题
1．（2024九下·伊金霍洛旗模拟）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023八上·洪山月考）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·沧州期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，则的长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
5．（2024八上·齐齐哈尔月考）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ．（提示：延长至，使，连接）
6．（2024八上·长沙开学考）已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD= ．
7．（2024九上·龙江开学考）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ．
8．（2024七下·历城期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
9．（2023八上·中山期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ．
10．（2023八上·中江期末）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB， BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=∠NBC＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是 ．
11．（2023八下·砀山期末）如图，在中，点D为的中点，，则：
（1）的度数为 ；
（2）的面积是 ．
三、解答题
12．（2024八上·青秀开学考）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）；
（2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由．
13．（2023八上·长治期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线
（1）若，求的度数．
（2）若，求中线长的取值范围．
14．（2024七下·南海期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，AD是BC边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E，使，
∵AD是BC边上的中线，
在和中，
（依据一），
在中，（依据二），
，
归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”，“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；
依据2： ．
（2）如图3，，则AD的取值范围是 ；
（3）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在中，，；中，．连接EF，试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．
15．（2024八下·南城期中） 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．
（1）问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
（3）学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？
16．（2024八下·腾冲开学考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中的取值范围：
（2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明．
17．（2024八上·鹿城期中）学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题．
问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明．
问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明．
问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______．
18．（2024九下·二道模拟）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】如图，延长到使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故答案为：D．
【分析】延长到使得，连接，证明，得到，等量代换得，再结合已知条件即可解决问题；
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
5．【答案】
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
6．【答案】2
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
7．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；倍长中线构造全等模型
8．【答案】12
【知识点】三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
，
故答案为：．
【分析】延长到使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，再利用等量代换及等角对等边的性质可得，利用线段的和差及等量代换可得，即，最后求出BF的长即可.
9．【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；倍长中线构造全等模型
10．【答案】2BD=MN
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；等腰三角形的概念
11．【答案】；30
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
12．【答案】（1）（1）解：①根据题意画出图形如下
②；③
（2）解： 猜想，与的数量关系为：，
理由如下：
如图，延长，使得，连接，
∴AM=MN=AN，
由（1）中的原理可得：，
∴AD=NC，，
∵AD=AE，
∴AE=NC=AD，
，
，
，
，
在△ABE和△CAN中，
，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）②解：是中线，
，
在和中，
，
．
故答案为：；
③解：，AC=6，
，
在三角形ABE中，
，
，即，
，
，
．
故答案为：SAS；；
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②由线段中点的性质可得，结合已知条件用边角边可证△ADC≌△EDB；
③由②得△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等可得BE=AC，然后根据三角形的三边关系定理得""可求解；
（2）猜想，与的数量关系为：；理由：延长，使得，则AM=MN=AN，连接，由（1）可得△ADM≌△NCM，由全等三角形的对应边相等可得，∠DAM=∠N；结合已知用边角边可证△ABE≌△CAN，由全等三角形的对应边相等可得AN=BE，于是猜想可求证．
（1）解：①根据题意画出图形：
；
②解：是中线，
，
在和中，
，
．
故答案为：；
③解：，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，使得，连接，
根据（1）中原理可得，
，，
，
，
，
，
，
，
∴
．
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；倍长中线构造全等模型
14．【答案】（1）SAS；三角形的两边和大于第三边
（2）1
（3）解：理由如下：延长AD至点M，使DM=AD，连接CM，如图：
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△MCD中，
∴△ABD≌△MCD ( SAS )，
∴AB=MC，∠ABD=∠MCD.
∵，AC=AF，
∴AE=CM，ABIICM，
∴∠BAC+∠ACM=180° 。
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAF=∠ACM，
又∵AF=AC，
∴△EAF≌△MCA ( SAS )，
∴AM=EF，
∵AM=2AD，
∴EF=AM=2AD.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵根据两边及其夹角相等的两个三角形全等证明全等，
的依据是SAS，
在中，，依据是三角形的两边和大于第三边.
故答案为：SAS；三角形的两边和大于第三边.
（2）由（1）得：AC-AB<2AD∵AB=6，AC=8，
∴8-6<2AD<8+6，
∴1故答案为：1【分析】(1)由全等三角形的判定及三角形三边关系可得出结论；
（2）由三角形三边关系可得出答案；
（3）延长AD至M，使DM=AD，连接CM，证明△ABD≌△MCD(SAS)，可利用全等三角形的性质以及周角定义证得AE=CM，∠EAF=∠ACM，从而可证得△EAF≌△MCA，从而得AM=EF，则可得出结论.
15．【答案】（1）解：由题知：∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：，，理由如下：
如图2，延长到点Q，使，连接，延长交于P，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，；
（3）解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边得中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
在中，，则
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）证明，得到，即可得到结果；
（2）延长到点Q，使，连接，延长交于P，利用和都是等腰直角三角形，证明，得到，，即可得到结果；
（3）延长到点G，使，连接，，利用D为斜边的中点， 可证明，可得到，，从而得到垂直平分，所以，，在中，利用勾股定理可求出FE的长度.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
17．【答案】解：问题1：如下图补充：
只需测量BM的值就可知道AB的长；理由如下：
证明：过点作交延长线于，
，，
∴AC∥DM，
，
在△ABC和△MBD中
，
.
