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专题5.4.一元一次方程的解法
1、掌握移项法则的依据，会在解方程的过程中正确运用；
2、正确理解和使用去括号法则，并能解含括号的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并归纳解一元一次方程的步骤。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项 2
考点2.解一元一次方程（2）--去括号 4
考点3.解一元一次方程（3）--去分母 5
考点4.一元一次方程中的同解问题 7
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题 8
考点6.一元一次方程中的整体换元问题 10
考点7.一元一次方程的新定义问题 11
考点8.根据解的情况求参数值 14
模块3：能力培优 16
1.移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。
注意：整体移动，整体变号。
2.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）。
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
3.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）。
4.解一元一次方程的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。
注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项
例1．（23-24七年级上·广东韶关·期中） 解方程：
(1) (2)
变式1．（24-25七年级上·广西桂林·期中）下列各式的变形中，属于移项的是（ ）
A．由变形为 B．由变形为
C．由变形为 D．由变形为
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如下表示解方程的流程，其中第3步的依据是 ．
变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程(1) (2)
考点2.解一元一次方程（2）--去括号
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)； (2)；
变式1．（24-25八年级上·广东·开学考试）研究下面解方程的过程：
去括号，得，①
移项，得，②
合并同类项，得，③
两边都除以6，得．④
以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
变式2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在解方程的过程中，下列去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程：(1)；(2)．
考点3.解一元一次方程（3）--去分母
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：
(1)；(2)．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由去分母得
变式2．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A． B． C． D．
考点4.一元一次方程中的同解问题
例1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同．(1)求a的值；(2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值．
变式1．（24-25七年级上·北京·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值．
变式2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值．
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题
例1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡．
(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值；
(2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？
变式1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（ ）
A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个
变式2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ．
考点6.一元一次方程中的整体换元问题
例1．（2024·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
变式1．（2024·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
变式2．（2024·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
考点7.一元一次方程的新定义问题
例1．（24-25七年级上·广东·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为．
（1）若是“神奇数对”，则n的值为 ；
（2）若此时关于x的方程与的解相等，则k的值为 ．
变式1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题．
(1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）；
(2)已知方程是巧合方程，请求出b的值；
(3)若和都是巧合方程，请求出的值．
考点8.根据解的情况求参数值
例8．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解．
变式1．（2024·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·江阴市七年级月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为______.
变式3．（2023·沙坪坝·重庆一中）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．8 B．4 C．7 D．-2
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程移项得 B．方程化成
C．若，则 D．方程，去括号，得
2.（2023·重庆七年级课时练习）解方程：，步骤如下：
①去括号，得．②移项，得．
③合并同类项，得．④系数化为1，得．
经检验，不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2024·重庆市七年级月考）解方程，去分母，得（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七年级上·上海·专题练习）已知关于的方程的解满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（ ）
A．5 B．4 C． D．
6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）“”表示一种运算，已知，，，按此规则，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为( )
A． B． C． D．
8．（2024·浙江）某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
9．（2024·河南郑州·七年级期末）轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·重庆巴南·七年级期中）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·湖北襄阳·阶段练习）由得，这种变形属于 ，其依据是 ．
12．（2024七年级上·山东·专题练习）小明同学在做作业时，发现自己不小心将方程的一个常数涂黑看不清了，询问王老师后，王老师告诉他，这个方程的解是，则这个被涂黑的常数是 ．
13．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若有理数m满足，则m的值是 ．
14．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知，例如，若，那么 ．
15．（2024·河南）已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝_____．
