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突破十一：一次函数中最值问题（压轴题）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】综合与探究
如图，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点B，直线交轴于点，交直线于点．
(1) ；A（ ， ）；B（ ， ）；
(2)求直线的函数解析式；
(3)点P是y轴上一动点，分别连接、，当值最小时，点P的坐标为 ；
(4)点为直线上一动点，当的面积为时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)2；0，4；4，0
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题考查了一次函数综合题，涉及待定系数法，将军饮马问题，一次函数与面积结合，熟练掌握这些题型的方法是解题的关键．
（1）将代入求，分别令的和求、即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）利用将军饮马问题，作点关于轴的对称点，当、、共线时，最小，此时点为与轴的交点，
（4）利用求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
解得：，
当时，，
∴，
令，得：，
∴，
故答案为：2；0，4；4，0；
（2）解：设直线的解析式为，
把点、代入解析式，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：作点关于轴的对称点，
则，
则，
当、、共线时，最小，即最小，
此时点为与轴的交点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
所以直线的解析式为，
当，，
∴；
（4）解：∵，，
∴，
∵的面积为，
∴，
即：，
得：或，
当时，代入，得，
∴，
当时，代入，得，
∴，
综上，点坐标为或．
【题组训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别交于点B，D，与直线交于点C．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)已知 是x轴上的一个动点，连接．
①当的周长最短时，求点Q的坐标；
②过点Q作y轴的平行线，分别与直线，交于点E， F，当与的面积之间存在2倍关系时，直接写出a的值．
【答案】(1)
(2)6
(3)①点Q的坐标为；②a的值为或
【分析】（1）将代入，可求；
（2）由（1）可知，当时，可求，则，联立，可求，则，然后计算面积即可；
（3）①如图，作点A于x的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，可知当三点共线时，最小，的周长最短，当时，，可得，待定系数法求直线的解析式为，令，计算求解，进而可得点Q的坐标；②令，则，，，， 由与的面积之间存在2倍关系，可知分和两种情况求解；当时，，则，计算求解即可；当时，，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知，
当时，
解得，
∴，
联立，
解得，，
∴，
∴，
∴的面积为6；
（3）①解：如图，作点A于x的对称点，连接交轴于点，连接，
∴，，
∴，
∴当三点共线时，最小，的周长最短，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，D的坐标代入得，解得，
∴直线的解析式为，
令，
解得，
∴点Q的坐标为；
②解：令，则，，，，
∵与的面积之间存在2倍关系，
∴分和两种情况求解；
当时，，
∴，
当时，解得，；
当，解得；
当时，，
∴，
当时，解得，；
当时，解得；
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，轴对称的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
【题组训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，的面积为．
(1)求直线的表达式；
(2)如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限．
①连接，设的面积为，的面积为，若，求点E的坐标；
②当的面积最小时，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）把点代入求得点的坐标，利用三角形面积求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）①由题意可知，设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，则，即可证得，得出，设，即可得到，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标；
②先证得当点是中点时，的面积最小，过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，则，得到，，设，，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标．
【详解】（1）解：由点A在直线上，代入，则，
∴，
过点A作AG⊥x轴于点G，则，
∵的面积为
∴，
∴，
设：，
代入A，B的坐标，得
∴
∴直线的表达式为；
（2）①∵，
∴，
设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，
∴，
则，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点D两条直线和，其中D是的中点．
过点F作交于点M，则，
，
∴当点D是中点时，的面积最小，
过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，
则，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形全等的判断和性质，正确表示、点的坐标是解题的关键．
【题组训练4】如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点．
(1)求直线与的解析式；
(2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标．
【答案】(1)直线的表达式为：，直线的表达式为：
(2)存在，或
(3)
【分析】本题考查了一次函数的性质，涉及到三角形的全等，点的对称，面积的确定，解题的关键一次函数的综合运用，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当点P在线段上时，当和的面积比为，则即可求解；当点P在点C的上方时，则点C是的中点，即可求解；
（3）设点，求出点N的坐标为，进而求解；
【详解】（1）解：将点B的坐标代入直线的表达式为：，
即直线的表达式为：，
当时，，即点，
将点的坐标代入直线的表达式得：，则，
故直线的表达式为：；
（2）存在，理由：
当点线段在上时，
