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专题5.5.一元一次方程的应用
1、体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题；
2、借助立体或平面图形（边长、周长、面积、体积等）学会分析复杂问题中的数量和等量关系。
3、通过生活实例，了解成本、售价、利润、利润率之间的数量关系；
4、能在具体打折问题中找准等量关系，列出方程并求解。
5、借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题；
6、熟悉路程问题中的速度、路程、时间之间的关系，从而实、现从文字语言到图形语言，从图形语言到符号语言的转化。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.行程问题 3
考点2.配套问题 4
考点3.工程问题 5
考点4.销售（利润）问题 8
考点5.比赛积分 10
考点6.方案优化与选择 12
考点7.数字与日历问题 15
考点8.分段计费问题 19
考点9.和差倍分问题 22
考点10.数学文化问题 24
考点11.几何图形问题 25
模块3：核心考点 28
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．
由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2.建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽；长方形周长=2（长+宽）；正方形面积=边长×边长；正方形周长=4边长。
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价；速度×时间=路程；工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
考点1.行程问题
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆．
【答案】老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时
【分析】本题考查了一元一次方程的应用－行程问题，包含相遇与追及问题，用线段图来表示行程问题中的变化，可以使过程变得更清晰，是解决本题的关键，数形结合是数学中常用的一种数学思想．
如图1中，千米，第一个学生在C点下车后步行到博物馆，此时老师在C点，第二个学生步行到D点，段存在一个老师与第二个学生之间的相遇问题．从时间上产生等量关系，即：老师从C点单车返回到E点的时间+带第二个学生从E点到B点的时间=第一个学生从C点步行到B点的时间．若设千米，则，用含x的代数式表示出该等量关系，即可得方程解出问题．
【详解】解：如图，
设第一个学生搭乘摩托车的路程为x千米，即，则， ，
对于段的相遇问题，可设老师与第二个学生相遇的时间为t小时，
于是得方程： ∴
∴∴
由时间关系，可得方程解方程得
则在路上共计用的时间为
即：老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时．
变式1．（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？
【答案】，两地之间的距离是千米．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设，两地之间的距离是千米，根据题意列出方程，然后求解即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设，两地之间的距离是千米，
根据题意得：，解得：，
答：，两地之间的距离是千米．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是．
求：(1)船在静水中的平均速度；(2)甲、乙两地之间的距离．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键．
（1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可．（2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得：
，解得，
∴船在静水中的平均速度为；
（2）解：依题意，船在静水中的平均速度为，
∴甲乙两码头之间的距离为，
∴甲乙两码头之间的距离．
考点2.配套问题
例1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解．
【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，
由题意，得，解得，（人）．
答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，
变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可．
【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，
由题意得：，故选：C．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？
【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解．
【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得：
，解得，（人．
答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
考点3.工程问题
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元．
(1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天；
(2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数；
(3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)这批新产品的件数为960
(3)两个工厂同时合作完成时，既省时又省钱，见解析
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可．
（1）根据“甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天”列式 ；
（2）根据题意找出等量关系：总产品数相等，列出方程求解即可．
（3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案．
【详解】（1）解：根据题意，得乙单独加工这批新产品要用天，
故答案为：；
（2）解：设甲单独加工这批产品用x天，
由题意得，，
解得：，
（件），
答：这个公司要加工960件新产品；
（3）解： ①由甲厂单独加工：需要耗时为（天），需要费用为：（元）；
②由乙厂单独加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）；
③由两家工厂共同加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）．
因为，，
所以，甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间．
变式1．（23-24七年级·广东·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
将这项工程的工程量看作为“1”，从而可得甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，再根据题意列出方程即可得．
【详解】解：将这项工程的工程量看成“1”，则甲每天完成的工程量为，乙每天完成的工程量为，
由题意得：故选：A．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【答案】(1)天
(2)元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键；
（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可；
（2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可；
【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，
根据题意得：，
解得：，
答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾．
（2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天，
，
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元．
考点4.销售（利润）问题
例1．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键．
设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可．
【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得：
，
即：，
解得：，
答：至少要生产个产品．
变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？
【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进是60元；
(2)全部售完共可获利1450元．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题．
（1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：，即可解得答案；
（2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，由所用资金为6900元得 ，解出a的值，即可列式求出答案．
【详解】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元，
由题意得：，
解得，
∴（元），
答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元；
（2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，
由题意得 ，
解得，
∴，
∴（元），
答：全部售完共可获利1450元．
变式2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元．
(1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？
(2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值．
【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元
(2)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得：
解得：；
∴绿龟玩偶的单价为60元；
答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元．
（2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有：
解得：．
考点5.比赛积分
例1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）：
小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：
(1)从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积_______分；
(2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．
【答案】(1)1，2
(2)若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）由表中最后一行的信息可知，12场全负积分为12分，由此可得负一场积1分；结合表中第一行的信息即可求得胜一场积2分；
（2）设该班胜了场，则该班负了场，胜的场次共积分，负的场次共积分，由题意可得方程：，解方程即可得到答案.
