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突破十：一次函数中存在性问题（压轴题）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，连接．
(1)求点的坐标和直线的函数解析式；
(2)在直线上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练2】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
(2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【题组训练3】如图，直线的函数表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
(1)求直线的解析式：
(2)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标．
【题组训练4】如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为．
(1)求直线所对应的函数关系式；
(2)求 ABC的面积；
(3)在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标．
【题组训练5】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点和点，直线，相交于点．
(1)求点的坐标和直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)在直线和上分别存在异于点的另一点，便得与的面积相等，求出此时点的坐标．
【题组训练6】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．
(1)求点B的坐标．
(2)求的面积．
(3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练7】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线．
(1)求直线的表达式及点D的坐标；
(2)若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标；
(3)点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练8】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式；
(3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练9】如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点．
(1)求直线、的解析式；
(2)求的面积；
(3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练10】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求点的坐标；
(2)求 ABC的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练11】如图，过点A的两条直线，分别与y轴交于点B，C，已知，．
(1)求点A的坐标；
(2)若 ABC的面积为，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点M，使得的面积是的面积的2倍 若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练12】如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，直线分别与x轴、y轴相交于点C、E，两条直线相交于点D．
(1)求点D的坐标_______；
(2)点Q为线段上的一个动点，连接．
①若直线将的面积分为两部分且使，试求点Q的坐标；
②将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练13】如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且．
(1)分别求出直线和直线解析式；
(2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标．
【题组训练14】已知直线L经过点，．
(1)求直线L的解析式；
(2)若在直线L上有一点C，且，求点C的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练15】如图，一次函数()的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．
(1)求一次函数()的表达式及的面积；
(2)在线段上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练16】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的解析式；
(2)设一次函数的图象与轴的交点为，一次函数的图象上是否存在点，使得三角形的面积为，若存在求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练17】如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．
(1)则k＝ ，b＝ ，n＝ ；
(2)求四边形的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．
【题组训练18】已知直线与轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点，线段为腰在第一象限内作等腰．
(1)求点C的坐标
(2)P为直线上的动点，若的面积与 ABC的面积相等，则点P的坐标为多少
(3)点M为直线上的动点，点N为x轴上的一点，是否存在以点M、N、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练19】已知直线：（）与、轴分别交于点（，）、（，）．经过点的直线：与轴交于点．
(1)求的值及直线的函数表达式；
(2)已知点是线段上一点，连接，若::，求点的坐标；
(3)在（2）的前提下，试探索：在直线上是否存在点，使得△是等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题组训练20】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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突破十：一次函数中存在性问题（压轴题）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点，连接．
(1)求点的坐标和直线的函数解析式；
(2)在直线上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在；或
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数平移问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数与坐标轴交点坐标求法．