当和的面积比为，则，
则，
当，
解得：，
则点的坐标为：；
当点在点的上方时，
则点是的中点，
由中点坐标公式得：点；
综上，点的坐标为：或；
（3）设点，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，则，
，
，
，，
，
则，，
则点的坐标为：，
则点在直线①上，设该直线分别交轴于点，以为边向右作正方形，由直线的表达式轴，
其和轴负半轴的夹角为，则点落在直线上，点关于直线的对称点为点，
由直线知，点，则，则点，
连接交直线于点，则此时，周长最小，
理由：周长为最小，
由点、的坐标得，直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：，
解得：，
则点的坐标为：．
【题组训练5】如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C．
(1)求点 B、C的坐标；
(2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标；
(3)在条件 （2） 下， 求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形，
对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标；
对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案；
对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为．
当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
（2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小．
∴点．
设直线的关系式为，得
，
解得，
∴直线的关系式为．
当时，，
∴点P的坐标为；
（3）解：如图所示．
．
【题组训练6】如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点．
(1)点M的坐标为____________________；
(2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)周长的最小值为；
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）令，得；令，得，可得点、的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标；
（2）因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长；
（3）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，得出，，根据列方程求出的得解．
【详解】（1）解：对于，
令，得；
令，得，
解得：，
∴，
∵点M为线段AB的中点，
∴，即，
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，
则，
∴,
∵,
∴，
∵点是固定点，
∴，
∴周长的最小值为,
又,
∴
∴,
∴周长的最小值为；
设直线的解析式为，
把代入，得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为
又过点的直线与交于点，
∴，
又直线和解析式与直线交于点，
∴，
∵,
∴，
整理得，，
解得，，或，
∴点的坐标为：或．
【题组训练7】如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点．
(1)求直线的解析式和点坐标；
(2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值．
(3)如图2，点坐标为，则的面积是 ．
(4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为，点坐标
(2)存在，
(3)
(4)满足条件的点C的坐标为或
【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键．
（1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可；
（3）利用三角形面积公式列式运算即可；
（）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把、代入得到，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在直线上，横坐标为，
把代入可得：，
∴点坐标；
（2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，
∵，，，
∴的最小值；
（3）如图2中，
∵点坐标为，，
∴，
．
故答案为18；
（4）如图3中，
①当是等腰直角三角形时，作轴于，
∵，
∴
∵
∴，
∴，，
∴，
②当是等腰直角三角形时，同理可得等，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【题组训练8】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求：
(1)求正比例函数与一次函数的关系式；
(2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标；
(3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与轴对称，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可；
（3）分三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，直线过点，，
∴，解得：，
；
∵过，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，且为定值，
∴当最小时，的周长最小，
作作点关于轴的对称点，连接，则，，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
同（1）可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴．
（3）∵，
∴，
设，则：，，
当为等腰三角形时，
①，则：，
∴，
∴；
②当时，，解得：，
∴；
③当时，，
，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
综上：或或．
【题组训练9】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标．
(1)的坐标为________，线段的长为________；
(2)求直线的解析式及点的坐标；
(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结．
①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明；
