2.1 一元二次方程 教学设计（表格式）2024-2025学年浙教版数学八年级下册

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 2.1一元二次方程
教学目标
1.经历一元二次方程概念的发生过程. 2.理解一元二次方程的概念. 3.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 4.提高分析问题、解决问题的能力及合作交流能力.
教学重难点
教学重点：一元二次方程的概念.
教学难点：一元二次方程的一般形式.
教学过程
（一）回顾旧知 判断下列式子是否是一元一次方程： 复习一元一次方程要满足的三个条件：只含有一个未知数，未知数的指数是一次，方程的两边都是整式. 情境导入 将一个容积为 750cm 的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．图中x(cm)应满足怎样的方程？ 分析：分别列出表示长宽高的代数式，长：(30-2x)÷2=15-x(cm)， 宽：x(cm)，高：15(cm)，根据容积列出方程(15- x)x×15=750，整理可 得x -15x+50=0 合作学习 列出下列问题中关于未知数x的方程： (1)把面积为4m 的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两个部分，求正方形的边长. 设正方形的边长为x(m)，可列出方程 　x +3x=4 　. (2)某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的，这种放射性元素平均每天减少率为多少？ 设平均每天减少率为x ，可列出方程： . 探究新知 思考：观察x -15x+50=0、x +3x=4、 这三个方程，说出这些方程与一元一次 方程的相同和不同之处． 相同之处：只含有一个未知数，方程的两边都是整式. 不同之处：一元一次方程所含未知数的最高次数为1次，上述三个方程所含未知数的最高次数为2次. 概念形成 方程x -15x+50=0、x +3x=4、 的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2次.我们把这样的方程叫做一元二次方程. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）. 新知应用 1.判断下列方程是否为一元二次方程： (1) 10x =9 （ ） (2) 2(x-1)=3x （ ） (3) 2x -3x-1=0 （ ） (4) （ ） 归纳一元二次方程满足的三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，方程的两边都是整式. 2.判断未知数的值x=-1，x=0，x=2是不是方程x -2=x的根？ 分析：要判断一个未知数的值是不是方程的根，只需将未知数的值分别代入方程的左边和方程的右边. 解：当x=-1时， 左边= 2=( 1) 2=1 2= 1 右边=x= 1 ∴左边=右边 ∴x=-1是原方程的解 同理可得：x=2是原方程的解， x=0不是原方程的解. 归纳：一般的对于任何一个关于x的一元二次方程，都可以化成ax +bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），这种形式称为一元二次方程的一般形式.其中ax ，bx，c分别称为二次项，一次项和常数项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数. 思考：为什么a≠0？b，c可以为零吗？如果a=0，则这个方程就变为bx+c=0，那么它就不包含二次项，就不是一元二次方程. b和c是可以为零的，因为无论是b=0还是c=0，这个方程的一般形式仍然符合一元二次方程的三个条件，所以它还是一个一元二次方程. 因此在解答一元二次方程的问题时一定要特别注意，二次项系数不能为零. 例题演练 例1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 9x =5-4x. (2) (2-x)(3x+4)=3. 解：(1) 移项，整理，得9x +4x-5=0. 这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5. (2)方程左边多项式相乘，得-3x +2x+8=3， 移项，整理，得-3x +2x+5=0. 这个方程的二次项系数是-3，一次项系数是2，常数项是5. 例2.已知一元二次方程2x + bx+c=0的两个根为和，求这个方程. 解：将和代入方程2x + bx+c=0，得 解得所以这个一元二次方程是2x +x-15=0. 在这里要特别注意，我们写一元二次方程的一般形式的时候，通常按未知数的次数从高到低写，也就是先写二次项，再写一次项，最后写常数项。 变式练习 把化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项 系数和常数项. 所以这个方程的二次项系数是3，一次项系数是-14，常数项是9. （九）深化拓展 1.已知关于x的一元二次方程x +ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：把x=3代入方程x +ax+a=0中，得：9+3a+a=0，∴a= . 2.已知关于x的方程的一个解是x=0，则m的值是多少？该方程是否为一元二次方程？ 解：由题意得：m -1=0，∴m=±1. 当m=1时，这是一元一次方程，当m=-1时，这是一元二次方程. 在这道题目中我们用到了分类讨论思想，也就是原题条件给我们的是一个方程，并没有指明是什么方程时，我们需要对方程中的其他参数进行讨论，也就是它必须满足方程的所有条件，它才能是一个一元二次方程。 （十）课堂小结
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。