课件27张PPT。3.4 圆周角定理（1）圆周角圆周角定义
圆周角定理课堂练习
例题讲解
巩固练习
课堂小结§圆周角(第一课时)good！一. 复习引入:1.圆心角的定义?
2.圆心角的度数和它所对的弧的 度数的关系?
BC2.相等.答:1.顶点在圆心的角叫圆心角.
探索1:圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:A.OBCAA圆内角圆外角圆周角探索1:探索2:你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?圆周角定义:
顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.判别图中的角是不是圆周角.√××××反馈练习:探索3:画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.
同时思考：一条弧所对的圆周角有多少个?
圆心角呢?
圆周角与圆心的位置有几种情况?用量角器量出这两个角的度数,你能得出什么结论?O由“探索三”
猜想出结论：
如 何
证明呢？同弧所对的圆周角 等于它所对的
圆心角的一半。
该结论成立吗？（1）（2）（3）情形（1）的证明证明：∵OB＝OC
∴∠BCA=∠B（等边对等角）
又∵∠BOA＝∠BCA＋∠B
（外角等于不相邻两个内角的和）
∴ ∠BCA＝1/2∠BOA情形（2）的证明证明：连结CO并延长交⊙O于D。
利用（1）的结果，有
∴ ∠BCD+∠ACD＝1/2(∠BOD+∠AOD)
∴ ∠BCA＝1/2∠BOA
∠BCD＝1/2∠BOD
∠ACD＝1/2∠AOD情形（3）的证明证明：连结CO并延长交⊙O于D。利用（1）的结果，有
∴ ∠BCD-∠ACD＝1/2(∠BOD-∠AOD)
∴ ∠BCA＝1/2∠BOA
∠BCD＝1/2∠BOD
∠ACD＝1/2∠AOD
圆周角定理同一条弧所对的圆周角
等于它所对的 的一半。圆心角(弧的度数)两点启示：1、要说明一个命题是真命题，如果一个图形不能
概括一般的情况，那么就往往需要分类讨论。
分类讨论的原则是既不遗漏，又不重复。
2、一个定理的发现，最初往往是从特殊情况中得
到信息，然后进行大胆猜想，从特殊到一般，
最后完整起来。课堂练习（√）（×）（√）（×）课堂练习 练习2：如图，在下列各图中，
∠1＝_____度, ∠2＝_____度, 37.565例题讲解如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A，BD的任意一点，连接AC，BC。求证：∠C是直角。
证明：因为∠ Ｃ是半圆弧ADB所对的圆周角，弧ADB所对的圆心角是平角AOB，所以 ∠ Ｃ＝１／２∠ AOB＝１／２× 180°=90°（圆周角定理） 即 ∠ Ｃ是直角.反之，若已知∠ Ｃ是直角， ∠ Ｃ的两边交⊙O于A，B，连结AO，BO，所以，A，O，B同在一直线上，AB是⊙O的直径。推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。则 ∠AOB=2 ∠ Ｃ=2 × 90°= 180°.
学习小 结1、圆周角的定义：顶点在______上，两边与圆
______的角，叫圆周角。圆周相交2、圆周角定理：同一弧所对的圆周角
等于它所对的圆心角的__________。一半学习小 结3、圆周角定理还可理解成，一条弧所对的
圆心角是它所对的圆周角的______；圆周角的
度数等于它所对的弧的度数的________。一半二倍Zhuyishixiang
知识网络图：
一条定义：顶点在圆上，角的两边和圆
相交的角叫圆周角
一条定理：同一条弧所对的圆周角等于它
所对的圆心角的一半。
一种应用：圆周角与圆心角，弧的度数
之间的转化。 2一、填空
（1）40°弧所对的圆心角是 度，圆周角 度。
（2）一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是 度，这条弧是 度。
（3）n°弧所对的圆心角是 度，所对的圆周角是 度。 二、计算
1、如图所示：∠1＝_____度,60巩固练习214020100100nnC2、求圆中角X的度数B35°120°做一做，成功在向你招手！OACB3、已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数D分析：
∵ ∠AOB=100°∴劣弧AB=100°
优弧ADB=260°∴ ∠ACB=130°
扩展：
4、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：3两部分，则弦所对的圆周角的度数是___________________.45°或135°OABC5．如右图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，
求证：∠ACB＝2∠BAC证明：∵∠AOB＝2∠ACB （1）
∠BOC＝2∠BAC （2） 且∠AOB＝2∠BOC （3）把（1）代入（3）得：∠ACB＝∠BOC（4）再把（2）代入（4）得：∠ACB＝2∠BAC，这就是我们所要证明的结论。∴∠ACB＝2∠BAC 你能解决它吗？书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。本节课你学到了什么？ 有何收获？
本节课涉及：
（1）研究方法：特殊 —— 一般 —— 特殊
（2）数学思想：转化、分类讨论。谈谈你的感受猜想归纳应用证明：在⊙O中
∵ OA⊥OB， AC⊥BD∴∠C＝1/2∠AOB=45°∠D＝1/2∠AOB=45°,∠AED＝90°∴∠DAE=180°-∠AED-∠D=45°∴ ∠DAE= ∠C∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行)补充题你好聪明！课件18张PPT。3.4圆周角 (2)特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交.1、圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角叫圆周角.4A一、旧知回放:2、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系一、旧知回放:圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即 ∠ABC = ∠AOC.1、100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32o，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60o的圆周角所对的弧的度数是30o
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120o的弧所对的圆周角是60o课前测验B
100o50o36o或144o64o100oD问题讨论问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?图1问题3、如图3，圆周角∠BAC =90o，弦BC经过圆心O吗？为什么？∠B = ∠D= ∠E∠BAC =90o问题解答1、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。用于找相等的角用于找相等的弧用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条线是否过圆心例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒ ⌒BD=DE证明：连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴ ⌒ ⌒BD= DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。练习：如图，P是△ABC的外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形证明：∵∠ABC和∠APC
都是⌒所对的圆周角。 AC∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）同理，∵∠BAC和∠CPB都是⌒所对的圆周角，BC∴∠BAC=∠CPB=60°。∴△ABC等边三角形。例3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？例4:一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.ABC例4:一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.ABCD练一练:1.说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请说明理由.2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:AB=CD想一想:如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.AC1如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:EC=2EA.提高拓展:2，已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？小结与作业1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？
