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第4章 图形与坐标 单元全优冲刺测评卷
一、选择题
1．点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．点P（x，y）关于直线x=1的对称点P1坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．会议室“ 排 号”记作 ，那么“ 排 号”记作（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 在第三象限，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．点A(a，4)，点B(3，b)关于x轴对称，则(a+b)2019的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．72019
6．在平面直角坐标系中，若点M(3，n)在第四象限，则一次函数y=-x+n不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．将点 A( 2, -1) 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度得到点 B ，则点 B 的坐标是（ ）
A．(5, 3) B．( -1, 3) C．( -1, -5) D．(5, -5)
8．以方程组 的解为坐标的点（a，b）在平面直角坐标系的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．用方位表示物体的位置，下列表示正确的是( ).
A．新星公园在学校的正南方向
B．新星公园距学校3km
C．学校在新星路38号
D．学校在新星公园的正北方向3km处
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(-1，2)，B(-1，-1)，C(1，-1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(-1，0) C．(1，2) D．(0，-1)
二、填空题
11．我们规定向东、向北为正方向，如果向东走4米，向北走5米，记为，那么向西走3米，向北走2米记为 .
12．在平面直角坐标系中，点且，则点所在象限是 ．
13．如图，点与点关于直线对称，则 ．
14．若点与点关于y轴对称，则a的值为 .
15．已知两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），给出下列说法：①两点关于 轴对称；②两点关于 轴对称；③两点之间的距离为4．其中正确的是 ．（填序号）
16．若点到轴的距离为4，则n= ．
三、综合题
17．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）.
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2019的值.
18．如图所示，四边形 ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．
（1）求证：BD⊥CB；
（2）求四边形
ABCD 的面积；
（3）如图 2，以 A 为坐标原点，以 AB、AD所在直线为 x轴、y轴建立直角坐标系，
点P在y轴上，若 S△PBD= S四边形ABCD，求 P的坐标．
19．已知点P(3m－6，m＋1)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P的横坐标比纵坐标大1；
（2）点P在过点A(3，－2)，且与x轴平行的直线上；
（3）点P到y轴的距离是到x轴距离的2倍．
20．在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a-6m+4=0，b+2m-8=0.
（1）当a=1时，点P到x轴的距离为 ；
（2）若点P在第一三象限的角平分线上，求点P的坐标；
（3）当a＜b时，则m的取值范围是 .
21．已知点P(a，a-b)在第四象限，求：
（1）点M(-a，b)所在的象限：
（2）点M分别关于x轴、y轴、原点的对称点M 1 、M 2 、M 3 的坐标：
（3）若a=b，P点和M点所在的位置.
22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
23．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．
（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为 ；
（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求 的值．
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第4章 图形与坐标 单元全优冲刺测评卷
一、选择题
1．点在平面直角坐标系中，所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
点的横坐标，点的纵坐标，
在第二象限，
故答案为：B.
【分析】根据点坐标与象限的关系可得答案。
2．点P（x，y）关于直线x=1的对称点P1坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵对称轴是直线x=1，
∴点P纵坐标不变,横坐标利用中点公式(x1+x2) =1，将x1=x代入，解得：x2=2-x，
∴P1坐标是 ,
故答案为：A.
【分析】将轴对称问题转化为中点问题，利用中点坐标公式即可解题.
3．会议室“ 排 号”记作 ，那么“ 排 号”记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：会议室“ 排 号”记作 ，那么“ 排 号”记作 ，
故答案为：B．
【分析】根据有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数即可解答．
4．已知点 在第三象限，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（2a+1，b-2）在第三象限，
∴2a+1＜0，b-2＜0，
解得：a＜- ，b＜2，
∴-a＞0，3-b＞0，
则点B（-a，3-b）在第一象限．
故答案为：A．
【分析】利用平面直角坐标内点的坐标特点得出a，b的取值范围进而得出答案．
5．点A(a，4)，点B(3，b)关于x轴对称，则(a+b)2019的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．72019
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点A（a，4）、点B（3，b）关于x轴对称，
∴a=3，b=-4，
∴ = =-1，
故答案为：B.
