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突破二：动点问题中的函数图像
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，正方形的边长为4，点E是的中点，点P从点E出发，沿移动至终点C，设P点经过的路径长为x，的面积为y，则下列图像能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．结合题意分情况讨论：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式．
【详解】解：①当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，
∴；
②当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴，
，
，
；
③当点在上时，
∵正方形边长为4，为中点，
∴，
∵点经过的路径长为，
∴，，
∴，
综上所述：与的函数表达式为：．
故选：C．
【题组训练2】图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形和等边组成，正方形的两条对角线交于点O，校办在的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则九年级学生的行进路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确题中各个选项中路线对应的函数图象，利用数形结合的思想逐一判断即可．
【详解】解：由题意可得，
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从，y随x的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A不符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于刚开始的值，从时，y随x的增大先减小后增大，且和前图象对称，故选项C符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符号要求；
故选：C．
【题组训练3】RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【题组训练4】如图1，矩形中， ，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形三边关系，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键．
由题意知，当时，重合，，由，可知的最大值为，由勾股定理得，，即，求出满足要求的，进而可求．
【详解】解：由题意知，当时，重合，，
∵，
∴的最大值为，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
故选：B．
【题组训练5】如图1．点从 ABC的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则 ABC的面积是（ ）．
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理的应用，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答即可．
【详解】解：根据题意观察图象可得，点P在上运动时，时，有最小值，
观察图象可得，的最小值为4，即：时，，
又∵，
因点P从点C运动到点A，
根据函数的对称性可得，
∴的面积．
故选：B
【题组训练6】如图①，在四边形中，，点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接的面积y与点M的运动时间的函数关系如图②所示，则四边形的面积为（ ）
A．404 B．252 C．168 D．126
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
当点运动到点处时，，即，求出与之间的距离为12，再根据梯形面积公式计算即可．
【详解】解：当点运动到点处时，，
，
设与之间的距离为，
，
，
，
当点运动到点处时，，
，
∴四边形的面积，
故选：B．
【题组训练7】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点P坐标为（），点Q是x轴正半轴上的动点，满足，与矩形的重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据选项时间，探究临界点前后的图形变化，分类讨论．分别采用相似三角形知识表示相应线段即可．
本题是动点条件下的函数图象探究题，考查了三角形相似、解直角三角形和列函数关系式等知识，解答时注意分类讨论、数学结合．
【详解】解：过点P作轴于点D，过点P作轴于点G，交于点N，
∵，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当点Q在点A的左侧时，此时即，
设交于点E，交于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是一次函数的一部分，
∴图象是直线上的一部分，
故A，D选项错误；
当时，点与点重合，
∵,
∴，
当时，，,
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
∴当时，，即过点，
同理可得：时，过点，
当时，如图，过点P作轴于点H，延长交于点F，
根据前面解答得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，是一次函数的一部分，
∴图象是直线上的一部分，
故B错误，
故选C．
【题组训练8】如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒）， BPQ的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（ ）
①当秒时， ②
③当时， ④当秒时，平分四边形的面积
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查动点函数图象问题，根据等腰梯形的性质和动点函数图象分析即可得到答案
【详解】解：由答图2所示，动点运动过程分为三个阶段：
（1）段，函数图象为抛物线，运动图形如答图所示，
此时点P在线段上、点Q在线段上运动；
为等边三角形，其边长，高，
∴，
由函数图象可知，当秒时，，故选项①正确；
（2）段，函数图象为直线，运动图形如答图所示：
此时点P在线段上、点Q在线段上运动，
由函数图象可知，此阶段运动时间为，
∴，故选项 ②正确；
设直线的解析式为：，
将代入得，
，
解得，，
∴，故选项③错误；
（3）段，函数图象为直线，运动图形如答图所示：
此时点P、Q均在线段上运动.
设梯形高为则；
当时，，则，
∴，
∴，即平分梯形的面积，故选项④正确，
故选：A．
【题组训练9】如图，甲、乙分别从相距的，两点同时开始沿线段运动，运动过程中甲与点的距离与时间的关系图象如图，乙与点的距离与时间的关系图象如图，已知甲全程的平均速度为，且两图象中，下列叙述正确的是（ ）
A．甲从点到点的运动速度是从点到点的运动速度的倍
B．乙从点到的运动速度小于
C．甲、乙全程的平均速度一样
D．甲、乙在运动过程中共相遇次
【答案】C
【分析】本题以动点问题的函数图象考查学生对函数图象的理解，以及将图象意义转化为动点实际运动状态的能力．在解答问题时，一定要注意分析两个函数图象纵坐标所代表的意义．甲乙两个的运动路程与时间的图象，因为起始点不同，因而不易判断，如果根据题意将两个点运动的基准点变为同一个点，再根据题意，问题即可解决．
【详解】解：甲到所用时间为，从回到所用时间为，
路程不变，
甲从到的速度是从到运动速度的倍，
A错误；
∵，
∴，，，
乙由到时间等于甲从到的时间，则乙由到的时间等于甲从到的时间，甲乙行完全程的时间相等，乙由到时间为其由到时间三倍，
甲全程平均速度，
乙全程平均速度也为，
乙由到时间为其由到时间三倍，
乙由到速度低于平均速度，则乙由到速度大于平均速度，
B错误；
由已知，两个往返总时间，及总路程相等，则两个全程的平均速度相同，
C正确；
根据题意，分别将甲、乙与点的距离与时间的函数图象画在下图中，两个函数图象交点即为两个相遇位置，
故可知，两个相遇两次，故D错误．
故选：C．
【题组训练10】如图，在 ABC中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，掌握如何从图象中获取信息是解题的关键．
根据函数图象得到的面积最大时的长，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：依题意得：直线运动到点停止，且当直线运动到点时，的面积最大，
此时，，，
，
，
当时，，
在中，
，
故选：．
【题组训练11】正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可．
【详解】解：由题可得：正方形面积为：，
，
最大重合面积为，
B选项，不符合题意；
正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，
最后的重合面积为0，
C、D不符合题意；A选项符合题意；
故选：A．
【题组训练12】如图①，在中，，动点D从点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时， ADE的面积随时间变化的关系图像，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题和函数图像、勾股定理，直角三角形性质；根据题意，面积最大是，此时、两点重合，根据面积公式可求得，再解直角三角形即可得解．
【详解】解：根据题意，面积最大是，此时、两点重合，如图所示，
在中，，
，，
又，
解得，，
，
，
在中，，
，
解得，
在中，，
．
故选B．