②求点移动过程中面积的最大值．
【答案】(1)，8
(2)，
(3)①②
【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）由，即可得点B坐标，继而得，从而得到点A坐标及线段长；
（2）用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（3）①由ASA证明，即可求解；
②先证四边形OMDN面积为定值，而，要使面积最大，求面积最小即可，当取最小值时，面积最小，即当时，取最小值，进而求解．
【详解】（1）∵，
，
∴点B坐标（0，4）
将点B坐标带入，
解得：
得到解析式：
令，解得，所以A点坐标
故答案为：，8；
（2）解：∵，
∴
点E坐标
设的解析式为，分别代入
得到： 解得：
所以解析式是：，
因为D的横坐标为，代入解析式，得到
即点的坐标为；
（3）①线段与线段数量关系是，
证明：，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
②解：，
，
，，，，
，，
，
四边形OMDN面积为定值，
，
要使面积最大，求面积最小即可，
，
当取最小值时，面积最小，
，，，
，
当时，取最小值，
，
即，面积最小为，
则面积，
即面积最大为．
【题组训练10】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，已知．
(1)求点A的坐标．
(2)已知点，在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若x轴上有一动点D，将绕点D逆时针旋转为，在点D运动过程中，连接，则是否有最小值？若有，则的最小值=_____，此时Q的坐标为_____，D的坐标为____；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为或或或
(3)；；
【分析】（1）设点A坐标为，则，由，，得 ，，由勾股定理解得，从而；
（2）根据，分情况三种①；②；③，分别求解；
（3）过点Q作轴，由证得，从而，进而可得点在直线上运动，再由轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接、，可得， 当、、三点在同一直线上时，最小，最小值为；再利用直线解析式求出交点坐标即可求解．
【详解】（1）解：设点A坐标为，则，
由，，得 ，，
由勾股定理得，
解得，
；
（2）解：在轴上存在点P，使是等腰三角形，
依题意得，
①当时，点P位置如图中的点、
∴、
②当时，点P位置如图中的点，
∵
∴，
∴，
③ 当时，点P位置如图中的点，设．
此时，，则在中，
，
解得：．
∴；
综上所述，点P的坐标为或或或
（3）解：过点Q作轴，则，
由旋转可知：，，
∴
∵在中有
∴
在和中
∴
∴
设，，则，，
∴，
∴点在直线上运动，
设直线交坐标轴于点K、T，易得：，
∴，为等腰直角三角形，
∴
作点关于的对称点，连接、，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴当、、三点在同一直线上时，最小，最小值为；
设直线解析式为， 将，代入得
，解得：，
即：直线解析式为，
联立直线和直线得，
，解得：，
即直线与直线交点为坐标为，
又∵，
∴点坐标为
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等是解答此题的关键．
【题组训练11】如图，已知，．
(1)在轴上求点，使最小．并写出点的坐标；
(2)在轴上求点，使，并写出点的坐标；
(3)作关于轴的对称图形．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)见解析
【分析】（1）取关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间，线段最短，则此时，最小，利用待定系数法即可求得点的坐标；
（2）连接，作线段的垂直平分线交轴于点，则，根据垂直平分线的性质及勾股定理可求得点的坐标；
（3）取点和点的对称点和点连接，，，即可得解．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
设直线为
∵直线为过，
∴，
解得，，
∴直线为
当时，，解得，
∴；
（2）解：如图所示，
设，
∵的垂直平分线交轴于点，
∴，
∴
∵，，．
∴，
解得，
∴；
（3）解：如图所示即为所求．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，轴对称的性质及作图，两点之间，线段最短，求一次函数解析式，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理，轴对称的性质及作图是解题的关键．
【题组训练12】如图，直线分别交x轴，y轴于点A，E，点在直线上，点E关于x轴的对称点为，连接．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积；
(3)点为第一象限内一动点，点P在x轴上，连接，若的面积与的面积相等，求的最小值．
【答案】(1)
(2)30
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象与性质，待定系数法求函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据一次函数解析式得到A、E的坐标，再利用轴对称得到E'坐标，最后利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）过点作轴，根据平面直角坐标系内点的坐标特征得到的值，进而得到的面积；
（3）根据三角形面积相等得到a的值，再利用最短路径及平面直角坐标系内两点之间的距离得到的值，进而得到的最小值．
【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于点A，E，
∴，
∵点E关于x轴的对称点为，
∴点，
设直线的解析式为：
∴，
∴，
∴直线的解析式为：；
（2）解：过点作轴，交直线于点C，过点B作，过点A作，如图，
∵，
∴点C的纵坐标为：6，
∵点C在直线上，
∴点，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴
∴点，
∴，
∴，，
∴，
（3）解：过点B作关于x轴的对称点，连接，过点Q作直线轴交直线于点M，
∵，
∴，
∵，直线的解析式为：，
∴
∴点，
∴，
∵的面积与的面积相等，，
∴，
∴，
∴解得（舍去），，
∴，
∴．
∴的最小值为．
【题组训练13】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．
(1)求两点的坐标；
(2)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标；
(3)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标；
(4)如图2，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)、
(2)或
(3)
(4)或
【分析】（1）对于，令，解得：，令，则，即可求解；
（2）设点M的纵坐标为，根据，列出方程，解方程得出或，然后代入求出点M的坐标即可；
