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专题5.6.第5章 一元一次方程 章末检测
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意；
D、不是方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）若，，为有理数，则下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
【答案】C
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，各个选项均根据等式的基本性质进行变形，然后判断即可．
【详解】解：A．∵，根据等式的基本性质，两边同时减4得：，∴此选项计算正确，故不符合题意；
B．∵，根据等式的基本性质，两边同时乘c得：∴此选项计算正确，故不符合题意；
C．∵，根据等式的基本性质，两边同时除以4得：，∴此选项计算错误，故符合题意；
D．∵，根据等式的基本性质，两边同时除以得，此选项计算正确，故不符合题意；
故选：C．
3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如果是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把代入方程，再解一元一次方程即可得出答案．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴
∴，
故选：B.
4．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．由，合并同类项，得
B．由，去括号，得
C．由，移项，得
D．由，去分母，得
【答案】D
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由，合并同类项，得；故选项错误；
B、由，去括号，得；故选项错误；
C、由，移项，得，故选项错误；
D、由，去分母，得，故选项正确；
故选D．
5．（23-24七年级广东·期中）解方程时，第一步变形相对较好的方法是（ ）
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并同类项
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次方程步骤，根据方程特点，可判断第一步变形相对较好的方法，即可解题．
【详解】解：根据题意可得：先去括号比较简单，因为去括号能进行约分，使后续解题步骤计算变得比较简单．故选：B．
6．（24-25七年级上·全国·课后作业）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（ ）
A．200套 B．201套 C．202套 D．203套
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确用代数式表示生产的甲种零件的个数和乙两种零件的个数及所配成的套数是解题的关键．
设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，由每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列方程求解即可．
【详解】解：设分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，可生产甲种零件个，乙种零件个，
根据题意得：，解得：（人），
所以每天最多生产的配套零件的套数为：套．
故选：A．
7．（2024·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
【答案】D
【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可．
【详解】根据题意得=-4m-2×7，
∵=6，∴-4m-2×7=6，解得m=-5．故选：D
【点睛】本题考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程．
8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ）
A．5道 B．6道 C．7道 D．8道
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设出答对的题数，利用答对的题数得分不答或答错题的得分分，列出方程进行求解．
【详解】解；设答对的题数为x道
故：
解得：．
故选：D．
9．（2023秋·浙江·七年级专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．答：“？”处应放〇的个数是3个．故选：C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
10．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如下是某月的月历，竖着取连续的三个数字，它们的和可能是（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
A．18 B．33 C．38 D．75
【答案】B
【分析】此题考查元一次方程的应用，首先设出中间一个数为：，则它上面的数是，下面的数是，三个数的和为3的倍数，再根据每个选项分别计算即可．
【详解】解：设中间一个数为：，则它上面的数是，下面的数是，
∴竖着取连续的三个数字和为，
A、当时，解得，此时，，不合题意；
B、当时，解得，此时，，符合题意；
C、当时，解得，不是整数，不合题意；
D、当时，解得，此时，，不合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·重庆·课后作业）试写出一个解为的一元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的含义是解题的关键．
根据一元一次方程的解确定一元一次方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
12．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于x的方程的解为，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；所以此题可把代入求解即可．
【详解】解：把代入方程，
得，
∴，
∴；
故答案为：．
13．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：2．
14．（24-25七年级上·浙江·期中）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于x的方程是解题关键．
根据方程的解满足方程，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：设常数为x，由题意，得
解得，
故答案为：3．
15．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键；
根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：
一元一次方程无解，
，
．
16．（24-25七年级上·云南昆明·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ．
1 9
m
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于的一元一次方程，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
．
故答案为：．
17．（23-24九年级下·重庆·自主招生）参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是，在第一轮中被淘汰的男女生人数之比是，所有参加第二轮比赛的91人其中男女生人数之比是，第一轮比赛的学生共有 人．
【答案】119
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第一轮比赛中男生 人，女生 人，第二轮参赛的男生的人数为（人），第二轮参赛的女生的人数为（人），再列出方程式即可求得．
【详解】设第一轮比赛中男生 人，女生 人，
第二轮参赛的男生的人数为（人），
第二轮参赛的女生的人数为（人），
则第一轮参赛的男生的人数为人，
第一轮参赛的女生的人数为人，
根据题意可得，
，
解得：，
则．
故答案为：119．
18．（23-24七年级上·北京西城·期中）如图，将9个数放入“”内，使得每条边上3个“”内数字之和相等，分别记这9个数为：a、b、c、d、e、f、m、n、k，可以得到：则用等式表示b、c、e、f四个数之间的数量关系是 ，a、m、d三个数之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质．找到含有要确定数量关系的各数的等式，进行适当变形是解题关键．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
由②得：
将③代入①得：
