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第4章 相似三角形 单元综合强化训练卷
一、选择题
1．将一个三角形的各边都缩小到原来的 后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似
C．无法判断是否相似 D．一定相似
2．如果3x=5y，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知D、E分别为、上的两点，且DEBC，，则的长为（ ）
A．6 B．16 C．8 D．12
4．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
5．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，是以点О为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．4：9
7．一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（ ）cm
A．26+26 B．26﹣26 C．13+13 D．13﹣13
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，1）
C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
9． 如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，矩形ABCD中，，，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A． B．5cm C． D．8cm
二、填空题
11．在中，，，点在边上，且，点在边上，当时， ．
12．若，则 ．
13．线段，为的黄金分割点，且，则 ．
14．在 中， ， ，D是AB中点，过D做一直线DE交AC与E，使得 与 相似，则 .
15．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点， ， .则线段EH长 .
16．如图，一次函数 与坐标轴交于 、 两点，反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，若 ， ，则 的面积为 .
三、综合题
17．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
18．如图，中，是直角，过斜边中点M而垂直于斜边的直线交的延长线于E，交于D，连接.
求证：
（1）；
（2）.
19．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为 ；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长 ．
20．已知，求：
（1）
（2）
21．如图，O是线段上一点，以O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足.
（1）求证：.
（2）若，求的值
22．如图，已知在中，，点D在边上，联结，以为斜边作等腰直角三角形（点E在直线右侧），联结．
（1）如果，求证：∽；
（2）如果，，求线段的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D，E分别在边BC，AC上（点D不与端点B，C重合），并且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，CE＝y，请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？
（3）当△ADE是等腰三角形时，求BD的长．
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第4章 相似三角形 单元综合强化训练卷
一、选择题
1．将一个三角形的各边都缩小到原来的 后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似
C．无法判断是否相似 D．一定相似
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的 ，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为 ，
∴得到三角形与原三角形一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可判断得到三角形与原三角形一定相似.
2．如果3x=5y，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由得5x=3y，故本选项不符合题意；
B、由得3x=5y，故本选项符合题意；
C、由得5x=3y，故本选项不符合题意；
D、由得5x=3y，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
3．如图，已知D、E分别为、上的两点，且DEBC，，则的长为（ ）
A．6 B．16 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BD=2AD，BC=24，
∴，
∴，
∴DE=8，
故答案为：C．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可。
4．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ ）
A．10 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
∵点D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，
∴，∠AED=∠DEB=90°，DF=2DE，
∴∠ADE=∠B，AC=DF，
∴△AED∽△DEB，
∴，
∴DE2=AE·BE=3×（15-3）=36，
∴DE=6，
∴DF=2DE=12，
∴AC=DF=12.
故答案为：C.
【分析】连接AD，BD，根据垂径定理和圆周角定理得出∠ADE=∠B，DF=2DE，再根据等弧所对的弦相等得出AC=DF，利用相似三角形的判定与性质得出DE=6，从而得出DF=12，即可得出AC=12.
5．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①符合题意；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵AE= AD= BC，
∴ ，
∴CF=2AF，故②符合题意；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③符合题意；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 ，即b= ，
∴tan∠CAD= ．故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
①在矩形中，根据AE∥BC及BE⊥AC 可得出角的关系，可得出△AEF∽△CAB；
②由①可知△AEF∽△CAB及E为AD的中点可得出相似比，即可得出CF=2AF ；
③过D作DM∥BE交AC于N，可得四边形BMDE是平行四边形，然后判断DM垂直平分CF即可得出 DF=DC ；
④由△BAE∽△ADC可得tan∠CAD=。
6．如图，是以点О为位似中心经过位似变换得到的，若，则的周长与的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．4：9
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴∥，，
∴，
∴△A'B'C'的周长与△ABC的周长比为1：3，
故答案为：B.
【分析】根据题意求出OA'∶OA=1∶3，根据位似图形的性质得出△A'B'C'∽△ABC，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的性质求周长比即可.