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而得到答案.
6．在平面直角坐标系中，若点M(3，n)在第四象限，则一次函数y=-x+n不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点M在第四象限
∴n＜0
∴y=-x+n的图象不经过第一象限。
故答案为：A。
【分析】根据点M的坐标所在的象限，即可得到其n的取值范围，根据一次函数的斜率以及与y轴的交点进行象限的判断即可。
7．将点 A( 2, -1) 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度得到点 B ，则点 B 的坐标是（ ）
A．(5, 3) B．( -1, 3) C．( -1, -5) D．(5, -5)
【答案】B
【知识点】点的坐标；平移的性质
【解析】【解答】点（2，－1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后，点的横坐标为2－3＝-1，纵坐标为－1+4＝3，则平移后点的坐标为（-1，3）.
故答案是：B.
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
8．以方程组 的解为坐标的点（a，b）在平面直角坐标系的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：解方程组可得，x=1，y=-2
∴点（a，b）为（1，-2）
∴点在第四象限。
故答案为：D。
【分析】根据题意，解二元一次方程组，解出点的坐标，判断其象限即可。
9．用方位表示物体的位置，下列表示正确的是( ).
A．新星公园在学校的正南方向
B．新星公园距学校3km
C．学校在新星路38号
D．学校在新星公园的正北方向3km处
【答案】D
【知识点】确定位置的方法
【解析】【解答】解：A不能确定新星公园的具体位置，不符合题意；
B不能确定新星公园的具体位置，不符合题意；
C不能确定学校的具体位置，不符合题意；
D能确定学校的具体位置，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据确定物体的位置的要素即可求出答案.
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(-1，2)，B(-1，-1)，C(1，-1)，D(1，2)，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为M1，第二次相遇时的点为M2，第三次相遇时的点为M3，…，则点M2022的坐标为（ ）
A．(1，0) B．(-1，0) C．(1，2) D．(0，-1)
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，
根据题意得2t+3t＝10，
解得t＝2，
∴当t＝2时，P、Q第一次相遇，此时相遇点M1坐标为（1，0），
当t＝4时，P、Q第二次相遇，此时相遇点M2坐标为（-1，0），
当t＝6时，P、Q第三次相遇，此时相遇点M3坐标为（1，2），
当t＝8时，P、Q第四次相遇，此时相遇点M4坐标为（0，-1），
当t＝10时，P、Q第五次相遇，此时相遇点M5坐标为（-1，2），
当t＝12时，P、Q第六次相遇，此时相遇点M6坐标为（1，0），
∴五次相遇一循环，
∵2022÷5＝404......2，
∴M2022的坐标为（-1，0）．
故答案为：B．
【分析】先算出长方形ABCD的周长为（3+2）×2＝10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为2t，Q点走的路程为3t，根据题意得2t+3t＝10，即可求出经过2秒第一次相遇，然后求出各相遇点的坐标，可得五次相遇一循环，由于2022÷5＝404......2即可求解.
二、填空题
11．我们规定向东、向北为正方向，如果向东走4米，向北走5米，记为，那么向西走3米，向北走2米记为 .
【答案】（-3，2）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵向东、向北走正方向，
∴向西走为负，
∵向东走4米，向北走5米，记作（4，5），
∴向西走3米，向北走2米记作（-3，2）.
故答案为：(-3，2).
【分析】根据正数与负数可表示具有相反意义的一对量，及横坐标表示东西方向的距离，纵坐标表示南北方向的距离，可得答案.