【详解】（1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12场全负积分为12分，
∴负一场的积分为：（分）；
设胜一场积分，则由表中第一行信息可得：，解得：，
∴胜一场积2分；故答案为：1，2；
（2）解：设该班胜了场，根据题意可得：
，解得：，
∴若某班赛完全部12场，胜了6场，则该班的胜场积分是负场积分的2倍．
答：若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍．
变式1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场．
【答案】该队负了1场
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该队平了x场，则负了场．再根据一共得20分列出方程求解即可．
【详解】解：设该队平了x场，则负了场．
由题意得
解得
则
答：该队负了1场．
变式2．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）七（1）班组织生活小常识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息解答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
①号 20 0 100
②号 19 1 94
③号 18 2 88
④号 16 4 76
⑤号 10 10 40
(1)如果参赛者⑥号得分为64分，那么他答错了几道题？
(2)如果参赛者⑦号说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由．
【答案】(1)参赛者得64分，他答错了6道题；
(2)不可能；理由见解析．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用：
（1）根据题意先求出答对一题的得分，答错一题的扣分，然后设参赛者⑥号答对了道题，答错了道题，根据“参赛者⑥号得分为64分，”列出方程，即可求解；
（2）假设他得60分可能，设参赛者⑦号答对了道题，答错了道题，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，答对一题的得分是：，
答错一题的扣分为：（分）．
设参赛者⑥号答对了道题，答错了道题，
由题意，得，
解得，
，
答：参赛者得64分，他答错了6道题；
（2）解：假设他得60分可能，
设参赛者⑦号答对了道题，答错了道题，
由题意，得，
解得，
因为为正整数，
所以参赛者⑦号说他得60分，是不可能的．
考点6.方案优化与选择
例1．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式：
种类 购票方式
A 一次性使用门票，每张15元
B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票
C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票
(1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示）
(2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明．
(3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用．
【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元．
(2)选择B种购买方式比较优惠
(3)元．
【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据表格给出的购票方式即可求解；
（2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解；
（3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用．
【详解】（1）解：A种购票方式：元；
B种购票方式：元；
C种购票方式：元．
（2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下：
当时，元；元．
而，
所以，选择B种购买方式比较优惠．
（3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得，
解之得，．
∴（元），
答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元．
变式1．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）：
(1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）；
(2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
【答案】(1)
(2)购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样
(3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元
【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
（1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可；
（2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案；
（3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤．
【详解】（1）解：根据题意得，
故按方案一，购买裤子和T恤共需付款；
（2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款，
根据题意得，，
解得，
答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样；
（3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款
（元），
共需付款3400元．
变式2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：
计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．
(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？
(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？
【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟
(3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元
【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键．（1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可；
（2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可；
（3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案．
【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元），
答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元；
（2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟，
则，
解得，
答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟；
（3）解：设通话时间是分钟，由题意可得
，
解得，
当通话时间为400分钟时，（元），
（元），
答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元．
考点7.数字与日历问题
例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列按一定规律排列的三行数：
第一行：，4，，16，…：
第二行：0，6，，18，…；
第三行：，2，，8，…
解答下列问题：
(1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________．
(2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________．
(3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由．
【答案】(1)64；66；32
(2)；
(3)第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由见解析
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，一元一次方程的应用：
