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5.5一次函数的简单应用十一大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：已知直线与坐标轴的交点求方程的解
【经典例题1】如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：关于x的方程的解，是直线与x轴交点的横坐标，理解这一关系是解题的关键；由题意得点A的坐标，从而可求得方程的解．
【详解】解：由题意知，直线与x的负半轴交点点A，且，
∴，
∴关于x的方程的解为；
故选：B．
【变式训练1-1】若直线与x轴交于点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的与方程的解的关系．根据题意可得当时，，即可求解．
【详解】解：∵直线与x轴交于点，
∴当时，，
∴方程的解是．
故选：B
【变式训练1-2】如图，若一次函数的图象经过、两点．则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答案即可．
【详解】解：如图所示：
不等式的解为：．
故选：A．
【变式训练1-3】如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．观察图象找到当时的值即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点，
即当时，
所以关于的方程的解为，
故答案为：．
【变式训练1-4】直线与轴交于点，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据方程与一次函数的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，方程的解可看成一次函数的图象与轴交点的横坐标，
因为直线与轴交于点，
所以的解为．
故答案为：．
【变式训练1-5】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴当时，，即直线一定经过点，
故选：A．
题型二：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【经典例题2】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案．
【详解】解：一元一次方程的解是，
当时，，
故直线的图像与x轴的交点坐标是．
故选：A．
【变式训练2-1】已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标．
【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．
【变式训练2-2】已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【答案】（ 2，0）
【分析】当y＝0时，ax b 1＝0，可得ax b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：当y＝0时，ax b 1＝0，
∴ax b＝1，
∵关于x的方程ax b＝1的解为x＝ 2，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（ 2，0），
故答案为：（ 2，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【变式训练2-3】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可．
【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，，
直线一定经过点，
故选：C．
题型三：利用图像法解方程或不等式
【经典例题3】画出函数图象．
(1)利用图象求方程的解；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解；
（2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集；
（3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围．
【详解】（1）解：当时，，当时，，
，
作直线，如图所示．
当时，，所以方程的解为；
（2）解：当时，，所以不等式的解集为；
（3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是．
【变式训练3-1】综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
(1)列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
(4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
【答案】(1)1；1
(2)见解析
(3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称
(4)，理由见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键．
（1）分别把和代入函数解析式，即可求解；
（2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答；
（3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可；
（4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解．
【详解】（1）解：；
故答案为：1；1
（2）解：如图，
（3）解：根据题意得：
结论1：函数有最小值，最小值为；
结论21：函数的图象关于直线对称；
（4）解：方程的解为：，理由如下：
画出函数和的图象，如图所示：
函数和的图象交点坐标分别为，
∴关于的方程的解为：．
【变式训练3-2】请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：①当时， ．
②当时， ．
③当时， ．
(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解：
②方程有_____个解：
③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ．
【答案】(1)①；②；③
(2)见解析
(3)①2，2；②1；③
【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键．
（1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案；
（2）直接利用（1）中所求得出函数函数解析式，即可画出图象；
（3）直接利用函数图象得出答案．
【详解】（1）解：①当时，；
②当时，；
③当时，；
故答案为：；，；
（2）解：函数的图象，如图所示：
（3）解：从函数图象得到：
①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解；
②方程有1个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是．
故答案为：2，2；1；．
【变式训练3-3】如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y．
(1)填写下表，画出y关于x的函数图像；
x … 0 1 2 …
y … …
(2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）；
(3)观察图像，
①写出该函数的两条不同类型的性质；
②若，则对应的x的值是______．
若，则对应的x的取值范围是______．
(4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围．
当_____________时，方程有两个解；
当________________时，方程有一个解；
当____________________时，方程没有解
【答案】(1)见详解
(2)不是
(3)①见详解；②或1；或
(4)当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当时，方程没有解
【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据两点间距离公式可得，代入相应的的值，求得的值填表即可；找出具体的点画出函数图象即可；
（2）根据函数的定义进行判断其不是函数关系；
（3）①观察函数图象可得结论；②观察函数图象可得结论；
（4）由题可知，作出的图象，观察得知两函数图象交点的横坐标即可；
【详解】（1）解：表示与点之间的距离，所以，，
填表可得：
x … 0 1 2 …
y … 2 1 0 1 2 3 4 …
函数图象如下：
（2）解：不是；
例如：当时，可以取或，不满足函数的定义，给定一个的值，都应该有唯一的的值与之对应；
（3）解：①写出该函数的两条不同类型的性质；根据图象可得：
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
关于经过且垂直于轴的直线对称；
②根据图象可得：若，则对应的x的值是或1．
若，则对应的x的取值范围是或．
（4）解：如图，
∵关于的方程(为常数，，
令，则图象过点，
当过点时，，
∴，此时，关于的方程（为常数，有一个解；
当直线平行于时，，
∴时，关于的方程（为常数，有一个解；
当直线平行于时，，
∴时，关于的方程（为常数，有一个解；
∴当时，方程有两个解；
当或或时，方程有一个解；
当时，方程没有解．
【变式训练3-4】请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：
①当时，_____；
②当时，_____；
③当时，_____；
(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象；
(3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；
(4)进一步探究函数图象发现：若关于的方程无解，则的取值范围是_____．
【答案】(1)；，；
(2)见解析
(3)①函数图象关于轴对称；②当时，有最小值．（答案不唯一）；
(4)
【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键．
（1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案；
（2）直接利用（1）中所求得出函数图象；
（3）根据图象即可求得；
（4）直接利用函数图象得出答案．
【详解】（1）解：①当时，；
②当时，；
③当时，；
故答案为：；，；
（2）函数的图象，如图所示：
（3）由图象可知：
①函数图象关于轴对称；
②当时，有最小值．（答案不唯一）；
（4）若关于的方程无解，则函数图象与直线没有交点，则的取值范围是．
故答案为：．
【变式训练3-5】在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题．
(1)列表：
______ ______
①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格；