12．在平面直角坐标系中，点且，则点所在象限是 ．
【答案】第四象限
【知识点】有理数的乘法法则；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，，
∴，
点，在第四象限．
故答案为：第四象限．
【分析】由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得y＜0，然后根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
13．如图，点与点关于直线对称，则 ．
【答案】-5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于直线对称
∴a=-2，，解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为：-5．
【分析】利用点对称的特征可得a=-2，，再求出b的值，最后将a、b的值代入a+b计算即可.
14．若点与点关于y轴对称，则a的值为 .
【答案】5
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于y轴对称，
∴.
故答案为：5.
【分析】关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答.
15．已知两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），给出下列说法：①两点关于 轴对称；②两点关于 轴对称；③两点之间的距离为4．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】②③
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解： 两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），
两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
两点关于 轴对称；
两点的纵坐标相等，
两点之间的距离为2+2=4．
综上所述，②③说法符合题意．
故答案为：②③．
【分析】根据点的坐标及两点之间的距离公式逐项判断即可。
16．若点到轴的距离为4，则n= ．
【答案】-1或-5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】∵点到轴的距离为4，
∴，
∴，
解得：，，
故答案为：-1或-5
【分析】根据点坐标的定义可得，再求出n的值即可。
三、综合题
17．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）.
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2019的值.
【答案】（1）解：∵点A，B关于x轴对称， ∴ ， 解得 .
（2）解：∵点A，B关于y轴对称， ∴ ， 解得 ，
∴（4a+b）2019＝[4×（﹣1）+3]2019＝﹣1.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）关于x轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此解答即可；
（2）关于y轴对称点坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此求出a，b的值，然后代入计算即可.
18．如图所示，四边形 ABCD，∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．
（1）求证：BD⊥CB；
（2）求四边形
ABCD 的面积；
（3）如图 2，以 A 为坐标原点，以 AB、AD所在直线为 x轴、y轴建立直角坐标系，
点P在y轴上，若 S△PBD= S四边形ABCD，求 P的坐标．
【答案】（1）证明：连接 BD． ∵AD=4m，AB=3m，∠BAD=90°，
∴BD=5m．
又∵BC=12m，CD=13m，
∴BD2+BC2=CD2．
∴BD⊥CB
（2）解：四边形 ABCD 的面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积 = ×3×4+ ×12×5 =6+30 =36（m2）．
故这块土地的面积是 36m2
（3）解：∵S△PBD= S 四边形ABCD ∴ PD AB= ×36， ∴ PD×3=9， ∴PD=6， ∵D（0，4），点 P 在 y 轴上，
∴P 的坐标为（0，-2）或（0，10）．
【知识点】勾股定理的应用；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）勾股定理的应用。在直角三角形ABD中，根据勾股定理求出BD。在三角形BCD中，满足BC2+BD2=CD2，即∠CBD=90°。 （2）写出四边形的面积表达公式，代数求值即可。 （3） S△PBD= S四边形ABCD ，即可求出三角形PBD的面积，写出△PBD的面积公式，S= PD AB ，从而求出PD的长度，点P分为y轴上半轴和下半轴，即而求出AP，即点P的坐标。
19．已知点P(3m－6，m＋1)，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P的横坐标比纵坐标大1；
（2）点P在过点A(3，－2)，且与x轴平行的直线上；
（3）点P到y轴的距离是到x轴距离的2倍．
【答案】（1）解：3m-6-1=m+1
m=4
p(6,5)
（2）解：m+1+-2
m=-3
p(-15,-2)
（3）解：①3m-6＝2(m+1)
m＝8
p(18，9)
②3m-6＝-2(m+1)
m＝4/5
p(-18/5，9/5)
【知识点】点的坐标；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）根据点P的横坐标=纵坐标+1，建立关于m的方程，解方程求出m的值。
（2）根据与x轴平行的直线，这两点的纵坐标相等，横坐标不相等，可知点P的纵坐标和点A的纵坐标相等，建立关于m的方程，解方程求出m的值。
（3）根据点P到y轴的距离是到x轴距离的2倍，根据点P的坐标建立关于m的方程，求解即可。
20．在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a-6m+4=0，b+2m-8=0.