（1）把代入，求出，得出直线的解析式为：，把代入直线得：，即可得出点B的坐标；根据平移求出直线的解析式即可；
（2）先求出点D的坐标为，得出，设点P的纵坐标为，根据，得出，求出，再求出结果即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入直线得：，
∴点B的坐标为；
∵将直线沿轴向左平移8个单位长度后得到直线，
∴直线的解析式为：，
即直线的解析式为；
（2）解：存在；
把代入得：，
∴点D的坐标为，
∴，
∴，
设点P的纵坐标为，则，
解得：，
当时，，
解得：，
即此时点P的坐标为；
当时，，
解得：，
即此时点P的坐标为；
综上分析可知：点P的坐标为：或．
【题组训练2】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数解析式；
(2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)P点的坐标或；
(3)或或或
【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解；
（3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时，
当时，分别列出方程，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴可有，
解得，
∴A点的坐标；
∵一次函数的图象过点和点，
则有，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
对于一次函数，令，
则有，
解得，
∴点，
∴，
设点，
根据题意可知：，
解得，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴P点的坐标或；
（3）解：设点，
则，
，
，
当时，，则：
，
解得：或（舍去），
此时点Q的坐标为；
当时，，则：
，
解得：或，
此时点Q的坐标为或；
当时，，则：
，
解得：，
此时点Q的坐标为；
综上分析可知：点Q的坐标为：或或或．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论．
【题组训练3】如图，直线的函数表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
(1)求直线的解析式：
(2)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标．
【答案】(1)直线的解析式；
(2)
【分析】本题考查了两条直线的相交问题，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解；
（2）先求出C点坐标，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式；
（2）解：由得，
∴
与的面积相等，
点到的距离等于点到的距离为3，
设，
，
解得：，
．
【题组训练4】如图，直线，交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线所对应的函数关系式为．
(1)求直线所对应的函数关系式；
(2)求的面积；
(3)在直线上存在一点，使得，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)直线所对应的函数关系式为；
(2)；
(3)
【分析】此题主要考查了两条直线相交或平行问题，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题．
（1）设出直线的函数关系式，因为直线过，两点利用代入法求出，，从而得到关系式；
（2）点坐标是与轴的交点坐标，点坐标是把，联立，求其方程组的解再求三角形的面积；
（3）当时，点在线段的垂直平分线上，进而可以求得点的横坐标，然后代入直线的解析式求得点的纵坐标即可．
【详解】（1）解：由，令，得，
，
，
设直线所对应的函数关系式为，
由图象知：直线经过点，，
，
解得，
直线所对应的函数关系式为；
（2）解：由，
解得，
，
，
；
（3）解：，，，
点的横坐标为：，
点在直线上，
，
．
【题组训练5】如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点和点，直线，相交于点．
(1)求点的坐标和直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)在直线和上分别存在异于点的另一点，便得与的面积相等，求出此时点的坐标．
【答案】(1)，
(2)4.5
(3)当点在上时，点的坐标为；当点在上时，点的坐标为
【分析】本题考查的是待定系数法解一次函数，一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识．
（1）已知的解析式，令求出x的值即可；设的解析式为，由图联立方程组求出k，b的值；
（2）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出；
（3）与底边都是，面积相等所以高相等，高就是点C到的距离．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，
当，得
解得
点
设直线的解析式为，
由图可知直线经过点，点，
由题意得：解得
直线的解析式为
（2）解：由题意得：解得
点的坐标为，
点，点，
的面积为：
（3）解：与的公共边为，
若与的面积相等由题意可知：点的纵坐标为3
当时，，解得
，解得
当点在上时，点的坐标为；
当点在上时，点的坐标为．
【题组训练6】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．
(1)求点B的坐标．
(2)求的面积．
(3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合．
（1）把代入，求出点B的坐标即可；
（2）先求出点，然后求出的面积即可；
（3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，得：，
解得：，
点B的坐标为．
（2）解：在中，令，则，
点，
．
（3）解：存在．设点M的坐标为．
，
，
．
当时，点的坐标是；
当时，点的坐标是．
综上所述，点M的坐标为或．
【题组训练7】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线．
(1)求直线的表达式及点D的坐标；
(2)若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标；
(3)点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或．
(3)存在．点P的坐标是或．
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，联立与的解析式，即可求出点D 坐标；
（2）连接BC，过点D作轴于点F，证得，则点P在线段上或在线段上，分两种情况求出点P的坐标即可；