【题组训练13】如图1，在 ABC中，D是的中点，P为边上的一个动点，设，，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则 ABC的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，求出点到的最短距离，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象可知点到的最短距离为，，据此可以求出的面积，由点D是的中点可知的面积．
【详解】如图，连接，过点作于点，
根据图象可得：当时，y的值最小，此时；
x的最大值为4，即，
，
是的中点，
，
的面积为．
故选：A．
【题组训练14】如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．10 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出和的长．
由图象可知：当时，S等于3，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得，最后由勾股定理可得结论．
【详解】解：由图象可知：当时，，
，即，
解得，
∵点D是BC的中点，
∴，
当时，面积发生转折，此时点P和点A重合，
∴，
在中，，，，
由勾股定理可得，．
故选：D．
【题组训练15】如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为， BPQ的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
过点作，由三角形面积公式求出，由图可知当时，点与点重合，则，可得出答案．
【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，此时，
过点作于，
由三角形面积公式得：，
解得，
，
由图可知当时，点与点重合，
，
矩形的面积为
故选B．
【题组训练16】如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】本题考查动点的图象，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论．
【详解】解：坐标系中对应点运动到B点，
，则B选项正确；
即：
解得：，A选项正确；
当时，点P在上，
，C选项错误；
当时，点P在上，
，D选项正确；
故选：ABD．
【题组训练17】为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ．
【答案】点
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据题意，可以得到各个监测点监测时，随的变化而如何变化，从而可以根据函数图象得解．解题的关键是明确各个监测点监测点时，是如何变化的．
【详解】解：由题意和图象，可得
由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小；
故答案为：点
【题组训练18】如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度．
【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则，
P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时，
即，，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
，
当P为的中点时，
，
故答案为：．
【题组训练19】如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键．根据函数的图象、结合图形求出、的值，根据长方形的周长公式得出长方形的周长．
【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变，
函数图象上横轴表示点运动的路程，时，不发生变化，说明，时，接着变化，说明，
，，
长方形的周长是：，
故答案为：16
【题组训练20】已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是．
【答案】10；2.5或7.5
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键．
根据函数图象结合题意分析，分别求得，，的长，进而根据路程除以速度等于时间得出的值，根据的面积是，得出点的位置，进而即可求解．
【详解】解：依题意，当从运动时，增大，则，
当从运动时，不变，根据函数图象可得，
当从运动时，减小，结合函数图象可得，
，
，
；
，
，的面积是；
点在上或上，到的距离为，
，则，
或，
．
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突破二：动点问题中的函数图像
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，正方形的边长为4，点E是的中点，点P从点E出发，沿移动至终点C，设P点经过的路径长为x，的面积为y，则下列图像能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练2】图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形和等边组成，正方形的两条对角线交于点O，校办在的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则九年级学生的行进路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练3】RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练4】如图1，矩形中， ，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A．6 B．9 C． D．
【题组训练5】如图1．点从 ABC的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则 ABC的面积是（ ）．
A．6 B．12 C．18 D．24
【题组训练6】如图①，在四边形中，，点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接的面积y与点M的运动时间的函数关系如图②所示，则四边形的面积为（ ）
A．404 B．252 C．168 D．126
【题组训练7】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点P坐标为（），点Q是x轴正半轴上的动点，满足，与矩形的重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．C． D．
【题组训练8】如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒）， BPQ的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（ ）
①当秒时， ②
③当时， ④当秒时，平分四边形的面积
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题组训练9】如图，甲、乙分别从相距的，两点同时开始沿线段运动，运动过程中甲与点的距离与时间的关系图象如图，乙与点的距离与时间的关系图象如图，已知甲全程的平均速度为，且两图象中，下列叙述正确的是（ ）
A．甲从点到点的运动速度是从点到点的运动速度的倍
B．乙从点到的运动速度小于
C．甲、乙全程的平均速度一样
D．甲、乙在运动过程中共相遇次
【题组训练10】如图，在 ABC中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练11】正方形与正方形按照如图所示的位置摆放，其中点E在上，点G、B、C在同一直线上，且，，正方形沿直线向右平移得到正方形，当点G与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形与正方形的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【题组训练12】如图①，在中，，动点D从点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时， ADE的面积随时间变化的关系图像，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练13】如图1，在 ABC中，D是的中点，P为边上的一个动点，设，，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则 ABC的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
【题组训练14】如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A．10 B．12 C． D．
【题组训练15】如图，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现，两点同时出发，设运动时间为， BPQ的面积为，若与的对应关系如图所示，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练16】如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练17】为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为．现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源监测点为 ．
【题组训练18】如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ．
【题组训练19】如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ．
【题组训练20】已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是．
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