（1）当a=1时，点P到x轴的距离为 ；
（2）若点P在第一三象限的角平分线上，求点P的坐标；
（3）当a＜b时，则m的取值范围是 .
【答案】（1）6
（2）解：当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a=b.
由2a-6m+4=0，可得a=3m-2；由b+2m-8=0，可得b=-2m+8.则3m-2=-2m+8，解得m=2.
把m=2分别代入2a-6m+4=0，b+2m-8=0中，解得a=b=4，所以P点坐标为（4，4）.
（3）m＜2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：（1）当a=1时，则2×1-6m+4=0，解得m=1.
把m=1代入b+2m-8=0中，得b=6.所以P点坐标为（1，6），
所以点P到x轴的距离为6.
故答案为6.
（ 3 ）由（2）中解答过程可知a=3m-2，b=-2m+8.若a＜b，即3m-2＜-2m+8，解得m＜2.
故答案为m＜2.
【分析】（1）把a=1代入2a-6m+4=0中求出m值，再把m值代入b+2m-8=0中即可求出b的值，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解； （2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m的方程求出m的值，最后求出a、b值. （3）把a、b用m表示出来，代入a＜b，则m的取值范围可求.
21．已知点P(a，a-b)在第四象限，求：
（1）点M(-a，b)所在的象限：
（2）点M分别关于x轴、y轴、原点的对称点M 1 、M 2 、M 3 的坐标：
（3）若a=b，P点和M点所在的位置.
【答案】（1）解：∵点P(a，a-b)在第四象限，
∴a>0，a-b<0
∴b>a>0，-a<0
∴M(-a，b)在第二象限.
（2）解：∵M 1 、M 2 、M 3 与M(-a，b)关于x轴、y轴、原点对称，
∴M 1 (-a，-b)、M 2 (a，b)、M 3 (a，-b).
（3）解：当a=b时，P点的坐标为(a，0)，M(-a，a).
∵a>0，
∴P点在x轴的正半轴上，M点在第二象限角平分线上(除去原点)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据点P(a，a-b)在第四象限，可求出a、b取值范围，就可得出-a、b的取值范围，就可得出点M所在的象限。
（2）根据关于x轴、y轴、原点对称点的坐标特点，可解答。
（3）由当a=b时，P点的坐标为(a，0)，M(-a，a)，可得出a＞0，就可得出答案。
22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
（3）解：点B′的坐标为（2，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位；（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
23．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．
（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为 ；
（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求 的值．
【答案】（1）（0，3）
（2）证明：连接OD，如图2所示：
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∵∠OAB＝30°，
∴∠OAE＝30°+60°＝90°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，
∵MN是OA的垂直平分线，
∴OD＝AD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AO＝AD，
在△ABD和△AEO中， ，
∴△ABD≌△AEO（SAS），
∴BD＝OE；
（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：
∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，
∴AH＝ AB，
∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，
∴OB＝ AB，
∴AH＝OB，
在Rt△AEH和Rt△BAO中， ，
∴△AEH≌△BAO（HL），
∴EH＝AO＝AD，
在△HFE和△AFD中， ，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF＝DF，
∴DE＝2DF，
∴ ＝ ．
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（1）解：∵B（0，1），
∴OB＝1，
∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴OC＝OB+BC＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）；
【分析】（1）由条件得出BC=AB=2， OC=OB+BC=3，从而可得到点C的坐标为（0，3）；（2）连接OD，证明△OAD是等边三角形，得出AO=AD，再证明△ABD≌△AEO（SAS），即可得出结论；（3）作EH⊥AB于H，通过HL证明Rt△AEH≌Rt△BAO，得到EH=AO=AD，再通过AAS证明△HFE≌△AFD，得出EF=DF，即可求出 的值．
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