（3）根据数轴得到三种情况：（Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，（Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，（Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，分别求出点P的坐标．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，代入点，，
得，解得，
直线l的表达式为．
令，解得，
，
D的坐标为．
（2）如图，连接，过点D作轴于点F．
令
解得,
∴
∴，，
．
，，，
点B是线段的中点，
．
若直线将的面积分为两部分，
则点P在线段上或在线段上．
（Ⅰ）当点P在线段上时，设点P的横坐标为，，
，
若直线将的面积分为两部分，则有
，
，
，
，
代入直线得点P的坐标为．
（Ⅱ）当点P在线段上时，如图，设直线与x轴交于点Q，
此时有，
，即，
，
，
．
设直线的解析式为
∴
解得
直线的表达式为，
令，解得，
点P的坐标为．
综上所述，点P的坐标为或．
（3）存在．点P的坐标是或．
点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上时，有以下三种情况，
（Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，如图，
由轴对称可知：
，，
由（2）可知，点B是线段的中点，
，
，
．
又，
而，
，
轴．
，
．
（Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，如图过点P作于点，
作轴于点H，
过点D作轴于点M，由轴对称可知：平分，
．
，
，
即，
解得，
；
（Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，如图，
点B是线段的中点，
由轴对称可知：此时点与点A重合，
不符合题意，应舍去．
综上，或．
【点睛】此题考查了一次函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，一次函数与图形面积问题，正确理解一次函数的交点问题是解题的关键．
【题组训练8】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点 B，与x轴交于点 C，线段的长是一元二次方程 的两个根，直线 交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积S与m的函数关系式；
(3)M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，点Q在y轴上，是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，M的坐标为或或或
【分析】（1）通过解方程确定点，再用待定系数法求直线表达式为，最后联立，解二元一次方程组即可；
（2）分类讨论，当点P在点E下方时，即，得到；当点P在点E上方时，即，得到，代入即可求解；
（3）分类讨论，若，，则有，得到，若或，则，得到，分别求解即可．
【详解】（1）解： ，
解得：或，
∴，
将代入
得：，
解得：，
∴直线表达式为，
∴联立得：，
解得，
∴点；
（2）解：由题意得点P在直线上，设直线与直线交于点E，交x轴于点F，
将代入得，∴，
①当点P在点E下方时，即，如图：
；
当点P在点E上方时，即，如图：
，
综上所述：的面积S与m的函数关系式为：；
（3）解：令直线为，直线为，
，则，
，
①如图1，若，，
过点Q作，
∴点G为中点，
∴，
则有，
，
或，
，或，
②如图2，图3，若或，
则，
，
或，
，或．
综上所述，M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，二元一次方程组，三角形的面积，等腰直角三角形的存在性问题，考查了分类讨论思想．
【题组训练9】如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点．
(1)求直线、的解析式；
(2)求的面积；
(3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为
(2)
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题考查求一次函数解析式，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形面积．熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式是解题的关键．
（1）把分别代入和，求出k值即可；
（2）先求出A、C坐标，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两和情况：①当点P 在射线上时，，②当点P 在射线上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把分别代入和，得
，解得：，
∴直线的解析式为：，
直线的解析式为：．
（2）解：对于直线的解析式为；
令，则，
解得：，
∴，
对于直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
由（1）知：，
∴
∴的面积．
（3）解：设点P坐标为，
分两种情况：①当点P 在射线上时，即在点处，如图，
∵
∴
∴
∴；
∴，
解得，
∴；
②当点P 在射线上时，即在点处，如图，
∵
∴
∴
∴
∴
解得，
∴；
综上，存在，点P的坐标为或时，使得的面积等于面积的倍．
【题组训练10】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为或或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，勾股定理等，
（1）先求出点的坐标，再依据点是的中点，可求出点的坐标；
（2）根据（1）中的结论得出，的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案；
（3）存在，点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②；点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由勾股定理可求解；
利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∵，，，
∴，
∴，
即的面积为；
（3）存在，
点在轴上时，设点的坐标为，
①时，点与原点重合，此时点坐标为；
②时，则，
∵，，，
∴，
解得：，
∴；
点在轴上时，设点的坐标为，，
①时，点与原点重合，此时点坐标为；
②时，则，
∵，，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，当点的坐标为或或时，是直角三角形．
【题组训练11】如图，过点A的两条直线，分别与y轴交于点B，C，已知，．
(1)求点A的坐标；
(2)若的面积为，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点M，使得的面积是的面积的2倍 若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线的解析式为
(3)存在，点M的坐标为或
【分析】本题考查了勾股定理，求一次函数解析式，涉及方程思想，数形结合思想；
（1）由勾股定理求出的长，即可得点A的坐标；
