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4.2 平面直角坐标系 拔尖特训
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，已知点到x轴的距离为2，则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．不能确定
3．已知点N(4，1-a)在第四象限，则a的取值范围是( ).
A．a>1 B．a≥1 C．a<1 D．a≤1
4．点A在x轴上，位于原点的左侧，距离坐标原点4个单位长度，则点A的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（4，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0）
5．景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为，点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点（－1，a2＋ ）一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为（ ），则 与 的函数关系为（ ）
A．y =－x B．y =－3x－1 C．y=3x－1 D．y =1－3x
8．将点A（﹣2，3）通过以下哪种方式的平移，得到点A'（﹣5，7）（ ）
A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度
D．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
9．已知点Px，y满足x2-y2=0，则点P的位置是 （ ）
A．在x轴或y轴上
B．在第一、三象限坐标轴夹角平分线上
C．在第二、四象限坐标轴夹角平分线上
D．在坐标轴夹角平分线上
10．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2……第n次移动到点An，则△OA2A2022的面积是（ ）
A．505m B． m C． m D．1 009 m
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，请任意写出一个轴上的点的坐标 ．
12．在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是 .
13．已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为 .
14．如图，5架轰炸机组成三角形飞行编队，每架飞机都在边长等于1的正方形网格格点上，其中A、B两架轰炸机对应点的坐标分别为和，那么轰炸机E对应点的坐标是 ．
15．若点在轴上，则 ．
16．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣ x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣ x上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为 ．
三、综合题
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）在△A1B1C1中，求∠A1B1C1的度数．
18．平面直角坐标系中，有一点P（﹣m+1，2m﹣6），试求满足下列条件的m的值．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在第三象限；
（3）点P到y轴距离是1．
19．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 、 ，其中 ，点 为 的中点，若 ，解决下列问题：
（1） 所在直线与 轴的位置关系是 ；
（2）求出 的值，并写出点 ， 的坐标；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使得三角形 的面积等于5？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知：点 在第四象限.
（1）求m的取值范围.
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请直接写出符合条件的“整数点A” .
21．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点 在x轴上，点 在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）．
（1）分别求出A， 两点的坐标；
（2）当点 移动了4秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当三角形OBP的面积是10时，求满足条件的点 的坐标及相应的点P移动的时间．
22．已知当 ， 都是实数.且满足 时，称 为“开心点”
（1）判断点 ， 是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点 是“开心点”，请判断点 在第几象限？并说明理由；
23．如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA，OB的长满足式子
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点O到AB的距离为 ，求线段AB的长；
（3）在（2）的条件下。x轴上是否存在点p使 以AB为等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点p的坐标。
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4.2 平面直角坐标系 拔尖特训
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点的横坐标为，纵坐标为，
∴点在第三象限，
故答案为：C．
【分析】根据平面直角坐标系中，各象限内的点坐标的符号规律“ 第一象限；第二象限；第三象限；第四象限”即可求解．
2．在平面直角坐标系中，已知点到x轴的距离为2，则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：因为到x轴的距离为2，
，
，
故答案为：C.
【分析】P（a，b）到x轴的距离为|b|，结合题意可得|a|=2，求解可得a的值.
3．已知点N(4，1-a)在第四象限，则a的取值范围是( ).
A．a>1 B．a≥1 C．a<1 D．a≤1
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
1－a<0，解得：a>1
故答案为：A
【分析】根据第四象限内点的坐标特征建立不等式，解不等式即可求出答案.
4．点A在x轴上，位于原点的左侧，距离坐标原点4个单位长度，则点A的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（4，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0）
【答案】D
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A在x轴上，位于原点左侧，距离坐标原点4个单位长度，
∴A点的坐标为：．
故答案为：D.
【分析】x轴上的点，纵坐标为0，根据点A位于原点的左侧可得横坐标为负，然后结合距离坐标原点4个单位长度可得点A的坐标.
5．景德镇市第十六中学为全面保障校庆五十周年的整体效果，在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若表示点A的坐标为，点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据点A的坐标为（-1，-2），表示点B的坐标为（1，1）， 确定坐标原点如下：
可得： C（-2，-1），D（-5，0），E（-7，-3），F（3，3），
故答案为：C．
【分析】先根据点A、B的坐标建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接写出其他点坐标即可。
6．在平面直角坐标系中，点（－1，a2＋ ）一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点（-1，a2+ ），横坐标-1＜0，纵坐标a2+ 一定大于0，
所以满足点在第二象限的条件．
故答案为：B．
【分析】先判断出点的纵坐标的符号，进而判断点所在的象限。
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为（ ），则 与 的函数关系为（ ）
A．y =－x B．y =－3x－1 C．y=3x－1 D．y =1－3x
【答案】B
【知识点】点的坐标；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，如图所示：
由题意可得点P在∠MON的角平分线上，
∴PA=PB，
∵点P的坐标为（ ），
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意可得点P在∠MON的角平分线上，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，进而可得PA=PB，然后可得 ，最后问题可求解.