（1）观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍，第二行第n个数比第一行第n个数大2，第三行的后面一个数是前面一个数的倍，据此求解即可；
（2）根据（1）所求可得第一行第n个数为，第三行第n个数为，则第二行第n个数为；
（3）假设存在某三个相邻数的和为1536，设最前面的那个数为x，则剩下两个数为，则，解方程求出x的值，再验证x的值是否是第一行的数即可得到结论．
【详解】（1）解：观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍，
∴第一行第6个数为；
观察可知，第二行第n个数比第一行第n个数大2，
∴第二行第6个数为；
观察可知，第三行的后面一个数是前面一个数的倍，
∴第三行第6个数为；
故答案为：64；66；32；
（2）解：由（1）可知第一行第n个数为，第三行第n个数为，
∴第二行第n个数为；
故答案为：；；
（3）解：第一行不存在某三个相邻数的和为1536，理由如下：
假设存在某三个相邻数的和为1536，
设最前面的那个数为x，则剩下两个数为，
∴，
解得，
∵第一行第n个数为，
∴第一行第9个数为，
∴512不是第一行的数，
∴第一行不存在某三个相邻数的和为1536．
变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）我国公民的“身份号码”共有18位数字，它是由6位区域码，8位出生日期码，3位顺序码，1位校验码构成．例如，某公民的身份号码如图①所示，其中最后一位“X”不是英文字母，而是罗马数字，表示10．
校验码是按照特定的算法得来的，计算方法为：
第一步：将身份号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如下表所示：
回答下列问题：
(1)某人身份号码为“”，若A的值为4，则校验码B的值为_________；若校验码B的值为8，则A的值为_________．
(2)某人身份号码为“”，已知D的值是C的值的2倍，请写出最后的校验码E的值，并说明理由．
(3)如图②，图示中的身份号码被磨损掉了两个数字，若它们的差为1，请直接写出被磨损掉的两个数字．
【答案】(1)，；
(2)校验码E的值为7，理由见解析；
(3)被磨损掉的两个数字分别为和或者和．
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解校验码的特定的算法是解题关键．
（1）根据校验码的特定的算法计算即可；
（2）设C的值是（为整数），则D的值是，根据校验码的特定的算法得出，即可得到答案；
（3）分两种情况求解：①若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时；若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时，根据校验码的特定的算法，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解： ，
若A的值为4，则
校验码B的值为；
若校验码B的值为8，则17位数字和系数相乘的结果相加，再除以11，余数为，
或，
或，
或（舍），
故答案为：，；
（2）解：校验码E的值为7，理由如下：
设C的值是（为整数），则D的值是，
，，
，
，
，
校验码E的值为7；
（3）解：①若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时，
则，
校验码E的值为8，
，
解得：，
被磨损掉的两个数字分别为和；
余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2
②若磨损掉的第一个数字为，第二个数字为时，
则，
校验码E的值为8，
，
解得：，
被磨损掉的两个数字分别为和；
综上可知，被磨损掉的两个数字分别为和或者和．
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：
(1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
(2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由；
【答案】(1)小明是星期二出发的
(2)的值不能等于74，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用：
（1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可；
（2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论．
【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天，
根据题意得：，
解得，
∴小明出发的日期是10月的第3天，
由月历表可知，10月3号为星期二，
答：小明是星期二出发的；
（2）解：的值不能等于74，理由如下：
∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m，
∴另外三个数为，
若，则，
∵10月15日在第一列，
∴此时不能出现“S型”
∴的值不能等于74．
考点8.分段计费问题
例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过12的部分 a元/
超过12但不超过20的部分 元/
超过20的部分 元/
(1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）
(2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示）
(3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示）
【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元
【分析】(1) 根据费用=，列式计算即可．
(2)根据题意，得，费用=，得出的结论．
(3) 分和，两种情况计算即可．
本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为元，
故本月总费用为：（元） 故该用户4月份应缴纳的水费为元．
（2）解：根据题意，得，，故不超过12的部分费用为：（元）；
超过12但不超过20的部分费用为：（元）；
超过20的部分费用为：（元），
故该户应缴纳的水费为： (元)．答：应交电费元．
（3）解：根据题意，得，且元，
根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，故；
当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
（元）．
当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
元．
综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元．
变式1．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元．
(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？
(2)试写出y与间的表达式；
(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？
【答案】(1)元
(2)
(3)立方米
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系，
（1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可；
（2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可；
（3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过立方米，把代入（2）的式子计算即可．
【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：（元），超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，
∵小丽家某月用煤气量为80立方米，
∴超过部分的费用为（元），
∴丽家该月应交煤气费为（元）；
（2）解：∵每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元，
∴；
（3）解：∵，
∴小丽家4月份的煤气超过立方米，
把代入（2）中的式子得，，
解得，，
∴她家4月份所用煤气为立方米．
变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量 单价（元度）
不超过50度的部分
超过50度但不超过200度的部分
超过200度的部分
已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
根据上述数据，解答下列问题：
(1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元；
(2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？