16．（2024·山东济南·七年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为______．
17．（2024·浙江杭州市·七年级期中）已知关于x的一元一次方程点①与关于y的一元一次方程②，若方程①的解为，则方程②的解为______．
18．（2024·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解方程：
(1)； (2)．
20．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）解方程：
(1) (2) (3) (4)
21．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ；
任务二：请你求出方程正确的解．
22．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程和方程的解相同，求：(1)m的值；(2)求方程的解．
23．（2024·河南许昌·七年级期末）如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求a的值．
24．（2024·河南南阳·七年级期中）在做解方程练习时，有一个方程“”题中●处不清晰，李明问老师，老师只是说：“●是一个有理数，该方程的解与方程的解相同”依据老师的提示，请你帮李明求出方程的解，并找到这个有理数．
25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”．
例如：判断方程和，是否互为“成双方程”．
解：方程和是互为“成双方程”，理由如下：
解方程，解得．解方程，解得．
，方程和互为“成双方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由；
(2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值．
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专题5.4.一元一次方程的解法
1、掌握移项法则的依据，会在解方程的过程中正确运用；
2、正确理解和使用去括号法则，并能解含括号的一元一次方程；
3、掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，掌握含分母的一元一次方程的解法，并归纳解一元一次方程的步骤。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项 2
考点2.解一元一次方程（2）--去括号 4
考点3.解一元一次方程（3）--去分母 5
考点4.一元一次方程中的同解问题 7
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题 8
考点6.一元一次方程中的整体换元问题 10
考点7.一元一次方程的新定义问题 11
考点8.根据解的情况求参数值 14
模块3：能力培优 16
1.移项：一般地，把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。
注意：整体移动，整体变号。
2.去括号
去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）。
去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
3.去分母
1）两边同乘最小公倍数，以去分母。
2）步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）。
4.解一元一次方程的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。
注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。
考点1.解一元一次方程（1）--移项与合并同类项
例1．（23-24七年级上·广东韶关·期中） 解方程：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键．
（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可得解；
（2）方程整理后，先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可得解．
【详解】（1）解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
（2）解：整理得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
变式1．（24-25七年级上·广西桂林·期中）下列各式的变形中，属于移项的是（ ）
A．由变形为 B．由变形为
C．由变形为 D．由变形为
【答案】D
【分析】此题考查了等式的性质，一元一次方程的解法-移项，直接利用移项的定义分析得出答案，正确掌握移项定义是解题关键．
【详解】解：A、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
B、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
C、由变形为，不属于移项，故选项不符合题意；
D、由变形为，属于移项，故选项符合题意；故选：D．
变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）如下表示解方程的流程，其中第3步的依据是 ．
【答案】等式的性质2
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，第3步，，由两边除以5，可得，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，第3步，，两边除以5，．
第3步的依据是等式的性质2．故答案为：等式的性质2．
变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）合并同类项、系数化为一即可解答．
（2）移项、合并同类项、系数化为一即可解答．
【详解】（1）解：
合并同类项得：，
系数化为一得：；
（2）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为一得：．
考点2.解一元一次方程（2）--去括号
例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)； (2)；
【答案】(1)； (2)；
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
（2）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
【详解】（1）解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化1，；
（2）解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化1，；
变式1．（24-25八年级上·广东·开学考试）研究下面解方程的过程：
去括号，得，①
移项，得，②
合并同类项，得，③
两边都除以6，得．④
以上解题过程中，最先出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的求解．熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键，注意：括号前是负号去括号时括号中各项都变号．
根据解方程的方法和步骤即可判断，括号前是负号去括号时括号中各项都变号．
【详解】去括号，得，①变形错误．故选：A．
变式2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在解方程的过程中，下列去括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次方程—去括号．根据去括号的法则，进行求解即可．
【详解】解：，去括号，得：；故选D．
变式3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解下列方程：(1)；(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算．
（1）先移项合并同类项，再系数化为1即可；
（2）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：．
（2）解：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
考点3.解一元一次方程（3）--去分母
65．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)．
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
（2）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
【详解】（1）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化1，；