（3）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，进而求解；
（4）当点在上方时，证明，得到的坐标为，进而求解，当点在下方时，同理可解．
【详解】（1）解：对于，
令，
解得：，
令，则，
∴点的坐标分别为、；
（2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得：
，
即，
解得：或，
把代入得：，
解得：，
∴此时点M的坐标为；
把代入得：，
解得：，
∴此时点M的坐标为；
综上分析可知：点M的坐标为或；
（3）解：点为线段的中点，
∴点，
∵轴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∴最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴此时点为所求点，
设直线的表达式为：，则，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，
∴点的坐标为；
（4）解：存在，理由：
当点在上方时，如图2，过点作交于点，过点作轴于点，
则，
，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，
在Rt和Rt中，
，
，
，
故点的坐标为，
设直线的解析式为：， 把点的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，，
故点的坐标为，
当点在下方时，
过点作交于点，
则，
∴，
∴、A、M三点共线，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为的中点，
由中点坐标公式得，点，即，
由点、的坐标同理可求得直线的表达式为：，
当时，，
综上分析可知：点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，中点坐标公式，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论，避免遗漏．
【题组训练14】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴正半轴且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点在线段上，点E和点F是x轴上的两个动点（点E在点F左边）且满足，连接，求的最小值．
(3)如图3，在(2)的条件下，将点M沿着射线方向平移个单位得到点，若点P是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点P的坐标，并写出其中一个点P的求解过程．
【答案】(1)；
(2)的最小值为；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理等知识，掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）由直线得，故，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出的长，根据与的面积比为，得到，，设点， 根据两点间距离公式得到点，过点作关于轴的对称点，连接，则，点向左平移得到点，使得，连接，则四边形为平行四边形，则，当点、、共线时，最小，即最小，即最小，过点作轴，过点作轴，两线交于点，求出，即可求解；
（3）过作连过作轴，以为底作等腰设直线解析式为：代入，得，求得直线解析式为利用一次函数性质得的纵坐标为，然后分两种情况：当与重合时，当位于直线的点上方时，分别求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵，，
∵，
∵与的面积比为，
∴，
∴，，
设点，则：
，即，
，即，
得：，
又∵点在直线：上，
联立得：，
解得：，
∴，
如图：
过点作关于轴的对称点，连接，则，点向左平移得到点，使得，连接，则四边形为平行四边形，则，
当点、、共线时，最小，即最小，即最小，
过点作轴，过点作轴，两线交于点，
∵，，，
∴，
，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：过作连过作轴，以为底作等腰如图：
设直线解析式为：代入，得，
∴直线解析式为：
∴，
，
∴，
故的纵坐标为，
又∵，
轴
∴为等腰直角三角形，
，
故有两个位置，
当与重合时，得：，
当位于直线的点上方时，以为底作等腰，
设，则，
又∵，
即点的纵坐标为：，
∴，
即：
又∵，
∴，
∴．
∴点的坐标为或．
【题组训练15】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
(1)求的面积；
(2)如图1，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)如图2，点为轴正半轴上一点，且，，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，试求的最小值（图1与图2中点坐标相同）．
【答案】(1)18
(2)
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求得A，B的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点E作轴于G，证明得出，设，则，得出E点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点F的坐标；
（3）如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接．根据角平分线的性质定理可得，即，进而得到当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为；再根据勾股定理求得，最后运用等面积法求得的长即可
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作轴于G，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴E点的坐标为，
∵，
设直线的解析式为：，
代入点A和点E的坐标得：
，解得：，
∴的解析式为，
∴当时，，
∴与y轴的交点F坐标为；
（3）解：如图：过点O作于G，交于M，作于N，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴当O、M、G三点共线且时，的值最小，且最小值为，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、非负数的性质，三角形面积公式、全等三角形的判断和性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解本题的关键．
【题组训练16】一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D．
(1)求的面积；
(2)求点C、D的坐标；
(3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值．
【答案】(1)24
(2)，
(3)