【答案】(1)五，；
(2)他家七月份的用电量是306度．
【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键．
（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；
（2）判断出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可．
【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，
元，
（2）解：∵，
∴用电量大于200度，
设用电量为x度，由题意得，
，
解得：，
答：他家七月份的用电量是306度．
考点9.和差倍分问题
例1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的．
(1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？
(2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？
(3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？
【答案】(1)240人(2)B街路：144人；C街路：216人(3)72人
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系．
（1）直接将计算即可；
（2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可；
（3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可．
【详解】（1）解：（人），
∴参加A街路清冰雪劳动共有240人；
（2）解：设参加C街路的清冰雪劳动有x人，
，
，
∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人；
（3）设参加清冰雪劳动的居民有y人，
，
，
∴参加清冰雪劳动的居民有72人．
变式1．（24-25七年级上·浙江·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？
【答案】656人
【分析】设这个工厂原有男工x人，列出方程解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设这个工厂原有男工x人，
根据题意得：，
解得，
答：这个工厂原有男工656人．
考点10.数学文化问题
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．
【答案】小和尚有人，大和尚有人．
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人，
由题意得，，
解得，
（人），
答：小和尚有人，大和尚有人．
变式1．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
【答案】有人，辆车．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有辆车，
根据题意得，，
解得，
∴人，
答：有人，辆车．
变式2．（23-24七年级上·浙江·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．
(1)求该房客大人，小孩各有多少人？
(2)假设店主李三公推出两种订房方案：
方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，
方案二：大人原价，小孩半价．
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人
(2)方案二
【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键．
（1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案；
（2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人，
，解得，
则，
答：房客中大人有人，小孩有人；
（2）解：设每人收费相同，为元，
方案一费用：元；
方案二费用：元；
，
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算．
考点11.几何图形问题
例1.（2024·陕西·西安七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
【答案】每一个长条的面积为．
【分析】设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是；再根据第一次剪下的长条的面积第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．
【详解】解：设原来正方形纸的边长是，则第一次剪下的长条的长是，宽是，第二次剪下的长条的长是，宽是，
由题意得：，解得：，则．
答：每一个长条的面积为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出一元一次方程．
变式1．（2023·浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是．
【答案】，
【分析】由题意得注水1分钟，丙的水位上升，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分：①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，然后分类求解即可．
【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，且注水1分钟，乙的水位上升，∴注水1分钟，丙的水位上升，
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分：
①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，则有：∴，解得：；
∵，∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵分钟，cm，即经过分钟丙容器的水达到管子底部，乙的水位上升cm，
∴，解得：；
②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为：分钟，
∴，解得：；
综上所述：开始注入，分钟的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm；故答案为，．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
变式2．（2023·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（ ）
甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
【答案】A
【分析】根据小长方形的长作为相等关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设，根据小长方形的长作为相等关系，得出，
根据大长方形的宽做相等关系可得，
∴甲对乙不完全对，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形．若将直角三角形锐角顶点处的一个钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则钉成的长方形的面积是（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．24或48
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
先求出直角三角形的周长，然后分去掉顶点A或顶点B的钉子两种情况分别列方程求出长方形的长和宽，进而求得长方形的面积．
【详解】解：三角形的周长为，分情况求解如下：
①当去掉顶点A的钉子时，为长方形的一条边．设长方形另一条边的长为．
由题意，得，解得，
所以该长方形的长和宽均为6，其面积为；
②当去掉顶点B的钉子时，为长方形的一条边．设长方形另一条边的长为y．
由题意，得，解得，
所以该长方形的长和宽分别为8，4，其面积为．
综上，所钉成的长方形的面积为32或36．
2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题先分别表示新工艺的废水排量为，旧工艺的废水排量为，再利用比值的含义建立方程即可；确定相等关系是解本题的关键．
【详解】解：设环保限制的最大量为，则 ，故选：A．
3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（ ）
A．8 B．14 C．10 D．12
【答案】C
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可．
【详解】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得：
，即，解得：，
故需要有10名工人生产茶壶，故选：C．
