(共30张PPT)
义务教育教科书（浙教）九年级数学下册
第2章 直线与圆的位置关系
在我们的生活中到处都蕴含着数学知识，下面请同学们欣赏 海上日出
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？
a(地平线)
作一个圆，把直尺边缘看成一条直线.固定圆，平移直线仔细观察，直线和圆的公共点个数如何变化？有几种情况？
a(地平线)
●O
●O
●O
(1)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.
（2）直线和圆有有唯一公共点,叫做直线和圆相切,这条直线叫
圆的切线，这个公共点叫切点。
（3）直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离
看图判断直线l与⊙O的位置关系
（1）
（2）
（3）
（4）
相离
相交
相交
？
l
l
l
l
·O
·O
·O
·O
（4）
？
l
·O
如果公共点的个数不好判断，该怎么办？
“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析（量化）？
1.点和圆的位置关系有哪几种？
dd=r
d>r
2.点与圆的位置关系是根据 和 的大小来判断的。
点到圆心的距离
·
点在圆内
r
O
点在圆上
·
r
O
点在圆外
·
r
O
半径
·
类比点与圆的位置关系的判定，你认为直线与圆的位置关系可以根据 和 的大小来判断？
圆心到直线的距离
半径
验证猜想：
如图，⊙O的半径为2cm，设d为圆心到直线的距离，
（1）当d=3cm时，则⊙O与直线的位置关系是_____.
（2）当d=2cm时，则⊙O与直线的位置关系是_____.
（3）当d=1cm时，则⊙O与直线的位置关系是_____.
·
·
·
实例验证：依据题目条件画出直线 ，并回答相关问题
·
·
·
d=3cm 相离
d=2cm 相切
d=1cm 相交
如图，⊙O的半径为2cm，设d为圆心到直线的距离
（1）当d=3cm时，则⊙O与直线的位置关系是 _____.
（2）当d=2cm时，则⊙O与直线的位置关系是 _____.
（3）当d=1cm时，则⊙O与直线的位置关系是 _____.
① d> r
② d= r
③ d< r
如果将⊙O的半径用r表示，圆心到直线的距离为d
特殊到一般，结论推广：
直线 与⊙O相离；
直线 与⊙O相切；
直线 与⊙O相交。
提问：由圆心到直线的距离d和圆半径r间的数量关系可以判定直线与圆的位置关系，反过来，由直线与圆的位置关系可以得到d与r间的数量关系吗？
d
d
d
.O
O
O
r
r
r
相离 d>r
相切 d=r
相交 d.A
B
C
D
E
.F
N
H
Q
·
·
·
①直线 与⊙O相离 d> r；
②直线 与⊙O相切 d= r；
③直线 与⊙O相交 d< r 。
直线与圆的位置关系性质：
温馨提示：
用性质判断直线与圆的位置关系关键是要知道 和 ；
d
r
1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.根据下列条件判断直线l与⊙O的位置关系.
（1）d=4,r=3；
∵ d ＜ r∴直线l与⊙O相交
∵d＝r∴直线l与⊙O相切
∵d＞ r∴直线l与⊙O相离
（2）d= , r= ；
3
2
（3）d= , r = ；
2
3
3
5
∵d＞ r∴直线l与⊙O相离
√
2
5
（4）d= ,r= ；
√
2
5
3)若AB和⊙O相交,则 .
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
d > 5cm
d = 5cm
d < 5cm
0cm≤
例1：已知：如图，P为∠ABC的角平分线上一点，⊙P与BC相切.
求证：⊙P与AB相切.
证明：设⊙P的半径为r, 点P到BC，AB的距离分别为d1,d2.
∵点P在ABC的角平分线上，
∴ d1=d2.
又⊙P与BC相切.
∴ d1=r,则d2=r.
∴ ⊙P与AB相切
例2：如图，在码头A的北偏东60°方向有一个海岛，离该岛中心P的12海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A由西向东方向航行，行驶了10海里到达B，这时岛中心P在北偏东45°方向。若货船不改变航向，问货船会不会进入暗礁区？
A
B
P
H
60°
45°
12
北
10
解:如图,作PH⊥AB,垂足为H.