8．将点A（﹣2，3）通过以下哪种方式的平移，得到点A'（﹣5，7）（ ）
A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度
D．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
【答案】D
【知识点】点的坐标；平移的性质
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，3），A'（﹣5，7），
∴点A沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度得到点A′，
故答案为：D．
【分析】根据题意，由点A的坐标，结合平移的性质，进行判断即可。
9．已知点Px，y满足x2-y2=0，则点P的位置是 （ ）
A．在x轴或y轴上
B．在第一、三象限坐标轴夹角平分线上
C．在第二、四象限坐标轴夹角平分线上
D．在坐标轴夹角平分线上
【答案】D
【知识点】点的坐标；角平分线的性质
【解析】【分析】该题从x≠0和x=0来并加x2-y2=0这一条件，来进行讨论完成．
由x2-y2=0得x2=y2，
①当x≠0时，x=y或x=-y，
此时，当x＞0时，y＞0或y＜0，则点P坐标分别在第一象限、第四象限的角平分线上（除去远原点)，
当x＜0时，y＜0或y＞0，则点P坐标分别在第三象限、第二象限的角平分线上（除去原点)，
②当x=0时，点P坐标为（0，0)，即为原点，
综上，点P在x轴和y轴的角平分线上，
故选D.
【点评】本题通过观察和分析，从x≠0和x=0并协同满足的关系式来讨论．
10．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2……第n次移动到点An，则△OA2A2022的面积是（ ）
A．505m B． m C． m D．1 009 m
【答案】A
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【解答】由题意知OA4n=2n，
∴OA2020=2020÷2=1010，即A2020坐标为（1010，0），
A2021坐标为（1011，0）
∴A2022坐标为（1011，1），
则A2A2022=1011－1=1010（m），
∴ ＝ A2A2022×A1A2＝ ×1010×1＝505（m2）.
故答案为：A.
【分析】根据图形可得OA4n=2n，由OA2020=2020÷2=1010，可得A2020坐标为（1010，0），从而求出A2022坐标为（1011，1），再求出A2A2022的长，根据 ＝ A2A2022×A1A2即可求解.
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，请任意写出一个轴上的点的坐标 ．
【答案】（0，1）
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在y轴上的点的坐标为：（0，1）（答案不唯一）．
故答案为：（0，1）（答案不唯一）．
【分析】由于y轴上的点的横坐标为零，故写出横坐标为0，纵坐标任意数的一个有序数对即可．
12．在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是 .
【答案】m>2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】
根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．
由第一象限点的坐标的特点可得：，解得m>2.
【分析】
解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．
13．已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为 .
【答案】（5，﹣3）
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴a﹣5＝0，b+3＝0，
解得：a＝5，b＝﹣3，
∴C（a，b）的坐标为：（5，﹣3）.
故答案为：（5，﹣3）.
【分析】根据x轴上的点的坐标规律：纵坐标为0，和y轴上的点的坐标规律：横坐标为0，即可列出方程，解方程即可.
14．如图，5架轰炸机组成三角形飞行编队，每架飞机都在边长等于1的正方形网格格点上，其中A、B两架轰炸机对应点的坐标分别为和，那么轰炸机E对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据A，B的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系，如图，
故E点（0，-2）.
故答案为：（0，-2）.
【分析】先根据A和B的坐标确定原点的位置后，建立直角坐标系，即可求得E的坐标.
15．若点在轴上，则 ．
【答案】-3
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： ∵点在轴上，
∴2a+6=0，
∴a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据点的坐标的特性可判断2a+6=0，按照一元一次方程的解法求出a即可.
16．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣ x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣ x上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为 ．
【答案】9+3
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察图象可知，O12在直线y=﹣ x时，
OO12=6 OO2=6（1+ +2）=18+6 ，
∴O12的横坐标=﹣（18+6 ） cos30°=﹣9﹣9 ，
O12的纵坐标= OO12=9+3 ，
故答案为：9+3 .
【分析】由题意可知，直线与x轴的夹角为30°，O12在直线y=-x上，因为OO2=O2O4，所以OO12=6OO2，因为OO2=3+，由30°所对的直角边等于斜边的一半可求出O12的横坐标，将O12的横坐标乘以-即可求得O12的纵坐标。
三、综合题
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A（4，﹣4），B（1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）在△A1B1C1中，求∠A1B1C1的度数．
【答案】（1）解：图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：点A1（4，4），B1（1，1），C1（3，1）
（3）解：∵A1D=B1D，∠A1DB1=90°，
∴△A1DB1是等腰直角三角形，
∴∠A1B1C1＝45°．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）先证明△A1DB1是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得∠A1B1C1＝45°。
18．平面直角坐标系中，有一点P（﹣m+1，2m﹣6），试求满足下列条件的m的值．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在第三象限；
（3）点P到y轴距离是1．
【答案】（1）解：∵点P在x轴上，
∴2m-6=0，
∴m=3；
（2）解：∵点P在第三象限，
∴，
由-m+1<0，得m>1，
由2m﹣6>0，得m<3，
∴1（3）解：∵点P到y轴的距离为1，
∴|-m+1|=1，
解得m=0或2.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】(1)在x轴上的坐标特点是纵坐标等于0，依此建立方程求解即可；
(2)第三象限点的坐标特点是横坐标和纵坐标都小于0，依此列不等式组求解即可；
(3)根据点P到y轴的距离为1建立关于m的绝对值方程求解即可.
