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第四章：相似三角形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故选择：．
2.答案：D
解析：是斜边AB上的高，
由射影定理得：,
由△ADC∽△ACB得：,
∴A,B,C三个选项均正确，D选项错误，
故选择：D
3.答案：B
解析：∵AD∶DB=1∶2，
∴设AD=a，则BD=2a，AB=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=3a，∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠得CE=DE，CF=DF，∠C=∠EDF=60°，
∵∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB，即60°+∠AED=60°+∠FDB，
∴∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD，
∴，
设CE=x，则ED=x，AE=3a-x，
设CF=y，则DF=y，FB=3a-y，
∴，
∴，
∴
故选择：B.
4.答案：D
解析：点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
故选择D
5.答案：D
解析：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=8．
在Rt△EBC中，BC=．
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴，即，
解得：OF=．
故选择：D．
6.答案：C
解析：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选择：C．
7.答案：B
解：过A作轴于点M，过B作轴于点N，
则，
∴，
∵，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵B在上，
∴①，
设平行四边形边上的高为h，
则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴②，
联立①②，解得：，
∴，
故选择：B．
8.答案：C
解析：如图，连接OC，
根据反比例函数的中心对称性质，得 OA=OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，∠OCA=30°，
∴OC：OA= ，
过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，
∴∠ADO=∠OEC=90°，
∵∠AOD+∠OAD =90°，∠AOD+∠COE=90°，
∴∠OAD=∠COE，
∴△DOA∽△ECO，
∴EC：DO=OE：AD=OC：AD，
∴EC= DO，OE= AD，
设点A（a，b），则DO=a，AD=b，ab=1，
∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（ b，- a），
∵点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，
∴k=（- a）× b= -3ab= -3.
故答案为：C.
9.答案：D
解析：∵四边形是平行四边形，
∴
A. 若，即，又，
∴
∴
∴，故A选项正确，
B. 若，，，
∴是的角平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，
∴
在中，
∴
∴
又∵
∴
∴，故B选项正确，
C. ∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，
∴，
又∵
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴
∴，故C选项正确；
D. 若，则四边形是菱形，
由，且时，
可得垂直平分，
∵
∴，故D选项不正确
故选择：D．
10.答案：C
解析：如图，为点关于的对称点，连接，过点作于点，
与关于对称，
，
，
，
的最小值为，
为等边三角形，为上的高，，，
，平分，点为中点，，，
，，
，
，
，
﹣﹣
，
，
的最小值为，
故选：C．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：2
解：设（），
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴．
故答案为：2
12.答案：5
解析：如图：
中，，放置边长分别为a，b，c的正方形，且，，
，，，
，，
，
，即，
解得：，
故答案为：5
13.答案：
解析：如图，过作交于，
，，
，，
又，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：
14.答案：，．
解析：∵为等边三角形，，
∴，，
∴，，，
作交的延长线于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：，．
15.答案：
解析：连接，过E作于F，设，，
∵，为中点，
∴，又，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，则，又，
∴，
∴，，
∴，
则；
∵是的一条角平分线，
∴，又，
∴，
∴
∴，则，
∴，即，
解得（负值已舍去），
故答案为：．
16.答案：．
解析：四边形和四边形是正方形，
，
，
，
设，，
，
，，
，
，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，
的面积为30，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵，
∴设，代入，得
；
（2）∵，
∴设，代入，得
，
解得，
∴．
18.解析：（1），
，
又平分，
，
；
（2），
，
，
，
（负值舍去）．
20.解析：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得：．
21.解析：（1）证明： ，
，
，
，
， ，
，
在△AEB和△BCO中，
，
；
（2）解：过 作 于 ，过 作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
22.解析：（1）∵中，，，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
，或，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴当与相似时，
一种情况是
，
∴，
∴；
另一种情况是
，
∴，
∴，
故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似．
23.解答：（1）连结，，如图，
是的直径，弦于点，
，
，
．
，，
；
（2）证明：连结，如图．
由（1）可得：是等边三角形，
，
，，
．
又，
，
，即，
；
（3）解：，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
令，，则，
，
，
，即，
（舍去），
，
．
24 .解析：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
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第四章：相似三角形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的
是（ ）
A B. C. D.
2．如图，中，，是斜边的高．下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，是等边三角形ABC的边AB上一点，且.现将折叠，使点与点重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF等于（ ）.
A． B． C． D．
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是
A． B． C．或 D．或
5．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，且，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点A是双曲线y＝ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ （x＞0）上运动，则k的值是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．
9.如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10．如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．已知，且，则
12.中，，三个正方形如图放置，边长分别为a，b，c，
已知，，则
13．如图，已知 ABC中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 .
14.为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则______，______．
15.如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．
16.如图，在正方形中，延长至点，以为边向下画正方形，联结交于点，，联结，．若的面积为30，则的长为
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）．已知：．(1)求代数式式的值；
(2)如果，求a，b，c的值．
18.（本题6分）如图，．
（1）若平分，，求的度数；
（2）若，，求的长．
19（本题8分）正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．(1)求证：；(2)若，求的长．
20（本题8分）．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行．
(1)求证：．(2)求证：四边形为平行四边形．(3)求的长度．
21（本题10分）．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD， ，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，∠ABD＝∠ACB，点E在CB延长线上，且AE＝AC．
（1）求证：△AEB∽△BCO；
（2）当AE∥BD时，求AO的长．
22（本题10分）．在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．(1)当t为多少时，的长度等于？(2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？
23.（本题12分）如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，连结，，．
（1）求的度数．（2）求证：．
（3）令，若，，求的值．
24 .【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
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