②请在平面直角坐标系中作出函数的图象；
(2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质；
(3)进一步探究函数图象发现；
①方程有_____个解；
②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____．
【答案】(1)①，；②见解析
(2)函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等；
(3)①2；②
【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得；
②根据描点法画出函数图象即可；
（2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质
（3）①根据图象即可得出结论；
②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论．
【详解】（1）①解：①∵，
∴当时，；
当时，；
②函数图象如图，
（2）函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等；
（3）解：①观察图形可知， 方程有1个解；
②关于x的方程无解，
则函数的图象与无交点，
观察图形可知，此时．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键．
题型四：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【经典例题4】如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据图象解答即可．
【详解】解：∵直线交坐标轴于，
∴不等式的解集为．
故选D．
【变式训练4-1】如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．一次函数的图象落在轴及其上方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，
关于的不等式的解集为．
故选：A．
【变式训练4-2】如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以交点横坐标分界，再结合图象即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由不等式得，
∴不等式的解集是指函数的图象在函数的图象下方时，的取值范围，
由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象下方，
∴不等式的解集为，
故选：．
【变式训练4-3】如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键．
根据函数图像直接写出不等式的解集即可．
【详解】解：由函数图像可知：不等式的解集为．
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在轴上方时与轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴，，随的增大而增大，故①②错误，
∵一次函数与轴交于点，
∴关于的一元一次方程的解为，当时，，故③④正确，
故选：B．
【变式训练4-5】已知函数的图象，利用图象回答下列问题：
(1)直接写出方程的解；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式，
（1）根据图示，时，，结合图象可求解；
（2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解；
（3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，当时，，
∴的解为；
（2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即，
∴不等式的解集为；
（3）解：由（2）可得，当时，，当时，，
∴时，．
题型五：根据两条直线的交点求不等式的解集
【经典例题5】已知一次函数与的图象如图所示，下列结论：
①；②；③关于x的方程的解是；④当时，．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的图象和性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当时，一次函数在直线的上方，则可对④进行判断．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限，
∴，，故①正确；
∵直线的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴，故②错误；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
∴时，，故③正确；
当时，的图象在图象的上方，
∴，故④正确．
故选：B．
【变式训练5-1】如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
【详解】解：直线与直线分别交x轴于点、，
∵，
∴一个正数和一个负数的积为负数，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
【变式训练5-2】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，找到函数的图象在函数的图象下方的部分即可求解；
【详解】解：∵当时，函数的图象在函数的图象下方，
∴不等式的解集为，
故答案为：
【变式训练5-3】如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键，先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解．
【详解】解：把代入．
得．
解得．
即A点坐标为．
∵当时，，
∴．
∴关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
【变式训练5-4】一次函数和的图像如图所示，且，．
(1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________；
(2)若不等式的解集是，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据观察函数图象，即可求解；
（2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
即关于的方程的解为；
∵，
∴当时，，
∴不等式的解集为；
故答案为：4；
（2）解：把点代入，得：
，解得，
∴，
∵不等式的解集是，
∴点的横坐标为，
∴当时，，
∴点的坐标为．
【变式训练5-5】如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点．
(1)求m的值及直线的函数表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用数形结合的思想，通过比较两函数图象的高低确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
（1）把代入直线中可得到的值，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）结合函数图象，找出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：把代入直线得，
解得；
把，代入直线得，
解得，，
直线的函数表达式为；
（2）当时，，
关于的不等式的解集为．
题型六：两直线的交点与二元一次方程组
【经典例题6】二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴一次函数与的交点坐标为．
故选：A．
【变式训练6-1】若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解，即可得出结果．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴函数和图象的交点为；
故答案为：．
【变式训练6-2】如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标．
【详解】解：由图知：函数和的图象交于点，
则，同时满足两个函数的解析式，
是二元一次方程组的解．
故答案为：．
【变式训练6-3】如图，平面直角坐标系中，直线：和直线 ：相交于点 B，若直线 上一点M 到直线 的距离是 5 ，则点M 的坐标为 ．
【答案】或
【分析】如图，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，可求，，联立，可求，由，可得是直角三角形，，即，由直线 上一点M 到直线 的距离是 5，可得，设，则，计算求解，进而可求坐标．
【详解】解：如图，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，
当时，，
解得，，
∴，
当时，，
解得，，
∴，
联立，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∵直线 上一点M 到直线 的距离是 5，
∴，
设，则，
解得，，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线交点，勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离等知识．熟练掌握直线交点，勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离是解题的关键．
【变式训练6-4】如图，直线：与直线：相交于点．
(1)求的值；
(2)写出方程组的解；
(3)写出时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案；
对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答；
对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意．
【详解】（1）∵点在直线上，
∴，
解得；
（2）观察图象可知，
方程组的解是；
（3）当时，．
【变式训练6-5】如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．
(1)求的表达式．
(2)求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的解析式，两直线交点问题．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据函数图像，联立方程即可求解出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入，得
，
解得，，
∴的表达式为；
（2）解：由两条直线相交，联立方程组得，
解得，
∴．
题型七：求直线围成的面积
【经典例题7】如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过A作轴，垂足为，点的横坐标为4，且的面积为6.