即：
故答案为：①；②
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：
(1) (2) (3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程步骤，正确计算是解题的关键；
（1）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
【详解】（1）解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
即；
（2）解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
即；
（3）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
即．
20．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）小周学习《5．2等式的基本性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
将等式变形
得（第①步）
∴（第②步）
(1)哪一步等式变形产生错误？
(2)请你分析产生错误的原因．
【答案】(1)第二步等式变形错误
(2)等式两边同时除以一个可能等于零的m
【分析】（1）根据等式的性质可知错误发生在第二步；
（2）根据等式的基本性质即可解答．
【详解】（1）第二步等式变形产生错误．
（2）第二步产生错误的原因是：等式两边同时除以一个可能等于零的，等式不成立．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，根据等式的性质是解决本题的关键．
21．（23-24七年级上·河南郑州·期末）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；
②；
③；
④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；
（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；
（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析，
【分析】（1）观察方程，可得出规律；
（2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可；
（3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程
【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可））
（2）正确．
验证如下：
把代入到方程中，左边，
右边，所以是方程的解，小明的推测正确．
第四个方程为．
（3）（为正整数，且）．
【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键．
22．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如．
(1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由．
(2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ．
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)，
【分析】（1）本题考查等式的性质，直接将，代入式中计算即可判断；
（2）本题考查等式的性质，只需写出一组，代入等式中成立即可．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
把，分别代入原等式左右两边，
左边，
右边，
左边＝右边，
成立；
（2）解：当，，
左边，
右边，
左边＝右边，
成立；
故答案为：，（答案不唯一）
23．（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动．
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列
第一行 1 2 3 4 5 6
第二行 7 8 9 10 11 12
第三行 13 14 15 16 17 18
第四行 19 20 21 22 23 24
第五行 25 26 27 28 29 30
…… ……
(1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ．
(2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？
(3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由．
【答案】(1)153
(2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍
(3)第62行，第4列
【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键．
（1）根据表格列式求解即可；
（2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可；
（2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍．
（3）解：设方框正中心数为，
由题意，得，
∴，
∵第1行最后一个数是，
第2行最后一个数是，
第3行最后一个数是，
…，
∴第n行最后一个数是，
∴第61行最后一个数是，
∴370落在第62行，第4列．
24．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？
【答案】100套
【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张），
椅子：（张）；
乙厂每天生产课桌：（张），
椅子：（张）；
设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套．
根据题意可得方程：
，
，
，
；
（套），
（套），
答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套．
25．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；
乙种商品每件进价40元，售价60元．
(1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】(1)，
(2)购进甲种商品件．
(3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件．
【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题：
（1）根据利润率的定义求解即可．
（2）设购进甲商品件，根据题意可得．
（3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况．
【详解】（1）(元)
故答案为：，．
（2）设购进甲商品件．
根据题意可得
．
解得
．
答：购进甲种商品件．
（3）设打折前应付款为元．
第一天，购买甲商品：
当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．
当时，由，得，商品件数为(件) ．
第二天，购买乙商品：
当时，由，得(元)，舍去．
当时，由，得，商品件数为(件) ．
当时，商品件数为(件) ，舍去．
两天一共购买的商品件数为(件) ．
答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件．
26．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表：
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量 单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分 2
超出6立方米不超出10立方米的部分 4
超出立方米的部分 8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元）
请根据上表的内容解答下列问题：
(1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费______元；
(2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费______元（结果需化简）
(3)若某户居民3月份交水费元，则3月份用水量为______立方米；
(4)若某户居民两个月共用水立方米（6月份用水量超过了立方米），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民两个月共交水费多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)元或元