（2）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化1，．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由去分母得
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可．
【详解】解：A、由得，故选项A不符合题意；
B、由得，故选项B不符合题意；
C、由得，故选项C不符合题意；
D、由去分母得，故选项D符合题意；故选：D．
变式2．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果．
【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是，故选：D．
考点4.一元一次方程中的同解问题
例1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同．(1)求a的值；(2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值．
【答案】(1)(2)1
【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算：
（1）先求出方程的解，再把解代入方程中，进行求解即可；
（2）易得互为相反数，，然后根据有理数的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
解得：，
把代入，得：，
解得：；
（2）∵a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，
∴，
∵c是最大的负整数，
∴，
∴．
变式1．（24-25七年级上·北京·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值．
【答案】．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，再由题意可得是关于x的方程的解，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：
去括号得：，
解得，
∵方程的解与关于x的方程的解相同，
∴是关于x的方程的解，
∴，
∴，
解得．
变式2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可．
【详解】解：
又∵方程与方程的解相同
∴
考点5.一元一次方程中的错解与遮挡问题
例1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡．
(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值；
(2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？
【答案】(1)
(2)遮挡的常数是19
【分析】本题主要考查了解一元一次方程；
（1）根据题意得出方程，然后解方程即可；
（2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可．
解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算．
【详解】（1）解：由题意得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
设遮挡的常数为a，把代入方程得，解得．故遮挡的常数是19．
变式1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（ ）
A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加减，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．
先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第8个．
【详解】解：，
运算结果比小， “”错写成“”，
设写错符号的数是，，解得，
写错的运算符号是第8个，故选：．
变式2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将，代入方程中，求出■的值即可．
【详解】将，代入方程中，
得，解得，故答案为：．
考点6.一元一次方程中的整体换元问题
例1．（2024·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程的解是x=71，
∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71，
解得：y=70，故答案为：y=70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键．
变式1．（2024·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
【答案】
【分析】将代入方程 可得，进而代入即可得到，根据等式的性质即可求得答案．
【详解】解：将代入方程，
，整理得，
则，
，解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系数相等是解题的关键．
变式2．（2024·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．
考点7.一元一次方程的新定义问题
例1．（24-25七年级上·广东·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为．
（1）若是“神奇数对”，则n的值为 ；
（2）若此时关于x的方程与的解相等，则k的值为 ．
【答案】 9 3
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，新定义：
（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）所求得到关于x的方程即为关于x的方程，解方程得到，再把把代入中求出k的值即可得到答案．
【详解】解：（1）∵是“神奇数对”，
∴，∴，∴，故答案为：；
（2）由（1）得，∴关于x的方程即为关于x的方程，解方程得，
∵关于x的方程与的解相等，
∴把代入中得，解得，答案为：3．
变式1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算．根据，，可以求得题目中方程的解．
【详解】解：∵，，，
∴，整理得，解得：；故选：C．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题．
(1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）；
(2)已知方程是巧合方程，请求出b的值；
(3)若和都是巧合方程，请求出的值．
【答案】(1)是(2)(3)
【分析】本题考查一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
（1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可；
（2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可；
（3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
是巧合方程；
（2）解：
，
方程是巧合方程，
；
（3）解：
，
方程是巧合方程，
，即，
解得：；
解得：，
方程是巧合方程，
，
，
，
，
解得：，
．
考点8.根据解的情况求参数值
例8．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解．
【答案】2
【分析】由一元一次方程无解的条件确定出a的值，先移项、合并同类项，最后再依据未知数的系数为0求解即可．
【详解】解：移项得：mx﹣2x＝﹣m，合并同类项得：（m﹣2）x＝﹣m．
∵关于 x的方程mx+m＝2x无解，∴m﹣2＝0．解得：m＝2．答案为：2．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
变式1．（2024·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有解，∴，∴；故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
变式2．（2024·江阴市七年级月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为______.
【答案】-2或-3
【分析】先解含a的方程，用a表示x，根据方程的解是正整数，求出a的值.
【详解】解：（a＋1）x＋2＝0 x= ，
∵方程的解是正整数，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，∴a=-2或a=-3故答案为：-2或-3
【点睛】本题考查的是利用方程解的条件确定字母系数的取值问题，根据解的特征得到含a的方程是解答此题的关键.