则∠PAH=30°∠PBH=45°，
∴货船不会进入暗礁区
∴AH= PH, BH=PH
√3
∵AH-BH=AB=10
∴ PH-PH=10
√3
10
-1
√3
PH= ≈13.66(海里) .
∵13.66＞12
A
B
P
H
60°
45°
12
北
10
分析
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。
B
C
A
D
4
5
3
2.4cm
解：过C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，
AB= =
=5（cm）
根据三角形面积公式有
CD·AB=AC·BC
2
2
2
根据直线与圆的位置关系的数量特征，必须用圆心到直线的距离d与半径r的大小进行比较；
关键是确定圆心C到直线AB的距离d，这个距离是什么呢？怎么求这个距离？
解：过C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB=
5
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时,
有d>r,
因此⊙C和AB相离。
B
C
A
4
3
D
d
（2）当r=2.4cm时,
有d=r,
因此⊙C和AB相切。
（3）当r=3cm时，
有d因此，⊙C和AB相交。
B
C
A
4
3
D
B
C
A
4
3
D
d
d
B
C
A
D
变式：若要使圆C与AB所在直线只有一个公共点，这时圆C的半径 r 有什么要求？
３
４
当 r = 2.4
或 3 < r ≤ 4时，圆C与线段AB只有一个公共点。
线段AB
a(地平线)
a(地平线)
●O
●O
●O
日出而作日落而息该是知识归类了
总结：1、直线与圆的位置关系：
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
（1）由________________ 的个数来判断；
（2）由___________________________ 的
数量大小关系来判断．
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径r
1、Rt △ABC中，斜边AB=6cm，AC=3cm，以C为圆心，2cm为半径的圆与AB的位置关系 ，以4cm为半径的⊙C与AB的位置关系是 ，若直线AB和圆相切，则半径长应为 。
2、以边长为2cm的等边三角形的顶点为圆心， cm 为半径的圆一定与第三边相切。
选做：
1、在△ABC中，AC=BC=2cm， ⊙C半径为1 cm，当∠ACB= 时，直线AB与⊙C相切；当∠ACB满足 时，直线AB与⊙C相交；当∠ACB满足 时，直线AB与⊙C相离。
2、已知∠AOB= 30°，在OB边上有一点P，OP=5cm，若以P为圆心，R为半径作圆，与射线OA相交于M、N两点，求R取值范围。
A.(-3,-4)
O
x
y
3.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_____, y轴与⊙A的位置关系是_____。
B
C
4
3
相离
相切
-1
-1
用数学的眼光看生活
用数学的眼光看生活(共12张PPT)
义务教育教科书（浙教）九年级数学下册
第2章 直线与圆的位置关系
——切线的判定
一条直线和⊙O有哪些位置关系？
相交
相离
相切
（两个交点）
（一个交点）
（零个交点）
一条直线和⊙O的公共点个数有哪些？
如图，已知点A是⊙O上一点，过A作OA的垂线L，这样的直线有几条？ 直线L与⊙O的位置关系怎样？为什么？
L
A
O
d
r
特征一：直线L经过半径OA
的外端点A
特征二：直线L垂直于半径OA
d = r
相切
切线的判定方法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
l
A
O
O
l
A
O
l
A
O
l
A
O
判断下图直线L是否是⊙O的切线？
并说明为什么。
证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端
②垂直于这条半径。
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工件飞 出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的．
温馨提示：1. 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2 .砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
例3：
如图A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,AB=BC,∠A=30°。
求证：AB是⊙O的切线。
B
A
C
O
30°
已知：直线AB经过⊙O上的
点C，并且OA=OB,CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
B
C
例4 如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30O方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？
如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30O方向移动,受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市
A（200，380），
B（600，480），
C（550，300），
D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？
P
A
B
C
D
已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O，
求证：⊙O与AC相切
D
C
A
B
O
∟
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
⑴.经过半径外端的直线是圆的切线。
⑵.垂直于半径的直线是圆的切线。
⑶.过直径的外端并且垂直于这条直径的
直线是圆的切线。
⑷.和圆只有一个公共点的直线是圆的切
线。
⑸.以等腰三角形的顶点为圆心，底边上
的高为半径的圆与底边相切。
判断下列命题是否正确。
（×）
（×）
（√）
（√）
（√）(共16张PPT)
义务教育教科书（浙教）九年级数学下册
第2章 直线与圆的位置关系
——切线的性质
经过半径的外端，并且垂直这条半径的直线是圆的切线
直线和圆相切的判定定理:
这个定理不仅可以用来判定圆的切线，还可以依据它来画切线.
