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突破六：求一次函数解析式
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，已知直线经过点与点，且与x轴交于点C，点M是x轴上的一点．
(1)求直线的表达式及点C的坐标；
(2)若的面积为3，求点M的坐标．
【题组训练2】一次函数的图象过点．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)判断是否在此直线上？
【题组训练3】已知一次函数
(1)若一次函数的图象经过原点，求k的值；
(2)若一次函数经过点，求k的值；
【题组训练4】已知与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)当时，求x的值．
【题组训练5】设一次函数，为常数，的图象过，两点．
(1)求该函数表达式；
(2)若点在该函数图象上，求的值；
(3)设点在轴上，若，求点的坐标．
【题组训练6】已知：一次函数的图象与直线平行，且通过点．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点和在一次函数的图象上，求m，n的值．
【题组训练7】已知一次函数图像经过点、．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积．
【题组训练8】已知等腰三角形的周长，底边长是腰长的函数．
(1)写出这个函数关系式．
(2)求自变量的取值范围．
(3)画出这个函数的图像．
【题组训练9】已知直线与直线的交点的横坐标是，与直线的交点的纵坐标是，求直线的表达式．
【题组训练10】已知一次函数，它的图象经过，两点．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求函数值y的最小值．
【题组训练11】已知函数．
(1)若函数的图象经过原点，求的值；
(2)若函数的图象平行于直线，求的值；
(3)若这个函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围．
【题组训练12】已知是的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当，时，求的值；
(3)当时，求自变量的值．
【题组训练13】已知一次函数的图象经过．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求关于不等式的解集．
【题组训练14】在平面直角坐标系内有三点、、．
(1)求图象经过点的正比例函数解析式；
(2)求经过点，的直线的函数解析式；
(3)判断点是否在直线上，并说明理由．
【题组训练15】已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求，的值；
(2)若一次函数的图象与轴轴交点分别为、，求三角形的面积．
【题组训练16】如图，直线，相交于点，与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为．
(1)求出直线，表示的一次函数关系式；
(2)当分别取何值时，表示的函数值大于0？表示的函数值小于0？
(3)当取何值时，表示的函数值比的函数值大？
【题组训练17】已知，点在直线上，过点的直线交轴于点．
(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由．
【题组训练18】已知函数的图象经过点和．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若点M和N都在这个函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明与的大小关系．
【题组训练19】已知正比例函数和一次函数．
(1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k；
(2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？
【题组训练20】在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且，
(1)求的面积；
(2)求经过点且平分面积的直线解析式．
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突破六：求一次函数解析式
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，已知直线经过点与点，且与x轴交于点C，点M是x轴上的一点．
(1)求直线的表达式及点C的坐标；
(2)若的面积为3，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可得出答案；
（2）根据三角形的面积为3，可得，即可得出答案．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
将，分别代入上式，得：，
解得：，
∴设直线的表达式为：，
当时，，
∴点C的坐标为；
（2），
∴，
∴点M的坐标为或．
【题组训练2】一次函数的图象过点．
(1)求这个一次函数的解析式．
(2)判断是否在此直线上？
【答案】(1)
(2)点不在此直线上
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次方程，求一次函数函数值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
（1）把代入，得到一元一次方程，解方程即可求得的值，于是得解；
（2）求出时的函数值，即可判断出该点是否在此直线上．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
解得：，
一次函数解析式为；
（2）解：当时，，
点不在此直线上．
【题组训练3】已知一次函数
(1)若一次函数的图象经过原点，求k的值；
(2)若一次函数经过点，求k的值；
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据题意易得，然后问题可求解；
（2）把点代入一次函数解析式得，然后求解即可．
【详解】（1）解：由一次函数的图象经过原点，可知：，
∴；
（2）解：把点代入一次函数解析式得，
解得：．
【题组训练4】已知与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设，将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式；
（2）将代入y与x关系式求出x的值即可．
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【详解】（1）解：设直线的解析式，则，
把时，代入得到，
解得：，
∴y与x之间的关系式为，
（2）解：令，则，
解得．
