3.5 圆周角 教学设计（表格式）2024-2025学年浙教版数学九年级上册

教学设计
课程基本信息
学科 初中数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 3.5圆周角
教学目标
1.理解圆周角的概念. 2.经历探索圆周角定理的过程. 3.掌握圆周角定理和它的推论. 4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
教学重难点
教学重点： 1.圆周角定理. 教学难点： 1.圆周角定理的证明要分三种情况讨论,有一定的难度,是本节课的教学难点.
教学过程
环节一、问题导入，贴近生活 教师活动1： 教师出示问题。一个弓形暗礁区形状如图，∠C=50°.船在航行时怎样才能避开暗礁区 学生活动1：学生根据上节课所学知识，回答问题。学生思考老师提出的问题。 〖设计意图〗从生活实际问题引入，让学生体会数学来源于生活，培养学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。分析 ∠C这个角的特征，引入圆周角的概念。 环节二、圆周角义，层层解析 教师活动2：教师出示问题。观察图中∠BAC 的顶点和边有哪些特点？ 1.圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。 圆周角的两个条件:①角的顶点在圆上，②角的两边都和圆相交． 你能找出图中的圆周角吗？ 2.辨析巩固 判断下列各图中的角哪些是圆周角？请说明理由. 学生活动2：学生思考，回答教师提出的问题。学生在教师的引导下总结圆周角定义。 学生根据所学知识判断下列各图中的角哪些是圆周角。 〖设计意图〗通过例题，加深对知识了解，做到数和形完美结合，经过此题有意训练， 培养学生的思维严密性，为以后能灵活地利用知识处理问题奠定了坚实基础。 环节三、圆周角性，深度洞察 教师活动3：如图，量出圆周角∠AOB与同弧上所对的圆心角∠AOB的度数，两者之间有什么关系？当点C在弧ACB上移动的过程中，∠AOB与圆心O有几种不同的位置关系？量一量每次变化后∠AOB的度数，你发现了什么？给出你的猜想.教师几何画板测量演示。 1.定理的发现 问题1：所对的圆周角有什么关系？ 猜想1：同弧所对的圆周角相等 问题2：同弧所对的圆心角和圆周角之间有什么关系？ 猜想2：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 问题3：如何证明圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半？ 2.定理的证明 分析：由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况给出证明. 证明：(1)当圆心O在圆周角∠BCA的一边BC上时. ∵ OA=OC， ∴ ∠A=∠C. ∵ ∠AOB是△OAC的外角， ∴ ∠AOB= ∠A+∠C=2∠C， ∴ ∠C=∠AOB. (2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时，连结CO并延长，交⊙O于点D.利用(1)的结果，有 ∠AOD=∠A+∠ACD=2∠ACD, ∠BOD=∠B+∠BCD=2∠BCD, ∴∠AOB=∠BOD+∠AOD =2(∠BCD+∠ACD) =2∠ACB, ∴∠ACB= ∠AOB. (3)当圆心O在圆周角∠BAC的外部时，连结CO并延长，交⊙O于点D.利用(1)的结果，有 ∠AOD=∠A+∠ACD=2∠ACD, ∠BOD=∠B+∠BCD=2∠BCD, ∴∠AOB =∠BOD－∠AOD =2(∠BCD－∠ACD) =2∠ACB, ∴∠ACB= ∠AOB. 教师方法总结：（1）几何方法.（2）代数方法(方程思想)。本质上利用转化思想，将后两图的证明划归成图1的证明。 学生活动3：学生小组合作，通过测量等方法探究圆周角定理。师生共同完成证明过程。 3.定理的明确 文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 符号语言 ∵∠ACB 和∠AOB都对着 ∴∠ACB=∠AOB 〖设计意图〗学生通过动手量一量，老师几何画板展示，对于圆周角定理的学习，培养学生通过观察、测量、猜想，然后验证的学习模式去探究新知识的模式。训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。 环节四、圆周角理，探究推论 教师活动4：教师出示课本内容，提出问题4，对学生证明过程分析。 1.圆周角定理推论1探究 问题4:（1）若AB是⊙O的直径，半圆所对的圆周角是多少度？ 90° （2）反过来，若∠C是直角，则∠AOB=180°，所以点A，O，B 在一条直线上，AB是⊙O的什么？ 直径 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径. 符号语言 ∵AB是直径，∴∠ACB=90° ∵∠ACB=90°，∴AB是直径 2.圆周角定理推论1的应用 例1 如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E.