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4.4 两个三角形相似的判定 课堂达标卷
一、选择题
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
3．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．各有两边长是4和5的两个直角三角形
C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形
D．各有一个角是的两个等腰三角形
5．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（ ）
A．DEBC B．∠AED＝∠B C． D．
6．如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（ ）
A． B． C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD
8．根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（ ）
A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°
B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10
9．如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
10．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
二、填空题
11．如图，当∠AED= 时，△ADE与△ABC相似.
12．如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE.
13．△ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和 ，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC∽△A1B1C1.
14．如图，DE与BC不平行，当 ＝ 时，△ABC与△AED相似．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为 ．
16．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③△POF∽△BNF；④当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点，其中一定正确的结论有 ．（填上所有正确的序号）．
三、综合题
17．直线 与反比例函数 的图象分别交于点 和点 ，与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线 的解析式；
（2）观察图象，当 时，直接写出 的解集；
（3）若点P是y轴上一动点，当 与 相似时，直接写出点P的坐标．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．
19．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG=AF AB．
20．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
21．如图，两车分别从路段AB两端同时出发，沿平行路线AC、BD行驶，CE和DF的长分别表示两车到道路AB的距离．
（1）求证：△ACE∽△BDF；
（2）如果两车行驶速度相同，求证：△ACE≌△BDF．
22．本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．
（1）甲题：关于x的一元二次方程x2+（2k﹣3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β．
①求k的取值范围；
②若α+β+αβ=6，求（α﹣β）2+3αβ﹣5的值．
（2）乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G
①求证：△ABE∽△DEF；
②若正方形的边长为4，求BG的长．
23．如图所示，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，动点 在 轴上，点 是线段 的中点．将线段 绕着点 顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连结 、 ．
（1）写出点 的坐标；
（2）当 时，试问：以 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的 的值？若不能，请说明理由；
（3）当 为何值时，△ 与△ 相似？
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4.4 两个三角形相似的判定 课堂达标卷
一、选择题
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
2．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
【分析】根据三边对应比相等的两个三角形相似可判断①；根据两个角对应相等的两个三角形相似可判断②；根据两组直角边的比值相等或一组直角边的比等于斜边的比的两个直角三角形相似可判断③.
3．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】A、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
B、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意；
C、∵两三角形的对应角不一定相等，∴两三角形不相似，此选项符合题意；
D、∵两三角形对应边成比例且夹角相等，∴两三角形相似，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理“①有两个角对应相等的两个三角形相似；②两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似”对各选项进行逐一判定即可求解．
4．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．各有两边长是4和5的两个直角三角形
C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形
D．各有一个角是的两个等腰三角形
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、两个等腰直角三角形，三个角都是，符合两角分别相等，是相似三角形，符合题意；
B、各有两边长是4和5的两个直角三角形，若一个斜边是5，直角边是4，另外一个两直角边是4和5，不满足三边对应成比例，不是相似三角形，不符合题意；
C、各有两边长是4和5的两个等腰三角形，若一个底边是5，腰是4，另外一个腰是5，底边是4，不满足三边对应成比例，不是相似三角形，不符合题意；
D、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个底角是，顶角是，另外一个底角是，顶角是，不满足两角分别相等，不是相似三角形，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
5．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（ ）
A．DEBC B．∠AED＝∠B C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
由题意得，∠A＝∠A，
A、当DEBC时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
C、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
D、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
6．如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴且，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
7．如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（ ）
A． B． C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BC2=AC CD，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，D不合题意，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．根据下列各组条件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（ ）
A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°
B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3
C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5
D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、
∴
又∵∠A1＝70°，∠B1＝60°
∴△ABC∽△A1B1C1
所以选项A符合题意；
B、∵∠C＝∠C1＝90°
∴ 和 都是直角三角形
在 中，AB＝10，AC＝6
由勾股定理得：
∵
∴
在 中，A1B1＝5，A1C1＝3
由勾股定理得：
∵
∴
∵
∴△ABC∽△A1B1C1
所以选项B符合题意；
C、∵
∴不能判定两个三角形相似
所以选项C不符合题意；
D、∵
∴△ABC∽△A1B1C1
所以选项 符合题意．
故答案为：C
【分析】根据三角形相似的判定方法逐个进行分析即可得到答案。
9．如图，四边形 是边长为2的正方形点P为线段 上的动点，E为 的中点，射线 交 的延长线于点Q，过点E作 的垂线交 于点H.交 的延长线于点F，则以下结论：① ；② ；③当点F与点C重合时 ；④当 时， .成立的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
当点F与点C重合时，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
在△PAE和△QDE中，
，
∴ ，
∴PE=EQ，PA=DQ，
∵ ，
∴PC=QC，
设 ，则 ，
∴ ， ，
在Rt△PBC中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵P是AB中点，
∴ ，
在Rt△PAE中， ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△EDH中， ，
∴ ，
在△EDH和△FCH中，
，
∴ ，
∴ ，故④不正确；
本题成立的结论有①②③；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的性质，可得，从而可得，根据垂直的定义可得 ，从而可得，由，可得，据此判断①；根据两角对应相等可证，据此判断②；当点F与点C重合时，根据ASA可证，可得PE=EQ，PA=DQ，从而求出PC=QC，设 ，则 ， ， ，在Rt△PBC中， ， ，据此求出x，从而求出PB的长，据此判断③；由P是AB中点，可得，根据三角形内角和及直角三角形的性质可得，，根据ASA可证，可得，据此判断④.