(1)求正比例函数的解析式；
(2)求经过点．把面积分为1：2的直线解析式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数图象的性质、待定系数法求一次函数的解析式．
（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）分交点在线段上和交点在线段上两种情况，利用三角形的面积公式求得点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可．
【详解】（1）设点A的坐标为，则，，
∴，
解得：，
∴正比例函数的解析式为；
（2）解：当交点在线段上时，设过点的直线交于点C，设点C的坐标为，
∴，
又∵，或，
∴或，
解得：或（舍去），
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
当交点在线段上时，设过点的直线交于点D，设点D的坐标为，
∴，
又∵，或，
∴或，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
∴直线解析式为或．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交点A的横坐标为2，将直线沿轴向下平移4个单位长度，得到直线，直线与轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为．直线与轴交于点D．
(1)求点A与点C的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)A的坐标为，点C的坐标为
(2)16
【分析】（1）把点A的横坐标代入中，求得点A的纵坐标，得到点A的坐标；由平移得的解析式，则可求得直线与y轴的交点B的坐标，将点C的纵坐标代入中求得x的值，从而求得点C的坐标；
（2）待定系数法求出直线的解析式为，则可求得点D的坐标，根据点B的坐标得，由三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴A的坐标为．
∵将直线沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线，
∴直线的解析式为，
∴时，，
∴．
将代入，得，
∴点C的坐标为．
（2）解：设直线的解析式为，
∵直线过、，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
∵，
∴时，，
∴．
∵，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，直线上点的坐标特征，求直线围成的图形面积，一次函数图象的平移等知识．正确求出直线的解析式是解题的关键．
【变式训练7-2】如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点，
(1)求直线的解析式；
(2)求直线，与轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）求得两直线与轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
直线过点，，
，解得，
直线的解析式为；
（2）解：由直线可知直线与轴的交点为，，由直线可知直线与轴的交点为，
直线，与轴围成的三角形的面积是：．
【变式训练7-3】如图，一次函数 与正比例函数 的图象交于点 M．
(1)求正比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象，写出关于x的不等式的解集．
(3)求 的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为，正比例函数解析式为
(2)
(3)1
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后根据待定系数法求出正比例函数解析式；
（2）结合图象写出正比例函数图象在直线的上方所对应的自变量的范围即可；
（3）先利用一次函数解析式求出P点坐标，然后利用三角形面积公式．
【详解】（1）解：∵经过和，
∴
解得，
∴一次函数表达式为．
∵ 点 M 在该一次函数图象上，
∴，则M点坐标为，
又∵M在函数图象上，
∴，
解得，
∴正比例函数的表达式为．
（2）解：由图象可知，时，．
（3）解：当时，，解得，则，
所以，．
【变式训练7-4】如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点．
(1)求的值及直线的表达式．
(2)计算四边形的面积．
(3)是直线上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)9
(3)点的坐标为或
【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合运用，
（1）把点在直线上，可得，在运用待定系数法，将，代入直线的表达式为，即可求解；
（2）由（1）可得，，，则，根据，代入求值即可；
（3）设，根据，，且，分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴．即，
设直线的表达式为，将，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
（2）解：由（1）可得，，
直线，令，可得，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴．
解得或11，
∴点的坐标为或．
【变式训练7-5】如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过点B作直线交x轴于点C，若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合，一次函数与坐标轴的交点问题，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
（1）把，分别代入函数解析式，求出点A、B的坐标即可；
（2）先根据，得出，分两种情况讨论：当点C在点A左侧时，当点C在点A右侧时，分别求出的面积即可．
【详解】（1）解：把代入得，
∴点B的坐标为；
把代入得，
解得：，
∴点A的坐标为．
（2）解：∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
当点C在点A左侧时，，
∴；
当点C在点A右侧时，，
∴；
综上分析可知：的面积为或．
题型八：一次函数实际应用之分配方案问题
【经典例题8】甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元．
(1)分别求出，与x之间的关系式；
(2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)乙商场更优惠；理由见解析
【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可；
（2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解
本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，
；
（2）解：当时，，，
∴，
∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠．
【变式训练8-1】峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元．
(1)请直接写出，关于x的函数解析式；
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量；
(3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【答案】(1)
(2)
(3)按方式一购买可以获得更多的茶叶
【分析】本题考查的是列函数关系式，一次函数的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键．
（1）根据两种方式分别求出购买茶叶的总费用即可；
（2）令求解即可；
（3）令两种总费用为65000元，分别求出购买茶叶质量，再比较大小即可．
【详解】（1）解：根据题意，得；
（2）解：当时，，
解得：，
若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，该二级经销商此次购买茶叶的质量为；
（3）解：当时，即，
解得：，
当时，即，
解得：，
，
按方式一购买可以获得更多的茶叶．
【变式训练8-2】为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台．
(1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元；
(2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案．
【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元；
(2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，利用数量总价单价，结合“用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台”，可列出关于的分式方程，解之检验后，可得出品牌电脑的单价，再将其代入即可求出品牌电脑的单价；
