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突破四：一次函数规律探索问题
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练2】如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练3】如图，正方形…按如图所示的方式放置．点…在直线上，点…在x轴上，若点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练5】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为( )
A． B． C． D．
【题组训练6】如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ．
【题组训练7】如图，直线，过点作轴，与直线交于点，以原点o为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；……，按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
【题组训练8】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ．
【题组训练9】如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ．
【题组训练10】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
【题组训练11】如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ．
【题组训练12】如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则 ， （用含n的代数式表示，n为正整数）．
【题组训练13】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为 ．
【题组训练14】如图，已知直线L：交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线L上点，，，…在x轴的正半轴上，若，，，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则点的坐标为 ．
【题组训练15】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是 ．
【题组训练16】正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ．
【题组训练17】正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ．
【题组训练18】如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
【题组训练19】如图，在平面直角坐标系中，点是直线上一点，过作轴，交直线于点，过作轴，交直线于点，过作作轴，交直线于点，…，依次做下去，若点的纵坐标是1，则的纵坐标是 ．
【题组训练20】正方形，，… 按如图的方式放置， 点，，， … 和点 ，，，分别在直线和轴上， 则点的坐标 ．
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突破四：一次函数规律探索问题
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形、正方形的性质以及点的坐标的规律性，根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质求出相应的边长是确定点坐标的关键．根据直线与轴、轴的交点坐标可判断出，、、，都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质以及正方形的性质可求出相应的边长，进而求出点、、、的坐标．
【详解】解：在中，令，得，令，得，
所以直线与轴交于点，与轴的交点坐标为，
因此有，、、，都是等腰直角三角形，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
即点，
故选：A．
【题组训练2】如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的有关知识，等腰直角三角形的性质，掌握探究规律题目的方法，从特殊到一般，归纳出规律，先找到的、的横坐标的规律，然后求出点坐标．
【详解】解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，
∴，，
∵过B作x轴的平行线交直线于，
∴，
∵过作y轴的平行线交直线于，
∴，
∵过作x轴的平行线交直线于，
∴
∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，
点在直线上，
点的纵坐标为64，
点．
故选：A．
【题组训练3】如图，正方形…按如图所示的方式放置．点…在直线上，点…在x轴上，若点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、规律性：点的坐标，解答本题的关键是发现点的横纵坐标的变化特点，写出其相应的坐标．根据题意和函数图象，可以先写出的坐标，然后即可发现横、纵坐标的变化特点，即可写出点的坐标．
【详解】解：∵点，点在直线上，
∴，
∵正方形，
∴点的坐标为，，
同理：，点的坐标，
点的坐标，
…，
则点的坐标为，
点的坐标．
故选：B．
【题组训练4】如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点与的横坐标相同，与的纵坐标相同，再根据可求出 ，，，，，，，，通过观察这些点的坐标可得出的横坐标为，然后根据可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】解：依题意得：与的横坐标相同，与的纵坐标相同，
∵，
∴对于，当时，，
∴点，
对于，当时，，
∴点，
同理可得：，，，，，，
观察这些点的坐标可得出：的横坐标为，
∵，
∴点的横坐标为，
故选：．
【题组训练5】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以O为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点，…，按如此规律进行下去，点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
根据题意可以求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，
设点的坐标为，
，
，
解得：，
∴点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
以此类推可得，点的坐标为
∴点的坐标为，
故选：D．
【题组训练6】如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标．
【详解】解：点坐标为，
，
过点作轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为，
点与点关于直线对称，
，
，
点的坐标为，的坐标为，
点与点关于直线对称．故同理可得点的坐标为，的坐标为，
以此类推便可求出点的坐标为，，点的坐标为，．
的坐标，，
故答案为：，．
【题组训练7】如图，直线，过点作轴，与直线交于点，以原点o为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；……，按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题是点坐标规律的探索，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理；先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含的直角三角形的特点依次得到、…、的点的坐标是解决本题的关键．