10．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】解答：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、 、 ；
由勾股定理求出③的各边长分别为2 、2、2 ，
∴ = ， = ，
即 = = ，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选C．
分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．
二、填空题
11．如图，当∠AED= 时，△ADE与△ABC相似.
【答案】∠ACB或∠ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.
12．如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE.
【答案】∠D=∠B或∠AED=∠C。
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD AC=AB AE时两三角形相似.
故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）.
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可。
13．△ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和 ，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC∽△A1B1C1.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】设第三边长为x，
∵ ，∴这两个三角形相似比为 ，
∴ = ，解得x= .
故答案为
【分析】要使△ABC∽△A1B1C1，就可得出三边对应成比例，可知这两个三角形的相似比为，即可求出结果。
14．如图，DE与BC不平行，当 ＝ 时，△ABC与△AED相似．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，
只要
时，
△ABC∽△AED，
故答案为：
.
【分析】根据相似三角形的判定： 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，
则这两个三角形相似；由此即可得出答案.
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝ ，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝ ．
【分析】本题的关键是想办法将BD放到门口个直角三角形中，利用勾股定理进行求解。第一步是先构造直角三角形BDH，再连接AC。利用勾股定理求出AC，DC的长度，最后 进行计算即可。
16．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③△POF∽△BNF；④当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点，其中一定正确的结论有 ．（填上所有正确的序号）．
【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵PM⊥AC，
∴∠AEP=∠AEM=90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；
∴，
同理，．
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE=PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵，，，
∴PM+PN＝AC，故②正确；
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，故③错误；
∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM＝PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP＝BP，即P是AB的中点．故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查正方形的性质、矩形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质.①根据正方形的性质：每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，再结合∠AEP=∠AEM=90°，AE=AE，利用全等三角形的判定定理“角边角”可证明△APE和△AME全等；②根据全等三角形对应边相等可得，同理，，利用矩形的判定定理可证明四边形PEOF是矩形，利用矩形的性质可推出：PF=OE，利用等腰直角三角形的判定定理可证明△APE为等腰直角三角形，据此可得AE=PE，PE+PF=OA，利用等量代换和线段的运算可得：PM+PN=AC，据此可判断②；③判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，根据相似三角形的定义可得两三角形不一定相似；④先推出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质可得：AP＝BP．据此可推出P是AB的中点，进而可判断④.
三、综合题
17．直线 与反比例函数 的图象分别交于点 和点 ，与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线 的解析式；
（2）观察图象，当 时，直接写出 的解集；
（3）若点P是y轴上一动点，当 与 相似时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点 和点 在 图象上，
∴ ，
即
把 两点分别代入 中得
解得： ，
所以直线 的解析式为： ；
（2）解：由图象可得，当 时， 的解集为 ；
（3）解：设点P的坐标为P(0，a)，
①如图：当 与 相似时，
∵直线 的解析式为：
∴C(0，5)，D（5，0）
∴CO=DO=5
则 即 ，解得：a=4
∴P(0，4)；
②如图：
由①得AC=
当 与 相似时，
CP= AC= × =2，
∴OP=CO-CP=5-2=3
∴P(0，3)；
∴点P的坐标为 或 时， 与 相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）将点A、B坐标，代入双曲线中即可求出m、n，最后将 两点分别代入 中得k、b的值，即可得出直线AB的解析式；
（2）根据A、B坐标和图象即可得出结论；
（3）先求出C、D的坐标，进而求出CD、AD，设点P的坐标为P(0，a)，分两种情况利用相似，三角形得出比例是建立方程，求解即可得出结论。
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，
∴△AED∽△ACB
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵CF//AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE和△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（ASA），
∴DE＝FE，
∵AE＝CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DE//BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形．
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据点D，E分别是边AB，AC的中点，得出DE//BC，即可证明△AED∽△ACB；
（2）利用ASA证明△DAE≌△FCE得出DE＝FE，即可得出四边形ADCF是平行四边形，再证明AC⊥DF，根据对角线互相垂直平分的四边形时菱形即可得出结论。
19．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD AG=AF AB．
【答案】（1）∵DE∥BC，
∴ ，
又 ，AE=3，
∴ ，
解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，
∴ ，
∴AD AG=AF AB．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；（2）由平行可知 ，可得出结论．
20．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
【答案】（1）；
（2）解：△ABC∽△DEF. 证明：∵在4×4的正方形方格中，
∴∠ABC=∠DEF.