【分析】（1）将，，分别代入求解，得到，即可求解；
（2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，即可得到点坐标，再由，即可求出点纵坐标；
（3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即为所求．
【详解】（1）解：将代入得，
，即，
将代入得，
，即，
；
（2）解：如图，
设长为，则，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
在中，，即，
解得，
，
；
，
，，
，
即，
解得，
将代入得，
解得，
．
（3）解：如图，连接，
平分，，
点，关于对称，
，
，
即到轴距离为最小值，
的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分的性质及求线段和最值的方法．
【题组训练17】平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值；
(3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
(4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)最小为
(3)
(4)
【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果；
（3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
（4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，，
连接，过点作，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∵点在线段上，
∴当时，，解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作点关于的对称点，则：，
∵，
∴三点共线，且为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
又∵为轴上的动点，
∴当轴时，最短，此时，
∴的最小值的最小值为；
（3）解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点，
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
设，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴，
当在点的右侧时，则与关于对称
又，
∴当在点的右侧时，
综上所述，
（4）解：如图所示，
作点关于的对称点，则
∵是等腰直角三角形，
∴，则
∴是等腰直角三角形
∵，，则，
∴，
∴，
依题意，，
∴
当重合时，取得最小，即的长，
此时，
在中，
即的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
【题组训练18】如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，以为边在y轴的右侧作正方形，且．
(1)求直线l的解析式；
(2)如图1，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，．
①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式__________；
②当最小时，求E点的坐标；
③如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，求出点H的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【分析】（1）根据正方形的性质求出，结合求出，得到，，再利用待定系数法求解即可；
（2）①如图，轴于，证明，得出，，设，则，，结合，即可得解；②过C作C关于的对称点，连接，与的交点即为E点，此时最小，令交轴于，求出，待定系数法求出，联立求解即可；③由①得一线三垂直，，，则，分两种情况：当H在直线下方时；当H在直线上方时，设与交点为M，分别求解即可．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，，
将点A点B代入得：，
解得，
；
（2）解：①如图，轴于，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴
②过C作C关于的对称点，连接，与的交点即为E点，此时最小，令交轴于，
当时，，即，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由轴对称的性质可得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设的解析式为，
将，代入得：，
解得，
，
∵E为与交点，
，
解得：，
代入得：，
；
③当D为中点，
∴，
由①得一线三垂直，，，
，
当H在直线下方时，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
故此时E与H重合，；
当H在直线上方时，设与交点为M，
将沿折叠至上方，即，
设直线的解析式为，
，，
∴，
解得：，
，
当时，，即，
∴，
∴，
延长交于，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴
∵H为和交点，
，
解得：
；
综上或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、坐标与图形、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【题组训练19】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴正半轴且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点E和点F分别是直线和x轴上的两个动点，当的值最小时，求出点M坐标及点E的坐标．
(3)如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线方向平移个单位得到点，若点N是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程．
【答案】(1)
(2)点坐标为，点的坐标为．
(3)点的坐标为或，过程见详解
【分析】（1）由直线得，故，设直线解析式为，代入得直线解析式为．
（2）过作轴，过作轴，交于，连，在上取．由直线得，先证明得，根据垂线段最短得的最小值，即为垂线段的长．由与的面积比为得，可得，，过作轴，利用比例得，，再计算即可．
（3）过作，连，过作轴，以为底作等于，设直线解析式为，代入，得直线解析式为，利用一次函数性质得的纵坐标为6，得．有两个位置，当与重合时，得．当位于直线的点上方时，利用等腰三角形性质以及一次函数的性质计算即可．
【详解】（1）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A、点B
∴当时，则
∴，
，
∵
，
，
设直线解析式为，