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减应用，正确的列出式子和方程，是解题的关键．
（1）根据用水7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答；
（2）根据，结合水费收费标准表，即可列式作答；
（3）先算出刚好用立方米的水费，发现交水费元的用水量大于立方米，故设该月用水量为立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答；
（4）若5月份用水立方米，则6月份用水立方米，且，结合水费收费标准表，即可列式作答．
【详解】（1）由题意可知，（元），
2月份用水7立方米，应收水费元．
（2），
（元），
用水立方米，应收水费元．
（3）由题意可知，当用水量刚好为立方米时，
水费为，
3月份用水量超过立方米，
设该月用水量为立方米，
则水费为，
整理得，
解得，
3月份用水量为立方米．
（4）若5月份用水立方米，
则6月份用水立方米，
6月份用水量超过了立方米，
，即，
当时，月份水费为（元），
月份水费为（元），
此时两个月共交水费（元），
当时，月份水费为（元），
月份水费为（元），
此时两个月共交水费（元），
综上所述两个月共交水费为元或元
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专题5.6.第5章 一元一次方程 章末检测
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）若，，为有理数，则下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
3．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如果是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级上·湖南湘西·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．由，合并同类项，得
B．由，去括号，得
C．由，移项，得
D．由，去分母，得
5．（23-24七年级广东·期中）解方程时，第一步变形相对较好的方法是（ ）
A．去分母 B．去括号 C．移项 D．合并同类项
6．（24-25七年级上·全国·课后作业）某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，通过合理安排，分配恰当的人数生产甲或乙种零件，可以使得每天生产的配套零件最多，最多为（ ）
A．200套 B．201套 C．202套 D．203套
7．（2024·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8 B．－2 C．2 D．－5
8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（ ）
A．5道 B．6道 C．7道 D．8道
9．（2023秋·浙江·七年级专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如下是某月的月历，竖着取连续的三个数字，它们的和可能是（ ）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
A．18 B．33 C．38 D．75
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·重庆·课后作业）试写出一个解为的一元一次方程： ．
12．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于x的方程的解为，则a的值为 ．
13．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个．
14．（24-25七年级上·浙江·期中）有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是 ．
15．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ．
16．（24-25七年级上·云南昆明·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则 ．
1 9
m
17．（23-24九年级下·重庆·自主招生）参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是，在第一轮中被淘汰的男女生人数之比是，所有参加第二轮比赛的91人其中男女生人数之比是，第一轮比赛的学生共有 人．
18．（23-24七年级上·北京西城·期中）如图，将9个数放入“”内，使得每条边上3个“”内数字之和相等，分别记这9个数为：a、b、c、d、e、f、m、n、k，可以得到：则用等式表示b、c、e、f四个数之间的数量关系是 ，a、m、d三个数之间的数量关系是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程：
(1) (2) (3)．
20．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）小周学习《5．2等式的基本性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
将等式变形
得（第①步）
∴（第②步）
(1)哪一步等式变形产生错误？(2)请你分析产生错误的原因．
21．（23-24七年级上·河南郑州·期末）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程：
①；
②；
③；
④…
（1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；
（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由；
（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？
22．（23-24七年级上·安徽六安·期中）一般情况下是不成立的，但有些数，可以使得它成立，例如．
(1)当，时，成立吗？请通过计算说明理由．
(2)除了上面的，取值外，请列举一组能使得成立的，值． ， ．
23．（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动．
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列
第一行 1 2 3 4 5 6
第二行 7 8 9 10 11 12
第三行 13 14 15 16 17 18
第四行 19 20 21 22 23 24
第五行 25 26 27 28 29 30
…… ……
(1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ．
(2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？
(3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由．
24．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？
25．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元．(1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______．(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？(3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过380元 不优惠
超过380元，但不超过500元 售价打九折
超过500元 售价打八折
按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
26．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表：
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量 单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分 2
超出6立方米不超出10立方米的部分 4
超出立方米的部分 8
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元）
请根据上表的内容解答下列问题：(1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费______元；
(2)若某户居民4月份用水立方米（其中），请用含的代数式表示应收水费__元（结果需化简）
(3)若某户居民3月份交水费元，则3月份用水量为______立方米；
(4)若某户居民两个月共用水立方米（6月份用水量超过了立方米），设5月份用水立方米，请用含的代数式表示该户居民两个月共交水费多少元？
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