（2）设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，根据买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些电脑需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：，
化简得
解得：，（舍去），
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元．
答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元；
（2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，
根据题意得：，
解得：．
设学校购买这些电脑需要元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为（元）．此时，
∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元．
【变式训练8-3】为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）
型号 载客量 租金单价
A 人/辆 元/辆
B 人/辆 元/辆
(1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用．
【答案】(1)（，且x为整数）
(2)当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用为元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键，
（1）根据题意，可得函数关系式，根据，即可求自变量取值范围；
（2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案．
【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，
由题意得：，
即与的函数解析式为：，
由题意得：，解得：，
即自变量的取值范围为，且x为整数；
（2）解：由（1）得：费用为（，且x为整数）
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，费用最小，
最低为（元），
答：当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用元．
【变式训练8-4】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式；
(2)在同一直角坐标系中作出它们的图象；
(3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
【答案】(1)方案一：；方案二：
(2)见解析
(3)当时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二．
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式．
（1）由已知条件可以得出两个方案的解析式；
（2）根据函数关系式画出图形即可；
（2）列出方程，解得，讨论的取值范围来比较来比较两个方案．
【详解】（1）
解：方案一：，
方案二：．
（2）解：如图．
（3）解：由题意得：，
得，，
解得，
由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；
当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；
当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二．
【变式训练8-5】为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
【答案】(1)A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元
(2)，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可．
【详解】（1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元，
根据题意，得，
解得：，
∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元．
（2）解：根据题意可知，B品牌足球个，
∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y最小，此时．
综上，，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个．
题型九：一次函数实际应用之最大利润问题
【经典例题9】某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表：
（元） 20 25 30 …
（袋） 20 15 10 …
若日销售量是销售价的一次函数，试求：
(1)日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式；
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题；
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式即可
（2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可．
【详解】（1）解：设日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式为，
由题意得，
解得．
所求函数关系式为：；
（2）解：依题意，设利润为元，得
整理得
当时，取得最大值，最大值为225
每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【变式训练9-1】为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同．
(1)求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元；
(2)当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
(2)剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，根据“用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，根据“购入成本不超过3000元”可得出关于m的一元一次不等式，求得，再根据得到关于m的一次函数，利用二次函数的性质即可得出结论；
【详解】（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
【变式训练9-2】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，．
(1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象．
(2)根据图象解决下列问题：
①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？
②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本）
【答案】(1)，图象见解析
(2)①该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损②当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元
【分析】此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出是解题关键．
（1）利用，进而得出函数解析式即可，进而利用两点法画出直线即可；
（2）①利用函数图象得出时，的取值范围即可；②将代入解析式求出即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
如图所示：
（2）解：①当时能保证不亏损，
∴，
解之：；
∴该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损；
②当时，，
解之：，
∴ 当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元
【变式训练9-3】【任务】如何确定化橘红销售单价及如何进货才能获得最大利润．
①化州某大药房购进李橘园、宝橘园两种型号的橘红，进货价分别是40元每克、65元每克．
②大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍，若顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克．
③大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克，它们都按标价销售．
【问题解决】
(1)求李橘园、宝橘园两种型号的橘红的标价．
(2)探究李橘园、宝橘园两种型号的橘红的进货方案一共有多少种？（注：进货重量克取正整数）
(3)确定大药房如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)李橘园橘红标价为50元，则宝橘园橘红的标价为100元