代入得，
直线解析式为．
答：直线的解析式为．
（2）解：过作轴，过作轴，交于，连，在上取．如图：
由直线得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
根据垂线段最短得
当、、三点共线，且垂直于时最短，
故的最小值，即为垂线段的长．
此时与直线的交点为．
与的面积比为，
，
，
，，
过作轴，
，
，，
，
，
，
，
．
答：点坐标为，点的坐标为．
（3）解：过作，连，过作轴，以为底作等于，如图：
设直线解析式为，
代入，得
∴
∴直线解析式为，
，
，
，
∴
，
，
∵以为底作等于
∴，
∵
∴
∵
∴轴
，
故的纵坐标为6，
又，
轴
为等腰直角三角形，
．
故有两个位置，
当与重合时，
得．
当位于直线的点上方时，
以为底作等腰，
∴
∵
∴
∴轴
设，则，
又，
∵轴
∴点的纵坐标为，
．
，
即，
又，
，
，
．
答：点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，一次函数的解析式的求法，以及两直线平行相等，同时利用两直线联立求交点坐标的知识，掌握一次函数的性质是解题关键．
【题组训练20】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线交x轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点E和点F分别是直线和x轴上的两个动点，当的值最小时，求出点M坐标及的最小值．
(3)如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线方向平移2个单位得到点，将沿着射线方向平移2个单位得到，若点Q是直线上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点Q的横坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为；的最小值为
(3)或或
【分析】（1）根据直线分别交x轴、y轴于点A、点B，得到，，设直线的解析式为，把代入求解即可；
（2）解：过点M作轴于点N，得到，结合轴，求得，点，把点代入，可求得点，先求得，，过点M作轴于点T，证明
，过点C作于点S，交于点G，证明是等边三角形，且，过点G作轴于点H，交于点P，
当E与P重合时，F与H重合时，的值最小，且最小值为，根据特殊角的三角函数得到．
（3）根据等腰三角形的腰进行分类，运用两点间的距离公式计算即可．
【详解】（1）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A、点B，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：过点M作轴于点N，
∵与的面积比为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点，，
把点代入，得，
解得，
∴点，
∵，，，
∴，
∴，，
过点M作轴于点T，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点C作于点S，交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，且，
过点G作轴于点H，交于点P，
当E与P重合时，F与H重合时，的值最小，且最小值为，
∴，
故点M坐标为，的最小值为．
（3）解：∵，点M沿着射线方向平移2个单位得到点即向上平移2个单位，
∴点．
∵沿着射线方向平移2个单位得到，，
∴平移过程中，向下平移1个单位长度，向左平移个单位长度，
∵，，，
∴，，，
∵点在直线上，
不妨设，
如图，当时，
∴，
∵点，，
∴，
解得；
如图，当时，
∵点在直线上，
不妨设，
∴，
∵点，，
∴，
整理，得，
解得或；
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点Q的横坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，点到直线距离垂线段最短，平移的性质，两点间的距离公式，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，等腰三角形的判定条件，解题的关键是：（1）会用待定系数法求一次函数解析式；（2）能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线距离垂线段最短；（3）熟悉平移的性质，熟练掌握等腰三角形的判定条件，能够用点到点距离公式进行列式求解；（4）熟记特殊角的三角函数值，灵活运用三角函数计算．
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突破十一：一次函数中最值问题（压轴题）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】综合与探究
如图，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点B，直线交轴于点，交直线于点．
(1) ；A（ ， ）；B（ ， ）；
(2)求直线的函数解析式；
(3)点P是y轴上一动点，分别连接、，当值最小时，点P的坐标为 ；
(4)点为直线上一动点，当的面积为时，请直接写出点的坐标．
【题组训练2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与x轴、y轴分别交于点B，D，与直线交于点C．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)已知 是x轴上的一个动点，连接．
①当的周长最短时，求点Q的坐标；
②过点Q作y轴的平行线，分别与直线，交于点E， F，当与的面积之间存在2倍关系时，直接写出a的值．
【题组训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C， AOC的面积为．
(1)求直线的表达式；
(2)如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限．
①连接，设 ADE的面积为，的面积为，若，求点E的坐标；
②当的面积最小时，求点E的坐标．
【题组训练4】如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点．
(1)求直线与的解析式；
(2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标．
【题组训练5】如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C．
(1)求点 B、C的坐标；
(2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标；
(3)在条件 （2） 下， 求 的面积．
【题组训练6】如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点．
(1)点M的坐标为____________________；
(2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标．