∵∴
∴△ABC∽△DEF.
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：
【分析】（1）根据方格得特点得出角的度数，然后根据勾股定理得出边长（2）根据三角形对应边比相等且夹角相等证明相似
21．如图，两车分别从路段AB两端同时出发，沿平行路线AC、BD行驶，CE和DF的长分别表示两车到道路AB的距离．
（1）求证：△ACE∽△BDF；
（2）如果两车行驶速度相同，求证：△ACE≌△BDF．
【答案】（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°
∴△ACE∽△BDF；
（2）证明：由(1)得： ∠A＝∠B，∠CEA＝∠DFB
∵两车等速同时行驶
∴AC＝BD
在△ACE和△BDF中
∴△ACE≌△BDF（AAS）
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得出∠A＝∠B，根据CE和DF的长分别表示两车到道路AB的距离可得∠CEA＝∠DFB＝90°，利用相似三角形的判定方法即可得出答案；（2）由题意可得AC＝BD，利用全等三角形的判定方法AAS即可得出答案
22．本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．
（1）甲题：关于x的一元二次方程x2+（2k﹣3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β．
①求k的取值范围；
②若α+β+αβ=6，求（α﹣β）2+3αβ﹣5的值．
（2）乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G
①求证：△ABE∽△DEF；
②若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）①解：∵方程x2+（2k﹣3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（2K﹣3）2﹣4×1×K2＞0，
解得：k＜
②解：由根与系数的关系得：α+β=﹣（2k﹣3），αβ=k2，
∵α+β+αβ=6，
∴k2﹣2k+3﹣6=0，
解得k=3或k=﹣1，
由（1）可知：k=3不合题意，舍去．
∴k=﹣1，
∴α+β=5，αβ=1
故（α﹣β）2+3αβ﹣5=（α+β）2﹣αβ﹣5=19．
（2）①证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴ ，
又∵DF= DC，
∴ ，
∴ ，
∴△ABE∽△DEF
②解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，∴ = ，
又∵DF= 正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
BG=BC+CG=10．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） ① 由方程有两个不相等的实数根可知其根的判别式应该大于0，从而列出不等式，求解即可； ② 根据一元二次方程根与系数的关系得出 α+β=﹣（2k﹣3），αβ=k2， 然后整体代入 α+β+αβ=6，求解并检验 即可求出k的值，然后得出 α+β=5，αβ=1 ，再将 （α﹣β）2+3αβ﹣5利用完全平方公式恒等变形为（α+β）2﹣αβ﹣5 ，整体代入即可算出答案；
（2） ① 根据正方形的性质得出 AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， 然后得出 ，又 ， 故 ，根据两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判断出 △ABE∽△DEF ； ② 根据平行线分线段成比例定理得出 = ，根据比例式即可得出ED，CG的长，进而根据 BG=BC+CG 算出答案。
23．如图所示，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，动点 在 轴上，点 是线段 的中点．将线段 绕着点 顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连结 、 ．
（1）写出点 的坐标；
（2）当 时，试问：以 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出相应的 的值？若不能，请说明理由；
（3）当 为何值时，△ 与△ 相似？
【答案】（1）解：∵B为PA的中点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴B的坐标为
（2）解：当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形．
∵∠OBP=∠BPC=90°，
∴OB∥PC，
∵B是PA的中点，
∴OB= AP=BP=PC，
∴四边形POBC是平行四边形，
当OB⊥BP时，有OP= OB，即OP2=2OB2，
∴t2=2（ t2+1），
∴t1=2，t2=﹣2（不合题意），
∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形
（3）解：由题意可知，∠AOP=∠APC=90°，
当 时，
△AOP∽△APC，
此时OP= OA=1，
∴t=±1，
当 时，
△AOP∽△CPA，
此时OP=2OA=4，
∴t=±4，
∴当t=±1或±4时，△AOP与△CPA相似．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据B为PA的中点及点A和点P的坐标进行求解即可；
（2）利用平行四边形的性质和 OP2=2OB2 ，进行求解即可；
（3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可。
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