4．（2024七年级上·山东·专题练习）某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；关系式为：甲4天的工作量甲乙合作天的工作量，把相关数值代入即可求解．找到工作量之间的等量关系解决本题的关键．
【详解】解：甲4天的工作量为：；甲乙合作其余天数的工作量为：，
可列方程为：，故选：．
5．（23-24七年级上·云南红河·期末）第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设该球队胜了场，则平了场，根据题意得，读懂题意，列出方程是解题关键．
【详解】解：设该球队胜了场，则平了场，
根据题意列方程为：，故选：．
6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，
∴借调后甲施工队有位工人，乙施工队有位工人．
根据题意得：．故选：B．
7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，根据“参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人”即可求解．解题的关键是找到正确的等量关系．
【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，
由题意可得，，故选：D．
8．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．98 C．126 D．161
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为x，根据题意列出方程求解即可判断，
解题的关键是正确找出题中的等量关系．
【详解】设最中间的数为x，
∴这7个数分别为、、、x、、、，
∴这7个数的和为：，
当时，此时，当时，此时，
当时，此时，当时，此时，
由图可知，当时，右面没有数字，∴时不符合题意，故选：C．
9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据孩童人数不变列方程即可．
【详解】解：由题意可列方程．故选B．
10．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程应用，涉及有理数的加法，根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，列方程即可求出a的值，从而得到答案．
【详解】解：根据题意：，解得：，故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米．
【答案】240
【分析】本题考查行程问题，设A ，B 两地相距千米，根据客车走的路程进行列方程，解方程即可．
【详解】解：设A，B 两地相距千米，第一次相遇时客货两车走过一个x，其中客车走过100千米，第二次相遇时俩车共走过，其中客车走过千米，同时可知客车走过的路程为千米，
则解得，即A，B 两地相距千米，故答案为：240．
12．（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿．
【答案】8
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面，根据每小时加工桌腿的总数量等于加工桌面总数量的4倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设该车间应安排名工人加工桌腿，则安排名工人加工桌面，
根据题意得：，解得：，
该车间应安排8名工人加工桌腿．故答案为：8．
13．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可．
【详解】设最低分做对的题目数题，则做错题，
由题意得，，解得，∴低分做对的题目数10题，
∵每个人的得分都不相同，
∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19，
因此第一名至少得：（分），故答案为：．
14．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米．
【答案】130
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可．
【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，
根据长方形展板上下对边相等，得，解得，
展板的长是（米），展板的宽是（米），
长方形展板的面积是（平方米）．故答案为：130．
15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69．
【答案】23
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得：
解得：；故答案为：23．
16．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可．
【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人．
根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：，
故答案为：．
17．（23-24七年级·上海徐汇·期中）2019年起我国个人所得税起征点有新调整，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累加计算：（本题不计算规定中的抵扣部分）
全月应纳税所得额 税率
不超过3000元的部分
超过3000元到12000元的部分
超过12000元到25000元的部分
（纳税款应纳税所得额对应的税率）按此规定解答下列问题：
如果小丽的爸爸三月份应缴交所得税款540元，那么他三月份的工资、薪金是 元．
【答案】12500
【分析】设他三月份的工资、薪金是x元，先通过计算判断出小丽的爸爸三月份的应纳税所得额超过3000元而不超过12000元，则他三月份的纳税款为元，可列方程，解方程求出x的值即得到问题的答案．
【详解】解：设他三月份的工资、薪金是x元，
∵（元），（元），
∴应纳税所得额为3000元、12000元时的纳税款分别为90元、990元，
∵90元＜540元＜990元，
∴小丽的爸爸三月份的应纳税所得额超过3000元而不超过12000元，
根据题意得，
解得，
∴他三月份的工资、薪金是12500元，
故答案为：12500．
【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示小丽的爸爸三月份的纳税款是解题的关键．
18．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共 千克．
【答案】14
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克，根据早上的粮食是晚上的列出一元一次方程求解．
【详解】解：调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克，
根据题意得，解得，，故答案为：14．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地．
(1)快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____；
(2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？
【答案】(1)120，60，360
(2)经过1小时或3小时或5小时两车相距180km
【分析】本题考查一元一次方程在行程问题中的应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）根据两车同时出发，行驶2h时相遇，相遇地点距地，可知慢车的速度，再根据相遇后再行驶，快车到达地，可得快车的速度，则两地距离可得；
（2）设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则分三种情况列方程求解即可：①两车相遇前；②两车相遇后；③快车到达地，休息后，此时快车再次驶向地，两车有一个相距的时间，根据题意列方程求解即可；
明确行程问题的基本关系式并理清题中的数量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：∵两车同时出发，行驶时相遇，相遇地点距地，
∴慢车的行驶速度为：，
又∵相遇后再行驶，快车到达地，
∴快车行驶了，
∴快车的速度为，
∴、两地的距离是：
故答案为：；；；
（2）解：设从两车出发直至慢车到达地的过程中，经过小时两车相距，则有三种情况：
①两车相遇前：，
解得：；
②两车相遇后：，
解得：；
③时，快车行驶了，
∴快车到达地，休息后，时，
此时两车已经相距：，
∴，
解得：．
答：经过小时或小时或小时两车相距．
20．（23-24七年级下·河北保定·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
北京 a b
上海
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
北京 2 9
上海 3 22
(1)求a，b的值；
(2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？
【答案】(1)，；