【题组训练7】如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点．
(1)求直线的解析式和点坐标；
(2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值．
(3)如图2，点坐标为，则的面积是 ．
(4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标．
【题组训练8】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求：
(1)求正比例函数与一次函数的关系式；
(2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标；
(3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标．
【题组训练9】如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作直线交于点，交轴于点，且，点坐标．
(1)的坐标为________，线段的长为________；
(2)求直线的解析式及点的坐标；
(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连结．
①在点移动过程中，线段与满足怎样的数量关系？并证明；
②求点移动过程中面积的最大值．
【题组训练10】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，已知．
(1)求点A的坐标．
(2)已知点，在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若x轴上有一动点D，将绕点D逆时针旋转为，在点D运动过程中，连接，则是否有最小值？若有，则的最小值=_____，此时Q的坐标为_____，D的坐标为____；若没有，请说明理由．
【题组训练11】如图，已知，．
(1)在轴上求点，使最小．并写出点的坐标；
(2)在轴上求点，使，并写出点的坐标；
(3)作关于轴的对称图形．
【题组训练12】如图，直线分别交x轴，y轴于点A，E，点在直线上，点E关于x轴的对称点为，连接．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积；
(3)点为第一象限内一动点，点P在x轴上，连接，若的面积与的面积相等，求的最小值．
【题组训练13】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．
(1)求两点的坐标；
(2)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标；
(3)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标；
(4)如图2，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标．
【题组训练14】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴正半轴且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点在线段上，点E和点F是x轴上的两个动点（点E在点F左边）且满足，连接，求的最小值．
(3)如图3，在(2)的条件下，将点M沿着射线方向平移个单位得到点，若点P是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点P的坐标，并写出其中一个点P的求解过程．
【题组训练15】如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
(1)求的面积；
(2)如图1，为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角 BDE，，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)如图2，点为轴正半轴上一点，且，，平分，点是射线上一动点，点是线段上一动点，试求的最小值（图1与图2中点坐标相同）．
【题组训练16】一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D．
(1)求的面积；
(2)求点C、D的坐标；
(3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值．
【题组训练17】平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且．
(1)求直线的表达式；
(2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值；
(3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
(4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值．
【题组训练18】如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，以为边在y轴的右侧作正方形，且．
(1)求直线l的解析式；
(2)如图1，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，．
①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式__________；
②当最小时，求E点的坐标；
③如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，求出点H的坐标．
【题组训练19】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴正半轴且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点E和点F分别是直线和x轴上的两个动点，当的值最小时，求出点M坐标及点E的坐标．
(3)如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线方向平移个单位得到点，若点N是直线上的一个动点，当时，请直接写出所有满足条件点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程．
【题组训练20】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，直线交x轴于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，过点A的直线交线段于点M，且满足与的面积比为，点E和点F分别是直线和x轴上的两个动点，当的值最小时，求出点M坐标及的最小值．
(3)如图3，在（2）的条件下，将点M沿着射线方向平移2个单位得到点，将沿着射线方向平移2个单位得到，若点Q是直线上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点Q的横坐标．
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