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4.1 比例线段 课后查漏补缺卷
一、选择题
1．已知，则等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．已知2a=3b，则下列比例式错误的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．线段a、b、c、d是成比例线段，a=4、b=2、c=2，则d的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下面四组线段中不能成比例线段的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、5、10
C．1、 、 、 D．2 、 、4、2
5．下列各组线段中，能成比例的是（ ）.
A．1cm，3cm，4cm，6cm B．30cm，12cm，0.8cm，0.2cm
C．0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D．12cm，16cm，45cm，60cm
6．如果线段，那么a和b的比例中项是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点（APA． B． C． D．
9．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
10．已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
二、填空题
11．若 ，则 ＝ .
12．已知点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝4，则AC＝ .
13．如果的值是黄金分割数，那么的值为 ．
14．已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么b= ．
15．已知a、b、c、满足 ，从下列四点：① ；②(2，1)；③ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 .
16．如图，在 中， 于点D，点E在线段BD上，F为AC边的中点，将线段EF绕点E逆时针旋转得到EG，点G落在AB边上，若 ， ， ，则线段EF的长为 ．
三、综合题
17．已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
18．已知三条线段 满足 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值.
19．如图，在平行四边形ABCD中， 于点E， 于点F．
（1）AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；
（2）若AB=10，DE=2.5，BF=5，求BC的长
20．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm.
（1）求线段d的长．
（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．
21．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.
（1）求k的值；
（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
22．综合题。
（1）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9
（2）已知 ≠0，求代数式 的值．
23．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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4.1 比例线段 课后查漏补缺卷
一、选择题
1．已知，则等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵2x=3y，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质将乘积式变为比例式即可.
2．已知2a=3b，则下列比例式错误的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、，则，不符合题意；
B、，则，不符合题意；
C、，则，不符合题意；
D、，则，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据比例的基本性质，把每一项的比例式化为等积式即可判断.
3．线段a、b、c、d是成比例线段，a=4、b=2、c=2，则d的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
即4：2=2：d，
∴d=1；
故答案为：A．
【分析】根据成比例线段的概念，得a：b=c：d，再根据比例的基本性质，可求得d的值．
4．下面四组线段中不能成比例线段的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、5、10
C．1、 、 、 D．2 、 、4、2
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、2×6=3×4，能成比例；
B、4×10≠5×6，不能成比例；
C、1× = × ，能成比例；
D、2 ×2 =4× ，能成比例；
不能成比例的是B．
故选B．
【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．
5．下列各组线段中，能成比例的是（ ）.
A．1cm，3cm，4cm，6cm B．30cm，12cm，0.8cm，0.2cm
C．0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D．12cm，16cm，45cm，60cm
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A.1×6≠3×4，所以错误；
B.30×0.2≠12×0.8，所以错误；
C.0.1×0.4≠0.2×0.3，所以错误；
D.12×60=16×45，所以正确．
故选：D．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．注意判断成比例线段，在相乘的时候，最小的与最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
6．如果线段，那么a和b的比例中项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设a和b的比例中项是，则
∵，
∴，
解得，
故答案为：B．
【分析】设a和b的比例中项是，则，再将数据代入求出d的值即可。
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
则设，，
∴．
故答案为：B．
【分析】由已知的等式可设，，将a、b的值代入所求代数式计算即可求解．
8．如图，已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点（APA． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP∴BP=·AB=×2 =-1，
∴AP=AB-BP=2-（-1）=3-.
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割比值，即，代入数据计算初BP的长，再由AB-BP即可求得AP的长.
9．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故答案为：A．
【分析】黄金分割点的定义：如果线段上一点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，那么这个点就是线段的黄金分割点，根据定义列式即可作答．
10．已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比例的性质
【解析】【解答】由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，
三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．
∴有p=2或a+b+c=0．
当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．
当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p= =-1，（c≠0），
∴y=-x-1，
∴直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．
答案为：B．
【分析】可分a+b+c=0与不等于0，两种情况，再利用等比性质，可求出p值为2或-1，进而得出答案.
二、填空题
11．若 ，则 ＝ .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：x设＝7k，y＝3k，
∴ ＝ ＝ .
故答案为： .