（2）设点C的坐标为，由面积关系可求得点C的坐标，用待定系数法即可求解；
（3）求出的解析式，设点M的坐标，利用面积关系建立方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
由勾股定理得：，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）解：设点C的坐标为，其中，则，
由题意得：，
解得：，
即；
设的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：存在
设解析式为，把点A坐标代入得：，
解得：，
即；
设，
∵，
∴，
由题意得，
即，
解得：；
∴点M的坐标为或．
【题组训练12】如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，直线分别与x轴、y轴相交于点C、E，两条直线相交于点D．
(1)求点D的坐标_______；
(2)点Q为线段上的一个动点，连接．
①若直线将的面积分为两部分且使，试求点Q的坐标；
②将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②点或
【分析】（1）利用直线的交点即可求得点D坐标；
（2）根据直线与坐标轴的交点求得，①过点D作轴于点H，过点Q作轴于点M，得，求得，设，根据题意得，即可求得答案．
②当点D落在x轴正半轴上，为点时，过点D作轴于点H，，可证得，有，可得，则点Q的纵坐标为4，即可求得点Q；当点D落在y轴负半轴上，为点时，过点D作轴于点H，过点Q作，，由翻折得，，则，由，解得，即可求得．
【详解】（1）解：∵两条直线相交于点D，
∴，解得，
则点．
（2）∵直线与y轴相交于点B，
∴令，得，则点，
∵直线与y轴相交于点E，
∴令，得，则点，
则，
①过点D作轴于点H，过点Q作轴于点M，如图，
则，
∴，
设，由题意知，则，
∴
∵，
∴，解得，
则Q的坐标为．
②当点D落在x轴正半轴上，为点时，过点D作轴于点H，如图，
∵，，
∴，
由翻折得，
在和中，
，
∴，
∴，
由翻折得，
∴，
∴轴，则点Q的纵坐标为4，
∵点Q在直线，
∴，解得，
那么点；
当点D落在y轴负半轴上，为点时，过点D作轴于点H，过点Q作，，垂足分别为点M、N，如图，
由翻折得，，
∵，
∴，
即，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
∵点Q在直线，
∴，
那么点；
即点或．
【点睛】本题考查一次函数的性质、折叠得性质、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是运用一次函数图像上的点与三角形面积公式，并用分类讨论的思想．
【题组训练13】如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且．
(1)分别求出直线和直线解析式；
(2)在直线上是否存在一点P，使，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)若E为平面内右侧的一点，且为等腰直角三角形，请求出点E的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为
(2)点P的坐标为或
(3)点E的坐标为：或或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，求出，分两种情况：当点P在、D之间时，当点P在点上面时，分别求出点P的坐标即可；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵，
∴点B的坐标为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴点C的坐标为，
联立，
解得：，
∴点D的坐标为，
∵，，
，
设点P的坐标为，
当点P在、D之间时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
当点P在点上面时，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
综上分析可知，点P的坐标为或．
（3）解：∵，，
∴；，
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
当时，，
∴，，
∴轴，
∴此时点；
综上分析可知，点E的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【题组训练14】已知直线L经过点，．
(1)求直线L的解析式；
(2)若在直线L上有一点C，且，求点C的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，点P的坐标为：
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）设点，根据得出，求出，即可得出答案；
（3）设点，由点A、B、P的坐标得出：，，，分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可．
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
则，
故一次函数的表达式为：
（2）解：设点，
则，
，
解之得：，
即点或；
（3）解：存在，理由：设点，
由点A、B、P的坐标得：，，，
当时，则，则 ，
即点P的坐标为：，
当时，则，则（不合题意的值已舍去），
即点P的坐标为：；
当时，则，
解得：
即点P的坐标为
综上，点P的坐标为：．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、等腰三角形的定义，两点间距离公式，运用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键．
【题组训练15】如图，一次函数()的图象与坐标轴交于A，B两点，与正比例函数交于点，．
(1)求一次函数()的表达式及的面积；
(2)在线段上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的表达式为，
(2)存在，点P的坐标为
【分析】（1） 根据求出坐标，把，坐标代入即可求出解析式，然后把代入求出点坐标，最后根据三角形面积公式求出面积；
（2）根据垂直平分线的知识求出点横坐标为3，再代入解析式求出纵坐标即可．
【详解】（1）解：由得，．
将，分别代入，
得，
解得，
所以，一次函数的表达式为．
由得，．
．
（2）存在，点P的坐标为，理由如下：
作的垂直平分线交轴于点，与的交点为点，连接，
，
是以为底的等腰三角形，
此时，，
点P在上，
把代入得：，
点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握一次函数的图象与性质是解决此题的关键．
【题组训练16】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的解析式；
(2)设一次函数的图象与轴的交点为，一次函数的图象上是否存在点，使得三角形的面积为，若存在求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】（1）先确定的坐标，然后根据待定系数法求解析式；
（2）先求得的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值；
【详解】（1）正比例函数的图象经过点．