7．一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（ ）cm
A．26+26 B．26﹣26 C．13+13 D．13﹣13
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵一种数学课本的宽与长之比为黄金比，
∴宽：长，
∵长是26cm，
∴宽，
故答案为：D.
【分析】根据黄金比可得宽：长，据此即可求解.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣3，1）
C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，相似比为 ，把△AOB缩小，点B的坐标为 则点B的对应点B'的坐标为 或 ，即 或
故答案为：C．
【分析】先求出点B的坐标为 ，再求解即可。
9． 如图，在菱形中，，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴对角线所在直线是菱形的对称轴， A与C关于对称，
，， 故①正确，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， 故②正确，
菱形中，，
，，，
设 ，
，
，
Rt中，，
，
，
，
，
设，则，
∴，
又，
，
，
，
， 故③错误，
中，，
∴，
中，，
，
，
中，，
中，，
，
，
，
， 故④正确，
故正确的为∶ ①②④．共3个
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质得到对角线所在直线是菱形的对称轴， A与C关于对称，进而得到，，从而即可判断①；根据平行线的性质得到，进而根据相似三角形判定与性质证明即可得到从而即可判断②；根据菱形的性质得到，，，设 ，进而根据相似三角形的判定与性质结合题意即可判断③；先根据题意证明得到，再结合题意运用勾股定理即可判断④.
10．如图，矩形ABCD中，，，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A． B．5cm C． D．8cm
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴，
∵，
∴BO=BD=5，
∴FO=5×=，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用“AAS”证出△BOF≌△DOE，可得OE=OF，再证出△BOF∽△BAD，可得，再求出FO的长，最后求出即可.
二、填空题
11．在中，，，点在边上，且，点在边上，当时， ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的性质求出，再计算求解即可。
12．若，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴把代入得：
，
故答案为：．
【分析】根据已知等式，用含x的式子表示出y，再将y的值代入所求代数式，合并并约分即可得出答案.
13．线段，为的黄金分割点，且，则 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如图，
线段，为的黄金分割点且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，从而可得即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点；根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可．
14．在 中， ， ，D是AB中点，过D做一直线DE交AC与E，使得 与 相似，则 .
【答案】3或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 是 的中点， ，
，
分两种情况：如图所示：
①作 交 于 ；
，
则 ，
即 ，
解得： ；
②作 ，交 于E；
，
当 时， ，
，即 ，
解得： ；
的长为3或 .
故答案为：3或 .
【分析】根据线段中点的概念可得AD=4，作DE∥BC交AC于E，则△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE；作∠ADE=∠C，交AC于点E，则△ADE∽△ACB，同理由相似三角形的性质可求出AE.
15．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点， ， .则线段EH长 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：作 交BC于点P， 交GP于点N.
∴四边形ABPN为平行四边形，
∴ ，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ .
【分析】 作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，根据相似三角形对应边成比例即可解决问题．
16．如图，一次函数 与坐标轴交于 、 两点，反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，若 ， ，则 的面积为 .
【答案】6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵一次函数 与坐标轴交于 、 两点，
∴ ， ，即 ， ，
∴ ，
∵一次函数 与反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 作 轴垂线，垂足为 ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，过点F作 轴垂线，垂足为M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
故答案为：6.
【分析】根据一次函数 与坐标轴交于 、 两点，得 、 ，结合勾股定理计算得 ；再根据一次函数 与反比例函数 与一次函数只有一个交点 ，通过一元二次方程根的判别式计算，得到k，从而得到点C坐标；过点 作 轴垂线，垂足为 ，通过勾股定理性质得 ，从而计算得BC；结合 和 ，分别得 和 ；过点F作 轴垂线，垂足为M，通过证明 ，得 ，最后通过三角形面积关系计算，即可得到答案.
三、综合题
17．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
【答案】（1）解：设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，
x：12-x=6：4，
解得x=7.2，
∴AD=7.2
（2）解：能，
由AB＝12，AD＝ ，
故DB＝ .
于是 ，
又 ，
故 .