(2)64元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由题意列式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：．
答：的值为7，的值为2．
（2）解：由（1）得，，．
（元），
答：小丽需要付64元的快递费．
21．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．
(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
【答案】(1)天
(2)天
【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解；
（）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：，
答：乙工程队单独完成需要天；
（2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，
由题意得，，
解得，
答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠．
22．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)购进甲商品40件，乙商品20件
(2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得、，最后求和即可．
【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
解得：，
则．
答：购进甲商品40件，乙商品20件．
（2）解：设第一天购买乙种商品件，
依题意得，或，
解得或（舍去），
所以第一天购买乙种商品5件．
元，
每件乙种商品售价为80元．
设第二天购买甲种商品件，
依题意得，或，
解得或9，
所以第二天购买甲种商品8或9件，
件或件．
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件．
23．（24-25七年级上·山东·期中）如图是年月份的月历，请解决下列问题：
星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
(1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？
(2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？
(3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？
【答案】(1)竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差
(2)从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差
(3)号
【分析】（）观察月历即可求解；
（）观察月历即可求解；
（）设小明是号出去玩的，根据月历横排相邻各数间的关系列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，找到月历中相邻各数间的关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由月历可得，竖排相邻各数间相差，横排相邻各数间相差；
（2）解：由月历可得，从左上到右下的对角线上相邻各数间相差，从右上到左下的对角线上相邻各数间相差；
（3）解：设小明是号出去玩的，
由题意得，，
解得，
答：小明是号出去玩的．
24．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：
方案一：全部运动装八五折销售；
方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售．
(1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？
(2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？
【答案】(1)该班购买的男款运动装套．
(2)按方案二购买更合算
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可．
（2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可．
【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得
答：该班购买的男款运动装套．
（2）按方案一购买需：（元）
按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装
（元）
∵
∴按方案二购买更合算．
25．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．
(1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方．
(2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________；
(3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由．
(4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________．
【答案】(1)见解析（答案）(2)3(3)能，见解析(4)或
【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，抓住幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．
（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可；
（2）根据规则知，据此求解可得x的值；
（3）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等解答即可；
（4）根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和，可得每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等．图中有四个三角形，四个三角形上的数字相加后，中间正方形四个顶点上的数字之和就多算了一遍，所以所给的8个数字的和除以3即可得到每个三角形三个顶点的数字之和，代入求解即可．
【详解】（1）解：如下表：
6 1 2
3 7
4 5 0
（2）由题意知，解得，故答案为：3；
（3）解：∵，
∴只要使每行、每列、每条对角线上的三个数的和为33即可．
如下表：
12 3 18
17 11 5
4 19 10
（4）解：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等，
每个三角形的三个顶点上的数字之和，
，，
，，，
所给的数剩下7，6，3，2，，，
，，，或，，，，
或，
或
故答案为∶或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题5.5.一元一次方程的应用
1、体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题；
2、借助立体或平面图形（边长、周长、面积、体积等）学会分析复杂问题中的数量和等量关系。
3、通过生活实例，了解成本、售价、利润、利润率之间的数量关系；
4、能在具体打折问题中找准等量关系，列出方程并求解。
5、借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题；
6、熟悉路程问题中的速度、路程、时间之间的关系，从而实、现从文字语言到图形语言，从图形语言到符号语言的转化。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.行程问题 3
考点2.配套问题 4
考点3.工程问题 4
考点4.销售（利润）问题 5
考点5.比赛积分 6
考点6.方案优化与选择 7
考点7.数字与日历问题 9
考点8.分段计费问题 10
考点9.和差倍分问题 12
考点10.数学文化问题 12
考点11.几何图形问题 13
模块3：能力培优 15
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．
由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
2.建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽；长方形周长=2（长+宽）；正方形面积=边长×边长；正方形周长=4边长。
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价；速度×时间=路程；工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
考点1.行程问题
例1．（24-25七年级上·浙江·期中）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆．
变式1．（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是．
求：(1)船在静水中的平均速度；(2)甲、乙两地之间的距离．