变式3．（2023·沙坪坝·重庆一中）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．8 B．4 C．7 D．-2
【答案】A
【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可．
【详解】系数化1得，，移项得，，
合并同类项得，，解得，，
∵该方程的解为偶数，∴为偶数，∵，∴或，
①当时，，，，，，，
②当时，，，，，，，
综上所述，可取3,1，7，-3，∴a的所有可能的取值的和为，3+1+7-3=8，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，解题的关键是分或两种情况进行讨论．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程移项得 B．方程化成
C．若，则 D．方程，去括号，得
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，将各项中方程变形得到结果，即可做出判断．
【详解】解：．方程，移项得：，原表述错误，故本选项不符合题意；
．方程化成，原表述正确，故本选项符合题意；
．，若，则不一定等于y，原表述错误，故本选项不符合题意；
．方程，去括号，得，原表述错误，故本选项不符合题意；故选：B．
2.（2023·重庆七年级课时练习）解方程：，步骤如下：
①去括号，得．②移项，得．
③合并同类项，得．④系数化为1，得．
经检验，不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据解一元一次方程的方法找出错误的过程即可．
【解析】第②步2x从方程右边移到左边时没有变号，错误．故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
3．（2024·重庆市七年级月考）解方程，去分母，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】去分母的方法是方程左右两边同时乘以分母的最小公倍数，注意分数线的括号的作用，并注意不能漏乘．
【详解】解：方程两边同时乘以6得．故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x=a的形式．在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．
4．（2024七年级上·上海·专题练习）已知关于的方程的解满足，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握方程的解，即为能使方程左右两边相等的未知数的值．先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求关于的一元一次方程即可．
【详解】解：，解得：，
将代入方程得：，解得：，故选：B．
5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，先求出的解，代入得到关于m的一元一次方程，再解方程即可．
【详解】解：解，得：，将代入，得：，解得，故选A．
6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）“”表示一种运算，已知，，，按此规则，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，解一元一次方程，观察所给三个式子可得“”运算表示的是，从“”前面的数开始的连续的整数求和，“”后面的数表示的是有多少个整数求和，据此可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：，，，……，
以此类推可知，“”运算表示的是，从“”前面的数开始的连续的整数求和，“”后面的数表示的是有多少个整数求和，∵，∴，∴，故选：B．
7．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的概念，正确解一元一次方程是关键；由题意知是方程的解，把解代入此方程则可求得a的值；再a的值代入中并解方程即可．
【详解】解：由题意知，是方程的解，所以，解得：，
把代入，得，解得：；故选：C．
8．（2024·浙江）某同学在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】B
【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，解得：a＝，故选：B．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2024·河南郑州·七年级期末）轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意可知，若输入x，则输出3x－1，又分两种情况考虑，大于20，输出答案；否则重新输入，根据题意可建立方程求得结果．
【详解】解：根据题意知，输入x，则直接输出3x－1，则
当3x－1＝41时，x＝14；当3x－1＝14时，x＝5；当3x－1＝5时，x＝2；当3x－1＝2时，x＝1．
∵x为正整数，因此符合条件的一共有4个数，分别是14，5，2，1．故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，根据题意，列出相应的方程并掌握一元一次方程的解
法是解题的关键．
10．（2024·重庆巴南·七年级期中）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】D
【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，用含k的式子表示x，再根据条件，得到满足条件的k值，进而即可求解．
【详解】由，解得：，
∵关于的方程的解为整数，
∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，把k看作常数，掌握解一元一次方程的步骤，是解
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·湖北襄阳·阶段练习）由得，这种变形属于 ，其依据是 ．
【答案】 移项 等式的基本性质
【分析】一元一次方程中的移项是将含有未知数的移动到等号的左边，不含未知数的项移动到等号右边，根据等式的性质，移项要变号．
【详解】解：由得，这种变形属于移项，其依据是等式的基本性质，
故答案为：移项；等式的基本性质．
12．（2024七年级上·山东·专题练习）小明同学在做作业时，发现自己不小心将方程的一个常数涂黑看不清了，询问王老师后，王老师告诉他，这个方程的解是，则这个被涂黑的常数是 ．
【答案】12
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．设被污染的常数是a，把代入计算即可求出a的值．
【详解】解：设被污染的常数是a，
把代入得：，
整理得：，
解得：
故答案为：12．
13．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若有理数m满足，则m的值是 ．
【答案】20
【分析】本题考查解一元一次方程，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出m的值即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：20．
14．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知，例如，若，那么 ．
【答案】15
【分析】本题考查解一元一次方程．根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：15．
15．（2024·河南）已知关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝_____．
【答案】1000