【题组训练5】设一次函数，为常数，的图象过，两点．
(1)求该函数表达式；
(2)若点在该函数图象上，求的值；
(3)设点在轴上，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
（1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式；
（2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值；
（3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
函数表达式为；
（2）解：点在该函数图象上，
，
；
（3）解：设点，
直线与轴交于点，
当时，
交点的坐标为，
，
，
或，
点坐标或．
【题组训练6】已知：一次函数的图象与直线平行，且通过点．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点和在一次函数的图象上，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）两直线平行时，其函数解析式的一次项系数相等，设所求一次函数解析式为，将点代入求即可；
（2）将点和分别代入（1）中的函数解析式，可求，的值．
本题考查了用待定系数法求一次函数解析式的方法，一次函数平移的性质，点的坐标与一次函数解析式的关系的问题．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行，
设所求一次函数解析式为：，
将点代入，得，
解得，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：将点和代入中，
得：；，
故，．
【题组训练7】已知一次函数图像经过点、．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求这个一次函数图像与两坐标轴所围成的图形面积．
【答案】(1)
(2)8
【分析】此题考查了一次函数的解析式和一次函数图像与坐标轴的交点问题．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出一次函数图像与x轴的交点，得到三角形两直角边的长，即可求出答案．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
∵一次函数图像经过点、，
∴，
解得：，
所以，这个一次函数的解析式为，
（2）设一次函数图像与x轴交于点C，
令，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题组训练8】已知等腰三角形的周长，底边长是腰长的函数．
(1)写出这个函数关系式．
(2)求自变量的取值范围．
(3)画出这个函数的图像．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了一次函数关系式、函数自变量的取值范围及函数的图象；
（1）根据等腰三角形的周长计算公式表示即可；
（2）根据构成三角形三边的关系即可确定自变量的取值范围；
（3）可取两个点，在平面直角坐标系中描点、连线即可.
【详解】（1）解：这个函数关系式为；
（2）由题意得，即，
解得，
所以自变量的取值范围为；
（3）当时，；当时，，函数关系式（）的图象如图所示，
【题组训练9】已知直线与直线的交点的横坐标是，与直线的交点的纵坐标是，求直线的表达式．
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及待定系数法求一次函数解析式，首先根据一次函数图象上点的坐标特点可得直线与直线的交点，与直线的交点，再设直线的表达式为，然后代入可得关于、的方程组，再解可得、的值，进而可得解析式．
【详解】解：直线的横坐标为，
∴，
点的坐标为，
直线纵坐标为，
∴，
解得：，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
过，，
∴，
解得，
直线的表达式为．
【题组训练10】已知一次函数，它的图象经过，两点．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当时，求函数值y的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数表达式的方法．
（1）把点，的坐标分别代入，得到二元一次方程组，然后求得、的值，即可得到答案；
（2）根据，随的增大而增大，即可得出对应自变量取值范围函数值的取值范围．
【详解】（1）解：把点，的坐标分别代入，
得：
解得：．
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）∵，
∴y随x的增大而增大．
∵．
∴当时，．
【题组训练11】已知函数．
(1)若函数的图象经过原点，求的值；
(2)若函数的图象平行于直线，求的值；
(3)若这个函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围．
【答案】(1)3
(2)1
(3)
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件;
（1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值；
（2）函数的图象平行于直线，说明，由此求得的数值即可；
（3）根据题意列不等式组即可得到结论．
【详解】（1）解：关于的函数的图象经过原点，
点满足函数的解析式，
，
解得．
（2）函数的图象平行于直线，
，
；
（3）函数是一次函数，且随着的增大而增大，且不经过第二象限，求的取值范围．
且，
，
的取值范围是．
【题组训练12】已知是的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当，时，求的值；
(3)当时，求自变量的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值和函数的值：
（1）设出函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）所求函数解析式中进行求解即可；
（3）把代入（1）所求函数解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为，
∵当时，；当时，，
∴，
∴，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，；
（3）解：在中，当时，，解得．
【题组训练13】已知一次函数的图象经过．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求关于不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次不等式．
（1）把代入，即可得出， 求解即可得出答案．
（2）由（1）知，代入即， 解一元一次不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入