问题2：，理由如下：
延长到，使得，
由（1）知，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
问题3：如下图，延长到使，
为中点，
，
在△ADF和△BDC中
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型
18．【答案】（1），；（2），∴，又∵，∴．∵，∴，∴（3）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；倍长中线构造全等模型
1 / 1倍长中线构造全等模型——浙教版数学八上知识点训练
一、选择题
1．（2024九下·伊金霍洛旗模拟）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
2．（2023八上·洪山月考）如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】如图，延长到使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴
故答案为：D．
【分析】延长到使得，连接，证明，得到，等量代换得，再结合已知条件即可解决问题；
3．（2023八上·沧州期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，则的长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
4．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
二、填空题
5．（2024八上·齐齐哈尔月考）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ．（提示：延长至，使，连接）
【答案】
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
6．（2024八上·长沙开学考）已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD= ．
【答案】2
【知识点】三角形三边关系；倍长中线构造全等模型
7．（2024九上·龙江开学考）如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；倍长中线构造全等模型
8．（2024七下·历城期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
【答案】12
【知识点】三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
，
故答案为：．
【分析】延长到使，连接，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，再利用等量代换及等角对等边的性质可得，利用线段的和差及等量代换可得，即，最后求出BF的长即可.
9．（2023八上·中山期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ．
【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；倍长中线构造全等模型
10．（2023八上·中江期末）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB， BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=∠NBC＝90°，连接MN，则BD与MN的数量关系是 ．
【答案】2BD=MN
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；等腰三角形的概念
11．（2023八下·砀山期末）如图，在中，点D为的中点，，则：
（1）的度数为 ；
（2）的面积是 ．
【答案】；30
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
三、解答题
12．（2024八上·青秀开学考）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
（1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围；
同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请你根据同学们的方法解答下面的问题：
①根据题意，补全图形；
②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）；
③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）；
（2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）（1）解：①根据题意画出图形如下
②；③
（2）解： 猜想，与的数量关系为：，
理由如下：
如图，延长，使得，连接，
∴AM=MN=AN，
由（1）中的原理可得：，
∴AD=NC，，
∵AD=AE，
∴AE=NC=AD，
，
，
，
，
在△ABE和△CAN中，
，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）②解：是中线，
，
在和中，
，
．
故答案为：；
③解：，AC=6，
，
在三角形ABE中，
，
，即，
，
，
．
故答案为：SAS；；
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②由线段中点的性质可得，结合已知条件用边角边可证△ADC≌△EDB；
③由②得△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等可得BE=AC，然后根据三角形的三边关系定理得""可求解；
（2）猜想，与的数量关系为：；理由：延长，使得，则AM=MN=AN，连接，由（1）可得△ADM≌△NCM，由全等三角形的对应边相等可得，∠DAM=∠N；结合已知用边角边可证△ABE≌△CAN，由全等三角形的对应边相等可得AN=BE，于是猜想可求证．
（1）解：①根据题意画出图形：
；
②解：是中线，
，
在和中，
，
．
故答案为：；
③解：，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，延长，使得，连接，
根据（1）中原理可得，
，，
，
，
，
，
，
，
∴
．
13．（2023八上·长治期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线
（1）若，求的度数．
（2）若，求中线长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；倍长中线构造全等模型
14．（2024七下·南海期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，AD是BC边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E，使，
∵AD是BC边上的中线，
在和中，
（依据一），
在中，（依据二），
，
归纳总结：上述方法是通过延长中线AD，使，构造了一对全等三角形，将AB，AC，AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”，“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；
依据2： ．
（2）如图3，，则AD的取值范围是 ；
（3）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在中，，；中，．连接EF，试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）SAS；三角形的两边和大于第三边
（2）1（3）解：理由如下：延长AD至点M，使DM=AD，连接CM，如图：
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△MCD中，
∴△ABD≌△MCD ( SAS )，
∴AB=MC，∠ABD=∠MCD.
∵，AC=AF，
∴AE=CM，ABIICM，
∴∠BAC+∠ACM=180° 。
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAF=∠ACM，
又∵AF=AC，
∴△EAF≌△MCA ( SAS )，
∴AM=EF，
∵AM=2AD，
∴EF=AM=2AD.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵根据两边及其夹角相等的两个三角形全等证明全等，
的依据是SAS，
在中，，依据是三角形的两边和大于第三边.
故答案为：SAS；三角形的两边和大于第三边.
（2）由（1）得：AC-AB<2AD∵AB=6，AC=8，
∴8-6<2AD<8+6，
∴1故答案为：1【分析】(1)由全等三角形的判定及三角形三边关系可得出结论；
（2）由三角形三边关系可得出答案；
（3）延长AD至M，使DM=AD，连接CM，证明△ABD≌△MCD(SAS)，可利用全等三角形的性质以及周角定义证得AE=CM，∠EAF=∠ACM，从而可证得△EAF≌△MCA，从而得AM=EF，则可得出结论.
15．（2024八下·南城期中） 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．
（1）问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
（3）学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？
【答案】（1）解：由题知：∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：，，理由如下：
如图2，延长到点Q，使，连接，延长交于P，
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，；
（3）解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边得中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
在中，，则
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）证明，得到，即可得到结果；
（2）延长到点Q，使，连接，延长交于P，利用和都是等腰直角三角形，证明，得到，，即可得到结果；
（3）延长到点G，使，连接，，利用D为斜边的中点， 可证明，可得到，，从而得到垂直平分，所以，，在中，利用勾股定理可求出FE的长度.
16．（2024八下·腾冲开学考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中的取值范围：
（2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
17．（2024八上·鹿城期中）学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题．
问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明．
问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明．
问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______．
【答案】解：问题1：如下图补充：
只需测量BM的值就可知道AB的长；理由如下：
证明：过点作交延长线于，
，，
∴AC∥DM，
，
在△ABC和△MBD中
，
.
问题2：，理由如下：
延长到，使得，
由（1）知，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
问题3：如下图，延长到使，
为中点，
，
在△ADF和△BDC中
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型
18．（2024九下·二道模拟）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
【答案】（1），；（2），∴，又∵，∴．∵，∴，∴（3）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；倍长中线构造全等模型
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