，解得，，
，
一次函数的图象经过点，，
，解得，，
一次函数的解析式为；
（2）一次函数的图象与轴交于点，
，
，
一次函数的图象上存在点，使得三角形的面积为，
，
，
点纵坐标为或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
或．
【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，应用的知识点有：待定系数法，直线上点的坐标特征，坐标与图形性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
【题组训练17】如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．
(1)则k＝ ，b＝ ，n＝ ；
(2)求四边形的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)3，﹣1，2
(2)
(3)或
【分析】（1）由条件求得点D的坐标，再用待定系数法求出一次函数，即可得出答案；
（2）由，，，的坐标可求得和的面积，利用，即可求出答案；
（3）可设表示出、和的长 ，分两种情况，分别利用勾股定理得出关于的方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）∵点D在直线上，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过点和点，
∴，
解得，
故答案为： 3；﹣1；2；
（2）在中，令可得，
∴，
由（1）可知一次函数解析式为，
令，可求得，
∴，
∵，，
∴，，，
∴；
（3）如图2所示，设，
∴，
，
，
分两种情况考虑：
①当时，，
∴，
∴，
∴；
②当时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1，
∵P在x轴上，
∴P的坐标为，
综上，P的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点，函数图象的交点，三角形的面积，勾股定理等知识，以及方程思想和分类讨论思想，考查的知识点较多，综合性强，难度适中．
【题组训练18】已知直线与轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点，线段为腰在第一象限内作等腰．
(1)求点C的坐标
(2)P为直线上的动点，若的面积与的面积相等，则点P的坐标为多少
(3)点M为直线上的动点，点N为x轴上的一点，是否存在以点M、N、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
【分析】（1）过点C作轴于点D，求出点B的坐标为，点A的坐标为，得出，，证明，得出，，求出，即可得出答案；
（2）求出，求出直线与直线的交点坐标为，设点P的坐标为，根据三角形面积公式得出，求出或，即可得出答案；
（3）分情况进行讨论：当为边时，点B平移得到点N，点C平移得到点M，当为边时，点B平移得到点M，点C平移得到点N，当为对角线时，分别画出图形，根据中点坐标公式和点的平移特点求出结果即可．
【详解】（1）解：过点C作轴于点D，如图所示：
把代入得：，
∴点B的坐标为；
把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：，
∵，，
∴，
把代入得：，
∴直线与直线的交点坐标为，
设点P的坐标为，
则，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：设点M的坐标为，
当为边时，点B平移得到点N，点C平移得到点M，如图所示：
∴此时，
解得：，
∴点M的坐标为；
当为边时，点B平移得到点M，点C平移得到点N，如图所示：
∴此时，
解得：，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，如图所示：
，
解得：，
∴此时点M的坐标为；
综上分析可知，点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
【题组训练19】已知直线：（）与、轴分别交于点（，）、（，）．经过点的直线：与轴交于点．
(1)求的值及直线的函数表达式；
(2)已知点是线段上一点，连接，若::，求点的坐标；
(3)在（2）的前提下，试探索：在直线上是否存在点，使得△是等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，直线的函数表达式为
(2)点的坐标为
(3)存在点使得△是等腰直角三角形，点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出的面积，得到的面积，设点的坐标为，利用公式计算即可；
（3）利用勾股定理的逆定理证得，过点作轴于点，得到，，设点、是符合条件的两个点，分别过点、作轴、轴于点、，当△≌△≌△时，，由此求出点E的坐标．
【详解】（1）∵直线过点(，)，
∴，
∵直线过点(，)、(，)，
∴
解得
∴直线的函数表达式为；
（2）如图，
由(1)得：直线的函数表达式为，
当时，，
解得 ，
∴(，)，
∴，
∴，
∵::，
∴，
设点的坐标为，则
，
解得 ，
当时，，
即点的坐标为；
（3）存在点，使得△是等腰直角三角形，理由如下：
在中，，，
由勾股定理，得 ，
在中，，，
由勾股定理，得 ，
∴，
∴，
过点作轴于点，则，，
设点、是符合条件的两个点，分别过点、作轴、轴于点、，
∵，，
∴当△≌△≌△时，，即△、
△是等腰直角三角形，
∵，，
∴；
∵，，
∴，
综上所述，存在点，使得△是等腰直角三角形，且点的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何图形，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积问题与一次函数，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各基本知识是解题的关键．
【题组训练20】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可；
（3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别 求解即可．
【详解】（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：，
∵，，
∴，
设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，
∴直线：．
（2）解：联立，解得：，
∴，
∴，
①若点P在右侧，
∵，
∴，
∴，解得，
∴
②若点P在左侧，
∵S△BEP=8，
∴，
∴，解得，
当时，，
∴．
（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，交x轴于Q，
同理，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
综上，存在，或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角 三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．
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