得：，
解得：，
即这个一次函数的解析式为
（2）由（1）知，
∴
则，
∴，
即关于x不等式的解集是．
【题组训练14】在平面直角坐标系内有三点、、．
(1)求图象经过点的正比例函数解析式；
(2)求经过点，的直线的函数解析式；
(3)判断点是否在直线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不在；理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，旋转的性质，一次函数图象上点的坐标特征，是基础知识，难度适中．
（1）设图象经过点的正比例函数解析式为，将点代入，利用待定系数法即可求出该正比例函数的解析式；
（2）设两点所在直线的函数解析式为，利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（3）当时，，即可判断．
【详解】（1）设图象经过点的正比例函数解析式为，
，
图象经过点的正比例函数的解析式为；
（2）设两点所在直线的函数解析式为，
解得
经过点的直线的函数解析式为；
（3）不在，理由如下：当时，，
点不在直线上．
【题组训练15】已知一次函数的图象经过，两点．
(1)求，的值；
(2)若一次函数的图象与轴轴交点分别为、，求三角形的面积．
【答案】(1)，的值分别是1和2；
(2)三角形的面积为2．
【分析】本题考查一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点．
（1）将，两点分别代入一次函数解析式中，即可得到、的值；
（2）由（1）中，的值得到一次函数的解析式，再求得直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴，的值分别是1和2；
（2）解：由（1）得，一次函数的解析式为．
令，则；令，则，
∴，，
∴，，
∴三角形的面积为．
【题组训练16】如图，直线，相交于点，与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为．
(1)求出直线，表示的一次函数关系式；
(2)当分别取何值时，表示的函数值大于0？表示的函数值小于0？
(3)当取何值时，表示的函数值比的函数值大？
【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为
(2)当时，表示的函数值大于0；当时，表示的函数值小于0
(3)当时，表示的函数值比的函数值大
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据函数图象即可得出答案；
（3）根据函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
∵直线过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
设直线的表达式为，
∵直线过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：由图象可得：当时，表示的函数值大于0；
在直线的表达式为中，令，解得，
∴当时，表示的函数值小于0；
（3）解：由图象可得：当时，表示的函数值比的函数值大．
【题组训练17】已知，点在直线上，过点的直线交轴于点．
(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的值为，
(2)存在，最大值
【分析】（1）根据一次函数的性质可知，利用待定系数法即可解答；
（2）根据一次函数的性质可知，再利用一次函数的性质可知随的增大而减小即可．本题考查了一次函数的性质，待定系数法，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将代入，得：，
∴，
∴设直线解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：存在最大值，理由如下：
∵点在直线上，点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
∴存在最大值．
【题组训练18】已知函数的图象经过点和．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若点M和N都在这个函数的图象上，试通过计算或利用一次函数的性质，说明与的大小关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，比较一次函数值的大小：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求得到y随x增大而减小，再由即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得，解得，
∴函数的解析式是．
（2）解：∵在中，，
∴y随x增大而减小，
∵点M和N都在这个函数的图象上，且，
∴．
【题组训练19】已知正比例函数和一次函数．
(1)若一次函数和正比例函数的图象交于点，求m和k；
(2)k满足什么条件时，上述两个函数的图象的交点一定在第一象限？
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识，
（1）先根据一次函数求出m的值，再将点坐标代入求出k的值即可；
（2）当两条直线不平行时必定相交，根据交点在第一象限得出正比例函数必须经过第一象限，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数和正比例函数的图象交于点，
∴，
∴；
（2）解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限，
当时，两直线一定有交点，
若两个函数的图象的交点一定在第一象限，
则函数的图像一定需要经过一象限，
∴．
【题组训练20】在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且，
(1)求的面积；
(2)求经过点且平分面积的直线解析式．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数的解析式、三角形的中线性质、坐标与图形等知识，熟知三角形的中线平分该三角形的面积是解答的关键．
（1）先求得点A的坐标，再根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可；
（2）先求得点P坐标，然后根据三角形的中线平分该三角形的面积得过点P的直线经过线段的中点，利用中点坐标公式求得中点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，点P在x轴的负半轴，
∴；
∵经过点的直线平分面积，
∴该直线经过线段的中点，
∵，
∴线段的中点坐标为，
设该直线的解析式为，
将、代入，得，解得，
∴经过点且平分面积的直线解析式为．
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