考点2.配套问题
例1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？
变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？
考点3.工程问题
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元．
(1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天；
(2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数；(3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由．
变式1．（23-24七年级·广东·期中）完成某项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成.现在甲先做了天，乙再参加合做，求完成这项工程甲、乙合做了多少天若设完成此项工程甲、乙合做了天，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
考点4.销售（利润）问题
例1．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？
变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同．
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？
变式2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元．(1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？(2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值．
考点5.比赛积分
例1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）：
小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：
(1)从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积_______分；
(2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．
变式1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场．
变式2．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）七（1）班组织生活小常识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息解答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
①号 20 0 100
②号 19 1 94
③号 18 2 88
④号 16 4 76
⑤号 10 10 40
(1)如果参赛者⑥号得分为64分，那么他答错了几道题？
(2)如果参赛者⑦号说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由．
考点6.方案优化与选择
例1．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式：
种类 购票方式
A 一次性使用门票，每张15元
B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票
C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票
(1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示）
(2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明．
(3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用．
变式1．（23-24七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）：
(1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）；
(2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
变式2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：
计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．
(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？
(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？
(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？
考点7.数字与日历问题
例1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列按一定规律排列的三行数：
第一行：，4，，16，…：
第二行：0，6，，18，…；
第三行：，2，，8，…
解答下列问题：(1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________．
(2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________．
(3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由．
变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）我国公民的“身份号码”共有18位数字，它是由6位区域码，8位出生日期码，3位顺序码，1位校验码构成．例如，某公民的身份号码如图①所示，其中最后一位“X”不是英文字母，而是罗马数字，表示10．
校验码是按照特定的算法得来的，计算方法为：
第一步：将身份号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如下表所示：
回答下列问题：
(1)某人身份号码为“”，若A的值为4，则校验码B的值为_________；若校验码B的值为8，则A的值为_________．
(2)某人身份号码为“”，已知D的值是C的值的2倍，请写出最后的校验码E的值，并说明理由．
(3)如图②，图示中的身份号码被磨损掉了两个数字，若它们的差为1，请直接写出被磨损掉的两个数字．
余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题：
(1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？
(2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由；
考点8.分段计费问题
例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过12的部分 a元/
超过12但不超过20的部分 元/
超过20的部分 元/
(1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）
(2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示）
(3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示）
变式1．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元．
(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？
(2)试写出y与间的表达式；
(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？
变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量 单价（元度）
不超过50度的部分
超过50度但不超过200度的部分
超过200度的部分
已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）
一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份
根据上述数据，解答下列问题：
(1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元；
(2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？
考点9.和差倍分问题
例1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的．
(1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？