依据直线l为，点，A1B1⊥x轴，可得，同理可得，，，…，依据规律可得点的坐标为．
【详解】解∵直线l为，点，A1B1⊥x轴，
∴当时，，
即，
，
∴由勾股定理得，
∵以原点O为圆心，长为半径画圆弧交x轴于点，
∴，
同理可得，，，…，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【题组训练8】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过罗列计算得到规律是关键．根据题意，分别计算、、、可得边长规律，据此计算即可．
【详解】解：在函数中，令，则；令，则，
，，
是等腰直角三角形，
，
设代入直线解析式得，解得，
，
设代入直线解析式得，解得，
，
设代入直线解析式得，解得，
，
，
．
故答案为：．
【题组训练9】如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可．
【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【题组训练10】如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了坐标规律探索，先求出，得出，，，从而得出…，由，…得出的坐标为，当时可得结论．
【详解】解：把代入得：，解得：，
把代入得：，
∴，
∴，
∴…，
又，…，
∴的坐标为，
当时，顶点的横坐标为
故答案为：．
【题组训练11】如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了坐标的探索规律题．根据点的坐标和直线解析式即可求出点的坐标，再根据等腰直角三角形的定义可得，并求出点的坐标，同理即可求出点，的坐标，找出规律即可归纳出点的坐标，即可得出答案．
【详解】解：过点作轴的垂线与直线交于点，
将代入，解得，
点的坐标为，
，
△是等腰直角三角形，
，点的坐标为，，，，
同理可得，点的坐标为，，，，
，点的坐标为，，，，
点的坐标为，，
的坐标为，．
故答案为：，．
【题组训练12】如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则 ， （用含n的代数式表示，n为正整数）．
【答案】 2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键．
设直线与x轴交于H，求出，得到，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为，再根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】解：设直线与x轴交于H，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴直线与x轴的夹角为，
∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，
∵，即第一个正方形的边长为2，
∴，
∴，即第二个正方形的边长4，
同理可得，即第三个正方形的边长为8，
…，
∴可知第n个正方形的边长为，
∴，
，
，
…，
故答案为：2；．
【题组训练13】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解．
【详解】解：当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为；
故答案为：．
【题组训练14】如图，已知直线L：交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线L上点，，，…在x轴的正半轴上，若，，，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字规律型、一次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意求得，根据等腰三角形的性质可得，即，从而求得，进而求得，，总结出规律，即可求解．
【详解】解：∵交y轴于点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵若，，，…均为等腰直角三角形，
∴，，
，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【题组训练15】如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，分别计算、…的纵坐标得到规律，用规律解决问题即可．
【详解】解：作轴，轴，轴，垂足分别为
的纵坐标是；
设则
，将坐标代入
得：，
解得：，
的纵坐标是；
设
，将坐标代入
得： ，
解得：，
的纵坐标是；
，
的纵坐标为．
故答案为：．
【题组训练16】正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，根据直线解析式先求出，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第n个正方形的边长，从而求得点的坐标，即可求得点的纵坐标．
【详解】解：∵直线，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理得：，…，
∴；
，即，
∴，
点的坐标为，
∴点的纵坐标为
故答案为：．
【题组训练17】正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，，”是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论．
【详解】解：当时，，
点的坐标为．
为正方形，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可得：，，，
点的坐标为，，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：，．
【题组训练18】如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案．
【详解】解：由题意，，，
，
则第一个正方形的边长为，
即，
，，
，
则第二个正方形的边长为，
即，
，，
，
则第三个正方形的边长为，
即，
，，
以此类推，
可得，，
第2020个正方形的边长为．
故答案为：；．
【题组训练19】如图，在平面直角坐标系中，点是直线上一点，过作轴，交直线于点，过作轴，交直线于点，过作作轴，交直线于点，…，依次做下去，若点的纵坐标是1，则的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类，找出的纵坐标是解题的关键．
由题意分别求出，，，的坐标，找出的纵坐标的规律，即可求解．
【详解】点的纵坐标是1，
，，
过作轴，交直线于点，过作轴交直线于点，…，依次作下去，
∴，，，，，…
可得的纵坐标为，
∴的纵坐标是．
故答案为：．
【题组训练20】正方形，，… 按如图的方式放置， 点，，， … 和点 ，，，分别在直线和轴上， 则点的坐标 ．
【答案】
【分析】本题是一次函数的规律题，得到点的坐标是解题的关键解． 根据题意确定一次函数上点点，，，，…的坐标，进而得到点的坐标，即可求解．
【详解】解：四边形，，都是正方形，
，，.
直线，当时，，
，
，
，
点与点的横坐标相等，均为，
点的纵坐标为，即点，
，
，
，
点与点的横坐标相等，均为，
点的纵坐标为，即点，
通过推理不难得到：
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
的纵坐标是：，的横坐标是：，
据此可以得到的纵坐标是：，横坐标是：，
即点的坐标为，
当时，点的坐标为，
故答案为：．
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