求，和的度数. 解：如图，连结BE，AD. ∵AB是圆的直径， ∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角). ∵∠BAC=50°， ∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°. 又∵△ABC是等腰三角形， ∴∠ABC=∠C=65°. ∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=×50°=25°. 由圆周角定理，得=2∠BAD=2×25°=50°， =2∠CAD=2×25°=50°，=2∠ABE=2×40°=80°. 学生活动4：学生思考，共同探究圆周角定理的推论。学生根据所学知识解决课本例题。 3.圆周角定理推论2探究 教师活动5：教师出示课本内容，我们知道，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧也相等，所以根据圆周角定理还可以得到另一个推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 问题5:已知∠COA=46°,=求∠E,∠F的度数. 总结：同弧 共同的圆心角 不同的圆周角 〖设计意图〗让学生自己画一画，量一量，猜一猜，证一证，引导学生自己探究数学知识，激发生的求知欲，同时培养学生数学素养。 4.圆周角推论2全面解读 注意点：在同圆或等圆中，这个大条件是不是每一个结论都需要，第一个结论它是不需要前提条件。但是后面这个结论一定要加前提条件。利用两个大小圆（右图为反例），在大圆和小圆中找两个相等的圆周角很明显这两个圆周角所对的弧是不相等的。 环节五、圆周角理，例题应用 如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上. 找出图中分别与∠1，∠2，∠3 相等的角. ∠1=∠ABD ∠2=∠CAB ∠3=∠CBD 学生活动5：学生根据圆周角定理推论完成课本练习题，通过解决问题理解推论。 例2 已知：如图3-40，△ABC内接于⊙O，∠ACB=2∠ABC，点D平分. 求证:AC=BD. 证明：如图，连结CD. ∵=, ∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等). ∵∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC=∠BCD. ∴=(在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等)， ∴AC=BD. 关键点：是找到所对的弧，圆周角有无数个，而弧就一条. 〖设计意图〗讲解例题时，注重培养学生良好的审题习惯，比如对条件的解读和运动，在途中做标记等。介绍在圆的题目中转化思想的运用，展示分析和综合方法的运用。学生在潜移默化中慢慢学会。 例3 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C=50°.问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区 分析：由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角(∠ASB)去考虑. 船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定. 解：∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知， ∠AEB =∠C= 50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB >∠S，即当∠ASB <50°时船不进入暗礁区.所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB < 50°. 总结：判断点与圆的位置关系：利用张角与同侧弦所对的圆周角大小关系来确定. 〖设计意图〗解决了一开始提出的问题，让学生感受到数学知识解决生活实际问题的价值。学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。 环节六、课堂总结，建构体系 小结：本节课我们从定义，性质，应用这样的经典主线来研究圆周角相关内容。在研究当中最重要的数学思想，那就是转化思想，我要求证什么？我可以把它转化成什么？这些数学思想方法将会指导我们在今后的数学学习中不断前进。 环节七、分层作业，课后探究 必做作业：配套作业本.选做作业：书本第93页 第5题和第6题。 阅读书本中第94页的阅读材料生活离不开圆，思考问题： 1. 车轮为什么要做成圆的，车轴应装在哪里？做成方的可以吗 2. 为什么周长相等的所有封闭曲线中 ，圆围成的面积最大？ 〖设计意图〗分层作业更能满足不同层次的学生的需求，课堂探究不仅可以丰富学生的 生活知识，更让学生体会数学的价值，同时引起了孩数学的探究兴趣，拓展提升了学生的思维。