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）由题意设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，将AD、DB、AE、EC代入已知的比例式计算即可求解；
（2）由（1）中计算的AD可求得BD的长，分别计算DB：AB和EC：AC的值即可判断。
18．如图，中，是直角，过斜边中点M而垂直于斜边的直线交的延长线于E，交于D，连接.
求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明：∵是直角，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点M为直角斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）先证明，可得，再化解可得。
19．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：当α＝0°时，的值为 ；
（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；
（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝5，AC＝4，直接写出线段BE的长 ．
【答案】（1）
（2）解：由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴．
又∵∠BCE=∠ACD=α，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
即；
（3）7或1
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠B=45°．
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B=45°，∠CDE=∠A=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴cos∠C．
∵DE∥AB，
∴．
故答案为：；
（3）①如图3-1，当点E在线段BA的延长线上时．
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=90°，
∴AE3，
∴BE=BA+AE=4+3=7；
②如图3-2，当点E在线段BA上时，
AE3，
∴BE=BA-AE=4-3=1．
综上所述：BE的长为7或1．
故答案为：7或1．
【分析】（1）先证明△DEC为等腰直角三角形，可得cosC，再利用平行线的性质可得；
（2）先证明△BCE∽△ACD，可得，即可得到；
（3）分类讨论：①当点E在线段BA的延长线上时，②当点E在线段BA上时，再分别画出图象并求解即可。
20．已知，求：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）将原式转化为，代入计算求出结果.
（2）先将原式转化为，代入计算求出结果.
21．如图，O是线段上一点，以O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足.
（1）求证：.
（2）若，求的值
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：如下图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由比例的性质将等积式化为比例式，进而根据有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△PAC∽△PCB；
（2）连接OC，根据相似三角形的性质可得 ， ，根据等边对等角可得∠OCA=∠CAO，∠OCB=∠OBC，可推出∠PCA=∠OCB，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，则推出∠PCO=90°，PB=4PA，PO=2.5PA，利用勾股定理建立方程用含PA的式子表示出PC，从而即可得出答案.
22．如图，已知在中，，点D在边上，联结，以为斜边作等腰直角三角形（点E在直线右侧），联结．
（1）如果，求证：∽；
（2）如果，，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵ 是等腰三角形，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ∽ ．∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ ∽ ．
（2）解：在边 上截取 ，联结 ．
同理可证： ∽ ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
又 ，∴ ．
∵ 是等腰三角形，∴ ．∴ ．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出△ABC∽△DBE，得出，再证出∠ABD=∠CBE，即可证出△ABD∽△CBE；
（2）在CA上截取CH=CB，同（1）证出△HBD∽△CBE，得出，从而得出HD的长，再根据等腰三角形的性质得出，得出CE=，即可得出答案.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D，E分别在边BC，AC上（点D不与端点B，C重合），并且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，CE＝y，请求出当x取何值时，y取最大值？y的最大值是多少？
（3）当△ADE是等腰三角形时，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE，∠DEC=180°-∠C-∠CDE，
∴∠ADB=∠DEC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵BD=x，CE=y，
∴DC=BC-BD=12-x，
由（1）知，△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴
∵，且
∴当时，y有最大值，最大值为；
（3）解：①当DA=DE时，
∴∠DAE=∠AED，
∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C=∠ADE．
∵∠AED=∠EDC+∠C=∠EDC+∠ADE，
∴∠DAE=∠EDC+∠ADE，
∴∠EAD=∠ADC，
∴CD=AC=10，
∴x=BD=BC-CD=12-10=2，
所以，当x的长为2时，△ADE是等腰三角形，
②当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，即∠DAE=∠ADE=∠B
又∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC，
∴，
∴DC BC=AC2，
∴DC=，
∴x=BD=12-DC=12-；
综上所述：当x=2或时，△ADE是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠ADB=∠DEC，再结合∠B=∠C，即可得到△ABD∽△DCE；
（2）根据△ABD∽△DCE，可得 ，将数据代入可得，再化简可得，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分两种情况：①当DA=DE时，②当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，即∠DAE=∠ADE=∠B，再分别求解即可。
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