∵l⊥OA，且OA是⊙O的半径
∴l 是⊙O的切线
O
l
A
A
O
T
① OA与AT垂直吗？
问：
已知直线AT切⊙O于点A（切点）,连结OA，则OA是半径.
经过切点的半径垂直于圆的切线
A
O
T
②过点A作AT的垂线，垂线过点O吗？
问：
已知直线AT切⊙O于点A（切点）,连结OA，则OA是半径.
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
一般地,
圆的切线有如下的性质:
经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
（判定垂直）
（判定半径或直径）
∵⊙O与AT相切于点A
∴OA⊥AT
∵⊙O与AT相切于点A,PA⊥AT,交圆于P点
∴AP是圆的直径
A
T
O
P
几何语言
⑴经过半径外端的直线是圆的切线。
判断下列命题是否正确：
（×）
（×）
（√）
（√）
（√）
⑸以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。
⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
⑵垂直于半径的直线是圆的切线。
例5 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径.
O
A
B
C
D
解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于D.
∵AB⊥BC,AD⊥OC
∴四边形ABCD是矩形
∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB
在Rt△ADO中,
即
解得:r=20
答: ⊙O的半径为20cm
连结过切点的半径是常用的辅助线
∵⊙O与BC相切于点C.
∴OC⊥BC
2、如图，AT切⊙O于点A，AB⊥AT，交⊙O于点B，BT交⊙O于点C。已知∠B=300，AT= 。求⊙O的直径和弦BC的长。
1、如图，直线l切⊙O于点P，弦AB∥l，请说明 的理由
圆的切线垂直于经过切点的半径
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
3.如图,AB切⊙O于点B,割线ACD经过圆心O,若∠BCD=700, 则∠A的度数为( )
A.20° B.50° C.40° D.80°
A
B
O
C
D
B
4、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,求⊙O的半径。
例6 如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD.求证:
C
B
A
O
D
E
证明:作OE⊥DC于点E,
∵△ODC是等腰三角形
∴∠ACD=∠COE=900-∠OCE
∵⊙O与AB相切于点C
∴OC⊥AB
1、如图：PA,PC分别切圆O于点A,C两点,B为圆O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,求∠ABC的度数。
2、如图，已知：AB与⊙O相切于点C ，OA=OB，⊙O的直径为6cm ,AB=8cm,则OA=_____cm.
C
若AB等于6cm，则∠AOB=_______.
5
90°
3、如图，∠APＣ=50°，PA、PC、DE都为⊙O的切线，则∠DOE为 。
变式：改变切线ＤＥ的位置，则∠DOE＝ ；
Ｆ
65°
65°
归纳：只要∠APＣ的大小不变，∠DOE也不变．
１．切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
２．切线性质的应用：
常用的辅助线是连接半径．
综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
１、如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G， ⊙O 是△CGF的外接圆；
求证：CE是⊙O的切线。
2、如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D，E,连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说明理由。
C
B
A
O
D
E
若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，能否求出图中其它线段的长度？
F
3、先按要求操作：AB 为⊙O的直径，在⊙O上任取一点C(不与A、B重合)，过点C画⊙O的切线，过点A作过点C的切线的垂线，垂足为D，交BC的延长线于点E。连结AC。
根据上述操作及已知条件，在图中找出一些相等的线段和角，并证明你所得到的结论。