(2)进货方案一共有51种
(3)从李橘园进货100克，则从宝橘园进货400克，才能获得最大利润
【分析】本题考查分式方程，不等式组，一次函数解决实际问题，读懂题意，找准等量关系是解题的关键．
（1）李橘园橘红标价为x元，由任务②中的“大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍”得到宝橘园橘红的标价为元，进而根据“顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克”即可列出方程，求解并检验即可；
（2）设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，根据“大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克”即可列出不等式组，求解即可解答；
（3）设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，所获利润为W元，列出W关于m的函数解析式，进而根据函数的增减性即可解答．
【详解】（1）解：设李橘园橘红标价为x元，则宝橘园橘红的标价为元．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是该方程的解，且符合题意．
∴，
答：李橘园橘红标价为50元，则宝橘园橘红的标价为100元．
（2）解：设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，根据题意，得
，
解得
∵n取整数，
∴，
答：进货方案一共有51种．
（3）解：设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，所获利润为W元，则
，
∵，
∴随着n的增大而减小，
由（2）有，
∴当时，W有最大值，此时，
答：从李橘园进货100克，则从宝橘园进货400克，才能获得最大利润．
【变式训练9-4】某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．
(1)试确定种类型的店面的数量范围；
(2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金．
【答案】(1)种类型店面的数量为，且为整数
(2)应建造种类型的店面40间，最高租金24960
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．注意本题的不等关系为：建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的；并会根据函数的单调性求最值问题．
（1）关键描述语为：全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．关系式为：种类型店面面积种类型店面面积；种类型店面面积种类型店面面积，进而列出不等式组求解即可；
（2）店面的月租费种类型店面间数种类型店面间数，然后按取值范围来求解．
【详解】（1）解：设种类型店面的数量为间，则种类型店面的数量为间，
根据题意得，
解之得，
种类型店面的数量为，且为整数；
（2）设应建造种类型的店面间，则店面的月租费为
，
又，
∴时，W最大为．
为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面40间，最高租金24960．
【变式训练9-5】无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价）
种类 种配件 种配件
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)求种配件进价的值．
(2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)260
(2)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键．
（1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可；
（2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：，
答：的值为；
（2）解：设购进种配件件，则购进种配件件，
依题意得：，
解得：，
∴（为正整数），
设两种配件全部售出后获得的总利润为元，
∴，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为：，
此时，
答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．
题型十：一次函数实际应用之行程问题
【经典例题10】如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离．
(1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；
(2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？
【答案】(1)，y是x的一次函数
(2)货车离甲地的距离是
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键理解题意；
（1）根据路程=速度×时间可进行求解函数关系式，然后根据函数关系式可判断是否是一次函数；
（2）根据（1）中函数关系式可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
与之间的关系式是，
∴y是x的一次函数；
（2）解：由（1）得：把代入，则有：
；
答：货车离甲地的距离是．
【变式训练10-1】、两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离地的距离与时间的关系，结合图象回答下列问题：
(1)表示乙离地的距离与时间关系图象是 （填或）；
甲的速度是 ；
乙的速度是 ；
(2)甲出发多少小时两人恰好相距？
【答案】(1)，45，30
(2)甲出发后或时两人恰好相距．
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意和图象可以解答本题；
（2）根据图象可以分别求得甲乙对应的函数解析式，由题意可知相遇前和相遇后两种情况相距，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：甲先出发，乙后出发，
表示乙离地的距离与时间关系的图象是，
甲的速度是：，
乙的速度是：，
故答案为：，45，30；
（2）解：设甲对应的函数解析式为，
，得，
甲对应的函数解析式为，
设乙对应的函数解析式为，
，得，
即乙对应的函数解析式为，
，
解得，，，
答：甲出发后或时两人恰好相距．
【变式训练10-2】快车和慢车均从甲地出发匀速行驶至乙地，在整个行驶过程中，快车和慢车离开甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息解决下列问题．
(1)甲、乙两地相距多少千米？
(2)分别求快车和慢车离开甲地的距离与的关系式
(3)快车出发后几小时追上慢车？ 追上时距离乙地还有多远？
(4)慢车出发几小时，两车相距？
【答案】(1)600千米
(2)快车：；慢车：
(3)2小时，
(4)小时；小时；小时；小时
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）根据图象中的信息分别求出两车对应的函数解析式，
（3）根据（2）联立两车对应的函数解析式，求解二元一次方程组，即可解答本题；
（4）根据（2）中的函数解析式，分四种情况：当快车出发前；当快车出发后，追上慢车前；当快车追上慢车后，到达乙地前；当快车到达乙地后，慢车到达乙地前；两车相距，列方程求解即可解答本题．
【详解】（1）解：由图可知，
甲、乙两地相距600千米．
（2）解：设慢车对应的函数解析式为：，
把代入，得
，
解得：，
∴慢车对应的函数解析式为：；
设快车对应的函数解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴快车对应的函数解析式为．
（3）解：联立，得，
解得：，
，
，
答：快车出发后2小时追上慢车，追上时距离乙地还有．
（4）解：由题意可得，
当快车出发前两车相距，则，
解得：；
当快车出发后，追上慢车前，两车相距，则，
解得：；
当快车追上慢车后，到达乙地前，两车相距，则
解得：；
当快车到达乙地后，慢车到达乙地前，两车相距，则，
解得：；
综上，慢车出发小时或小时或小时或小时，两车相距．
【变式训练10-2】小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲刚开始跑步前行，中途改为步行，到达图书馆恰好用了．小东骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程（单位：）与各自离开出发地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．
(1)家与图书馆之间的路程为多少米？小玲步行的速度为多少？
(2)求小东离家的路程关于时间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)求两人相遇时小东离家的距离．
【答案】(1)，
(2)（）
(3)两人相遇时小东离家的距离为
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息.