【分析】根据比例的性质可设x＝7k，y＝3k，再代入原式进行化简，即可得出答案.
12．已知点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝4，则AC＝ .
【答案】 ﹣2
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，
∴AC＝ AB＝ ×4＝2 -2.
故答案为：2 ﹣2.
【分析】根据黄金分割的特点可得AC＝AB，据此进行计算.
13．如果的值是黄金分割数，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：∵的值是黄金分割数，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用黄金分割的性质可得，再利用线段的比例性质可得。
14．已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么b= ．
【答案】4
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，且，，
∴，
∴，
解得，
又∵线段的长度是正数，
∴．
故答案为：4
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．已知a、b、c、满足 ，从下列四点：① ；②(2，1)；③ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 .
【答案】
【知识点】比例的性质；正比例函数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵a、b、c、满足 ，
∴当a+b+c=0时，k=﹣1，
此时正比例函数的表达式为y＝-x，
将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；
当a+b+c≠0时，
k= = = ，
∴正比例函数的表达式为y＝ x，
将四个点代入，点① 和点②(2，1)在正比例函数y＝ x的图象上，
∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 ，
故答案为： .
【分析】分两种情况讨论，结合比例式，当a+b+c=0时，得出k=﹣1，当a+b+c≠0时，求出k=，将四个点分别代入函数式求出k值，则可得出符合条件的情况数，然后利用概率公式计算即可.
16．如图，在 中， 于点D，点E在线段BD上，F为AC边的中点，将线段EF绕点E逆时针旋转得到EG，点G落在AB边上，若 ， ， ，则线段EF的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；比例线段；旋转的性质
【解析】【解答】作FH⊥BC于点H，
，
，
，
设 ，则 ，
，
作FH⊥BC，
∴FH是△ACD的中位线，
∵EH=1+3=4
故答案为： ．
【分析】先根据已知条件证明 ，得到 ，设 ，则 ，得到 ，根据中点的性质得到 求出a的值，再作FH⊥BC，求出FH，再得到EF的值．
三、综合题
17．已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
18．已知三条线段 满足 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值.
【答案】（1）解：设
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7.
（2）解：∵线段 是线段 和 的比例中项
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】设，用含k的代数式分别表示出a，b，c，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出a，b，c的值。
（2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值。
19．如图，在平行四边形ABCD中， 于点E， 于点F．
（1）AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；
（2）若AB=10，DE=2.5，BF=5，求BC的长
【答案】（1）证明：∵在ABCD中， ， ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
解得：BC=5
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的面积公式：S=底×高，可得：S ABCD=AB DE=AD BF，再将AB DE=AD BF转化为比例式。
（2）把已知的数据代入（1）得到的比例式即可求解。
20．已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm.
（1）求线段d的长．
（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．
【答案】（1）解答：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，
∴d=4cm．
（2）解答：∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，
∴c2=ab=36，
解得：c=±6，
又∵线段是正数，
∴c=6cm．
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b=c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值；（2）根据线段比例中项的概念得出c2=ab，再根据a=4cm，b=9cm，求出c的值，注意把负值舍去．此题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
21．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.
（1）求k的值；
（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设AB=a，BC=x，则AC=(a-x)，∵AC：CB=CB：AB，
即 ， 解得：x= a，∴k=CB：AB= a：a=
（2）解：不能
理由：∵a∶b＝b∶c＝k
∴b=kc=c，a=kb=（）2c==
a+b=c
∴a、b、c不能构成三角形
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【分析】（1）设AB=a，BC=x，可表示出AC，再根据AC：CB=CB：AB，求出x的值，然后由k=CB：AB，求出k的值。
（2）根据a：b=b：c=k，分别求出a、b，可证得a+b=c，再根据三角形三边关系即可得出结论。
22．综合题。
（1）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9
（2）已知 ≠0，求代数式 的值．
【答案】（1）解：∵2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
∴（x﹣3）（x﹣9）=0，
则x﹣3=0或x﹣9=0，
解得：x=3或x=9
（2）解：令 =k≠0，
则a=2k，b=3k，
∴ = = =
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）设 =k≠0，则a=2k，b=3k，代入求解可得．
23．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.
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