【分析】根据两个方程的关系：第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x﹣3＝2x+b的解为x＝999，
∴关于y的一元一次方程（y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b中y﹣1＝999，解得：y＝1000，故答案为：1000．
【点睛】此题考查解一元一次方程，利用整体思想，将第二个方程中的y+1看作第一个方程中的x是解题的关键．
16．（2024·山东济南·七年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为__________．
【答案】
【分析】分时，时和时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】解：当时，，
即，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，即，解得，
当时，，即，解得（不符合题意，舍去），
综上所述，，故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．能结合的定义分情况讨论是解题关键．
17．（2024·浙江杭州市·七年级期中）已知关于x的一元一次方程点①与关于y的一元一次方程②，若方程①的解为，则方程②的解为______．
【答案】y=-673
【分析】根据题意得出-（3y-2）的值，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程①的解为x=2021，
∴关于y的一元一次方程②中-（3y-2）=2021，
解得：y=-673，故答案为：y=-673．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出-（3y-2）的值是解题关键．
18．（2024·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________
【答案】
【解析】去括号，得：2ax-2a=（3-a）x+3b，移项、合并同类项得：（3a-3）x=2a+3b，
根据方程有无数多解，可得： ，解得：a=1，b=-，因此ab=-．故答案为：-.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出；
（2）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出；
本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得；
（2）去分母，得
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
化系数为1，得．
20．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）解方程：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了解一元一次方程
（1）方程移项合并，将系数化为1，即可求出解；
（2）方程去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解；
（4）先利用分数性质把分母变成整数，方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
，
，
，
；
21．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
任务一：填空
（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
（2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ；
任务二：请你求出方程正确的解．
【答案】任务一：（1）等式的性质2；（2）二，括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号；任务二：见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
任务一：（1）根据等式的性质判断即可；
（2）根据去括号法则即可判断解方程中的错误处；
任务二：根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1）求解即可．
【详解】解：（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；
（2）第二步开始出现错误，这一步的错误的原因是：括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号，
正确解法为：
解：．
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
22．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的方程和方程的解相同，求：(1)m的值；(2)求方程的解．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于m的方程，要正确理解方程解的含义．
（1）解出两个方程的解，根据两解相等，得到关于m的方程，从而可以求出m的值；
（2）将代入或，求解即可得答案．
【详解】（1）解：由，解得，
由，解得，
∵关于x的方程和方程的解相同，
∴，解得：．
（2）解：当时，代入得，
故方程的解为．
23．（2024·河南许昌·七年级期末）如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求a的值．
【答案】
【分析】分别求出每个方程的解，然后根据相反数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得，
因为两个方程的解互为相反数，所以，
解得．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据相反数的性质得到新的方程是解题的关键．
24．（2024·河南南阳·七年级期中）在做解方程练习时，有一个方程“”题中●处不清晰，李明问老师，老师只是说：“●是一个有理数，该方程的解与方程的解相同”依据老师的提示，请你帮李明求出方程的解，并找到这个有理数．
【答案】方程的解是x=，这个有理数为
【分析】设■为a，先解出方程的解，代入，即可求出a的值，就是要求的有理数．
【详解】解：∵，
解得：x=，
∴y=x=，
■为a，则方程“”变为“”，
把y=代入得：，
解得：a=，
∴方程的解是x=，这个有理数为．
【点睛】本题考查了同解方程，理解同解方程的意义是解决问题的关键．
25．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”．
例如：判断方程和，是否互为“成双方程”．
解：方程和是互为“成双方程”，理由如下：
解方程，解得．解方程，解得．
，方程和互为“成双方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由；
(2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数加法运算等知识点，准确理解并运用题目新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
（1）分别解两个方程，然后根据“成双方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出两个方程的解分别为，，再根据关于的方程与方程互为“成双方程”得出，解关于的一元一次方程即可．
【详解】（1）解：不是，理由如下：
解方程，
解得：，
解方程，
解得：，
，
方程与方程不是“成双方程”；
（2）解：解关于的方程，
解得：，
解方程，
解得：，
关于的方程与方程互为“成双方程”，
，
解得：．
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