（1）认真分析图象得到家与图书馆之间路程与时间数据，再根据路程除时间等于速度即可求解；
（2）采用方程思想，列出小东离家路程与时间之间的函数关系式，标明自变量的取值范围即可；
（3）两人相遇实际上是函数图象求交点，先算出小玲跑步的速度，令，可得相遇时间，再将时间代入函数关系式即可求解．
【详解】（1）解：结合题意和图象可知，家与图书馆之间路程为，
小玲步行的速度为．
（2）∵小东从离家处的图书馆以的速度返回家中，
∴他离家的路程y关于时间x的函数表达式为，
自变量的取值范围为．
（3）由图象可知，两人相遇是在小玲跑步前行时，
小玲跑步的速度为，
，
解得，
∴两人相遇时间为各自出发后，
此时小东离家的距离为．
【变式训练10-4】碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中段与之间的函数关系式；
(2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？
【答案】(1)；
(2)小时
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解．
【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为，
∵图象经过、两点，
∴，
解得，
∴图中段y与x之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，
∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米．
【变式训练10-5】在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示：
(1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______；
(2)当时，求y关于x的函数表达式；
(3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）从函数图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行计算即可；
（2）待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，小明家离体育场的距离为，跑步的平均速度为：；
故答案为：；
（2）当时，设，
把代入函数解析式，得：
，解得：，
∴；
（3）当时，；
当时，，解得：；
答：当小明离家时，他离开家所用的时间为或．
题型十一：一次函数实际应用之几何问题
【经典例题11】如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点．
(1)求点A的坐标．
(2)在x轴上有一点M，线段上有一点N，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（1）根据题意得：时，，由此得到答案．
（2）根据题意得：是以为斜边的等腰直角三角形，点在轴正半轴上，设，，由，得到点的坐标，由此得到答案．
【详解】（1）根据题意得：
直线与x，y轴分别交于A，B两点
时，
解得：，
点A的坐标为；
（2）根据题意得：
是以为斜边的等腰直角三角形，
如图所示，是等腰直角三角形，
，
设，，
解得：，
即，
【变式训练11-1】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为．
(1)则_________，_________；
(2)关于的不等式的解集是_________；
(3)四边形的面积_________；
(4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，
(2)
(3)
(4)，，，
【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，；
（2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案；
（3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解；
（4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标．
【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：，
∴，即：点的坐标为，
将点，点代入得：，
解得：；
（2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，
∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值，
∴关于的不等式的解集是：；
（3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，，
当时，，得，
∴点的坐标为，
∵函数的图象与轴交于点，
则当时，，即：，
连接，
∴；
（4）当，，点在右侧时，如图，
过点作轴，过点作，
则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，则，
∴，
∴，
则点坐标为；
当，，点在左侧时，如图，
过点作轴，过点，点作，，
同上可得：点坐标为；
当，，点在右侧时，如图，
过点，点作，，
同上可得：点坐标为；
当，，点在左侧时，如图，
过点，点作，，
同上可得：点坐标为；
综上：坐标为或或或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解．
【变式训练11-2】如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点．
(1)点M的坐标为____________________；
(2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)周长的最小值为；
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）令，得；令，得，可得点、的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标；
（2）因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长；
（3）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，得出，，根据列方程求出的得解．
【详解】（1）解：对于，
令，得；
令，得，
解得：，
∴，
∵点M为线段AB的中点，
∴，即，
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，
则，
∴,
∵,
∴，
∵点是固定点，
∴，
∴周长的最小值为,
又,
∴
∴,
∴周长的最小值为；
设直线的解析式为，
把代入，得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为
又过点的直线与交于点，
∴，
又直线和解析式与直线交于点，
∴，
∵,
∴，
整理得，，
解得，，或，
∴点的坐标为：或．
【变式训练11-3】已知一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，．
(1)直接写出点，点的坐标；
(2)求的面积；
(3)如果点在一次函数的图象上，且的面积为3，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)9
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
（1）分别求出时，的值和时，的值，由此即可得；
（2）先求出的长，再利用直角三角形的面积公式求解即可得；
（3）设点的坐标为，则点到轴的距离为，根据三角形的面积公式求出的值，由此即可得．
【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，，解得，
当时，，
∵一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，，
∴点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：由题意，画出图形如下：
∵，，
∴，
∴的面积为．
（3）解：由题意，画出图形如下：
设点的坐标为，则点到轴的距离为，
∵的面积为3，，
∴，即，
解得或，
当时，，
当时，，
综上，点的坐标为或．
【变式训练11-4】已知一次函数的图象经过点和点且点在正比例函数的图象上．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点的坐标为，求的面积；
(3)点为轴上一动点，若，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为：
(2)
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据格点坐标可求三角形的面积；
（3）设点，根据已知条件得到代入面积计算公式即可得到值，继而得到点的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握三角形面积的计算是解答本题的关键．
【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上，
，解得，
，