19．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 、 ，其中 ，点 为 的中点，若 ，解决下列问题：
（1） 所在直线与 轴的位置关系是 ；
（2）求出 的值，并写出点 ， 的坐标；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使得三角形 的面积等于5？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）平行
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴B（-1，2），C（3，2），
∵A为BC的中点，
∴ ．
（3）存在点 ．
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或7.
∴ 为 或 ．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【解答】（1）∵点 ， 的坐标分别为 、 ，
∴ 所在直线与 轴的位置关系是平行．
故答案为：平行．
【分析】（1）由B、C的纵坐标相同，可得出BC//x轴；
（2）由点B、C的坐标，BC=4，即可求出a的值，即可得出B、C的坐标，再由A为BC的中点即可求出A的坐标；
（3）设 ，利用三角形的面积公式，计算即可得出结论。
20．已知：点 在第四象限.
（1）求m的取值范围.
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请直接写出符合条件的“整数点A” .
【答案】（1）解：根据题意，得 ，解得 ；
（2）解：∵ ，
∴m的整数解为：0，1，2，
∴符合条件的“整数点A”有 、 、 .
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据第四象限点的坐标特征“横坐标为正，纵坐标为负”得出关于m的不等式组，解得即可；
（2）根据m的取值即可求得符合条件的“整数点A”.
21．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点 在x轴上，点 在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）．
（1）分别求出A， 两点的坐标；
（2）当点 移动了4秒时，求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当三角形OBP的面积是10时，求满足条件的点 的坐标及相应的点P移动的时间．
【答案】（1）解：∵点 在x轴上，点 在y轴上，
∴m+2=0，n-1=0，
∴
∴点 ，点
（2）解：由（1）得可知：点 ，点 ，
如图，当点P移动了4秒时，移动的路程为：4×2=8，
∴此时点P在 上，且
∴点 ；
（3）解：①如图所示，当点P在 上时，
∵ 的面积是10，
∴ 即
解得：
∴点P的坐标为 ，
∴运动时间为
②如图所示，当点P在 上时，
∵ 的面积是10，
∴ 即
解得： ， ∴
∴点P的坐标为 ，
∴运动时间为
③如图所示，当点P在 上时，
∵ 的面积为10，
∴ 即
解得：
∴
∴点P的坐标为
∴运动时间为
④如图所示，当点P在 上时，
∵ 的面积是10，
∴ 即
解得
∴点P的坐标为 ，
∴运动时间为
综上所述：①点P的坐标为 ，运动时间为 ；②点P的坐标为 ， 运动时间为 ； ③点P的坐标为 运动时间为 ；④点P的坐标为 ，运动时间为
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据点A和点C分别在x和y轴上，由点的坐标特点，列出方程求解即可；
（2）根据题意可得，此时P点的位置在AB上，即OA+AP=8，即可得到AP=4，求出点P的坐标即可；
（3）根据点P所在的位置进行分类讨论，根据三角形OPA的面积为10，解方程得到答案即可。
22．已知当 ， 都是实数.且满足 时，称 为“开心点”
（1）判断点 ， 是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若点 是“开心点”，请判断点 在第几象限？并说明理由；
【答案】（1）解：点A（5,3）为 “开心点” ，理由如下：
∵m-1=5, ,
解得m=6, n=4,
∴2m=12, 8+n=12,
∴2m=8+n，
∴点A（5,3）为 “开心点” ；
点B（4,10）不是 “开心点” ，理由如下：
∵m-1=4, ,
解得m=5, n=18,
∴2m=10, 8+n=26,
∴2m≠8+n，
∴点A（5,3）不是 “开心点” ；
（2）解：点M在第三象限，理由如下：
∵ 是“开心点”，
∴m=a+1, n=4a-4，
∴2（a+1）=8+4a-4,
∴a=-1, 2a-1=-3,
∴M（-1，-3）,
∴点M在第三象限.
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据A、B点坐标，代入 为“开心点” ，求出m和n值，然后代入 进行验证即可；
（2）直接利用“开心点”定义求出a值，再求M点坐标即可得出答案.
23．如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA，OB的长满足式子
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点O到AB的距离为 ，求线段AB的长；
（3）在（2）的条件下。x轴上是否存在点p使 以AB为等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点p的坐标。
【答案】（1）由 得：OA=6，OB=8
∴A(0，6)、B(8，0)
（2）∵∠AOB=90°，
∴AB===10
（3）解：存在（-8，0）、（-2，0）、（18，0）
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）几个非负数和为0，则每个非负数都等于0；
（2）由勾股定理即可求出线段AB长；
（3）当AB=AP、AB=BP、AP=BP满足一组相等△ABP即为等腰三角形，分情况讨论即可写出满足点P的坐标。
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