(2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？
(3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？
变式1．（24-25七年级上·浙江·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？
考点10.数学文化问题
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．
变式1．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
变式2．（23-24七年级上·浙江·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人．(1)求该房客大人，小孩各有多少人？(2)假设店主李三公推出两种订房方案：
方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，
方案二：大人原价，小孩半价．
若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？
考点11.几何图形问题
例1.（2024·陕西·西安七年级期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽6厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
变式1．（2023·浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是．
变式2．（2023·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（ ）
甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系．
A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形．若将直角三角形锐角顶点处的一个钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则钉成的长方形的面积是（ ）
A．32 B．36 C．32或36 D．24或48
2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（ ）
A． B．C． D．
3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（ ）
A．8 B．14 C．10 D．12
4．（2024七年级上·山东·专题练习）某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作，则正好按期完工．问该工程的工期是几天？设该工程的工期为x天．则方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·云南红河·期末）第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（ ）
A．63 B．98 C．126 D．161
9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方、在金庸先生的武侠著作《射雕英雄传》中的女主角黄蓉曾破解九宫格，口诀为：“二四为肩，六八为足，戴九服一，左七右三，五居中央”，如图①就是这个幻方，图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）客、货两车同时从A、B两地相向而行，在距A地100千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距B地60千米处第二次相遇．A、B两地相距 千米．
12．（2024·山西长治·模拟预测）某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿．1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿．
13．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 分．
14．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米．
15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为 时，三个日期数之和为69．
16．（23-24七年级上·江西抚州·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ．
17．（23-24七年级·上海徐汇·期中）2019年起我国个人所得税起征点有新调整，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累加计算：（本题不计算规定中的抵扣部分）
全月应纳税所得额 税率
不超过3000元的部分
超过3000元到12000元的部分
超过12000元到25000元的部分
（纳税款应纳税所得额对应的税率）按此规定解答下列问题：
如果小丽的爸爸三月份应缴交所得税款540元，那么他三月份的工资、薪金是 元．
18．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共 千克．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·河北沧州·期中）一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从B地匀速驶往A地，两车行驶时相遇，相遇地点距B地．相遇后再行驶，快车到达B地，休息后立即以原速返回，驶往A地．
(1)快车的速度是_____，慢车的速度是_____；A、B两地的距离是_____；
(2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过几小时两车相距？
20．（23-24七年级下·河北保定·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
北京 a b
上海
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
北京 2 9
上海 3 22
(1)求a，b的值；(2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？
21．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天．(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
22．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为．
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？
(2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
23．（24-25七年级上·山东·期中）如图是年月份的月历，请解决下列问题：
星期天 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
(1)竖排相邻各数间有什么关系？横排相邻各数间有什么关系？
(2)从左上到右下的对角线上相邻各数间有什么关系？从右上到左下的对角线上相邻各数间有什么关系？
(3)暑假期间小明和家人外出游玩天，这天的日期之和是，小明是几号出去玩的？
24．（23-24七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：方案一：全部运动装八五折销售；方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售．
(1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？
(2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？
25．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）【阅读思考】在一个的方格中写9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，得到的的方格称为三阶幻方．例如图1就是一个三阶幻方．
(1)在图2是的空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方．
(2)如图3是一个三阶幻方，根据方格中已给的信息，得到________；
(3)如图4是某月的日历，将带阴影的方框中的9个数（如图所示）重新排列能否构成一个三队幻方？ 如能，请在备用图中构造三阶幻方；如不能，请说明理由．
(4)如图5，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， 构成一个“异幻方”，现将，，，2，3，4、6，7填入图6构成“异幻方”，部分数据已填入，则 ________．
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