点和点在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为：；
（2）解：，
；
（3）解：如图直线交轴于点，
，，
，
点的坐标为，
点在直线上，
在一次函数中，令，，
，
设，则，
，
即，
，，
解得或1，
或．
【变式训练11-5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求：
(1)求正比例函数与一次函数的关系式；
(2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标；
(3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与轴对称，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可；
（3）分三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，直线过点，，
∴，解得：，
；
∵过，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，且为定值，
∴当最小时，的周长最小，
作作点关于轴的对称点，连接，则，，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
同（1）可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴．
（3）∵，
∴，
设，则：，，
当为等腰三角形时，
①，则：，
∴，
∴；
②当时，，解得：，
∴；
③当时，，
，
∴，
∴（舍去）或，
∴；
综上：或或．
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5.5一次函数的简单应用十一大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：已知直线与坐标轴的交点求方程的解
【经典例题1】如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】若直线与x轴交于点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如图，若一次函数的图象经过、两点．则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ．
【变式训练1-4】直线与轴交于点，则关于的方程的解为 ．
【变式训练1-5】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
题型二：由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【经典例题2】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为( )
A． B． C． D．
【变式训练2-2】已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【变式训练2-3】若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用图像法解方程或不等式
【经典例题3】画出函数图象．
(1)利用图象求方程的解；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围．
【变式训练3-1】综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象．
(1)列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中_____________，_____________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
(4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
【变式训练3-2】请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：①当时， ．
②当时， ．
③当时， ．
(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解：
②方程有_____个解：
③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ．
【变式训练3-3】如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y．
(1)填写下表，画出y关于x的函数图像；
x … 0 1 2 …
y … …
(2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）；
(3)观察图像，
①写出该函数的两条不同类型的性质；
②若，则对应的x的值是______．
若，则对应的x的取值范围是______．
(4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围．
当_____________时，方程有两个解；
当________________时，方程有一个解；
当____________________时，方程没有解
【变式训练3-4】请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：
①当时，_____；
②当时，_____；
③当时，_____；
(2)在平面直角坐标系中作出函数的图象；
(3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；
(4)进一步探究函数图象发现：若关于的方程无解，则的取值范围是_____．
【变式训练3-5】在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题．
(1)列表：
______ ______
①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格；
②请在平面直角坐标系中作出函数的图象；
(2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质；
(3)进一步探究函数图象发现；
①方程有_____个解；
②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____．
题型四：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【经典例题4】如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，、，那么不等式的解集为 ．
【变式训练4-4】如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【变式训练4-5】已知函数的图象，利用图象回答下列问题：
(1)直接写出方程的解；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若，直接写出的取值范围．
题型五：根据两条直线的交点求不等式的解集
【经典例题5】已知一次函数与的图象如图所示，下列结论：
①；②；③关于x的方程的解是；④当时，．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练5-1】如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ．
【变式训练5-2】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ．
【变式训练5-3】如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
【变式训练5-4】一次函数和的图像如图所示，且，．
(1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________；
(2)若不等式的解集是，求点的坐标．
【变式训练5-5】如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点．
(1)求m的值及直线的函数表达式；
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解．
题型六：两直线的交点与二元一次方程组
【经典例题6】二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】若方程组的解为，则函数和图象的交点为 ．
【变式训练6-2】如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 ．
【变式训练6-3】如图，平面直角坐标系中，直线：和直线 ：相交于点 B，若直线 上一点M 到直线 的距离是 5 ，则点M 的坐标为 ．
【变式训练6-4】如图，直线：与直线：相交于点．
(1)求的值；
(2)写出方程组的解；
(3)写出时，的取值范围．
【变式训练6-5】如图，已知直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．
(1)求的表达式．
(2)求点P的坐标．
题型七：求直线围成的面积
【经典例题7】如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过A作轴，垂足为，点的横坐标为4，且的面积为6.
