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突破五：利用一次函数的增减性求相关数值
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】以下4个一次函数中，y随x增大而减小，且其图象过点的是（ ）．
A． B． C． D．
【题组训练2】某一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练3】已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【题组训练4】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【题组训练5】已知均是正整数，且，，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【题组训练6】若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练7】已知非负数满足，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练8】在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练9】一次函数，当时，，则的值是 ．
【题组训练10】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ．
【题组训练11】已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ．
【题组训练12】若函数中，，则x的取值范围为 .
【题组训练13】如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ．
【题组训练14】点都在直线上，且，则 （填“”或“”）
【题组训练15】已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于 ．
【题组训练16】已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ．
【题组训练17】新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ．
【题组训练18】已知a，b，c是非负数，且满足，设，则y的最小值为 ．
【题组训练19】已知是的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求与的函数关系式．
(2)若，，三点在该函数图象上，判断的大小关系．
【题组训练20】已知与成正比例，且当时，．求：
(1)y与x之间的函数表达式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若点，在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围
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突破五：利用一次函数的增减性求相关数值
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】以下4个一次函数中，y随x增大而减小，且其图象过点的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据图象过点，设直线的解析式为：，根据y随x增大而减小，得到，进行判断即可．
【详解】解：∵一次函数的图象过点，
∴设直线的解析式为：，
∵y随x增大而减小，
∴，
∴满足题意的为；
故选B．
【题组训练2】某一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，熟知函数图象上的点满足函数解析式是解题关键．根据一次函数的增减性可得，排除A，B，然后将点代入C，D选项的解析式验证即可．
【详解】解：根据一次函数y随x的增大而减小可得：，排除A，B，
把代入得，即该函数图象过点，不符合题意，
把代入得，即该函数图象过点，符合题意，
故选D．
【题组训练3】已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，先求出此直线交轴于，交轴于，画出图象，结合一次函数的增减性，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：当时，，则此直线交轴于，
当时，，解得：，则此直线交轴于，
画出一次函数的图象如图所示：
，
若，且，
，，
此时，但的正负无法判断，故A选项错误，不符合题意；
若，且，
，，
此时，，故，故B选项正确，符合题意；
若，且，
或，
当时，，此时的正负无法判断，故C选项错误，不符合题意；
若，且，
，，此时，但的正负无法判断，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【题组训练4】若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】∵点在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴随的增大而减小，
又∵点，点都在一次函数的图象上，且，
∴，
故选：．
【题组训练5】已知均是正整数，且，，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的性质，先由已知得到，，然后代入得到，然后求出的取值范围计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
∵，解得，且a为整数，
∴当时，最大为；
当时，最小为；
∴最大值与最小值的差为，
故选B．
【题组训练6】若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出答案．
【详解】解：，
随的增大而减小，
又点，，在一次函数是常数）的图象上，且，
∴
故选：D．
【题组训练7】已知非负数满足，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解不等式组，一次函数的性质，设是解题的关键．设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最值．
【详解】解：设，则，，，
，
∵，
∴随的增大而减小，
，，为非负数，
，
解得：．
当时，取最大值为，
当时，取最小值，
∴S的取值范围是．
故选：A．
【题组训练8】在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：，
随的增大而减小，
当时，，
，
故选：A．
【题组训练9】一次函数，当时，，则的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的增减性，求一次函数解析式，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小．根据一次函数的增减性分两种情况讨论，利用待定系数法分别求出、的值即可．．
【详解】解：当时，随的增大而增大，
时，，
时，；时，，
，解得：，
；
当时，随的增大而减小，
时，，
时，；时，，
，解得：，
，
的值是或，
故答案为：或．
【题组训练10】若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵当时，，
∴，
解得．
故答案为：．
【题组训练11】已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ．
【答案】9.5
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得当时，函数取得最大值，进一步求解即可．
【详解】，
随着增大而增大，
当时，函数有最大值，
当时，，
即，
解得，
故答案为：9.5
【题组训练12】若函数中，，则x的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据则随的增大而增大，根据则随的增大而减小，即可作答．，
【详解】解：∵
∴随的增大而减小
∵
当则；
当则；
∴，则x的取值范围为
故答案为：
【题组训练13】如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图像经过的象限可得到，推出随x的增大而减小，从而得到结果．
【详解】解：直线不经过第三象限，
，
随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【题组训练14】点都在直线上，且，则 （填“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握中，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
【详解】∵直线，
∴，
∴函数中，随的增大而减小，
∵点都在直线上，，
∴．
故答案为：．
【题组训练15】已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解不等式和去绝对值、一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用，先解得不等式的解，再结合不等式求得各自的最大值和最小值，即可求得答案．
【详解】解：，
去分母得，，
去括号合并同类项得，，解得，
当，，此时最大值为，最小值为，
当，，
则函数的最大值为，最小值为，，
故答案为：．
【题组训练16】已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据，列出不等式，求解即可．
【详解】解：
，
，
故答案为：．
【题组训练17】新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了新定义、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，据此即可解答．
【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为，
∵，
∴随x的增大而减小，
∴当时，，
∴一次函数的“特征值”为9．
故答案为：9．
【题组训练18】已知a，b，c是非负数，且满足，设，则y的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质．熟练掌握三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质是解题的关键．
依题意得，，解得，，由a，b，c是非负数，可得，解得，，则，根据一次函数的性质求解作答即可．
【详解】解：依题意得，，
解得，，
∵a，b，c是非负数，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴当时，，
故答案为：4．
【题组训练19】已知是的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求与的函数关系式．
(2)若，，三点在该函数图象上，判断的大小关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的增减性．
（1）设，根据当时，；当时，，列出方程组，求出k和b的值，即可解答；
（2）根据，得出在任意实数范围内，y随x的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：是的一次函数，
设，
∵当时，；当时，．
∴
解之得
与的函数关系式为．
（2）解：∵，
∴在任意实数范围内，y随x的增大而增大，
∵．
．
【题组训练20】已知与成正比例，且当时，．求：
(1)y与x之间的函数表达式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若点，在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据一次函数的增减性进行解答即可；
（3）根据一次函数的增减性，得出，求出m的值即可．
【详解】（1）解：设，
将当，代入得：
，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴当时，；
（3）解：由（1）得，
∴y随x的增大而增大，
∵点A、B在该一次函数的图像上，
且，
∴，
∴．
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