(1)求正比例函数的解析式；
(2)求经过点．把面积分为1：2的直线解析式．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交点A的横坐标为2，将直线沿轴向下平移4个单位长度，得到直线，直线与轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为．直线与轴交于点D．
(1)求点A与点C的坐标；
(2)求的面积．
【变式训练7-2】如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点，
(1)求直线的解析式；
(2)求直线，与轴围成的三角形的面积．
【变式训练7-3】如图，一次函数 与正比例函数 的图象交于点 M．
(1)求正比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象，写出关于x的不等式的解集．
(3)求 的面积．
【变式训练7-4】如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点．
(1)求的值及直线的表达式．
(2)计算四边形的面积．
(3)是直线上一点，若，求点的坐标．
【变式训练7-5】如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)过点B作直线交x轴于点C，若，求的面积．
题型八：一次函数实际应用之分配方案问题
【经典例题8】甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元．
(1)分别求出，与x之间的关系式；
(2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由．
【变式训练8-1】峨眉山特级（静心）竹叶青是竹叶青的一种中端产品，每年在采摘加工前，茶商们都会针对二级经销商群体推出两种预售方式，方式一：缴纳5000元购买钻石会员，二级经销商可以1600元的价格购买；方式二：缴纳2000元购买铂金会员，二级经销商可以1800元的价格购买．某竹叶青二级经销商此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元．
(1)请直接写出，关于x的函数解析式；
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该二级经销商此次购买茶叶的质量；
(3)此次二级经销商购买茶叶的总预算为65000元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【变式训练8-2】为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台．
(1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元；
(2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案．
【变式训练8-3】为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）
型号 载客量 租金单价
A 人/辆 元/辆
B 人/辆 元/辆
(1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用．
【变式训练8-4】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元．
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式；
(2)在同一直角坐标系中作出它们的图象；
(3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？
【变式训练8-5】为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1个B品牌足球共需180元．
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
题型九：一次函数实际应用之最大利润问题
【经典例题9】某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表：
（元） 20 25 30 …
（袋） 20 15 10 …
若日销售量是销售价的一次函数，试求：
(1)日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式；
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【变式训练9-1】为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同．
(1)求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元；
(2)当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
【变式训练9-2】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，．
(1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象．
(2)根据图象解决下列问题：
①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？
②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本）
【变式训练9-3】【任务】如何确定化橘红销售单价及如何进货才能获得最大利润．
①化州某大药房购进李橘园、宝橘园两种型号的橘红，进货价分别是40元每克、65元每克．
②大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍，若顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克．
③大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克，它们都按标价销售．
【问题解决】
(1)求李橘园、宝橘园两种型号的橘红的标价．
(2)探究李橘园、宝橘园两种型号的橘红的进货方案一共有多少种？（注：进货重量克取正整数）
(3)确定大药房如何进货才能获得最大利润？
【变式训练9-4】某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共80间，每间种类型的店面的平均面积为，月租为400元．每间种类型的店面的平均面积为，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．
(1)试确定种类型的店面的数量范围；
(2)通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为．为使店面的总月租最高，应建造种类型的店面多少间？并求出最高租金．
【变式训练9-5】无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．（利润售价进价）
种类 种配件 种配件
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)求种配件进价的值．
(2)若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
题型十：一次函数实际应用之行程问题
【经典例题10】如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离．
(1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数；
(2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？
【变式训练10-1】、两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中，表示两人离地的距离与时间的关系，结合图象回答下列问题：
(1)表示乙离地的距离与时间关系图象是 （填或）；
甲的速度是 ；
乙的速度是 ；
(2)甲出发多少小时两人恰好相距？
【变式训练10-2】快车和慢车均从甲地出发匀速行驶至乙地，在整个行驶过程中，快车和慢车离开甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息解决下列问题．
(1)甲、乙两地相距多少千米？
(2)分别求快车和慢车离开甲地的距离与的关系式
(3)快车出发后几小时追上慢车？ 追上时距离乙地还有多远？
(4)慢车出发几小时，两车相距？
【变式训练10-2】小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲刚开始跑步前行，中途改为步行，到达图书馆恰好用了．小东骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程（单位：）与各自离开出发地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．
(1)家与图书馆之间的路程为多少米？小玲步行的速度为多少？
(2)求小东离家的路程关于时间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)求两人相遇时小东离家的距离．
【变式训练10-4】碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求图中段与之间的函数关系式；
(2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？
【变式训练10-5】在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示：
(1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______；
(2)当时，求y关于x的函数表达式；
(3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间．
题型十一：一次函数实际应用之几何问题
【经典例题11】如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点．
(1)求点A的坐标．
(2)在x轴上有一点M，线段上有一点N，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点M的坐标．
【变式训练11-1】如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为．
(1)则_________，_________；
(2)关于的不等式的解集是_________；
(3)四边形的面积_________；
(4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练11-2】如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点．
(1)点M的坐标为____________________；
(2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标．
【变式训练11-3】已知一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，．
(1)直接写出点，点的坐标；
(2)求的面积；
(3)如果点在一次函数的图象上，且的面积为3，求点的坐标．
【变式训练11-4】已知一次函数的图象经过点和点且点在正比例函数的图象上．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点的坐标为，求的面积；
(3)点为轴上一动点，若，求点的坐标．
【变式训练11-5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为．求：
(1)求正比例函数与一次函数的关系式；
(2)在x轴上是否存在一点M使周长最小，若存在，求出点M的坐标；
(3)在x轴上求一点Q使为等腰三角形，请求出所有符合条件的点Q的坐标．
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